6

青山区 2020

年中考备考数学训练题(一

)

青山区教育局教研室命制

2020 年 4 月

一．选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 1. - 2020 的相反数是 1

1

A. - 2020

2. 式子

B. -

C. 2020

D.

2020

在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是

2020

A ．x ＜1

B ．x ≥1

C ．x ≤ 1

D ．x ＜ 1

3. 袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件中是必然事件的是 A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B ．摸出的三年球中至少有一个球是白球C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球

D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球

4. 在一些美术字体中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是

和

谐

美

丽

A.

B.

C.

D.

5.如图，是由 4 个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是

A. B ． C ． D ．

正面

6.如图，在矩形 ABCD 中，AB =2，BC =3，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始匀速运动到点 D ，设点 P 运动的路程

为 x ，△ADP 的面积为 y ，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象是

6. 从 1，2，3， 6 这四个数中任取两个数，分别记 为 m 、n ，那么点（m ，n ）在函数 y = 图象上的概率是 x

1 1 1 1 A.

B ．

C ．

D ．

2

3

4

8

k

8.如图，平面直角坐标系中，A （﹣8，0），B （﹣8，4），C （0，4），反比例函数 y ＝ 的图象分别与

x

线段 AB ，BC 交于点 D ，E ，连接 DE ．若点 B 关于 DE 的对称点恰好在 OA 上，则 k 的值是 A ．﹣20

B ．﹣16

C ．﹣12

D ．﹣8

x -1

3 4

第8 题图第9 题图第10 题图

9.如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦AD∥OC，直线CD 交BA 的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正确结论的个数有

A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个

10.如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、…、A n在x 轴上，B1、B2、B3、…、B n在直线y＝x

3

上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、…、△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴

影部分）的面积分别记为S1、S2、S3、…、S n．则S n可表示为

A.2n

B.2n﹣1

C.2n﹣2

D.2n﹣3

二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）

11.计算的结果是.

12.在某学校开展的艺术作品征集活动中，五个班上交的作品数量(单位：件)分别为：42，50，45，46，50，

则这组数据的中位数是.

13.计算

2x

x2 - 64 y2

-

1

x -8 y

的结果是.

14.如图，在四边形ABCD 中，AD=12，对角线AC，BD 交于点O，∠ADB=90°，OD=OB=5，AC=26，则

四边形ABCD 的面积为.

第14 题图第15 题图

15.《海岛算经》(由魏晋时期的数学家刘徽所著)的第一题就是求海岛的高度，原文是“今有望海岛，立两表

齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合；从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”翻译成现代语的意思就是：如图，假设我们要测量一个海岛上山峰AB 的高度，在D 处和F 处树立两根高3 丈的标杆CD 和EF 进行测量，D、F 相距1000 步(丈、步、尺都是我国古代就有的长度单位，1 丈=10 尺，1 步=6 尺)，AB、CD、EF 在同一平面内.从标杆CD 往后退123 步到G 处，可以观测到顶峰A 和标杆顶

端C 在一条直线上；从标杆EF 往后退127 步到H 处，可以观测到顶峰A 和标杆顶端E 在一条直线3333

上.求山峰的高度 AB 和它与标杆 CD 、EF 的水平距离各是多少步?根据我们所学的知识，我们可以求出 BD =

步，AB =

步.

16. 已知关于 x 的抛物线 y = ax

2

+ ( a 2 -1)x - a 与 x 轴的一个交点的坐标为( m,0 ) ，且2 < m < 3 ，则 a 的

取值范围是

.

三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分 8 分)计算： a 3

? a 4

? a + (

- 2a 4 )

2

条形统计图

18.(本小题满分 8 分)如图，已知 AB //CD //PN ， ∠ABC =50°，∠CPN =150°，求∠BCP 的度数.

48 42 36

30 24 18 12 6

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第 18 题图 第 19 题图① 第 19 题图②

19. (本小题满分 8 分)随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求，该 校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如上两 幅不完整的统计图.根据图中信息，解答下列问题：

(1) 本次调查的学生总人数为

人，并补全条形统计图；

(2) 扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数为

；

(3) 该校共有学生 2100 人，请你通过计算估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数.

20.(本小题满分 8 分)如图，在 7×6 的方格中，△ABC 的顶点均在格点上．试按要求画出线段 EF (E ，F 均为格点)，各画出一条即可．

21.(本小题满分 8 分)如图，在 Rt △ABC 中，∠B ＝90°， ∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D ，点 E 在 AC 上，以 AE 为直径的⊙O 经过点 D ．

（1） 求证：①BC 是⊙O 的切线；②CD 2＝CE ?CA ；

（2） 若点 F 是劣弧 AD 的中点，且 CE ＝3，试求阴影

部分的面积．

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人数 24 18 12

22. (本小题满分 10 分)某旅游度假村有甲种风格客房 15 间，乙种风格客房 20 间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为 8500 元；若甲、乙两种风格客房均有 10 间入住，一天营业额为 5000 元．

（1） 设甲、乙两种客房每间现有定价分别为 m 元/天、n 元/天，求 m 、n 的值.

（2） 度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；

当每个房间每天的定价每增加 20 元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出 80 元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润 W 最大，最大利润是多少元?

23. (本小题满分10 分)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 与点B 在AC 的同侧，∠DAC ＞∠BAC ，且DA =DC ，过点 B 作 BE ∥DA 交 CD 于点 E ，M 为 AB 的中点，连接 MD ，ME .

(1) 如图 1，当∠ADC =90°时，线段 MD 与 ME

的数量关系和位置关系是

；

(2) 如图 2，当∠ADC =60°时，写出线段 MD 与 ME 的数量关系和位置关系，并证明； ME

(3) 如图 3，当∠ADC =α°时，直接写出

MD

的表达式.

图 1

图 2 图 3

2 24. (本小题满分 12 分)如图，直线 l ： y = - 3

y = - 4

x 2 + bx + c 经过点 A ，B .

3

(1) 求点 B 的坐标及抛物线 C 的解析式.

x + c 与 x 轴交于点 A (3，0)，与 y 轴交于点 B ，抛物线 C ：

(2) M (m ，0)为 x 轴上一动点，MN ⊥x 轴交直线 l 于点 P ，交抛物线 C 于点 N.

①点 M 在线段 OA 上运动，△BPN 与△APM 相似，求点 M 的坐标；

②点 M 在 x 轴上运动，若三个点 M ，P ，N 中恰好有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称 M ，P ，N 三点为“共谐点”，请直接写出使得 M ，P ，N 三点为“共谐点”的 m 的值.

备用图

5a 24 560(人) 90

青山区 2020 年中考备考数学训练题(一)参考答案

一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的标号填在下面的表格中.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C

B

A

C

D

D

B

C

A

D

二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.把答案填在题中横线上.)

11. 2 12. 46 13. 1 14. 120 15. 30750（2 分），1255（1 分） 16. x 三、解答题 17.解：原式= a

3 4 1

( 2) 2 (a 4 )2 …………4 分

=a 8+4 a 8 ................. 6 分

=5 a 8

............... 8 分

18. 解：∵AB //CD 8

∴∠BCD =∠ABC =50° ..................... 2 分 ∵CD //PN ，

∴∠CPN +∠PCD =180° ................... 4 分 ∴∠PCD =180°-∠CPN =180°-150°=30° ..................... 6 分 ∴∠BCP =∠BCD -∠PCD=50°-30° =20° ................. 8 分

19. (1) 90

补全条形统计图如右图 ........ 4 分(每个 2 分) 48 (2) 48° …………6 分 42 36 (3) 估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数为 30 2100 …………8 分 24

18 答：通过计算估计该校对“在线阅读”最感兴趣的 12 学生人数为 560 人 6

20. 20.

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1 a 3 1 或 2

3 a 2

8 y

人数

36

24

18 12

本题第(1)，(2)，(3)问答案不唯一，学生的画法合理均可.

21.解：（1）①连接 OD ， ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB ＝∠DAO ， ∵OD ＝OA ， ∴∠DAO ＝∠ODA ，, ∴∠DAB ＝∠ODA ， ∴DO ∥AB ，…………1 分

∴∠ODC ＝∠B ＝90°，即 OD ⊥BC …………2 分 又∵BC 过半径 OD 的外端点 ∴BC 是⊙O 的切线；…………3 分 ②连接 DE ，

由①知∠CDE ＝90°-∠ODE,

又∠DAC ＝90°-∠OED ，∠ODE=∠OED, ∴∠CDE ＝∠DAC …………4 分 又∠C ＝∠C ， ∴△CDE ∽△CAD ，

∴

∴CD 2 ＝CE ?CA ；…………5 分

（2）连接 DF ，OF ，设圆的半径为 r ， ∵点 F 是劣弧 AD 的中点，

∴OF 是 DA 中垂线，DF ＝AF ，∠FDA ＝∠FAD ， ∵DO ∥AB ， ∴∠ODA ＝∠DAF ，

∴∠ADO ＝∠DAO ＝∠FDA ＝∠FAD ， ∴AF ＝DF ＝OA ＝OD=OF ，…………6 分 ∴△OFD ，△OFA 是等边三角形， ∴∠C ＝30°，

∴OD ＝OC ＝(OE +EC ），而 OE ＝OD ， ∴CE ＝OE ＝r ＝3，…………7 分 S 阴影＝S 扇形 DOF ＝

×π×3 2＝

．…………8 分

DC CE CA CD

15m 20n 8500

10m 10n 5000

22. 解：(1)根据题意，得： ， …………3 分 解得： …………5 分

答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是 300 元/天、200 元/天；

（2）设乙种客房每间定价为 x 元/天，…………6 分

W

a

1

0, 对称轴x 10

240

…………8 分

当x 240时,W 最大

2560元

…………10 分

答：当乙种客房每间房间定价为 240 元时，乙种风格客房每天的利润 W 最大，最大利润是 2560 元．

23. (1)MD ⊥ME ，MD =ME ；…………2 分(每正确一个得 1 分)

(2)MD ⊥ME ，MD = ME ，…………4 分(每正确一个得 1 分) ∵DA =DC ，∠ADC =60° ∴△ADC 是等边三角形

∴∠ACD =60°，∠BCD =90°-60°=30° ∵BE //DA

∴∠DEB =∠ADC =60°

∴∠EBC =∠DEB -∠BCD =30°=∠BCD ∴EC =EB

…………5 分

延长 EM 交 AD 于点 F ， ∵BE //DA

∴∠MBE =∠FAM ∵M 为 AB 的中点 ∴AM =BM

又∵∠EMB =∠FMA ∴△AMF ≌△BME ∴AF =BE =EC ，FM =EM ∵DA =DC ∴DF =DE ，

∴△DFE 是等边三角形，…………6 分 ∵FM =EM

∴DM ⊥EF ，∠FDM =∠EDM =30°…………7 分

∴

m 300

n 200 (20 x 200 20

2)(x 80) (

1 x

10

40)(x 80) 1 x 2

10

48x 3200 3 ME

tan 30

MD

3

, MD 3ME

3

F

，

10 m

3 2 2

2

即：MD ME , MD

(3)

3ME …………8 分

…………10 分

2

3 c 0 3

24.(1) 由题意知

4

32

3

3b c

0 ..............

1 分

解得： …………2 分

y

∴直线 l 的解析式为：

y

∴抛物线的解析式为：

，点 B 的坐标为（0，2），

…………3 分

(2) ①由于∠BPN =∠APM ，若△BPN 与△PMA 相似， 则应该有∠NBP =90°或∠BNP =90° ............... 4 分 如图 1，当∠NBP =90°时，过 N 作 NC ⊥y 轴于 C ，

则易知∠NBC =∠BNP =∠BAO ， ....... 5 分 则 tan ∠NBC =tan ∠BAO

即：

m 1 解得：

0 ， m 2

图 1

…………6 分

如图 2，当∠BNP =90°时，易知 BN //x 轴， ....... 7 分

4 - m m 3 则 3 解得：

0 ， m 4

…………8 分

11

5

综上：符合题意的点 M 的坐标为（ 8 ，0）或（ 2 ，0） ....... 9 分

图 2

m -1或m - 1 或m 1

ME tan

MD

2 b

10 3

c

2 2 x

3 2

4 x 2 +10 x 3 3

2 m

4 m 2

10 m 2

3 3

3

11 8

5 2

② 4 2

…………12 分（每正确一个得 1 分）