一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)
1.你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗?下面的解答过程会告诉你原因和方法.
(1)阅读下列材料:
问题:利用一元一次方程将化成分数.
设.
由,可知,
即.(请你体会将方程两边都乘以10起到的作用)
可解得,即.填空:将写成分数形式为________ .
(2)请仿照上述方法把小数化成分数,要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.
【答案】(1)
(2)解:设 =m,方程两边都乘以100,可得100× =100x
由=0.7373…,可知100× =73.7373…=73+0.73
即73+x=100x
可解得x= ,
即 =
【解析】【分析】解:(1)设0.4˙=x,则4+x=10x,
∴x= .
故答案是:;
(2)理解该材料的关键在于:将循环小数扩大的倍数在于循环小数的循环节,释放一个循环节后,循环小数的大小仍不变.
2.综合题
(1)如图,、、是一条公路上的三个村庄,、间的路程为,、间的路程为,现要在、之间建一个车站,若要使车站到三个村庄的路程之和最小,则车站应建在何处?______
A.点处
B.线段之间
C.线段的中点
D.线段之间
(2)当整数 ________时,关于的方程的解是正整数.
【答案】(1)A
(2)或
【解析】【解答】(1)故答案为:A;(2)或
【分析】(1)根据图形要使车站到三个村庄的路程之和最小,得到车站应建在C处;(2)根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一;求出m的值.
3.有两个大小完全一样长方形OABC和EFGH重合着放在一起,边OA、EF在数轴上,O 为数轴原点(如图1),长方形OABC的边长OA的长为6个坐标单位.
(1)数轴上点A表示的数为________.
(2)将长方形EFGH沿数轴所在直线水平移动.
①若移动后的长方形EFGH与长方形OABC重叠部分的面积恰好等于长方形OABC面积的一半时,则移动后点F在数轴上表示的数为________.
②若长方形EFGH向左水平移动后,D为线段AF的中点,求当长方形EFGH移动距离x为何值时,D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数?
【答案】(1)6
(2)①3或9
②如图所示:
据题意得出D所表示的数为,点E表示数为:,
当D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数时:
则
解得:,
当移动x为4的时候D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数.
【解析】【解答】解:(1)根据题意可得:
A表示数为的长,
故答案为:6.
( 2 )①当向左边移动的时候,刚好移到矩形长一半的时候,此时重叠面积为长方形面积的一半,此时为9,当向右边边移动的时候,刚好移到矩形长一半的时候,此时重叠面积为长方形面积的一半,此时为3;
故答案为:3或9.
【分析】(1)根据题意可以看出结果;(2)①分为两种情况,分别向左或向右平移;②根据题意得出D所表示的数为,当D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数时点E表示数为:,则,解出答案即可.
4.某旅行社组织一批游客外出旅游,原计划根用45座客车若干辆,但有15人没有座位:若租用同样数量的60座客年,则多出一辆车无人坐,且其余客车恰好坐满。已知45座客车租金为每辆220元,60座客车租金为每辆300元,问:
(1)这批游客的人数是多少?原计划租用多少辆45座客车?
(2)若租用同一种车,要使每位游客都有座位,应该怎样租用才合算?
【答案】(1)解:设原计划租用x辆45座客年
根据题意,得45x+15=60(x-1)
解得x=5
则45x+15=45×5+15=240.
答:这批游客共240人,原计划租5辆45座客车。
(2)解:租45座客车:240÷45≈5.3(辆),
所以需租6辆,租金为220×6=1320(元).
租60座客车:240÷60=4(辆),租念为300×4=1200(元).
答:租用4辆60座客车更合算。
【解析】【分析】(1)设原计划租用x辆45座客车,根据等量关系,列出方程,求出x 的值,进而求出游客的人数,即可;
(2)分别求出租45座的车和60座的车的费用,进行比较,即可.
5.已知数轴上A.B两点对应的数分别为?4和2,点P为数轴上一动点,其对应的数为x.
(1)若点P到点A.点B的距离相等,写出点P对应的数;
(2)数轴上是否存在点P,使点P到点A.点B的距离之和为10?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)若点A点B和点P(点P在原点)同时向右运动,它们的速度分别为2、1、1个长度单位/分,问:多少分钟后P点到点A点B的距离相等?(直接写出结果)
【答案】(1)解:∵A、B两点对应的数分别为?4和2,
∴AB=6,
∵点P到点A. 点B的距离相等,
∴P到点A. 点B的距离为3,
∴点P对应的数是?1
(2)解:存在;
设P表示的数为x,
①当P在AB左侧,PA+PB=10,
?4?x+2?x=10,
解得x=?6,
②当P在AB右侧时,
x?2+x?(?4)=10,
解得:x=4
(3)解:∵点B和点P的速度分别为1、1个长度单位/分,
∴无论运动多少秒,PB始终距离为2,
设运动t分钟后P点到点A. 点B的距离相等,
|?4+2t|+t=2,
解得:t=2
【解析】【分析】(1)根据点P到点A、点B的距离相等,结合数轴可得答案;(2)此题要分两种情况:①当P在AB左侧时,②当P在AB右侧时,然后再列出方程求解即可;(3)根据题意可得无论运动多少秒,PB始终距离为2,且P在B的左侧,因此A也必须在A的左侧,才有P点到点A、点B的距离相等,设运动t分钟后P点到点A、点B 的距离相等,表示出AP的长,然后列出方程即可.
6.仔细阅读下列材料.
“分数均可化为有限小数或无限循环小数”,反之,“有限小数或无限小数均可化为分数”.
例如: =1÷4=0.25; = =8÷5=1.6; =1÷3= ,反之,0.25= = ;1.6= = =
.那么,怎么化成分数呢?
解:∵ ×10=3+ ,∴不妨设 =x,则上式变为10x=3+x,解得x= ,即 = ;∵ = ,设 =x,则上式变为100x=2+x,解得x= ,
∴ = =1+x=1+ =
(1)将分数化为小数: =________, =________;
(2)将小数化为分数:=________;=________。
(3)将小数化为分数,需要写出推理过程.
【答案】(1)1.8;
(2)
;
(3)解:设 =x,则100x=95+x,解得:x= =1+ =
【解析】【解答】(1)9÷5=1.8,22÷7= ;(2)设0. x,根据题意得:10x=5+x,解得:x ;
设0. x,则10x=6+x,解得:x .
.
故答案为:.
【分析】(1)由已学过的知识可知:分数均可化为有限小数或无限循环小数;是一个
有限小数,是一个无限循环小数;
(2)由阅读材料可求解;
(3)由阅读材料可知,设循环节为x,即 =x,由材料可得方程 100x=95+x,解方程即可求解。
7.阅读理解:
定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”.例如:的解为,的解集为,不难发现在的范围内,所以是的“子方程”.
问题解决:
(1)在方程① ,② ,③ 中,不等式组的“子方程”是________;(填序号)
(2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”,求k的取值范围;
(3)若方程,都是关于x的不等式组的“子方
程”,直接写出m的取值范围.
【答案】(1)③
(2)解:解不等式3x-6>4-x,
得:>,
解不等式x-1≥4x-10,
得:x≤3,
则不等式组的解集为<x≤3,
解:2x-k=2,
得:x= ,
∴<≤3,
<,
解得:3<k≤4;
(3)解:解方程:2x+4=0得,
解方程:
得:,
解关于x的不等式组
当<时,不等式组为:,
此时不等式组的解集为:>,不符合题意,
所以:>
所以得不等式的解集为:m-5≤x<1,
∵2x+4=0,都是关于x的不等式组的“子方程”,
∴,
解得:2<m≤3.
【解析】【解答】解:(1)解方程:3x-1=0得:
解方程:得:,
解方程:得:x=3,
解不等式组:
得:2<x≤5,
所以不等式组的“子方程”是③.
故答案为:③;
【分析】(1)先求出方程的解和不等式组的解集,再判断即可;(2)解不等式组求得其
解集,解方程求出x= ,根据“子方城”的定义列出关于k的不等式组,解之可得;(3)先求出方程的解和不等式组的解集,分<与>讨论,即可得出答案.
8.如图,在长方形ABCD中,AB=12厘米,BC=6厘米.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s
的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm、s的速度移动.如果P、Q同时出发,用 (秒)表示移动的时间,那么:
(1)如图1,当为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)如图2,当为何值时,△QAB的面积等于长方形面积的
(3)如图3,P、Q到达B、A后继续运动,P点到达C点后都停止运动.当为何值时,线段AQ的长等于线段CP的长的一半?
【答案】(1)解:由题可知:DQ=tcm,AQ=(6-t)cm,
∵△QAB的面积= (6-t)×12,
依题意得:(6-t)×12= ×6×12,
解得:t=3
(2)解:由题可知:DQ=tcm,AQ=(6-t)cm,AP=2tcm,
使△QAP为等腰三角形,
∴AQ=AP,
?6-t=2t
解得t=2
(3)解:由题可知:AQ=(t-6)cm,CP=(18-2t)cm,
依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半,
∴t-6= (18-2t),
解得:t=7.5
【解析】【分析】(1)根据已知条件得到DQ=tcm,AQ=(6-t)cm,根据三角形的面积列方程即可得到结论;(2)根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论;(3)根据已知条件得到AQ=(t-6)cm,CP=(18-2t)cm,依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半,列方程即可得到结论.
9.如图,面积为30的长方形OABC的边OA在数轴上,O为原点,OC=5.将长方形OABC 沿数轴水平移动,O,A,B,C移动后的对应点分别记为O1, A1, B1, C1,移动后的长方形O1A1B1C1与原长方形OABC重叠部分的面积记为S
(1)当S恰好等于原长方形面积的一半时,数轴上点A1表示的数是多少?
(2)设点A的移动距离AA1=x
①当S=10时,求x的值;
②D为线段AA.的中点,点E在线段OO1上,且OE= OO1,当点D,E所表示的数互为相反数时,求x的值.
【答案】(1)解:∵S长方形OABC=OA·OC=30,OC=5,
∴OA=6,
∴点A表示的数是6,
∵S=S长方形OABC=×30=15,
①当向左移动时,如图1:
∴OA1·OC=15,
∴OA1=3,
∴A1表示的数是3;
②当向右移动时,如图2:
∴O1A·AB=15,
∴O1A=3,
∵OA=O1A1=6,
∴OA1=6+6-3=9,
∴A1表示的数是9;
综上所述:A1表示的数是3或9.
(2)解:①由(1)知:OA=O1A1=6,OC=O1C1=5,
∵AA1=x,
∴OA1=6-x,
∴S=5×(6-x)=10,
解得:x=4.
②如图1,
∵AA1=x,
∴OA1=6-x,OO1=x,
∴OE=OO1=x,
∴点E表示的数为-x,
又∵点D为AA1中点,
∴A1D=AA1=x,
∴OD=OA1+A1D=6-x+x=6-x,
∴点D表示的数为6-x,
又∵点E和点D表示的数互为相反数,
∴6-x-x=0,
解得:x=5;
如图2,当原长方形OABC向右移动时,点D、E表示的数都是正数,不符合题意.
【解析】【分析】(1)根据长方形的面积可得OA长即点A表示的数,在由已知条件得S=15,根据题意分情况讨论:①当向左移动时,②当向右移动时,根据长方形面积公式分别计算、分析即可得出答案.
(2)①由(1)知:OA=O1A1=6,OC=O1C1=5,由AA1=x得OA1=6-x,由长方形面积公式列出方程,解之即可.
②当向左移动时,由AA1=x得OA1=6-x,OO1=x,根据题意分别得出点E、点D表示的数,由点E和点D表示的数互为相反数列出方程,解之即可;当向右移动时,点D、E表示的数都是正数,不符合题意.
10.某服装厂计划购进某种布料做服装,已知米布料能做件上衣,米布料能做
件裤子.
(1)一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍;
(2)这种布料是按匹购买的,每匹布料是将这种厚度为布料卷在直径为的圆柱形轴上,卷完布后的圆柱直径为D=20cm,其形状和尺寸如图所示,为使一匹布料所做的上衣和裤子刚好配成套,应分别用多少米的布料生产上衣和裤子(π取3)? (3)在(2)的条件下,一件上衣用料1米,服装厂要生产1000套,则需采购这样的布料多少匹?
【答案】(1)解:由题意可得:? 1.5.
答:一件上衣的用料是一条裤子用料的1.5倍
(2)解:一匹布的长度=100π+100.8π+101.6π+...+200π≈3×(100+100.8+101.6+...+200)=3× =56700mm=56.7m.
设应用x米的布料生产上衣,则用(56.7-x)米的布料生产裤子,根据题意得:
x=1.5 (56.7-x)
解得:x=34.02(米)≈34(米)
当x=34时,56.7-x=22.7(米)
答:应用34米的布料生产上衣,则用22.7米的布料生产裤子.
(3)解:1000÷34≈29.4≈30(匹)
答:需采购这样的布料30匹.
【解析】【分析】(1)求一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍,应先把各自的用料多
少表示出来.一件上衣的用料是:;一条裤子用料是:;将两个式子相除即可;(2)先求出一匹布的长度,然后根据一件上衣的用料是一条裤子用料的 1.5倍列方程求解即可;(3)由(2)可得一匹布生产衣服裤子的套数,用总套数÷一匹布生产衣服裤子的套数即可得到答案.
11.数轴上点A对应的数为,点B对应的数为,且多项式的二次项系数为,常数项为 .
(1)直接写出: ;
(2)数轴上点A、B之间有一动点P,若点P对应的数为,试化简
;
(3)若点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动;同时点N从点B 出发,沿数轴每秒2个单位长度的速度向左移动,到达A点后立即返回并向右继续移动,求经过多少秒后,M、N两点相距1个单位长度?
【答案】(1)-2|5
(2)解:∴数轴上点A对应的数为a,点B对应的数为b,
∴数轴上点A对应的数为?2,点B对应的数为5,
∵数轴上点A、B之间有一动点P,点P对应的数为x,
∴?2<x<5,
∴2x+4>0,x?5<0,6?x>0,
∴|2x+4|+2|x?5|?|6?x|=2x+4?2(x?5)?(6?x)=2x+4?2x+10?6+x=x+8
(3)解:设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,
由运动知,AM=t,BN=2t,
①当点N到达点A之前时,
a、当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度,
∴t+1+2t=5+2,
∴t=2秒,
b、当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,
∴t+2t?1=5+2,
∴t=秒,
②当点N到达点A之后时,
a、当N未追上M时,M、N两点相距1个单位长度,
∴t?[2t?(5+2)]=1,
∴t=7秒;
b、当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,
∴[2t?(5+2)]?t=1,
∴t=8秒;
即:经过2秒或秒或7秒或8秒后,M、N两点相距1个单位长度.
【解析】【解答】(1)解:∵多项式6x3y?2xy+5的二次项系数为a,常数项为b,
∴a=?2,b=5,
故答案为:?2,5
【分析】(1)根据多项式的定义可求出a、b的值.
(2)由于数轴上点A、B之间有一动点P,可得出?2<x<5,从而可得2x+4>0,x?5<0,6?x>0,根据绝对值的性质将原式化简,即可求出结论.
(3)设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,由运动知,AM=t,BN=2t,①当
点N到达点A之前时,分两种情况:当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度或当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,②当点N到达点A之后时,分两种情况:当N未追上M时,M、N两点相距1个单位长度或当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,据此分别列出方程,求出t值即可.
12.某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总数的,若提前购票,则给予不同程序的优惠:若在五月份内,团体票每
张12元,共售出团体票数的;零售票每张16元,共售出零售票数的一半;如果在六月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份售出全部余票,设六月份零售票按每张x 元定价,总票数为a张.
(1)五月份的票价总收入为________元;六月份的总收入为________元;
(2)当x为多少时,才能使这两个月的票款收入持平?
【答案】(1)a
;a+ax
(2)解:依题可得:
a=a+ax,
解得:x=19.2.
答:当x为19.2元时,才能使这两个月的票款收入持平.
【解析】【解答】解:(1)依题可得:
五月份总收入为:×a×12+16×a×=a(元),
六月份总收入为:×a×16+x×a×=a+ax(元),
故答案为:a,a+ax.
【分析】(1)根据题意分别表示出五、六月份的总收入.
(2)令(1)中五月份总收入=六月份总收入,列出方程,解之即可.