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计算化学密度泛函理论化学密度泛函理论（DFT）是一种计算化学的方法，用于研究分子和材料的性质。
该理论基于电子的密度分布来描述体系的能量和性质，被广泛应用于各个领域，如药物设计、材料科学、催化化学等。
化学密度泛函理论的基础是Hohenberg-Kohn定理和Kohn-Sham方程。
Hohenberg-Kohn定理指出，一个体系的基态能量是其电子密度的唯一函数。
Kohn-Sham方程则是通过将体系的电子运动问题转换为一个类似单电子薛定谔方程的形式来近似描述体系的电子结构。
在DFT的计算中，首先需要确定电子的密度分布。
这可以通过多种方法来实现，其中最常见的是使用交换-相关（exchange-correlation）泛函。
交换-相关泛函是一个由物理理论或实验测量得出的函数，用于描述电子之间的交换和相关效应。
目前有很多不同的交换-相关泛函可供选择，如局域密度近似（LDA）和广义梯度近似（GGA）等。
确定了电子的密度分布之后，可以计算体系的总能量以及其它性质。
通过求解Kohn-Sham方程，可以得到包括分子轨道（MO）能量、电荷密度等在内的信息。
这些信息可以用来计算分子的结构、活性、光谱等性质。
与传统的量子化学方法相比，DFT具有一些显著的优点。
首先，DFT可以处理大分子和复杂体系，这在传统基于波函数的方法中往往是非常困难的。
其次，DFT可以利用多种交换-相关泛函的组合和调整，以适应不同体系的需求，从而提高计算结果的准确性。
此外，DFT的计算速度相对较快，使得它成为广泛应用于大规模计算的方法。
然而，DFT也存在一些限制和挑战。
目前仍然没有一个适用于所有体系和问题的通用交换-相关泛函。
选择合适的泛函对于计算结果的准确性至关重要，但这需要在实际应用中进行尝试和优化。
此外，DFT通常以准确性为代价来换取计算效率，其中一些情况下可能会引入较大的误差。
因此，在计算结果的解释和应用中需要谨慎对待。
尽管存在一些限制，化学密度泛函理论仍然是一个强大且灵活的工具，被广泛应用于化学研究中。
量子秘密分享协议的密度矩阵表示密钥共享是信息安全领域中至关重要的一项任务。
传统的密钥共享协议存在着信息泄露和被攻击的风险，因此需要一种更加安全可靠的方法来实现秘密的共享。
量子密钥分发（QKD）是一种基于量子力学原理的安全通信方法，它利用了量子态的特性来确保密钥的安全性。
在量子密钥分发中，量子秘密分享协议是一种重要的技术手段，它可以实现多个参与者之间的秘密共享。
在量子秘密分享协议中，密度矩阵是一种常用的表示方法。
密度矩阵是描述量子系统状态的一种数学工具，它可以用来描述量子态的混合性质。
在量子秘密分享协议中，参与者之间共享的密钥通常是通过量子比特进行传输的。
因此，密度矩阵可以用来表示量子比特的状态，从而实现秘密的共享。
密度矩阵的表示形式如下：ρ = |Ψ⟩⟨Ψ|其中，|Ψ⟩表示量子比特的状态矢量，⟨Ψ|表示其共轭转置。
密度矩阵ρ是一个厄米矩阵，它的对角元素表示量子比特处于某个特定状态的概率，而非对角元素则表示量子比特之间的相干性。
在量子秘密分享协议中，密度矩阵的表示可以用来描述不同参与者之间的秘密共享过程。
假设有两个参与者Alice和Bob，他们希望共享一个秘密密钥。
首先，Alice选择一个随机的量子态|Ψ⟩进行编码，并将其发送给Bob。
Bob接收到量子比特后，对其进行测量，并得到一组测量结果。
然后，Alice和Bob根据测量结果进行密钥的提取和共享。
在这个过程中，密度矩阵的表示可以帮助我们理解量子秘密分享协议的安全性。
密度矩阵可以用来描述Alice发送的量子比特的状态，以及Bob测量结果的统计分布。
通过分析密度矩阵的特征，我们可以评估量子秘密分享协议的安全性，并设计更加安全可靠的协议。
除了描述量子比特的状态，密度矩阵还可以用来描述量子比特之间的相干性。
在量子秘密分享协议中，参与者之间的相干性是非常重要的，它可以用来判断密钥的安全性。
如果密度矩阵的非对角元素接近于零，那么说明量子比特之间的相干性很小，密钥的安全性较高。
密度泛函理论及其在材料科学中的应用密度泛函理论（Density Functional Theory，DFT）是一种处理多体量子力学问题的计算方法，广泛应用于材料科学领域。
它基于电子密度的概念，将多体问题转化为单电子问题，从而计算材料的物理性质、结构和反应等。
密度泛函理论因其高效可靠的计算性质，在材料科学中得到了广泛的应用和发展。
密度泛函理论的基本原理是根据电子的运动方程来描述材料的行为。
该理论的核心是Kohn-Sham方程，它通过将复杂的多体问题转化为非相互作用电子的问题来解决。
该方程基于电子密度，即描述电子在空间中分布的函数，从而将原子核和电子之间的相互作用引入计算中。
通过求解Kohn-Sham方程，可以得到电子的波函数和能量，从而计算材料的性质。
密度泛函理论在材料科学中具有广泛的应用。
首先，它可以用于预测和解释材料的结构和稳定性。
通过计算材料的晶体结构、能带和原子间的相互作用，可以预测材料的晶体结构和相变，从而为合成新材料提供指导。
其次，密度泛函理论对于材料的电子性质的计算也十分重要。
通过计算材料的能带结构和态密度，可以得到材料的电导率、能级分布和载流子输运性质等信息，从而深入理解电子在材料中的行为，为材料的设计和优化提供依据。
此外，密度泛函理论还可以用于计算材料的光学性质。
通过计算材料的光学吸收和发射，可以得到材料的各向异性、折射率以及光电子耦合等信息，为设计新的光功能材料提供指导。
密度泛函理论还可以探索材料的力学性质和热力学性质。
通过计算材料的弹性模量、晶格常数以及材料的热膨胀系数等参数，可以了解材料的力学行为和稳定性。
此外，密度泛函理论还可以计算材料的热力学性质，如热容、热导率和相变温度等，为材料的应用和改进提供依据。
综上所述，密度泛函理论在材料科学中的应用十分广泛。
通过计算材料的结构、电子性质、光学性质以及力学性质等，可以深入理解材料的物理、化学和力学行为，为材料的设计、合成和应用提供指导。
华为密度泛函密度泛函理论简介密度泛函理论是量子力学中研究多体问题的一种方法，通过考虑电子的电荷密度来描述系统的基态性质。
在固体物理和化学领域，密度泛函理论被广泛应用于材料计算、催化反应和分子动力学等问题的研究中。
在密度泛函理论中，系统的基态性质可以通过计算系统的总能量来获得。
而电子的电荷密度是一个关键参数，它可以通过求解Kohn-Sham方程得到。
Kohn-Sham方程是一组单粒子Schrödinger方程，其中包含一个有效势能项，使得方程的解与真实系统的电荷密度相匹配。
密度泛函理论在华为研发中的应用作为全球领先的通信技术公司，华为在产品研发过程中广泛应用密度泛函理论。
以下是一些具体应用案例：1. 材料计算华为利用密度泛函理论进行材料计算，以评估材料的性能和稳定性。
例如，在手机设计中使用高效率材料可以提高电池寿命和性能。
通过计算材料的能带结构、电子结构和晶格参数等，可以预测材料的性质并选取最佳材料。
2. 催化反应华为利用密度泛函理论研究催化反应机理，以提高通信设备的性能和效率。
催化剂在通信设备中起着关键作用，可以加速化学反应并降低能量消耗。
通过计算催化剂表面的吸附能、活化能和反应路径等，可以设计出更高效的催化剂。
3. 分子动力学模拟华为利用密度泛函理论进行分子动力学模拟，以研究材料的结构和性质变化。
例如，在通信设备中使用的塑料外壳需要具有一定的强度和耐久性。
通过模拟塑料分子链的运动和相互作用，可以预测材料在不同环境下的行为，并优化设计。
密度泛函软件工具为了实现以上应用，华为使用了多种密度泛函软件工具。
以下是一些常用工具：1. VASPVASP（Vienna Ab initio Simulation Package）是一款广泛使用的第一原理计算软件，基于密度泛函理论。
它能够计算材料的电子结构、能带结构和力学性质等，是华为研发中常用的工具之一。
2. Quantum EspressoQuantum Espresso是一套开源的第一原理计算软件包，也是基于密度泛函理论。
material studio密度泛函方法
密度泛函方法（Density Functional Theory，DFT）是一种计算
凝聚态物理系统的电子结构的方法，可以用于预测分子和固体材料的性质。
在Material Studio软件中，DFT方法使用了一些基本的密度泛
函近似，例如局域密度近似（Local Density Approximation，LDA）和广义梯度近似（Generalized Gradient Approximation，GGA）等。
这些近似方法都是根据密度泛函理论的基本原理
和近似处理方式得到的。
使用密度泛函方法，可以计算材料的电子结构、总能量、电子密度分布、能带结构、原子间力和原子位置等性质。
这些结果可以用于研究材料的性质、反应机理、吸附性能、光学性质等。
在Material Studio中，密度泛函方法通常是由VAMP
（VAMP/VASP）模块来实现的。
用户可以选择不同的泛函和
基组，以及其他计算参数来进行模拟和计算。
同时，Material Studio还提供了一些可视化和后处理工具，以便对计算结果进
行分析和可视化展示。
总而言之，Material Studio中的密度泛函方法是进行凝聚态材
料电子结构计算和预测性质的重要工具，能够提供有关材料性质和行为的重要信息。
密度泛函理论用于材料科学计算方法材料科学作为一个重要的学科领域，涉及到材料的设计、合成、性能优化等诸多方面。
而材料科学计算方法的发展对于材料研究和应用起着至关重要的作用。
在材料计算方法中，密度泛函理论是一种常用且有效的方法。
本文将介绍密度泛函理论的基本原理和在材料科学中的应用。
密度泛函理论（Density Functional Theory，DFT）是一种基于波函数密度的理论，用以描述复杂的量子体系。
该理论的核心思想是将体系的波函数看作电子密度的函数，并通过最小化电子能量来获得系统的基态性质。
相较于传统的波函数理论，密度泛函理论有效地降低了计算成本，提高了计算效率，因此得到了广泛的应用。
密度泛函理论广泛应用于研究和解释材料的结构、电子结构和性质。
其中，最重要的是通过密度泛函理论计算材料的能带结构和态密度。
能带结构是描述材料电子结构的重要概念，它可以揭示材料的导电性、绝缘性以及半导体特性。
利用密度泛函理论，可以通过计算得到材料的能带结构，进而进一步预测和研究材料的电导率、光吸收性、光电导等电子性质。
例如，通过密度泛函理论计算材料的能带结构，可以预测新材料的带隙大小，有助于寻找新的光电材料。
此外，密度泛函理论还可以用于计算材料的结构性质和热力学性质。
例如，通过计算材料的晶格常数、结构参数和晶胞参数，可以预测材料的晶体结构、晶格畸变等结构性质。
通过计算材料的热力学性质，如形成能、分解能和反应焓等，可以探索材料的相变行为、化学稳定性和热稳定性等。
另外，密度泛函理论还可以用于计算材料的各种性质，如磁性、光学性质、催化性能等。
通过计算材料的能态密度和态密度的积分，可以得到材料的总能级数和带隙大小，进而揭示材料的电子结合性质、磁性等。
利用密度泛函理论计算材料的光学性质，可以预测材料的能带间距、折射率、透射率等，有助于设计和优化光学器件。
此外，通过计算材料表面和催化剂的电荷分布和反应能垒等，可以预测催化反应的活性和选择性。
量子计算是一种新兴的计算模型，它利用量子力学的奇异性来进行计算。
与传统计算机不同，量子计算机利用量子位（quantum bit，简称qubit）作为计算的基本单元。
量子干涉与量子纠缠是量子计算的两个核心概念。
在量子计算中，量子密度矩阵（quantum density matrix）与态制备（state preparation）是两个重要的概念。
首先，我们来谈谈量子密度矩阵。
在量子力学中，一个物理系统的状态可以用一个复数向量表示。
然而，现实中的量子系统往往存在干扰、噪声等不完美因素，使得我们无法准确地描述其完整的状态。
而量子密度矩阵的引入正是为了解决这一问题。
量子密度矩阵是一个对称的密度算符，用于描述量子态的混合性（mixture），也就是说，一个物理系统不处于纯态，而是处于多个纯态的叠加状态。
量子密度矩阵可以通过密度算符的迹（trace）计算得到。
量子密度矩阵能够全面地描述量子系统的统计性质，包括纯态、混合态、纠缠等。
量子密度矩阵的概念在量子计算中具有重要的意义。
在量子计算中，误差校正（error correction）是一个重要的问题。
由于量子态容易受到干扰的影响，错误的输入或输出可能导致计算结果的不准确性。
通过对量子密度矩阵的测量和分析，可以有效地检测和校正这些误差，从而提高量子计算的可靠性和稳定性。
接下来，我们来探讨一下态制备的相关问题。
态制备是指将一个量子系统制备到特定的态上。
在量子计算中，态制备是进行量子计算的首要任务。
在传统计算中，我们可以将计算机初始状态设定为0或1，但在量子计算中，我们可以通过态制备来将计算初始态制备为任意一个量子态。
态制备可以通过不同的方法实现，其中一个常用的方法是量子门操作。
量子门操作是通过对量子位施加特定的操作，实现从一个量子态到另一个量子态的转换。
通过适当地选择和组合量子门操作，我们可以将量子系统制备到目标态上，从而完成态制备的任务。
除了量子门操作，态制备还可以通过量子测量的方法实现。
密度泛函理论与分子模拟方法密度泛函理论（DFT）和分子模拟方法是两种在材料科学和化学领域中使用广泛的计算工具。
它们可以预测分子和材料的性质，研究化学反应过程，并为新材料的设计提供指导。
本文将探讨密度泛函理论和分子模拟方法的基本原理、应用领域以及它们在科学研究和工程实践中的重要性。
首先，我们来了解密度泛函理论。
密度泛函理论是一种基于电子密度概念的量子力学方法。
它通过求解薛定谔方程，可以计算分子和材料的能量、结构、振动频率等性质。
密度泛函理论的核心思想是将系统的能量泛函表达为电子密度的函数。
在这个框架下，电子-电子相互作用通过交换-相关能来描述。
密度泛函理论的优势在于可以处理大系统，如晶体、分子团簇等。
密度泛函理论的应用范围非常广泛。
例如，它可以用来研究分子的电子结构和光谱性质，从而解释化学反应的机理。
此外，密度泛函理论还可以模拟材料的力学性质、导电性、光学性质等。
近年来，随着计算机性能的提升和软件算法的改进，密度泛函理论在新材料发现、催化剂设计和药物研发等方面的应用越来越受到重视。
与此同时，分子模拟方法在材料科学和化学领域的应用也得到了广泛的发展。
分子模拟方法可以通过统计力学和分子动力学模拟技术来描述分子的运动和相互作用。
它模拟的对象可以是分子、液体、固体甚至生物系统等。
通过分子模拟方法，我们可以获得系统的构型分布、动力学行为等信息。
分子模拟方法主要有两种类型：经典力场模拟和量子力学模拟。
经典力场模拟采用经典力场来描述分子内和分子间的相互作用，从而获得系统的能量和粒子的运动轨迹。
而量子力学模拟则采用波函数和薛定谔方程来描述分子的运动，具有更高的准确性。
分子模拟方法在材料科学和药物研发中具有重要的应用价值。
例如，通过分子模拟方法，我们可以优化新药分子的构型，预测其与靶分子之间的相互作用，从而加速药物研发过程。
此外，分子模拟方法还可以用于研究材料的物理性质，如热导率、介电性等。
通过模拟不同材料的能带结构和电子传输性质，我们可以指导材料的合成和性能改进。
量子计算是近年来备受关注的领域，它具有在传统计算模型无法解决的问题上有着巨大的潜力。
量子计算的核心是量子比特（qubit），它可以在量子态的超定态之间进行叠加和纠缠操作。
为了实现有效的量子计算，我们需要能够准确描述和操作量子态的工具，其中一个重要的工具就是量子密度矩阵。
量子密度矩阵是描述量子态的一种数学工具，它可以同时描述单个量子比特的态和多个量子比特的纠缠态。
对于一个单个量子比特来说，它的量子态可以用一个二维的密度矩阵来描述，而对于多个量子比特的纠缠态来说，它的量子态可以用一个高维的密度矩阵来描述。
量子密度矩阵可以用来描述量子系统的混合态和纯态。
在传统计算模型中，我们通常把系统的态表示为一个确定的状态，即纯态。
而在量子计算中，由于量子比特可以在多个态之间叠加，所以我们需要用密度矩阵来描述同时存在多个态的混合态。
密度矩阵的非对角元表示了量子比特之间的相干关系，而对角元表示了量子比特在不同态之间的混合程度。
量子密度矩阵在量子计算中具有重要的作用。
首先，它可以用来描述和操作量子比特之间的纠缠态。
纠缠态是量子计算中的核心概念，它具有非常特殊的性质，可以在分布在多个量子比特之间的信息进行传递和处理。
量子密度矩阵可以用来描述和操作纠缠态，从而实现量子比特之间的相互作用和量子门操作。
其次，量子密度矩阵可以用来描述和处理量子比特的退相干和量子纠错。
在实际的量子计算中，由于温度、噪声等因素的存在，量子比特会逐渐失去纯态，即发生退相干。
量子密度矩阵可以用来描述量子比特的退相干过程，并且可以通过相应的算法和技术进行恢复和纠错。
最后，量子密度矩阵还可以用来描述量子比特的测量结果和量子比特的准确性。
量子比特的测量结果可以通过量子密度矩阵进行统计和分析，从而得到量子比特的平均态和概率分布。
量子密度矩阵还可以用来评估和纠正量子比特的准确性和精度，从而提高量子计算的可靠性和稳定性。
量子密度矩阵的作用和应用广泛，但在实际的量子计算中，由于量子比特的数量和复杂性的增加，对于量子密度矩阵的计算和操作也变得更加困难。
双费曼图的密度矩阵双费曼图的密度矩阵的内容：又称密度矩阵重整化群(Density Matrix Renormalization Group)，简称DMRG，是一种数值算法，于西元1992年由美国物理学家史提芬˙怀特提出[1]。
密度矩阵重整化群是用来计算量子多体系统（例如：Hubbard model、t-J模型、海森堡模型，等等）的一个非常精准的数值算法，在一维或准一维的系统可以得到系统尺寸很大且很准确的计算结果，但是在二维的量子多体系统中却很难达到所需要的精确度。
目前此算法仍无法计算三维的量子系统。
双费曼图的密度矩阵的起源从数值计算的角度来看，量子多体物理主要的困难之处就在于系统的希尔伯特空间维度随着系统的尺寸呈指数成长，例如，一个由N 个自旋1/2的粒子所组成的一维晶格系统其希尔伯特空间维度大小为2^N。
传统的解决方法有两种：基于Lanczos算法的精确对角化法，只求出系统的低能状态。
这种方法只能处理很小的系统。
基于数值重整化群（Numerical Renor malization Group，简称NRG）的重整化方法，可以计算很大的系统。
重整化的一般思想是：减少系统的自由度，并在这个缩减的空间中，通过特定的重整化技巧，在迭代过程中保持系统的自由度数不变，并使约化系统最终收敛到真正系统的低能态中。
然而，NRG一般只适用在杂质系统中，当演算一般的格点系统，如赫巴德模型（Hubb ard model）时，往往出现很大的误差。
史提芬˙怀特最先意识到，N RG在演算Hubbard模型中的失败，是由于在NRG的迭代过程中忽略了环境对系统的影响，这是一个边界条件问题。
换句话说，NRG 的重整化方法——只保留低能量本征态——并不能正确得出下一次迭代时的低能状态。
DMRG的重整化方法不同于NRG。
DMRG在重整化前，把整个系统视为两个部分，一部份为系统，一部份为环境，而系统和环境的整体称为超块。
接着，计算超块的基态，有了基态之后便计算约化密度矩阵，然后对角化这个约化密度矩阵，选出拥有较大的本征值的本征态。
——<<Density Matrix Methods forSemiconductor CoulombDynamicsJAMES W.DUFTY,1CHANG SUB KIM,2MICHAEL BONITZ,3ROLF BINDER41Department of Physics,University of Florida,Gainesville,Florida326112Department of Physics,Chonnam National University,Kwangju500-757,South Korea3Universitat Rostock,Fachbereich Physik,Universitatsplatz3,Rostock18051,Germany¨¨4Optical Sciences Center,University of Arizona,Tucson,Arizona85721Received29March1997;revised28April1997;accepted8May1997ABSTRACT:Current experiments on semiconductor devices using femtosecond lasersprovide new theoretical challenges for the description of charge carrier dynamics.Amongthe new features of such experiments are states driven very far from equilibrium andprobes on time scales short compared to scattering and other characteristic materialrelaxation times.Standard many-body methods must be modified and extended toaccommodate these features.We propose that the quantum hierarchy for reduced densityoperators is an ideal formulation of such initial value problems and describe how thedominant effects of exchange and charge correlations can be accounted for in a simpleand physically transparent closure of the hierarchy of equations.The transformations,approximations,and interpretation can be accomplished independent of any particularmatrix representation.Decomposition into kinetic equations for band occupation densitiesand polarization densities follows in a straightforward way after the many-body problemhas been brought under control.ᮊ1997John Wiley&Sons,Inc.Int J Quant Chem65:929᎐940,1997Correspondence to:J.W.Dufty.Contract grant sponsor:NSF.Contract grant numbers:INT9414072;PHY9312723.Contract grant sponsors:KOSEF;KRF.DUFTY ET AL.Introductionor the past decade,the fabrication of ultra-F small devices and associated developments in laser technology for exploration of their proper-ties have raised important theoretical questions, both conceptual and practical.In particular,the short times sampled in femtosecond laser studies and the wealth of potential information from dif-ferent initial preparations call for a description ofŽ. Coulomb kinetics e.g.,electrons and holes far from equilibrium,extending from initial times to times long compared to the characteristic collisionw xtimes and dephasing times1,2.Such theoretical considerations already have been explored in other contexts,such as transport in simple classical liq-w x w x uids and plasmas3and for nuclear matter4, but their experimental relevance in these cases has been less compelling.The objective here is to for-mulate the problem of Coulomb kinetics in terms of the fundamental exact first two hierarchy equa-tions for the one-and two-particle reduced density operators.Practical applications result from an approximate closure of the two-particle equation subject to important constraints on acceptable ap-proximations associated with conservation laws, representability,stationary solutions,and quan-tum statistics.These structural properties are inde-pendent of considerations of classical or quantum effects and do not rely on the matrix representa-tion appropriate to the specific problem.The theo-retical analysis of a given approximation occurs at the compact abstract level for greatest simplicity and generality and in a formulation that allows exploitation of previous work on classical systems.This approach is illustrated for a simple two-band model of a semiconductor,to show how corrections to the semiconductor Bloch equations can be constructed to include the effects of scatter-ing and dynamic screening.In this discussion,only electron᎐electron and electron᎐laser interactions are considered;the lattice is presumed to be rigid.A simple closure approximation including exact three-particle exchange correlations and all resid-ual pair correlations is indicated and its content discussed.Solution of the two-particle equation gives the two-particle reduced density operator as a functional of the one-particle density operator. Use of this result in the first hierarchy equation for the one-particle density operator gives a closed kinetic equation.The resulting non-Markovian ki-netic equation describes the evolution of an arbi-trary initial preparation from asymptotically short times to the long-time Boltzmann limit.The short time evolution includes the buildup of dynamical Ž.screening polarization effects;at long times,the Boltzmann scattering rates are determined from the full T-matrix rather than from the weak cou-pling Born approximation.In this brief presentation,only the theoretical structure and method are described as an overview of the general approach to carrier dynamics.More detailed calculations based on the approximation suggested here are in progress.Reduced Density Operators and HierarchyWe consider N electrons interacting with a rigid ionic lattice,with overall charge neutrality.The electrons interact with the lattice and with each other via bare Coulomb potentials.In addition,Ž. they interact with a classical i.e.,many photonŽ.transverse electric field,E t via a dipole interac-tion.The Hamiltonian for the system is thenNŽ.Ž.Ž.Ž.H t s H q U q U t,H s h i1Ý0e x t00i s1N1Ž.Ž.Ž.U s V i,j,U s yиE t,2Ýe x t2i/jŽ.where h i is the single-particle Bloch Hamilto-0nian for interaction of electron i with the lattice,Ž.V i,j is the Coulomb potential for interaction ofNŽ.electrons i,j,andsÝi is the total dipolei s1moment due to all electrons.The external field Ž.E t characterizes the laser field,which may have a very short time scale in some pump experiments, but may also represent a longer time driving field with a duration comparable to various dephasing mechanisms.The details of this field are not im-portant for the formal considerations here,but can play a role in the numerical method used to solve the equations.The eigenvalue problem for the Bloch Hamiltonian is described byŽ.Ž.Ž.Ž.hk s⑀kk,30␣␣␣where␣denotes the band index,and k,the mo-Žmentum quantum number here and in the follow-.ing we setបs1.SEMICONDUCTOR COULOMB DYNAMICSThe initial state of the system is defined by an Ž.N -particle density operator,1,...,N .This could be the Gibbs distribution if the electron ᎐lattice system is initially in equilibrium,but it is not necessary to specify its form at this point .Im-plicit in the definition of the density matrix is an N -particle symmetrization operator so that a repre-sentation of its matrix elements in terms of unsym-metrized products of single particle states is possi-w x ble 5.This is an important feature that will be exploited in the next section to extract the ex-change correlation of the reduced density opera-Ž.tors associated with 1,...,N .The time evolu-tion of the density operator is governed by the Liouville ᎐von Neumann equationŽ.w Ž.Ž.x Ž.Ѩt q i H t ,t s 0.4t The reduced density operators for m particles are defined byŽm .Ž.m Ž.Ž.f 1,...,m ;t s N Tr t .5m q 1...N The notation on the right side indicates a trace over the degrees of freedom associated with parti-cles m q 1through N .More precisely,in matrix representation,it denotes summation over the di-agonal quantum numbers for these particles .The reduced density operators f Žm .inherit an M -par-ticle symmetrization operator from the corre-sponding N -particle symmetrization operator in .ŽThe BBGKY Born,Bogoliubov,Green,Kirkwood,.w x Yvon hierarchy equations 5,6for the time de-pendence of the reduced distribution functions now follow directly from a partial trace of the Liouville ᎐von Neumann equation,mŽm .Ž.ŽŽ.Ž.Ž..Ѩf1,...,m ;t qih i y i иE t ,Ýt 0i s 1Žm .Ž.f 1,...,m ;t mŽm .w Ž.Ž.xq i V i ,j ,f 1,...,m ;t Ýi /j mw Ž.s yTr i V i ,m q 1,Ým q 1i s 1Žm q 1.Ž.x Ž.f 1,...,m q 1;t .6The left side of this equation is just the Liouville ᎐von Neumann equation for m isolated particles .The right side expresses a coupling to theother degrees of freedom through the Coulomb interactions .In the following,it will be sufficient to consider only the cases with m s 1and 2,Ž1.Ž.w Ž.Ž1.Ž.xѨf 1;t q i H 1;t ,f 1;t t w Ž.Ž2.Ž.x Ž.q Tr i V 1,2,f 1,2;t s 072Ž2.Ž.w Ž.Ž2.Ž.xѨf 1,2;t q i H 1,2;t ,f 1,2;t t 2Ž3.w Ž.Ž.x Ž.qTr i V i ,3,f 1,2,3;t s 0,8Ý3i s 1where the single-particle and two-particle Hamil-tonians are given byŽ.Ž.Ž.Ž.Ž.H 1;t s h 1y 1иE t H 1,2;t 02ŽŽ.Ž.Ž..Ž.Ž.sh i y i иE t q V 1,2.9Ý0i s 1These equations are exact but formal since they are not closed in terms of f Ž1.and f Ž2.alone .It is necessary to construct a suitable approximation that expresses f Ž3.as a functional of f Ž1.and f Ž2..Ž.Ž.Then Eqs .7and 8provide the means to calcu-late f Ž1.and f Ž2..In particular,if the equation for f Ž2.is solved as a functional of f Ž1.,i .e .,Ž2.Ž.Ž2.ŽŽ1..Ž.f 1,2;t s F 1,2;t N f ,10then use of this solution in the first hierarchy Eq .Ž.Ž1.7provides a closed kinetic equation for f :Ž1.Ž.w Ž.Ž1.Ž.xѨf 1;t q i H 1;t ,f 1;t t w Ž.Ž2.ŽŽ1..x Ž.q Tr i V 1,2,F 1,2;t N f s 0.112This is the approach proposed here for obtaining the appropriate kinetic equation for charge carri-ers .The procedure is representation-independent,and as a first-order equation in time,it is appropri-ately posed as an initial value problem .This is in contrast to the alternative nonequilibrium Keldysh Green’s function method which requires a detailed reconstruction of the specified initial conditions w x from an artificial past history 7.Exact Exchange Effects and CorrelationsThere are two important sources of correlations among the charge carriers .One is due to the long-range Coulomb interaction,while the other is due to the exchange symmetry among particles of theDUFTY ET AL.same species .It is useful to extract explicitly the dominant effects due to exchange symmetry by identifying the exchange operators implicit in the definitions of the reduced density operators .This will allow a more controlled identification of the residual correlations due to Coulomb interactions .The two-and three-particle reduced density opera-tors are expressed asŽ2.Ž2.Ž.Ž.Ž.f 1,2;t '1,2;t S 1,2Ž2.Ž.Ž.Ž.s S 1,2f 1,2;t 12Ž3.Ž3.Ž.Ž.Ž.f 1,2,3;t '1,2,3;t S 1,2,3Ž3.Ž.Ž.Ž.s S 1,2,3f1,2,3;t ,13Ž.Ž.where S 1,2and S 1,2,3are the two-and three-particle antisymmetrization operators that convert product states for two and three electrons into antisymmetric states,respectively .Such sym-metrization factors occur necessarily from the defi-nition of the underlying N -particle density matrix .The last equality follows from the permutation symmetry of the reduced density operators and of the symmetrization operators .Next,the correlation Ž2.Ž.operators associated with 1,2;t and Ž3.Ž.f 1,2,3;t are introduced:Ž2.Ž1.Ž1.Ž.Ž.Ž.Ž.Ž.1,2;t 'f 1;t f 2;t q g 1,2;t 14Ž3.Ž.1,2,3;t Ž1.Ž.Ž1.Ž.Ž1.Ž.'f 1;t f 2;t f 3;t Ž1.Ž1.Ž.Ž.Ž.Ž.q f 1;t g 2,3;t q f 2;t g 1,3;t Ž1.Ž.Ž.Ž.Ž.q f 3;t g 1,2;t q g 1,2,3;t .15Since the symmetrization operators have been ex-Ž.Ž.tracted explicitly in 12and 13,the correlationŽ.Ž.functions g 1,2;t and g 1,2,3;t are primarily measures of correlations due to the Coulomb inter-actions .Conversely,even when there are no corre-Ž2.Ž3.Ž.Ž.lations in 1,2;t and 1,2,3;t ,the distri-Ž2.Ž.Ž3.Ž.bution functions f 1,2;t and f 1,2,3;t have two-and three-particle correlations induced by the antisymmetrization operators .Therefore,it is use-ful to rewrite the first two hierarchy equations in Ž.Ž.terms of g 1,2;t and g 1,2,3;t .The first equa-tion becomesŽ1.Ž.w Ž.Ž1.Ž.xѨf 1;t q i H 1;t ,f 1;t t Ž1.Ž1.Ž.Ž.Ž.q Tr i V 1,2,f 1;t f 2;t 2s w Ž.Ž.x Ž.q Tr i V 1,2,g 1,2;t s 0,162s Ž.Ž.Ž.where V 1,2'V 1,2S 1,2is the pair potential s with exchange effects .The left side of this equation is recognized as generating the time-dependent Hartree ᎐Fock dynamics so the equation becomesŽ1.Ž1.Ž.Ž.Ž.Ѩf 1;t q i H 1;t ,f 1;t t h f w Ž.Ž.x Ž.s y Tr i V 1,2,g 1,2;t ,172s where the Hartree ᎐Fock Hamiltonian isŽ.Ž.Ž.H 1;t s H 1;t q V 1;t ,h f h f Ž.Ž1.Ž.Ž.Ž.V 1;t 'Tr f 2;t V 1,2.18h f 2s This is the expected result:The mean-field Hartree ᎐Fock dynamics is modified by a coupling to other electrons due to the presence of Coulomb correlations .Ž.The equation for the correlations,g 1,2;t ,fol-lows from the second hierarchy equation .The ef-fects of the symmetrization operators are evalu-ated in detail in the Appendix leading to the exact Ž.equation for g 1,2;t :ˆŽ.Ž.Ž.Ѩg 1,2;t q i H1,2;t g 1,2;t t †ˆŽ.Ž.y g 1,2;t H1,2;t Ž1.Ž.Ž.q Tr i V 1,3,f 1;t Ä3s Ž.Ž.=g 2,3;t S 2,3Ž1.Ž.Ž.q V 2,3,f 2;t s Ž.Ž.=g 1,3;t S 1,34ˆŽ1.Ž1.Ž.Ž.Ž.s y i V1,2;t f 1;t f 2;t ÄŽ1.Ž1.ˆ†Ž.Ž.Ž.y f 1;t f 2;t V1,2;t 42w Ž.Ž.yTr i V j ,3,g 1,2,3;t Ý3j s 1Ž.x Ž.=1y P y P ,191323with the definitionsˆˆŽ.Ž.Ž.Ž.H1,2;t s H 1;t q H 2;t q V 1,2;t h f h f Ž.20ˆŽ1.Ž1.Ž.ÄŽ.Ž.4Ž.V1,2;t '1y f 1;t y f 2;t V 1,2.Ž.21The first two terms on the left side describe pairˆŽ.dynamics generated by the Hamiltonian H1,2;t .Ž.This Hamiltonian differs from H 1,2in two im-portant ways:First,the single-particle energies are renormalized to the mean-field Hartree ᎐Fock energies .Second,the pair potential is modifiedSEMICONDUCTOR COULOMB DYNAMICSÄŽ1.Ž.Ž1.Ž.4by the prefactor1y f1;t y f2;t describ-ing‘‘blocking’’effects of the statistics.To seeÄŽ1.Ž.Ž1.Ž.4 this,note that1y f1;t y f2;t s ÄŽ1.Ž.Ž1.Ž.Ž1.Ž.Ž1.Ž.4h1;t h2;t y f1;t f2;t,where Ž1.Ž.Ž1.Ž.h1;t s1y f1;t is the‘‘hole’’occupancy.ˆŽ. Thus,the matrix elements of V1,2;t are re-stricted according to the occupation of carrier den-sity in the nonequilibrium state.Both the blockingˆŽ.and mean-field effects in H1,2;t account forsignificant many-particle correlations in this effec-tive pair dynamics.The third and fourth terms onthe left side describe polarization or screening ef-fects that are essential for a proper treatment of thelong-ranged Coulomb interactions.In the classicallimit,these are the linearized Vlasov operatorsleading to the Debye᎐Huckel dynamic screening¨and pair correlations.Here,these operators gener-ate the random phase or chain approximation in-cluding exchange effects.The first term on theŽ.right side of20is a source of correlations due toˆŽ.the‘‘commutator’’of V1,2;t with the uncorre-Ž1.Ž.Ž1.Ž.lated pair operator f1;t f2;t;equivalently,the time derivative of the uncorrelated state iscorrelated due to the Coulomb interactions.Here,this source of correlations is due to the pair inter-action including blocking effects.Finally,all resid-ual many-body effects are contained in the lastterm on the right side describing three-particlecorrelations not associated solely with three-par-ticle exchange effects.Ž.Ž.Equations17and20are still exact and fullyŽ.Ž.equivalent to Eqs.7and8.However,the analy-sis of the exchange effects and the transformationto the correlation functions provides a form inwhich the dominant mean field,polarization,andblocking effects are made explicit.This is a moreconvenient form for introduction of appropriate approximations or application to specific prob-lems.Bloch RepresentationThe above analysis has used only the abstract operator form of the reduced density operators and associated hierarchy equations.Specific appli-cations require a particular matrix representation. For example,a fully ionized plasma might best be described in terms of single-particle momentum states.To show the relationship of the density matrix approach to the standard equations of semiconductor physics,we consider a representa-Ž.²:Ž.: tion using Bloch statesr s r N␣k,h1N␣k␣kŽ.:s⑀k N␣k.Only the first hierarchy equation ␣will be considered;the analysis for the second equation is similar:Ž1.Ž1.Ž.Ž.Ž.Ž.Ѩf1;t q i H1;t,f1;t q C1;t s0, t h fŽ.22Ž.where C1;t is the‘‘collision’’operator due to pair correlationsŽ.wŽ.Ž.xŽ.C1;t s Tr i V1,2,g1,2;t.232sŽ.The band occupation densities,n k;t,and the␣Ž.polarization densities,p k;t,are defined by␣␣ЈŽ.²Ž1.Ž.:n k;t'␣k N f t N␣k␣Ž.²Ž1.Ž.:Ž.p k;t'␣k N f t N␣Јk,24␣␣Јwhere the band indices␣/␣Јin the definition ofŽ.the polarization density p k;t.To simplify the␣␣Јdiscussion,we consider the case of only two bands Ž.conduction and valence.Also,we consider only homogeneous states,so that the one-particle den-sity matrix is diagonal in the wave vector,k.The equations are then found to beŽ.²Ž.:Ž.Ѩn k;t y2Im␣k N H1;t N␣Јk p k;tÄ4 t␣h f␣Ј␣Ž.Ž.q C k;t s025␣␣Ž.²Ž.:Ѩp k;t q i␣k N H1;t N␣kt␣␣Јh f²Ž.<:Ž.y␣Јk N H1;t␣Јk p k;th f␣␣Ј²Ž.:q i␣k N H1;t N␣Јkh fwŽ.Ž.x=n k;t y n k;t␣Ј␣Ž.Ž.q C k;t s0,26␣␣Јwhere it is understood that␣/␣Ј.The matrix elements in these equations are easily evaluated:²Ž.:␣k N H1;t Nkh fŽ.²:Ž.Ž. s⑀k␦q␣k N V Nk y E tи,27␣␣,h f␣Ž.²:Ž. wherek'␣k NNk.Equations25and ␣Ž.26then becomeŽ.²:Ž.Ѩn k;t y2Im␣k N V N␣Јk y E tиÄt␣h f␣␣ЈŽ.Ž.Ž.=p k;t q C k;t s0284␣Ј␣␣␣Ž.²Ž.:Ѩp k;t q i␣k N H1;t N␣kt␣␣Јh f²Ž.:Ž.y␣Јk N H1;t N␣Јk p k;th f␣␣Ј²:Ž.q i␣k N V N␣Јk y E tиh f␣␣ЈŽŽ.Ž..Ž.=n k;t y n k;t q C k;t s0.␣Ј␣␣␣ЈŽ.29DUFTY ET AL.The matrix elements of the Hartree ᎐Fock potential are easily evaluated and the resulting equations Ž.Ž.for n k ;t and p k ;t are found to be␣␣␣ЈŽ.ŽŽ.Ž..Ѩn k ;t q 2Im E t иp k ;t t c c v v c ˜Ž.w Ž.Ž.q 2Im Vq n k q q ;t I k ,y q Ýc cc qUŽ.Ž.=I k ,y q q n k q q ;t v c v Ž.UŽ.=I k ,y q I k ,y qc v v v Ž.Ž.UŽ.q p k q q ;t I k ,y q I k ,y qc v cc v v Ž.Ž.U Ž.x Ž.q p k q q ;t I k ,y q I k ,y qp k ;t v c c v v c v c Ž.Ž.q C k ;t s 030cc Ž.ŽŽ.Ž.Ž.Ѩp k ;t q i ⑀k y ⑀k y E t t c v c v w x .Ž.иy p k ;t cc v v c v ˜Ž.Ž.y i Vq n k q q ;t Ýc q<Ž.<2<Ž.<2=I k ,y q y I k ,y q Ž.cc v c Ž.<Ž.<2<Ž.<2q n k q q ;t I k ,y q y I k ,y q Ž.v c v v v Ž.ŽŽ.UŽ.q 2p k q q ;t Re I k ,y q I k ,y q c v cc c v Ž.UŽ..Ž.x y I k ,y q I k ,y q p k ;tv c v v c v ˜Ž.w Ž.y iVq n k q q ;t Ýc ½qŽ.U Ž.Ž.=I k ,y q I k ,y q q n k q q ;t cc v c v Ž.U Ž.=I k ,y q I k ,y qc v v v Ž.q p k q q ;t c v Ž.U Ž.Ž.=I k ,y q I k ,y q q p k q q ;t cc v v v c Ž.U Ž.x=I k ,y q I k ,y q c v v c Ž.q E t иc v5ŽŽ.Ž..Ž.Ž.=n k ;t y n k ;t q C k ;t s 0.31v c c v Ž.Here,I k ,q arises from the Coulomb matrix␣␣Јelements²<<X X X X :␣k ;␣k V ␣k ;␣k 11222211˜Ž.X X X s ␦Vq ␦Ýk q k ,k q k k ,k q q 121211qŽ.Ž.Ž.X X =I k ,y q I k ,q 32␣␣1␣␣21122Ž.i q иr U Ž.Ž.I k ,q 'd r er r H ␣␣Ј␣k ␣Јk y q UŽ.Ž.s I k y q ,y q 33␣Ј␣˜Ž.and Vq is the Fourier-transformed pair potential .The valence and conduction occupation numbers Ž.Ž.are related by n k ;t q n k ;t s constant,and c q the polarization densities are related by p s p †.c v v c These are the most general hierarchy equations .Ž.The matrix elements C k ;t describe both ␣␣Јinter-and intraband collisions and can be ex-pressed in terms of the matrix elements of the Ž.Ž.correlation function g 1,2;t using 23Ž.C k ;t ␣␣Ј²<Äw Ž.Ž.x 4<:s ␣k Tr i V 1,2,g 1,2;t ␣Јk 2s IJ<<:s i␣k ;k V k ;k ÝÝ11s 2233,,k ,k ,k 123123²<<:=k ;k g ␣Јk ;k 223311²<<:y ␣k ;k g k ;k 112233²<<:4Ž.=k ;k V ␣Јk ;k .342233s 11Further reduction follows from substitution of theŽ.Coulomb matrix element 32.In practice,the relevant values of q may be sufficiently small to justify the approximation Ž.Ž.I k ,q ªI k ,0s ␦.Then,these equations ␣,␣␣,simplify to the usual formsŽ.ŽŽ.Ž..Ѩn k ;t q 2Im E t иp k ;t t c c v v c ˜Ž.Ž.Ž.q 2Im Vq p k q q ;t p k ;t Ýc v v c qŽ.Ž.q C k ;t s 035cc Ž.ŽŽ.Ž.Ž.Ѩp k ;t q i ⑀k y ⑀k y E t t c v c v w x .Ž.иy p k ;t ␣␣␣Ј␣Јc v ˜Ž.w Ž.Ž.x y i Vq n k q q ;t y n k q q ;t Ýc v qŽ.=p k ;t c v ˜Ž.Ž.Ž.y iV q p k q q ;t q E t иÝc v c v½5qŽŽ.Ž..=n k ;t y n k ;t v c Ž.Ž.q C k ;t s 0,36c vSEMICONDUCTOR COULOMB DYNAMICSwith the collision matrix elementsŽ.C k ;t cc ˜Ž.s y 2ImVq Ýq /0,k 1IJ<<:=c k y q ;c k q q g c k ;c k 11²<<:q c k y q ;k q q g c k ;k 11²<<:y c k q q ;c k y q g c k ;c k 11²<<:4Ž.y v k q q ;c k y q g c k ;v k 3711Ž.C k ;t c ˜Ž.s y 2ImVq Ýq /0,k 1IJ<<:=c k y q ;c k q q g v k ;c k 11²<<:4q c k y q ;v k q q g v k ;v k 11˜Ž.IJ<<:yVq c k q q ;c k y q g v k ;c k Ý11q /0,k 1²<<:q v k q q ;c k y q g v k ;v k 11²<<:y c k ;c k g c k q q ;v k y q 11²<<:4Ž.y c k ;v k g v k q q ;v k y q .3811Aside from the small q limitation of theCoulomb matrix elements,the above equations are Ž.still exact .The detailed dependence of C k ;t ␣␣ЈŽ.Ž.on n k ;t and p k ;t requires specification of ␣␣␣ЈŽ1.Ž.Ž.g 1,2;t as a functional of f 1;t .This follows Ž.from an approximate solution to Eq .19.To illus-trate the procedure,consider the weak coupling Ž.limit in which g 1,2;t is evaluated to first order Ž.in the Coulomb interactions .Since g 1,2,3;t oc-Ž.Ž.curs in 19multiplied by V 1,2,it is sufficient to Ž.evaluate g 1,2,3;t to zeroth order in the poten-tial .However,since the correlations due to statis-tics have already been extracted,the three-particle correlation function vanishes to this order .Also,since the source term on the right side is of first Ž.order in the potential,then g 1,2;t also is of first Ž.order .Thus,all explicit dependence on V 1,2can be neglected on the left side of the equation,lead-ing to the weak coupling equationŽ.w ŽŽ.Ž..Ž.xѨg 1,2;t q i H 1q H 2,g 1,2;t t ˆŽ1.Ž1.Ž.Ž.Ž.s y i V1,2;t f 1;t f2;t ÄŽ1.Ž1.ˆ†Ž.Ž.Ž.Ž.y f1;t f2;t V1,2;t ,394with the solutiony i ŽH Ž1.q H Ž2..t i ŽH Ž1.q H Ž2..tŽ.Ž.g 1,2;t s e g 1,2;0e ti ŽH Ž1.q H Ž2..Žt y .y id eH 0ˆŽ1.Ž1.Ž.Ž.Ž.=V1,2;f 1;f 2;ÄŽ1.Ž.y f 1;Ž1.ˆ†i ŽH Ž1.q H Ž2..Žt y .Ž.Ž.=f 2;V1,2;e .4Ž.40Ž.Since the Hamiltonian H 1is diagonal in the Bloch representation,it is straightforward to calcu-Ž.Ž.late the matrix elements of g 1,2;t given by 40and obtain the collision operator as a quartic func-ˆw Ž.tion of the occupation numbers recall V1,2;t 'ÄŽ1.Ž.Ž1.Ž.4Ž.x 1y f 1;t y f 2;t V 1,2.The result is a generalization of the Born ᎐Boltzmann collision op-erator,extended to include the effects of initial correlations and non-Markovian effects at short times .In the long time limit,it becomes exactly the Uhlenbeck ᎐Boltzmann collision operator with scattering calculated in the Born approximation .An improved approximation appropriate for most current experimental conditions is described in the next section,where strong scattering and polariza-tion effects are accounted for as well .Pair Correlation ApproximationŽ.The exact transformed hierarchy Eq .19for Ž.g 1,2;t is an appropriate form for the introduc-tion of approximations since it makes explicit the physical mechanisms for renormalized single-par-ticle states,blocking in the pair dynamics,and dynamic screening .The approximations entail some statement about the three-particle correla-Ž.tions in g 1,2,3;t .More specifically,the approxi-Ž.mation should give g 1,2,3;t in terms of the pair correlations and one-particle distribution function,so that the first two hierarchy equations become Ž1.Ž.Ž.closed equations for f 1;t and g 1,2;t .The formal solution to the second equation provides Ž.the functional in 10required for a kinetic equa-tionŽ2.ŽŽ1..F 1,2;t N f Ž1.Ž1.Ž1.ÄŽ.Ž.Ž.4Ž.s f 1;t f 2;t q g 1,2;t N f S 1,2.Ž.41DUFTY ET AL.In general,there is no small parameter on which to base a systematic expansion.However,there are exact structural properties of the hierarchy equa-tion that impose important constraints on the class of approximations considered acceptable.For ex-ample,the single-particle reduced density operator is representable as a trace over the two-particleŽ1.Ž.Ž2. reduced density operator,Nf1;t s Tr f2Ž.1,2;t and,therefore,the exact first hierarchyŽ1.Ž.equation for f1;t should result from a partial trace over any acceptable approximate closure of the second hierarchy equation.Additional con-straints follow from the invariance of the hierarchy equations under symmetry transformations de-Žrived from the Hamiltonian e.g.,rotations,trans-.lations,Galilean boosts.An important conse-quence of these invariances is the local conserva-tion laws for mass,energy,and momentum.Con-straints imposed by the requirement of exactw x conservation laws are discussed in5,8,9.Other constraints can be included as well.For example,if the reduced density operators for the equilibrium state are known,it can be required that they are also solutions to the approximate hierarchy equa-tions.In this way,the class of approximations can be assured to have the most important properties of the exact hierarchy in a context that does not imply weak coupling or other small parameter limits.For long-range Coulomb interactions,it is im-portant to describe screening effects.This is in-Ž. cluded explicitly on the right side of20,as are the mean field Hartree᎐Fock-renormalized single-particle energies and the Pauli blocking effects for the pair potential.Thus,all of the important mech-anisms appear in this form even before consider-Ž.ing three-particle correlations in g1,2,3;t.Fur-w xthermore,it is shown in5that any choice for Ž.g1,2,3;t that is Hermitian and pairwise symmet-ric in the particle labels preserves both the repre-sentability of fŽ1.and the exact conservation laws. Consequently,we suggest that the residual three-Ž. particle correlations described by g1,2,3;t can be neglected entirely,except for the conditions of very strong coupling.The resulting approximation preserves the exact local conservation laws for mass,energy,and momentum and is time reversalŽinvariant.It contains strong collision effects ladder .diagrams through the dependence on the poten-ˆŽ.tial in H1,2;t and dynamical polarization effectsŽin the random-phase approximation ring dia-.grams.There are no a priori limitations on the time scale in this approximation so that a uniform treatment of the initial value problem is possible.Ž.With this approximation,Eq.19becomes aŽ1.Ž.Ž. closed equation for g1,2;t in terms of f1;t, with the formŽŽ..Ž.Ѩy L1,2;t g1,2;ttŽ1.Ž1.ˆŽ.Ž.Ž.s y i V1,2;t f1;t f2;tŽ1.Ž1.†ˆŽ.Ž.Ž.Ž.y f1;t f2;t V1,2;t.42Ž. The formal solution provides the functional in10 required for a kinetic equationŽ2.ŽŽ1..ÄŽ1.Ž.Ž1.Ž.F1,2;t N f s f1;t f2;tŽ1.Ž.4Ž.Ž.q g1,2;t N f S1,2,43Ž1.Ž.Ž.Ž. g1,2;t N f s Tr U1,2,3,4;t,t g3,4;t3400tŽ.y i Tr dtU1,2,3,4;t,tH34t0Ž1.Ž1.ˆŽ.Ž.Ž.=V3,4;t f3;t f4;tŽ1.Ž1.†ˆŽ.Ž.Ž.y f3;t f4;t V3,4;t.Ž.44Ž.Here,U1,2,3,4;t,t is the two-particle propaga-Ž.tor associated with the generator L2,2;t.Its form and reduction to familiar quantities such as scat-tering matrices and dielectric functions will bew xdiscussed elsewhere10and only the structural features noted here.The first term on the right side Ž.of44gives the pair dynamics due to initial corre-lations determined from the system preparation. The second term describes the correlation buildup even in the absence of such initial correlations. Both contributions can be of equal importance for initial value problems at short times.Ž.The collision operator in the kinetic Eq.22 reflects these two contributions:Ž.wŽ.Ž.xC1;t s y i Tr V1,2,g1,2;t2scŽ.Ž.Ž.s I1;t q I1;t45 cŽ.wŽ.I1;t s y i Tr V1,2,234sŽ.Ž.xŽ.U1,2,3,4;t,t g3,4;t4600tŽ.Ž.Ž. I1;t s y i Tr dt V1,2,U1,2,3,4;t,tH234st0Ž1.Ž1.ˆŽ.Ž.Ž.=V3,4;t f3;t f4;tÄŽ1.Ž1.†ˆŽ.Ž.Ž.Ž.y f3;t f4;t V3,4;t.474。
