专业发展前沿总结
数学科学是研究数、量的关系和空间形式的一个庞大科学体系,它包含纯粹数学、应用数学以及这二者与其它学科的交叉部分。它是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一体的学问,也是自然科学、技术科学、社会科学、管理科学等的巨大智力资源。数学为其它科学提供语言、观念和工具,它与计算机技术的紧密结合产生了可直接应用的数学技术,成为许多高、新技术的核心。按照马克思的看法,一门科学只有当它成功地应用了数学的时候,才算是成熟的科学。数学也是一种文化,在人类理性的认识世界的过程中起着重要的作用。从古时候起,数学就被当作了人类文明的一个智力顶峰。数学的传播与发展对提高国民素质、提高人们的分析与决策能力、推理与创造能力至关重要。数学研究本身则造就出一批富于创新精神的科学研究人才。推动数学发展的动力既来自于内部,即解决自身的问题,也来自于外部研究现实世界提出的模式。当今,数学科学包含了许多分支与丰富的内容,其发展的主要趋势为:数学各分支的融汇;与其它科学更加深入的交叉;以及更加自觉地扩大数学的应
用范围,使它的触角伸向几乎一切领域。
现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论
定义：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。
现代控制理论的发展过程：现代控制理论实在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术推动下发展起来的，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。这类控制问题十分复杂年，苏联科学家庞特里亚金提出了名为极大值的原理综合控制系统的心方法。1960～1961年，美国学者R.E.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论。因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究扩大，包括了更为复杂的控制问题。到60年代初，一套以状态空间法、大值原理、动态规划、卡尔曼理和方法为基础的分析和设计控制系统的新的运力和方法已经确立。
现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要方面有：线性系统理论、非线性系统理论最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。
线性系统理论是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。
金融和高科技中的数学建模、计算与运筹决策
计算科学是伴随计算机的发展而兴起的一门科学。利用计算机的计算(或模拟或仿真)
来揭示自然界以及人类社会物质生产过程中的复杂运动和现象。计算与理论和实验一起成为人们研究的三大手段。计算科学包括科学与工程计算以及高性能计算系统研制相关的数学问题。从学科内容来讲有三部分:一是包含了各科学领域内的计算性质的学科分支,如计算数学,以及与相关学科相结合的计算分支学科。二是包含了不同工程技术领域在实验与生产过程中所采用的大型计算。第三部分是与计算机科学有关的数学分支。计算科学是计算机科学、数学与相关学科相交叉融合的边缘性学科。其基础是数学,以计算(或模拟) 方法、算法以及与计算系统相关的优化问题的研究为其主要内容。我国的计算科学研究和实践曾为原子弹和氢
弹的研制、人造卫星上天、远程运载火箭的发射、以及在国民经济的重要领域,例如石油的勘探和开发、天气预报等方面做出了重大贡献。对我国的科技进步、经济增长、国防建设所起的作用是非常明显的。计算科学是当今世界上前沿的领域。欧美国家已率先进行计算科学的研究,并已为宇航、医学、核聚变等事业的发展作出了巨大贡献。计算科学在我国有相当扎实的基础,已有一些基地,分别以计算数学、运筹学、计算物理、机器证明等为主要研究方向,培养了大批人才,形成了合理的梯队结构。在有些方向上,我国的研究处于世界先进水平。随着高性能计算机的发展和以信息高速公路为标志的世界信息社会的逐步到来,计算科学将面对许多新提出的数学问题。面对每秒上亿次运算的超级计算机,在计算科学中需要大力发展数值、解析、图象和智能等各种方法。我们把寻找与计算机结构和网络相适应的,较准确反映复杂现象物理特性的计算(或模拟) 方法、算法以及相关的优化问题的基础数学理论研究作为重点。具体一点讲,提出以下有关的科学问题和研究方向：
1 数学物理问题的高性能计算方法由于大量的科学与工程计算中涉及到非规则的复杂结构、非均匀的复合材料、非线性的动力系统、奇性区域、活动边界、带约束等各种复杂的数学物理问题,要求进行大规模和高精度计算,必须发展新的高性能计算方法和适合并行快速计算和具有自适应能力的新型算法。这涉及到数值代数、数值逼近、常及偏微分方程的数值求解以及数理方程反演问题(包括反问题和不适定问题) 的数值计算的各种方法。例如,区域分解算法、保辛等结构算法等。
3. 2 高维流体动力学计算方法
由于高性能计算机的发展,已使高维计算成为可能。但计算方法还远远跟不上发展需要。预计可着重发展的方法有高分辨率的计算方法、粒子模拟方法、湍流或混沌的数值计算方法包含有多种复杂物理过程或带有化学反应过程的流体动力学计算方法、高温高压辐射流体动力学计算方法以及流体力学的并行计算和可视化技术的研究等。
3. 3 数学机械化和现代组合方法
随着计算机的发展和科学的进步,构造性数学的重要性越来越大。以用符号计算的手段进行推理运算为特征的数学机械化是我国的优势项目,在几何定理和不等式的证明以及解析公式的推导等方面取得卓越成就,应当继续大力发展。数字化技术的迅猛发展,呼唤着计算机代数和现代几何方法的更大发展,特别是在用代数、数论、分析和几何的方法研究以下诸课题方面取得突破:计算代数、计算群论、计算数论、符号演算、组合计数、群与图、图谱理论、编码学等。
3. 4 高维、定性和不完全数据的统计分析
生态、环境、地球物理等领域的数据大都是高维的;在医学、生物、以及社会经济调查中所得的数据有不少是定性的;工程技术中由于观察、实验、记录等各种原因,所得的数据会不完全,出现缺失或删失(如实验必须结束,而有的样品还没有失效数据。这些高维、定性、不完全数据的统计分析对近代社会科学的研究、高新技术的发展有着密切的联系。寻求高维数据的内在特征,刻划定性数据的互相关系,从不完全数据中充分提取有关的信息,这些应是统计分
析方法研究的重点。
3. 5 经济和高科技中的统计建模、推断与计算
社会、经济领域中,需要通过调查、仿真、模拟来探索一些规律,抽样调查的理论和方法提供了良好的手段。一些新的建模方法,如部分线性、条件方差非线性模型更加符合实际,向统计学提出了新的问题。给统计分析和推断有很强力的推动,半参数模型,非参数方法有了迅速的发展。一些高新技术,如生命科学中DNA 序列和蛋白质结构的研究,信息科学中文字、图象、语音的识别,都要求有合适的统计分析模型。在航天、航空技术中,通过仿真、模拟以及虚拟的手段来作“计算机试验”,这些也需要统计的试验设计理论和方法,并已形成了国际上的新方向。数学中大规模总体极值的随机优化、高阶偏微分方程的随机有限元算法,以及求解高
维积分的蒙特卡罗方法等,都是数学向统计提出一些新的要求,形成了统计与计算的结合点。在社会、经济的决策过程中,在人工智能的技术中,贝叶斯推断的理论和方法受到了广泛的注意,并已成为解决问题的重要工具。
3. 6 大规模、高复杂性问题的最优化方法
最优化理论和方法是大规模、高复杂系统的科学决策和管理中的重大课题。其主要科学问题和研究方向为:大规模线性和非线性规划;
非光滑优化,变分不等式与互补问题;
向量极值问题;
总体极值问题;
拟陈最优化理论与算法;
网络最优化,图和超图理论及信息存储和传输中的优化问题;
组合几何中的离散优化问题;
对策论。
3. 7 金融、财政中的数学问题
在国家的金融财政和金融市场中有大量数学问题。例如,如何组织抽样调查来评估国家财政状况,摸清税收潜力;如何用对策论观点,制定合适的税收政策,促进经济发展,增加国家财政收入;如何分析、控制与防范金融市场中的风险;如何在风险环境下进行投资决策;如何优化管理外汇储备、国债发行、利率期限等。我国的数学工作者对上述这类问题都进行过长期探索和深入研究。这类问题的共同特点是都带有起本质作用的不确定因素和不完全信息,以及人们必须在这样的环境下作出对自身最有利的决策,有时这种决策还必须随时进行再调整。因此,时间序列分析、最优化理论、随机控制、对策论等研究都显得十分重要。近年来由于金融市场需要所形成的金融数学研究,更是涉及随机分析、非线性分析、偏微分方程等许多很深的数学领域。