高中数学向量专项练习
一、选择题
1．已知向量(1,),(1,),a x b x ==-r r 若(2).a b b -⊥r r r
则a =r （ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．4 2．化简+
+
+
的结果是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-v v
，若2a b +v v 与a v 垂直，则m =（ ）
A ．-3
B ．3
C ．-8
D ．8
4．已知向量(1,1)a =-r ，(1,)b m =r ，若(2)4a b a -?=r r r
，则m =（）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
5．设向量(12)a =-r ，
,(1)b m =r ，，若向量a r 与b r
平行，则a b ?=r r A ．27- B ．21- C ．23 D ．2
5
6．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ?=u u u r u u u r
（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
7．在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =u u u v u u u v ，则AD =u u u v
（ ）
A ．1233AC A
B +u u u v u u u v B ．5233AB A
C -u u u v u u u v C ．2133AC AB -u u u v u u u v
D ．2133
AC AB +u u u
v u u u v
8．在ABC ?中，已知90BAC ∠=o ，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ?u u u r u u u r
的值为
（ ）．
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
9．已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→
→
=+=+若()()m n m n →
→
→
→
+⊥-，则=λ（ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-
10．已知向量(12)=，a ，(4)x =，b ，若向量//a b ，则实数的x 值为 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8- 11．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则2+=a b
A ．()1,5-
B ．()1,5
C ．()1,6-
D ．()1,6 12．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a b
A ．()1,5-
B ．()1,5
C ．()1,3--
D ．()1,3
13．ABC ?的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r ，且OA AB =u u u r u u u r
，则CB u u u r 在CA u u u r 方向上的
投影为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．3
14．已知向量(1,2)a =r ，向量(,2)b x =-r
，且
()a a b ⊥-r r r ，则实数x 等于（ ） A 、4- B 、4 C 、0 D 、9
15．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-r r
，且//a b r r ，则实数m 的值为 （ ）
A ．1
B ．4
C ．1-
D ．4-
16．C ?AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r 、b r
满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确
的是（ ）
A 、1b =r
B 、a b ⊥r r
C 、1a b ?=r r
D 、()
4C a b +⊥B u u u r r
r
17．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o
，则BD CD ?=u u u r u u u r
（ ）
A 、232a -
B 、234a -
C 、234a
D 、232
a 18．已知向量a ，
b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )
A ．1313-
B ．1313
C ．21313-
D ．213
13
19．已知向量a r =（1，3），b r =（-2，-6），|c r |=
，若（a r +b r ）·c r =5，则a r 与c r
的夹角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120° 20．已知向量(2,1),(5,3)a b →
→
==-，则a b →→
?的值为
A ．-1
B ．7
C ．13
D ．11
21．如图，平行四边形ABCD 中，)2,3(),0,2(-==AD AB ，则=?AC BD （ ）
A ．6-
B ．4
C ．9
D ．13
22．若向量(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r
，则BC uuu r =（ ）
A ．(1,1)
B ．(1,1)--
C ．(3,7)
D ．(3,7)--
的取值范围为
（A ）39(,
)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13
(,)24
24．已知平面向量AB u u u r
()1,2=，AC uuu r ()3,4=，则向量CB u u u r =（ ）
A ．(4,6)--
B ．(4,6)
C ．(2,2)--
D ．(2,2)
25．已知向量(2,4)a =r ，(1,1)b =-r
，则2a b -=r r
A ． （5,7）
B ． （5,9）
C ． （3,7）
D ． （3,9）
26．已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-u r r ，且//m n u r r ，则实数a ＝（ ）
A ．－1
B ．2或－1
C ．2
D ．－2
27．在ABC ?中，,AB c =u u u r r AC b =u u u r r 若 点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r
（ ）
A ．2133b c +r r
B ．5233c b -r r
C ．2133c b -r r
D ．2233
b c +r r
28．已知点(5,6)M -和向量(1,2)a =-r
，若3MN a =-u u u u r r ，则点N 的坐标为（ ）
A ．(3,6)-
B ．(2,0)
C ．(6,2)
D ．(2,0)-
29．在矩形ABCD 中，4,2,AB AD ==u u u r u u u r 则BA BD BC ++=u u u r u u u r u u u r
（ ）
A ．12
B ．6 C
．
．30．已知向量(1,2)a =r ,(3,1)b =r
,则b a -=r r （ ）．
A ．(2,1)-
B ．(2,1)-
C ．(2,0)
D ．(4,3)
31．若向量)1 , ( n a =与) , 4( n b =共线且方向相同，则=n （ ）
A ．
2
1
B ．1
C ．2
D ．2± 32．设,,a b c r r r 是单位向量，且0,a b ?=r r 则()()a c b c -?-r r r r
的最小值是（ ）
A
．1 B
1 C
．1
1
33．如图所示，D 是ABC V 的边AB 上的中点，记,BC a BA c ==u u u r r u u u r r
，，则向量DC u u u r （ ）
A
C
B
A ．12a c --r r
B ．12a c -+r r
C ．12
a c -r r D ．12a c +r r
34．如图，在4,30,ABC AB BC ABC AD ?==∠=o
中，是边BC 上的高，则AD AC ?u u u r u u u r
的值等于 （ ）
A ．0
B ．4
C ．8
D ．4-
35．已知平面向量b a 与的夹角为3
π
，1,223,b a b a =+==r r r r 且则（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．3
36．已知向量()()3,4,sin ,cos ,a b αα==r r
且a r 与b r 共线，则tan α=（ ）
A ．
34 B ．34- C ．43 D ．4
3- 二、填空题
37．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，D 为BC 的中点，则AD BC ?u u u r u u u r
＝_____________.
38．设(1,2)a =r ，(2,)b k =r ，若(2)a b a +⊥r r r
，则实数k 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
39．空间四边形OABC 中，OB OC =，60AOB AOC ∠=∠=?，则
cos ,OA BC <>=u u u r u u u r （ ） A ．2
1 B ．2
2 C ．12
- D ．0
40．已知向量a r ，b r ，c r 满足||=2a r ，||3b a b =?=r r r ，若(2)(23)0c a b c -?-=r r r r
，则||b c -r r 的最大值
是 ． 41．化简：
= ．
42．在ABC ?中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ?=u u u r u u u r
，则
ABC ?的面积为 ．
43．已知向量=（1，2），?=10，|+|=5
，则||= ．
44．如图，在ABCD Y 中，E 是CD 中点，BE x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r
，则x y += ．
E
D
C
45．若|a r |=1，|b r
|=2，c =a +b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为________。
46．向量22
(,22
m =-u r ），(sin ,cos ),(0,)n x x x π=∈r ，①若//m n u r r ，则tan x = ； ②若m u r 与n r 的夹角为3
π
，则x = ．
47．已知平面向量a ()1,2-=，则 a r
=_________． 48．已知|a r |=2，|b r |=4，a r ⊥（a r ＋b r ），则a r 与b r
夹角的度数为 ．
49．已知向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，则实数x 的值为 ．
50．已知向量()2,1,1a =-r
，(),1,1b t =-r ，R t ∈，若//a b r r ，则t = ．
51．已知向量(3a =r ，向量,a c r r 的夹角是3
π，2a c ?=r r
，则||r c 等于_______．
52．已知1,3a b ==r r ，它们的夹角为120o
，那么a b -=r r ．
53．已知向量a r 与b r 的夹角为45?
，且||1a =r ，||32b =r |2|a b -=r r ．
54．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为 ．
55．若等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,2BC =45ABC ∠=o
,则AC BD ?u u u r u u u r
的值为 ．
56．已知(1,3)a =-r ，(1,)b t =r ，若(2)a b a -⊥r r r ，则||b =r
.
57． 已知2a =u u r ，3b =u u r ，,a b r r
的夹角为60°，则2a b -=r r _____.
58．在ABC ?中，已知4,1AB AC ==u u u r u u u r
，且ABC ?的面积3S =AB AC ?u u u r u u u r 的值为 .
三、解答题
59．（本小题满分12分）已知向量(4,3),(1,2)==-a b ． （1）求a 与b 的夹角的余弦值；
（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值．
60．设向量(2,sin )a θ=r ，(1,cos )b θ=r
，θ为锐角．
（Ⅰ）若13
6a b ?=r r ，求sin cos θθ+的值；
（Ⅱ）若//a b r r ,求sin(2)3
π
θ+的值．
1．C 【解析】
试题分析：由已知2(3,)a b x -=r r ，因为(2).a b b -⊥r r r ，所以2
(2)3(1)0a b b x -?=?-+=r r r ，3x =±，
所以21132a x =+=+=r
．故选C ．
考点：向量垂直的坐标运算，向量的模． 2．A 【解析】 试题分析：由于=
，=，即可得出．
解：∵=，=，
∴
+
+
+
=
， 故选：A ．
考点：向量的三角形法则． 3．A 【解析】
试题分析：因为22(1,2)(4,)(2,4)a b m m +=+-=-+r
r ，又2a b +r r 与a r 垂直，所以(1,2)(2,4)m ?-+＝
22(4)0m -++=，解得3m =-，故选A ．
考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量垂直的充要条件． 4．C ． 【解析】
试题分析：由已知得2(2,2)(1,)(3,2)a b m m -=--=--r r
，
又∵(1,1)a =-r ，∴(2)324a b a m -?=+-=r r r
，∴1m =，故选C ．
考点：平面向量数量积． 5．D 【解析】
试题分析：()()()()()()21,22,221,4,22,4,12,3a b m m a b m m +=-+=--=--=--r r
r r
由两向量平行得()()1213422m m m -?=?--∴=-5
22
a b m ∴?=-+=r r
考点：向量平行的判定及向量的坐标运算
6．C 【解析】
试题分析：特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为22，以A 为原点，建立如图所示坐标系，则A （0，
0），），（），，
（2222222E C ，所以)22,2(),22,22(==，所以
222222212AC AE ?==u u u r u u u r
，故选C ．
考点：平面向量的数量积运算． 7．A 【解析】
试题分析：由于BC AC AB b c =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，因此()
22213333
AD AB BD c BC c b c b c =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r r u u u r r r r r r
．
考点：向量的加法法则．
8．C 【解析】
试题分析：因为，2CD DB =，90BAC ∠=o
，所以1()()3
AB AD AB AB BD AB AB BC ?=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
＝
1[()]3AB AB AC AB +-u u u r u u u r u u u r u u u r ＝223AB u u u
r ＋13
AB AC ?u u u r u u u r ＝223AB u u u r ＝226243?=，故选C ．
考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算．
9．B 【解析】 试
题
分
析
：
由题
(23,3),(1,1)
m n m n λ→→→→
+=+-=--，
()()()()0(23,3)(1,1)03m n m n m n m n λλ→
→
→
→
→
→
→
→
+⊥-∴+?-=?+?--=∴=-Q
考点：向量的运算，向量垂直的充要条件 10．A 【解析】
试题分析：因为两向量平行，所以可得1422x x ?=??=，故选择A 考点：向量共线的坐标表示 11．D 【解析】
试题分析：由向量的坐标运算可得：()21,6a b +=r r
,故选择D
考点：向量的坐标运算 12．A 【解析】
试题分析：根据向量的加法运算法则，可知(23,14)(1,5)a b +=-+=-r r
，故选A ．
考点：向量的加法运算．
【解析】
试题分析：由0?
=+=++OC AB AB AC OA ,并且邻边相等，所以四边形OABC 是菱形，那么CB u u u r 在CA
u u u r 方向上的投影是32
3
3230cos 0
=?=BC ． 考点：向量与平面几何的关系 14．D 【解析】
试题分析：由已知得，0=-?)(，所以（1，2）?（1-x ，4）=0，即1-x+8=0，所以x=9．故选D ． 考点：向量垂直及数量积的坐标运算． 15．D 【解析】
试题分析：因为//a b r r
，所以4022-=∴=-?-?m m )(1．故选D ．
考点：向量平行的充要条件． 16．D 【解析】
试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r r u u u r r r
Q ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=r u u u r u u u r u u u r ．
由题意知12,cos1201212b a b a b ??
=?=?=??-
=- ???
o
r r r r r
． ()()
2
422a b BC AB BC BC AB BC BC
∴+?=+?=?+r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2
12cos1202222402AB BC ??=?+=???-+= ???
o u u u r u u u r ．()
4a b BC ∴+⊥r r u u u r ．故D 正确．
考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 17．D 【解析】
试题分析：()
2222213
cos6022
BD CD BC CD CD BC CD CD BC CD a a a a ?=+?=?+=?+=+=o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故
D 正确．
考点：1向量的加减法；2向量的数量积． 18．D 【解析】
试题分析：()()(4,2)2
a b a b a ++-=
=-r r r r r ，()()(1,8)2a b a b b +--==-r r r r r ，则,a b r r
的夹角余弦值为213
cos 13||||2065
a b a b θ?===??r u r
r r ．故选D. 考点：向量的基本运算.
【解析】
试题分析：根据题意得2b a =-r r ，从而有5a c ?=-r r ，
所以1cos ,2a c a c a c
?<>==
=-?r r r r r r ，所以a r 与c r 的夹角为120o
，故选D ．
考点：向量的数量积，向量夹角余弦公式． 20．B 【解析】
试题分析：因为(2,1)(5,3)1037a b →→
?=?-=-=，所以应选B ． 考点：1、平面向量的数量积； 21．C 【解析】 试
题
分
析
:
由
图
可
知
：
)
2,5()0,2()2,3(-=--=-=AB AD BD ；
)2,1()0,2()2,3(-=+-=+= ．则922)1()5()2,1()2,5(=?+-?-=-?-=?．
考点：向量的运算． 22．B 【解析】
试题分析：因为向量(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r
，所以)1,1()4,2()3,1(A B C --=-=-=AB C ．故选B ．
考点：向量减法的坐标的运算． 23．A 【解析】
试题分析：当角A 趋近于直角时，按照平面向量基本定理则此时，向量AD 在向量AB 上的分量趋近于最大值，，又相似比求得此时x=
910，排除C ，D ，同理，若角A 趋近于平角，则此时x= 3
4
，结合选项得A 是正确的．
考点：平面向量基本定理，极限的思想． 24．C 【解析】
试题分析：由向量的减法法则()2,2--=-=,所以选C ； 考点：1．向量的减法； 25．A 【解析】
试题分析：根据向量的坐标运算可得：()()()24,81,15,7a b -=--=r r
，故选择A
考点：向量的坐标运算 26．B 【解析】
试题分析：因为//m n u r r ，所以2)1(-=-a a ，解得022
=--a a ，故21=-=a a 或，故选B ．
27．A 【解析】
试题分析：由
2BD DC
=u u u r u u u r ，可得
23
BD BC
=u u u r u u u r ，
()
221212333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b
=+=+=+-=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r r r ，故选择A
考点：平面向量基本定理
28．B 【解析】
试题分析：设点N 的坐标为(),x y ，由3MN a =-u u u u r r 可得：()()5,63,6x y -+=-，解得2
0x y =??=?
，故选择
B
考点：平面向量的坐标表示 29．C 【解析】
试题分析：由平行四边形法则可知BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ，原式即为2BD u u u r
，而BD
为矩形对角线，所以
BD ==u u u r
考点：向量的加法 30．A 【解析】
试题分析：向量减法的定义，对应坐标分别相减，即(31,12)(2,1)b a -=--=-r r
考点：向量的减法
31．C 【解析】
试题分析：两向量共线，坐标满足2
1442,2n n n =?=∴=±=时，两向量共线，所以2n =- 考点：向量共线的判定 32．A 【解析】 试
题
分
析
：
设
c
r 与
a b
+r r 的夹角为
θ
，
()
2()()0cos 1011a c b c a b c a b c c a b a b θ-?-=?-++=-++≥-++=r r r r r r r r r r r r r r r
Q
11==-考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平面向量数量积的性质及其运算律 33．C 【解析】
试题分析：因为D 是ABC V 的边AB 上的中点，所以11DB BA c =-=-u u u r u u u r r
，在BCD V 中，由向量的三角
形法则可得12
DC DB BC a c =+=-u u u r u u u r u u u r r r
，故选C ．
考点：向量加减混合运算及其几何意义 34．B 【解析】
试题分析：221
()||4,4
AD AC AD AD DC AD AB ?=?+===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 选B ．
考点：向量数量积 35．C 【解析】
试题分析：2a b +=r r
()
2
221224122a b
a a a +=∴++=∴=r r r r r
考点：向量的数量积与向量的模 36．C 【解析】
试题分析：a b r r ,
共线可知4sin 3cos αα∴=3tan 4
α∴= 考点：向量共线
37．32- 【解析】
试题分析：
22113()()()222AD BC AB AC AC AB AC AB ?=+?-=-=-
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 考点：向量数量积
38．C 【解析】
试题分析：因为)4,4(2k +=+，60212)4(214)2(-=?=+=++??⊥+k k k Θ 考点：1．平面向量的坐标运算；2．非零向量0=??⊥；3．数量积公式的坐标形式； 39．D 【解析】
试题分析：法一：如图，取BC 的中点D ，由OB OC =，可知OD BC ⊥，另一方面由
60OB OC
AOB AOC OAC OAB AC AB OA OA =??
∠=∠=?????=??=?
≌，而D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，进而
可得BC ⊥面OAD ，所以OA BC ⊥，所以cos ,0OA BC <>=u u u r u u u r
，故选D.
法二：因为()||||cos 60||||cos 60OA BC OA OC OB OA OC OA OB OA OC OA OB ?=?-=?-?=?-?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
因为
,OA OA OB OC
==，所以0OA BC ?=u u u r u u u r ，所以,90OA BC <>=?u u u r u u u r ，所以
cos ,cos900OA BC <>=?=u u u r u u u r
，故选D.
考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量的基本运算. 40．12+． 【解析】
试题分析：分析题意可知，设(1,1)A ，(3,0)B ，则a OA =r u u u r ，b OB =r u u u r
，设(,)C x y ，
∴(,)c OC x y ==r u u u r ，又∵(2)(23)0c a b c -?-=r r r r
，∴(2)(63)(2)(03)0x x y y --+--=，
而2
2
(2)(1)1x y -+-=，即点C 在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上，
∴22||(32)(01)112b c -≤-+-+=+r r
，故填：12+．
考点：平面向量数量积及其运用． 41．．
【解析】
试题分析：利用向量加法的三角形法则即可求得答案． 解：
=（
）﹣（
+
）=
﹣
=，
故答案为：．
考点：向量加减混合运算及其几何意义． 42．22【解析】
试题分析：由cos 3cos cos b C a B c B =-得sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-
()1
sin 3sin cos cos 3
B C A B B ∴+=∴=，由2BA BC ?=u u u r u u u r ，得cos 26ac B ac =∴=
1122
考点：1．正弦定理；2．向量数量积运算 43．5 【解析】
试题分析：先求出||，再求出|+|2
，问题得以解决． 解：∵向量=（1，2）， ∴||=
，
∵?=10，
∴|+|2
=||2
+||2
+2?=（5）2
，
∴||2
=25， ∴||=5
故答案为：5．
考点：平面向量数量积的运算． 44．
12 【解析】
试题分析：连接BD ，又E 为CD 的中点
所以1122
BE BD BC =
+u u u r
u u u
r u u u r 又BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ,BC AD =u u u
r u u u r
所以111()222
BE AD AB AD AD AB =-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
又BE x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r
所以1x =，12
y =- 所以12
x y +=
考点：向量的线性运算． 45．120o
【解析】
试题分析：c ⊥a ，所以()
1
001cos 2a b c a a b a a b a b
θ-=∴+=∴=-∴==r r
r r r r r r r g g g
g r r 120θ∴=o 考点：向量夹角 46．1-，512
π
．
试题分析：①：∵//m n u r r
sin )0tan 1x x x -=?=-；②：显然||||1m n ==u r r ， ∴111cos 32m n π?=??=u r r
，即1sin 222x x -=，∴1sin()42
x π-=，又∵(0,)x π∈， ∴54
6
12
x x π
π
π-
=
?=
． 考点：1．平面向量共线的坐标表示；2．平面向量数量积；3．三角恒等变形． 47．5 【解析】
试题分析：由向量的模的公式可得：
a ==r 考点：求向量的模 48． 1200 【解析】
试题分析：设a r 与b r 夹角为θ．由a r ⊥（a r ＋b r ）得，042402=?+∴=?+θcos ,b a a ，解得，2
1
-=θcos
所以?=120θ．
考点：向量的数量积及其运算律并求向量的夹角． 49．-4 【解析】
试题分析：因为向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，所以12204x x ?+?=?=- 考点：平面向量数量积证明垂直 50．-2 【解析】
试题分析：11//,2211
t
a b t -∴==∴=--r r Q ．
考点：向量共线． 51．2 【解析】
试题分析：因为2a =r ，根据向量的数量积可知：2
21cos 232
a c c a π?===?
r r
r r ．
考点：1．向量的数量积；
52【解析】 试题分析：
(
)
2
2222
22cos a b
a a
b b a a b b θ-=-+=-+r r
r r r r r r r r 1,3,120a b θ===?r r Q ，所
以
a b -=r r
53
【解析】
试题分析：222244418414510a b a b a b -=+-?=+-??=o
r r r r r r ,
所以2a b -=r r
考点：1向量的数量积;2向量的模.
54．12
【解析】
试题分析：()//k +
a b c 考点：向量平行的坐标表示 55．-3 【解析】 试
题
分
析
：
由
题
意
可
知
，
1135CD BCD =∠=?
u u u r
，，所以()()
2AC BD AB BC BC CD AB BC AB CD BC BC CD
?=+?+=?+?++?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r
33121cos 453=?-?++??=-．
考点：平面向量数量积的运算．
56【解析】
试题分析：∵(1,3)a =-r ，(1,)b t =r ，∴2(3,32)a b t -=--r r ，∵(2)a b a -⊥r r r
， ∴(2)0a b a -?=r r r
，即(1)(3)3(32)0t -?-+-=，即2t =，∴(1,2)b =r
，
∴||b ==r
考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模.
57【解析】
试题分析：因为2a =u u r ，3b =u u r ，,a b r r
的夹角为60°,所以22224413a b a a b b -=-?+=r r r r r r .所以
2a b -=
r r
考点：1.向量的数量积.2.向量的模. 58．2±
【解析】由三角形的面积公式，
得11sin 41sin 22
AB AC A A ?=??=u u u r u u u r 即23sin =A ,21
cos ±=A ;
则1
cos 41()22
AB AC AB AC A ?=?=??±=±u u u r u u u r u u u r u u u r .
考点：三角形的面积公式、平面向量的数量积.
59．（1）
25（2）1
2
λ=- 【解析】
试题分析：（1）本题考察的是两向量的夹角的余弦值，一般我们采用向量的数量积公式进行求解．根据题目中所给条件可以求出a 与b 的数量积，然后通过模长公式分别求出a 与b 的模长，最后把求出的量代入数量积公式即可求得a 与b 的夹角的余弦值．
（2）本题考察的是两向量的平行（共线）问题，根据平行向量基本定理，把相应的数值代入公式，即可求出所求参数的值．
试题解析（1）(4,3),(1,2)Q ==-a b
()
41322,5,a b a b ∴?=?-+?====
=r r r r
∴cos ,
?<>=
==a b a b a b （2） ∵(4,3),(1,2).==-a b ∴(4,32)2(7,8)λλλ-=+-+=，a b a b ∵向量λ-a b 与2+a b 平行，
∴
43278
λλ+-=
解得：1
2
λ=-
考点：（1）向量数量积（2）平面向量的坐标表示 60．（Ⅰ）
332；（Ⅱ）10
3
34-． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）本题以向量为背景，实际考察三角函数及三角恒等变换，将向量数量积用坐标表示，求出θθcos sin ?的值，然后根据θθθθcos sin 21)cos (sin 2
?+=+，求出2
)cos (sin θθ+的值，从而根据θ
为锐角求出sin cos θθ+的值；（Ⅱ）根据//a b r r 的坐标表示，可以求出tan 2θ=，可以根据同角三角函数
基本关系式求出θθcos ,sin 的值，再利用二倍角公式，求出θθ2cos ,2sin 的值，再将)3
2sin(π
θ+按两角
和正弦公式展开，即可而求sin(2)3
π
θ+
的值．另外，也可以根据齐次式求出θθ2cos ,2sin 的值，再将
)3
2sin(πθ+
按两角和正弦公式展开，从而求sin(2)3π
θ+的值．注意公式的准确使用．
试题解析：（Ⅰ）∵13
2sin cos a b θθ?=+=r r ，
∴1sin cos 6
θθ=
． ∴24(sin cos )12sin cos 3
θθθθ+=+=
又∵θ为锐角，∴sin cos θθ+=
（Ⅱ）法一：∵//a b r r
，∴tan 2θ=．
∴222224
sin 22sin cos 15
sin cos tan sin cos tan θθθθθθθθθ==
＝＝
＋＋， 2222
2
22213
cos 2cos sin 15
cos sin tan sin cos tan θθθθθθθθθ－－＝－＝＝＝－＋＋．
∴11434sin 2sin 2322252510
πθθθ-?
?
??+
?? ?
??
???＝＝＋－＝ 法二 ∵//a b r r
，∴sin 2cos θθ=．
易得sin θ=
， cos θ=． ∴4
sin 22sin cos 5
θθθ=＝，
223
cos 2cos sin 5
θθθ＝－＝－．
∴11434sin 2sin 2322252510
πθθθ-??
??+
?? ?
??
???＝＝＋－＝ 考点：1．向量平行垂直的坐标表示；2．同角三角函数基本关系式；3．三角恒等变换公式的应用．
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
高二数学向量知识点总结 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学向量知识点总结》的内容，具体内容：数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相... 数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相关资料，供您阅读。 (一) 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐
标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐
平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：
2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F
基础练习 1、若(3,5)AB =u u u r ，(1,7)AC =u u u r , 则BC =u u u r （ ） A ．（－2，－2） B ．（－2，2） C ．（4， 2） D ．（－4,－12） 2、已知平面向量→a ＝(1，1)，→b ＝(1，－1)，则向量12→a －32→b ＝ ( ) A 、(－2，－1) B 、(－2，1) C 、(－1，0) D 、(－1，2) 3、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 4、若平面向量b r 与向量a r =（1，－2）的夹角是180°，且|b r |=，则b r =（ ） A ．（－1，2） B ．（－3，6） C ．（3，－6） D ．（－3，6）或（3，－6） 5、在ABC AB BC AB ABC ?=+??则中，若,02是（ ） A ．锐角三角形 B ． 直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 6、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则·＝（ ） （A ）20 （B ）21 （C ）22 （D ）23 7.在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四 边形ABCD 为（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 8.已知()() 3,4,223,a b a b a b ==++=r r r r r r g 那么a r 与b r 夹角为（ ） A 、60? B 、90? C 、120? D 、150? 9.已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a r ，=b r ，=c r , 则下列各式： ①=21c r －21b r ②=a r +2 1b r ③CF =－21a r +2 1b r ④++CF =0r 其中正确的等式的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．
一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2
(4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分）
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案：D 3.在以下命题中,不正确的个数是（ ） ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案：B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________.
答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案：m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ）
平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标
高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（）
A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，
高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应
(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F
专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23 b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于 － B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ， i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》
平面向量的数量积及平面向量的应用 1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ，(λ·a )·b =λ(a ·b )，(a ±b )·c =a ·c ±b ·c . 2.平面向量数量积的重要性质. ①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=| |||) (b a b a ??;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号. ②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |= 21 21y x +;cos θ= 22 22 21 21 2121) (y x y x y y x x + ? + +;|x 1x 2+y 1y 2|≤ 2 2 222121y x y x +?+ 3.两向量垂直的充要条件 若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a |2=a ·a 或|a |=a a ?;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式 |a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
高中数学的平面向量知识向量的概念表c，.......（物理学中叫做矢量），向量可以用a，b，既有方向又有大小的量叫做向量（物示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向的量叫做数量）。在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。我们为了研究理学中叫做标量这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。向量的几何表示是印刷体，AB。（AB有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作具有方向的线段叫做也就是粗体字母，书写体是上面加个→） AB|。AB的长度叫做向量的模，记作| 有向线段个因素：起点、方向、长度。有向线段包含3 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量： 相等向量。长度相等且方向相同的向量叫做共线向量，两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或 ，，零向量与任意向量平行，即0//a、向量ab平行，记作a//b 在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量 共线就是指两条是平行向量）”是有区别。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0零向量，记作 0长度等于0的向量叫做的）的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。零向量。1个单位长度的向量叫做单位向量模 等于 平面向量的坐标表示作为基底。任作ji、x 在直角坐标系内，我们分别取与轴、 y轴方向相同的两个单位向量 ，使得、y，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x一个向量a +yj a=xi 的（直角）坐标，记作）叫做向量，ya 我们把（x ），，y（ a=x 向量的坐标表示。在y轴上的坐标，上式叫做叫做在其中 x叫做ax轴上的坐标，ya 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对 ），）那么该向量上的所有点都可以用（，的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（12a2a1 / 5 表示。即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标。关系是的比例的一样
高一平面向量测试题 一、选择题： 1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．)0,0(=a ρ )2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρ C ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρ D ．)3,2(-=a ρ )9,6(=b ρ 2.已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则 n m 等于( ) A ．21-； B ．21； C ．2-； D ．2； 3.已知两个非零向量22),2,3(),6,3(,--=--=+则与=（ ） A ．－3 B ．－24 C ．21 D ．12。 4. 在四边形ABCD 中，2+=，--=4，35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形 B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 5.已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 6.已知向量a = (-3 ,2 ) , b =(x, -4) , 若a//b ，则x=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是 （ ）A.=- B.a （b ·c ）= （a ·b ）c C.()()(,)a a λμλμλμ=∈R D ．00=? 8. 已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,= +==的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9.已知向量等于则垂直与若a b a n b n a ρρρρ,),,1(),,1(-==（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 10.(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为 （ ） A ． B ． 2 C ． D ．10 11.,,3AB a AC b BD DC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，用,a b r r 表示AD u u u r ，则AD =u u u r A B C D