第六章习题
已知波源在质点()0=x 的平面简谐波方程为：()cx bt A y -=cos ，c b A ,,均为常数，试求：⑴ 振幅、频率、波速和波长。
⑵ 写出在传播方向上距波源l 处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何。
解：⑴ 振幅：A , 周期：b T π2=
频率：π
ν21b T == 波长：c πλ2=，波速为：c
b
T u ==λ
⑵ l x =处质点的振动方程式为：()cl bt A y -=cos 该质点振动的初相位为：cl - 一横波的方程为：()x t A y -=νλ
π
2cos
，若m 01.0=A ，m 2.0=λ，s m 25=u 。试
求：s 1.0=t 时，m 2=x 处的一点的位移、速度和加速度。
解：m 01.0=A ，m 2.0=λ，s m 25=u ， 频率为：Hz 1252
.025
==
=λ
νu 横波的方程为：()x t y -=12510cos 01.0π
位移：()m 01.0cos 01.025.1210cos 01.02
1.0-==-===ππx t y
速度：()0sin 5.1225.1210sin 5.122
1.0=-=--===ππππx t v
加速度：
()25222
1.0s m 101.5412505.1225.1210cos 12505.12?=?=-?-===πππx t a
平面简谐波的方程为：cm 10022cos 8??
?
??-
=x t y π，波源位于原点，求： ⑴ s 1.2=t 时波源及距波源m 1.0处的相位。 ⑵ 离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差。 解：⑴ s 1.2=t 时波源的相位：()ππ?
4.801.0220
1.2=-?===x t
距波源m 1.0处的相位：()ππ?2.81.01.0221
.01.2=-?===x t
⑵ 离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差： πππ?
?
?-=??
? ??
--??? ??-=-=?==100302210080223
.08
.0t t x x
因此，离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差为π。 有一频率为Hz 500的平面简谐波，在空气(
)
33
m kg 10
3.1-?=ρ中以速度s m 340=v 的
速度传播，到达人耳时，振幅为cm 104
-=A ，试求耳中声音的平均能量密度及声强。
解：频率Hz 500=ν，角频率：ππν?10002== 平均能量密度为： ()()
()
392
26322m J 104.6100010103.12
1
21----??=????==π?ρA w
声强：
()()
()
2
62
2
6322m W 1018.2340100010103.12
1
21----??=?????==
=π?ρv A v w I 同一介质中的两个波源位于B A ,两点，其振幅相等，频率都是Hz 100，B 比A 的相位超前
π。若B A ,两点相距30m ，波在介质中的传播速度为m 400，试求B A ,连线上因干涉而
静止的各点位置。
解：以A 点为坐标原点，AB 连线为x 坐标轴。波长：m 4100
400
==
=
ν
λu
设A 点的振动方程为：t A y A ?cos =，B 点的振动方程为：()π?+=t A y B cos 在A,B 连线上的一点x 处，A 波源的方程为： ??
?
?
?-
=λπ?x t A y AP 2cos B 波源的方程为： ()??
?
??
?--+=λππ?x t A y BP 302cos 干涉时的相位差为：()
λ
πλ
ππ?x
x 2302+
--
=?
干涉加强的条件为：7,2,1,0,1422Λ±±=+=?=?k k x k π? 干涉减弱的条件：()7,2,1,0,
15212±±±=+=?+=?Λk k x k π?
通过计算可以得到：⑴ 在A,B 两点之间因为干涉而静止的点为：
29,27,5,3,1Λ=x ，也就是在30~1之间所有的奇数，因此也可以写为：
14,3,2,1,012Λ=+=k k x
⑵ 在A,B 两点之间因为干涉而加强的点为：
28,6,4,2Λ=x ，也就是在30~1之间所有的偶数。
B A ,两点为同一介质中的两相干波源。其振幅皆为cm 5=A ，频率皆为Hz 100，但当A 点为波峰时，B 点恰为波谷。设在介质中的波速为m 10，试写出由B A ,两点发出的两列波传到P 点时干涉的结果。
解：由题可知，m 15=AP ，m 20=Ab ，所以：m 25=BP
Hz 100=ν，s m 10=u
波长：m 1.0100
10
==
=
ν
λu
A 点为波峰时，
B 点为波谷，则A,B 两相位差为π。
A,B 两相干波源传到P 点时的相位差为：
()
()πππλ
π???2011
.0251522=--
=--
-=?BP AP A B
相位差为π的奇数倍，所以干涉之后的结果是减弱的。 合振幅为：0=A
（也可以用波程差是半波长的奇数倍或者偶数倍去讨论）
A
B
P