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考点25 数列求和及综合应用

一、选择题

1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n

2，则（）

A 、{S n }为递减数列

B 、{S n }为递增数列错误！未找到引用源。

C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b +=

+，2

1n n n a

b c +=+，所以1a a n =，++1n b =

+1n c 2n n a c +2

n n a b ++

1)(21

)(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(2

2111a c b a c n n n -+=

-+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ?中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b =

+1n c 2n n a c +2n n a b +-

)(21

n n c b --=，所以)()2

(111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ?的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 12

1||21==为递增数列. 二、填空题

2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3

132+=n n a S ，则

}{n a 的通项公式是=n a _________

【解题指南】先利用S 1=a 1求出a 1的值,再利用S n -S n-1=a n 求出通项公式a n . 【解析】由1113

a a S =+=，解得11=a ，又3

2+=n n a S ，所以

112233n n n n n S S a a a ---=

-=，得1

2n n a

a -=- ，所以数列}{n a 是首项为1，公比为2-的等比数列.故数列的通项公式1)2(--=n n a 【答案】1)2(--n

3. （2013·湖南高考理科·Ｔ15）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

(1),,2

n n n n S a n N *=--∈则（1）3a =_____；

（2）12100S S S ++???+=___________.

【解题指南】（1）令3=n ，4=n 代入即可得到答案. （2）通过1

2121)1(21)1(----+----=-=n n n n n n n n a a s s a 整理可发现当当n 为偶数时有1

--=

-n n n a a ，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 【解析】（1）因为21111--==a s a ，所以411-=a ，8

33213--=++=a a a a s ①，

161443214-=+++=a a a a a s ，即161321-=++a a a ②，把②代入①得16

3-=a .

（2）因为当2≥n 时，n n 1n n n 1n n 1

n 1

a s s (1)a (1)a 22n ----=-=----+，整理得n n n n n a a 21)1())1(1(11=-+----，所以，当n 为偶数时，n n a 21

1-=-，

当n 为奇数时，n n n a a 2121=+-，所以112

--=n n a ，

所以{

为奇数

为偶数，n n n n n

a ,21

=，所以当n 为偶数时，1

121

--=

-n n n a a ，所以 +---

+--=++++++3

322110099432121212

1a a a s s s s s s --++-+-=-+-

-)()()(21

21991003412100

1009999a a a a a a a a 231003599210011111111111()()()22222222222

++++=++++-+++

)121(31)211()211(322

211(2141)411(2110010010010050-=---=-----=.

【答案】（1）161- （2）)12

(31100-

4. （2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，

n S 为其前n 项和，若1a 、2a 、5a 成等比数列，则8S =

【解题指南】先根据1a 、2a 、5a 成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出8S .

【解析】因为1a 、2a 、5a 成等1比数列, 11a =所以d d 41)1(2+=+,化简得d d 22= 因为0d ≠,所以2=d ,故.645682

8818=+=?+=d a S 【答案】64 三、解答题

5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数()()()

1=ln 1.1x x f x x x

λ++-+ （I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；

（II ）设数列{}21111

1,ln 2.234n n n n a a a a n n

=+++???+-+

>的通项证明：【解析】（I ）2

)

1()21()(x x x x f +--='λλ，令0)(='x f ，即0

)1()21(22

=+--x x x λλ，解得0=x 或λλ21-=x 若21

<λ，则)21(20λ-<'x f ，所以0)(>x f . 若2

≥λ，则0>x 时，()0￠

综上λ的最小值为2

（II ）令2

=λ，由（I ）知，0>x 时，0)(

即

)1ln(22)

2(x x

x x +>++.

取k x 1=，则

k k k k 1

)1(212+>++. 于是))1(21

21(41122++=+-∑-=k k n a a n n k n n ))1(212(12++=∑-=k k k n n k >k k n n

k 1ln 1

2+∑-=n n ln 2ln -=2ln =. 所以2ln 41

2>+

-n

a a n n 6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d,a n .

(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.

【解题指南】(1)由a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列可以求得a 1与d 的关系,进而可求得d 与a n .

(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n 项和的性质求解. 【解析】(1)由题意得,5a 3·a 1=(2a 2+2)2,

d 2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n =-n+11或a n =4n+6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n , 因为d<0,所以d=-1,a n =-n+11,则

n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-错误！未找到引用源。n 2+错误！未找到引用源。n;

n ≥12时,|a 1|+|a 2|+…+|a 11|+|a 12|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 11-a 12-…

-a n =S 11-(S n -S 11)= -S n +2S 11=错误！未找到引用源。n 2-错误！未找到引用源。n +110.

综上所述,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=错误！未找到引用源。22121,11,22

121110,12.22

≤≥?-+????-+??n n n n n n

7. （2013·重庆高考文科·Ｔ16）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；

（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ．【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前n 项和,再利用题目中所给条件求解20T .

【解析】（Ⅰ）由题设知{}n a 是首项为,1公比为3的等比数列,所以13-=n n a ,

()

.132

13131-=--=n

n n S

（Ⅱ）,210,13931,313321d b b b a b ==-=++===所以公差5=d ，故101052

2032020=??+

?=T . 8.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c >0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a 1,a 2,a 3,…,满足a n+1=f(a n ),n ∈N *. (1)若a 1=-c-2,求a 2及a 3. (2)求证:对任意n ∈N *,a n+1-a n ≥c.

(3)是否存在a 1,使得a 1,a 2,…,a n ,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a 1;若不存在,说明理由. 【解析】(1)a 2=2,a 3=c+10. (2)f(x)=错误！未找到引用源。当a n ≥-c 时,a n+1-a n =c +8>c.

当-c-4≤a n <-c 时,a n+1-a n =2a n +3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当a n <-c-4时,a n+1-a n =-2a n -c-8>-2(-c-4)-c-8=c;

所以,对任意n∈N*,a n+1-a n≥c.

(3)由(2),结合c>0,得a n+1>a n,即{a n}为无穷递增数列,

又{a n}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,a n>-c,

从而a n+1=f(a n)=a n+c+8,

由于{a n}为等差数列,因此其公差d=c+8.

①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8,

又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,

即a1=-c-8,从而a2=0,

当n≥2时,由于{a n}为递增数列,故a n≥a2=0>-c,所以a n+1=f(a n)=a n+c+8, 而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{a n}为无穷等差数列,符合要求.

②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,