三角函数与解三角形
一、 y=Asin （ωx+φ）函数的图像与性质重难点突破
二、经验分享
【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】
用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ω?=+，由z 取3
0,,,,222
π
πππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换：
sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短
(0 函数()sin 01y x x R ωωω=∈>≠，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1 ω 倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换： 函数()sin y x x R ?=+∈，(其中0?≠)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?＞0时)或向右(当?＜0时)平行移动?个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”). 一般地，函数()sin()0,0y A x A x R ω?ω=+>>∈，的图象可以看作是用下面的方法得到的： (1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(?>0)或右(?<0)平行移动?个单位； (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的 1 ω 倍(纵坐标不变)； (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 函数sin()y A x ω?=+与函数cos()y A x ω?=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合 而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ； （2）值域：[],A A -； （3）单调区间：求形如sin()y A x ω?=+与函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ω?+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由 )(2 22 2Z k k x k ∈+ ≤+≤- π π?ωπ π解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(2 3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππ?ωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为奇函数，当()2 k k z π ?π=±∈时为偶函数；对于 函数cos()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为偶函数，当()2 k k z π ?π=± ∈时为奇函数． （5）周期：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π ω = ． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数sin y x =比较可知，当()2 x k k z π ω?π+=± ∈时，函数sin()y A x ω?=+取得最大值（或最 小值），因此函数sin()y A x ω?=+的对称轴由()2 x k k z π ω?π+=± ∈解出，其对称中心的横坐标 ()x k k z ω?π+=∈，即对称中心为,0()k k z π?ω-?? ∈ ??? ．同理，cos()y A x ω?=+的对称轴由()x k k z ω?π+=∈解出，对称中心的横坐标由()2 x k k z π ω?π+=± ∈解出． 三、题型分析 (一) 五点法作图 例1．（2019·石嘴山市第三中学高一月考）已知函数323y sin x π? ? =- ?? ? （1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在766ππ?????? ，的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形 的宽度为 )12 π （2）请描述上述函数图象可以由函数y ＝sin x 怎样变换而来？ 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 （1）由题意，因为x ∈7[]6 6 x ππ ∈，，所以2[0,2]3 x π π- ∈， 列表如下： x 6 π 512 π 23 π 1112 π 76 π 23 x π - 2 π π 32 π 2π 3(2)3 y sin x π =- 0 3 0 ﹣3 0 描点、连线，得出所要求作的图象如下： （2）把sin y x =的图象向右平移 3π 个单位，可得sin()3 y x π=-的图象； 再把所得图象的横坐标变为原来的12 倍，纵坐标不变，可得sin(2)3y x π =-的图象； 再把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得3sin(2)3 y x π =-的图象； (二) 函数图像变换 例2．（2018·浙江高一期末）将函数f （x ）=sin （ωx + 4π）（ω＞0）的图象向左平移8 π 个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则函数f （x ）的最小正周期不可能是（ ） A ． 9 π B ． 5 π C ．π D ．2π 【答案】D 【解析】将函数()sin()(0)4f x x π ωω=+ >的图象向左平移 8 π 个单位， 可得sin()84y x ωππω=+ +的图象，根据所得到的函数图象关于y 轴对称， 可得842 k ωπππ π+=+，即82k ω=+，k Z ∈． ∴函数的最小正周期为241 k ππ ω=+，则函数()f x 的最小正周期不可能是2π，故选：D ． 例3．（2019·宁夏高一期末）要得到函数2sin 26y x π? ? =+ ?? ? 的图象，只需将函数2cos2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3 π 个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6 π 个单位长度 【答案】D 【解析】因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ??? ? ? ???=+ =-=- ? ? ???? ???? ???， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6 π 个单位. (三) 已知函数图像求y=Asin （ωx+φ） 例4．（2019·广东高考模拟（理））把函数()y f x =的图象向左平移 23 π 个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，并且()g x 的图象如图所示，则()f x 的表达式可以为（ ） A ．()2sin 6f x x π?? =+ ?? ? B ．()sin 46f x x π?? =+ ?? ? C ．()sin 46f x x π?? =- ?? ? D ．()2sin 46f x x π?? =- ?? ? 【答案】B 【解析】∵g （0）＝2sinφ＝1，即sinφ12= ，∴φ52,6k ππ= +或φ2,6 k k Z π π=+∈（舍去） 则g （x ）＝2sin （ωx 56π+ ），又755122,,2,12667k k Z k ππωπω??+=∈∴=-? ?? ?当k=1, 2ω= 即g （x ）＝2sin （2x 56π+），把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x 56 π+）， 再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x 56π+），再把所得曲线向右平移23 π 个单位长度得到函数g （x ）的图象， 即g （x ）＝sin[4（x - 23π）56π+]＝8511sin 4x sin 4sin 43666x x ππππ??? ?? ?-+=-=+ ? ???????? ?故选：B ． 例5．（2017·浙江高一期末）已知函数()=2sin()f x x ω?+(0,0)2 π ωω><< 一部分图象如图所示，则 ω=__________，函数()f x 的图象可以由()2sin g x x ω=的图象向左平移至少__________ 个单位得到． 【答案】2 6 π 【解析】由函数图象可得，函数的最小正周期为236T πππ?? ??=?--= ?????? ?， 结合最小正周期公式有：222T ππ ωπ = ==； 令6 x π =- 有：()22,263x k k k Z ππω??π?π?? +=?- +=∴=+∈ ? ?? ， 令0k =可得：3 π ?= ，函数的解析式为：()2sin 23f x x π?? =+ ?? ? 绘制函数()2sin 2sin 2g x x x ω==的图象如图所示，观察可得函数()f x 的图象可以由()2g x sin x ω=的图象向左平移至少 6 π 个单位得到. (四) 函数y=Asin （ωx+φ）综合应用 例6．（2019·湖北高二月考）已知函数()sin()0,||2f x x πω?ω?? ? =+>< ?? ? ，其相邻两条对称轴之间的距离为 2 π，将()y f x =的图象向右平移6π 个单位后，所得函数的图象关于y 轴对称，则（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π?? ??? 对称 B ．()f x 的图象关于直线7x =π对称 C ．()f x 在区间,63ππ?? - ???单调递增 D ．()f x 在区间5,1212ππ?? - ?? ?单调递增 例7．（2018·浙江诸暨中学高一月考）已知函数()sin()(0,0,)2 f x A wx A w π ??=+>>< 在一个周期内 的简图如图所示，则函数的解析式为__________，方程()f x m =（其中12m <<）在[0,3]π内所有解的和为__________． 【答案】2sin(2)6 y x π =+ 7π 【解析】 根据函数()()sin (0,0,)2 f x A wx A w π ??=+>>< 在一个周期内的的图象， 可得2021A f sin ?===，（ ）， 即126sin π??=∴=，， 再根据五点法作图可得5126 ππ ωπ?+=， 求得2ω=，故函数()2sin 26f x x π? ? =+ ?? ? 因为函数函数()2sin 26f x x π?? =+ ?? ? 在[]0,3π内与直线()f x m =（其中12m <<）由六个交点，它们分别关于713,,6 66x x x π ππ= = =对称，则1234567132227666 x x x x x x ππππ+++++=?+?+?= 即答案为(1). 2sin 26y x π??=+ ?? ? (2). 7π 专题4.2 三角恒等变换 一、题型全归纳 题型一 三角函数公式的直接应用 【题型要点】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α?β)＝cos αcos β±sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β????α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α? ???α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 【例1】(2020·云南腾冲一中一模)已知tan(α－5π4)＝1 5，则tan α＝ 【答案】 3 2 【解析】法一：因为tan(α－5π4)＝15，所以tan α－tan 5π 41＋tan αtan 5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15 ，解得tan α＝3 2. 法二：因为tan(α－5π4)＝15，所以tan α＝tan ????????α－5π4＋5π4＝tan ????α－5π4＋tan 5π41－tan ????α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32. 【例2】(2020·东北师大附中高三期末)已知α∈?? ? ??20π，，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.1 5 B. 55 C.33 D ．255 【答案】B 【解析】 (1)依题意得4sin αcos α＝2cos 2α，由α∈?? ? ??20π，，知cos α>0，所以2sin α＝cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋4sin 2α＝1，即sin 2α＝15.又α∈?? ? ??20π，，所以sin α＝55，选B. 题型二 三角函数公式的逆用与变形应用 【题型要点】(1)三角函数公式活用技巧 ①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； ②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． (2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题 ①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系； ②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，3 2，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以 便构造适合公式的形式． 【例1】在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B.22 C.1 2 D ．－12 【答案】 B 【解析】由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1， 即tan(A ＋B )＝－1，又(A ＋B )∈(0，π)，所以A ＋B ＝ 3π4，则C ＝π4，cos C ＝22 . 【例2】．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ ． 【答案】－1 2 【解析】因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1 ①， cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0 ②， ①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 所以sin(α＋β)＝－1 2 . 题型三 两角和、差及倍角公式的灵活应用 【题型要点】三角函数公式应用的解题思路 (1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，?? ? ??+απ4＋?? ? ??απ-4＝π2，α 2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 【易错提醒】转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化． 命题角度一 三角函数公式中变“角” 【例1】(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈??? ??ππ，43，sin(α＋β)＝－35，sin ??? ? ?4-πβ＝24 25， 则cos ?? ? ??+απ4＝ ． 【答案】－45 【解析】 由题意知，α＋β∈??? ??ππ223，，sin(α＋β)＝－35<0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈?? ? ??432ππ，，所以cos ?? ? ? ? 4- πβ＝－7 25，cos ?? ? ??+απ4＝cos ()??? ?? ???? ??+4--πββα＝cos(α＋β)cos ??? ??4-πβ＋sin(α＋ β)sin ?? ? ? ?4- πβ＝－4 5. 【例2】(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ ． 【答案】：－1 12 【解析】：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3， 所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan （α＋2β）－tan β1＋tan （α＋2β）tan β＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1. tan α＝tan(α＋β－β)＝－1－（－3）1＋（－1）×（－3）＝1 2 . 命题角度二 三角函数公式中变“名” 【例3】(2020·山西太原三中模拟)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°??? ????5tan -tan 1. 【答案】 3 2 【解析】 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°??? ??????cos55sin -5sin cos5 ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°1 2sin 10° ＝ cos 10° 2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10° ＝cos 10°－2????12cos 10°－32sin 10° 2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝3 2 . 题型五 三角函数式的求值 【题型要点】三角函数求值的3种情况 命题角度一 给角求值 【例1】 计算2cos 10°－23cos （－100°） 1－sin 10°＝ ． 【答案】 2 2 【解析】 2cos 10°－23cos （－100°）1－sin 10°＝2cos 10°＋23sin 10° 1－sin 10° ＝4????12cos 10°＋32sin 10°1－2sin 5°cos 5° ＝4cos 50°cos 5°－sin 5°＝4cos 50° 2cos 50°＝2 2. 命题角度二 给值求值 【例2】 已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－5 5. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 【答案】（1）－725；（2）－2 11 【解析】 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝4 3cos α. 因为sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以cos 2 α＝9 25， 因此，cos 2α＝2cos 2 α－1＝－7 25 . (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－ 55 ， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝25 5， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α ＝－24 7， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β） ＝－2 11. 命题角度三 给值求角 【例3】在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q .已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为33 14，则2α－β的值为 ． 【答案】 π 3 【解析】 法一：由已知可知cos α＝277，sin β＝33 14. 又α，β为锐角，所以sin α＝ 217，cos β＝1314 . 因此cos 2α＝2cos 2α－1＝17，sin 2α＝2sin αcos α＝43 7， 所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝3 2. 因为α为锐角，所以0＜2α＜π. 又cos 2α＞0，所以0＜2α＜π 2， 又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π 2， 又sin(2α－β)＝ 32，所以2α－β＝π3 . 法二：同法一得，cos β＝1314，sin α＝21 7. 因为α，β为锐角，所以α－β∈?? ? ??22- ππ，. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝217×1314－277×3314＝2114 . 所以sin(α－β)＞0，故α－β∈?? ? ??20π，， 故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝ 1－????21142 ＝5714 . 又α∈?? ? ??20π，，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)． 所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝277×5714－217×2114＝1 2. 所以2α－β＝π 3. 专题4.5 正弦定理和余弦定理的应用 一、题型全归纳 题型一 利用正弦、余弦定理解三角形 【题型要点】(1)正、余弦定理的选用 ①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角； ②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 【例1】 (2020·广西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ∶B ∶C 为( ) A ．1∶1∶3 B ．1∶2∶3 C ．1∶3∶2 D ．1∶4∶1 【答案】B. 【解析】：法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. 因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，选B. 法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a 【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b c ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】选 A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝ b 2＋ c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－1 4 ，得b c ＝6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A . ①求角B 的大小； ②若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长． 【答案】见解析 【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b 2 －a 2 ＝－4c 2 ，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 2 2bc ＝ －14，得b c ＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理， 得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12， 因为0＜B ＜π，所以B ＝2π 3 . ②由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos ∠ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝7 2. 因为cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝11 14 ， 所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos ∠BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝19 4， 所以BD ＝ 19 2 . 题型二 判断三角形的形状 【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径 【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系． 【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【答案】A 【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1， 故A ＝π 2，因此△ABC 是直角三角形． 法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π 2 ，因此△ABC 是直角三角形． 【例2】在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为 ． 【答案】等腰或直角三角形 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ， A ＝π 2 或A ＝B ， 故△ABC 为等腰或直角三角形． 题型三 与三角形面积有关的问题 命题角度一 计算三角形的面积 【题型要点】1.△ABC 的面积公式 (1)S △ABC ＝1 2a ·h (h 表示边a 上的高)． (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1 2bc sin A . (3)S △ABC ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径). 2.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 【例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π 3，则△ABC 的面积为 ． 【答案】63 【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π 3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－ 2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π 3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π 3 ， 得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝1 2 ×23×6＝6 3. 【例2】(2020·福建五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为 ． 【答案】 3 2 【解析】因为a 2 ＋b 2 －c 2 ＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝3 2，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝1 2×23sin π6＝32 . 命题角度二 已知三角形的面积解三角形 【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝ ，a ＋b ＝ ． 【答案】 9 33 【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cos C ＝13，则C 为锐角，所以sin C ＝223.由△ABC 的面积为32，可得 1 2 ab sin C ＝32，所以ab ＝9.由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝11 3 ab ＝33，所以a ＋b ＝33. 【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C 2. (1)求A ； (2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a . 【答案】见解析 【解析】：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2， 由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2， 所以sin A ＝cos A 2 ， 所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝1 2， 所以A ＝60°. (2)由题设得1 2 bc sin A ＝3，从而bc ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12. 又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝13 4 . 题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题 【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题 在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解． 【例1】(2020·福州市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝ 3 2 . (1)求△ABC 外接圆的直径； (2)求a ＋c 的取值范围． 【答案】见解析 【解析】：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3 . 根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝b sin B ＝32sin π 3＝1. (2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π 3. 由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ??? ??A -32π＝3??? ? ??+A A cos 21sin 23＝3sin ??? ??+6πA . 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π 6 . 所以12＜sin ??? ? ? +6πA ≤1， 从而 32＜3sin ??? ? ? +6πA ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是 ?? ? ??323， 法二：由(1)知，B ＝π 3 ， b 2＝a 2＋ c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－32 2??? ??+c a ＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32 ，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3， 又三角形两边之和大于第三边，所以3 2 ＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是?? ? ??323， 题型五 解三角形与三角函数的综合应用 【题型要点】标注条件，合理建模 解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题． 【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ∈R ，设函数f (x )＝m ·n ＋1 2 . (1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间； (2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为1 2，求a 的 值． 【答案】见解析 【解析】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ??? ?? +62πx ＋1. 令2x ＋π6∈??????++ππππk k 22,22-，k ∈Z ，解得x ∈?? ? ???++ππππk k 6,3-，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为?? ? ???++ππππk k 6,3-，k ∈Z . (2)因为f (A )＝sin ?? ? ? ? + 62πA ＋1＝2， 所以sin ?? ? ? ?+ 62πA ＝1. 因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π 6. 由△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝1 2 ，得bc ＝2， 又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )， 解得a ＝3－1. 【例2】△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B . (1)求角C 的大小； (2)求3cos A ＋sin ?? ? ? ?+3πB 的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值． 【答案】见解析 【解析】：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ， 又A ＋B ＋C ＝π， 则sin A ＝sin(π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ， 整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0， 则cos C ＝1 2， 因为0 3 . 法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 2 2ac ， 整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即cos C ＝1 2， 因为0 3 . (2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π 3＝π－A ， 于是3cos A ＋sin ?? ? ? ?+ 3πB ＝3cos A ＋sin(π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ?? ? ? ?+ 3πA ， 因为A ＝2π3－B ，所以0 3，