北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解
第一章集合与函数概念
知识架构
第一讲集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：
三：集合的基本运算
①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A
B ={}x x A x B ∈∈或;
③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={}
x x U x A ∈?且
{|B x x ={|B x x =
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合
的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{}
)(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：
问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ????=+==+=?????????
则M N=（ ）
A. Φ；
B. {})2,0(),0,3(；
C. []3,3-；
D. {}3,2
[错解]误以为集合M 表示椭圆
14
922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B
[正解] C ； 显然{}
33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M
(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用
Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ?φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ?
（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ?，C B ?，则C A ? 4．集合的运算性质
（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ? ，B B A ? ⑤B A A B A ??= ；
（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ? ，B B A ? ⑤A B A B A ??= ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =
②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =
★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设
{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）
A ．0；
B ．2；
C ．3；
D ．6
[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，
xy 在值就是A B *的元素
[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知
A B *={}4,2,0，故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型2：集合间的基本关系
[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ）
A ．X Y ；
B ．Y X ；
C ．Y X =；
D ．Y X ≠
[解题思路]可有两种思路：一是将X 和Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。
[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。 [新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A ．
B A ? B.
C B ? C.C B A = D. A C B = [解析]
D ；因为全集为A ，而C B =全集=A
2．(2006?山东改编）定义集合运算:{
}
B y x xy y x B ∈∈+==?A,,z A 2
2,设集合
{}1,0
A =,{}3,2=
B ,则集合B ?A 的所有元素之和为
[解析]18，根据B ?A 的定义，得到{}12,6,0A =?B ，故B ?A 的所有元素之和为18 3．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ?∈且,|，如果
{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于
[解析] {}31< )1,1(1-=<=x x Q ，所以 )3,1(=-Q P 4．研究集合{ }42 -==x y x A ，{ }42 -==x y y B ，{ } 4),(2 -==x y y x C 之间的关系 [解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而B A ；因为{} 42-==x y x A 表示 42-=x y 的定义域，故R A =；{} 42-==x y y B 表示函数42-=x y 的值域， ),4[+∞-=B ；{} 4),(2-==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，B A ，而A 与C ，B 与C 都无包含关系 考点二：集合的基本运算 [例3] 设集合{ } 0232 =+-=x x x A ，{ } 0)5()1(22 2=-+++=a x a x x B （1） 若{}2=B A ，求实数a 的值； （2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ， [解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 [解析]因为{} {}2,10232 ==+-=x x x A ， （1）由{}2=B A 知，B ∈2，从而得0)5()1(4222=-+++a a ，即 0342=++a a ，解得1-=a 或3-=a 当1-=a 时，{} ??2,2042 -==-=x x B ，满足条件； 当3-=a 时，{} {}20442 ==+-=x x x B ，满足条件 所以1-=a 或3-=a （2）对于集合B ，由)3(8)5(4)1(422+=--+=?a a a 因为A B A = ，所以A B ? ①当0 ③当0>?，即3->a 时，{}2,1==A B 才能满足条件， 由根与系数的关系得?? ??? =- =????-=?+-=+7 25521)1(22122 a a a a ，矛盾 故实数a 的取值范围是3-≤a 【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练] 6．若集合{ }R x y y S x ∈==,3，{ } R x x y y T ∈-==,12 ，则T S 是（ ） A. S ； B. T ； C.φ； D. 有限集 [解析] A ；由题意知，集合{ } R x y y S x ∈==,3表示函数R x y x ∈=,3的值域，故 集合),0(+∞=S ；{ } R x x y y T ∈-==,12 表示函数R x x y ∈-=,12的值域， ),1[+∞-=T ，故S T S = 7．已知集合{}2),(=+=y x y x M ，{} 4),(=-=y x y x N ，那么集合N M 为（ ）A.1,3-==y x ；B.)1,3(-；C.{}1,3-；D.{})1,3(- [解析]D ；N M 表示直线2=+y x 与直线4=-y x 的交点组成的集合，A 、B 、C 均不合题意。 8．集合{|10}A x ax =-=,{} 2 |320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值. [解析] 1 0,1, 2 ；先化简B 得, {}1,2B =.由于A B B =A B ??,故1A ∈或2A ∈. 因此10a -=或210a -=,解得1a =或1 2 a =. 容易漏掉的一种情况是: ?=A 的情形,此时0a =. 故所求实数a 的值为1 0,1,2 . 备选例题1：已知{}1+==x y y M ，{} 1),(2 2=+=y x y x N ，则N M 中的元素个数是 （ ） A. 0； B. 1； C.2； D.无穷多个 [解析]选A;集合M 表示函数1+=x y 的值域,是数集,并且R M =,而集合N 表示满足 122=+y x 的有序实数对的集合,即表示圆122=+y x 上的点,是点集。所以，集合M 与集合 N 中的元素均不相同，因而φ=N M ，故其中元素的个数为0 [误区分析]在解答过程中易出现直线1+=x y 与圆122=+y x 有两个交点误选C ；或者误认为1+=x y 中R y ∈，而122=+y x 中11≤≤-y ，从而]1,1[-=N M 有无穷多个解而选D 。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。 备选例题2：已知集合A 和集合B 各有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： (Ⅰ)C B A ，且C 中含有3个元素； (Ⅱ)φ≠A C （φ表示空集） [解法一]因为A 、B 各有12个元素，B A 含有4个元素， 因此，B A 的元素个数是2041212=-+ 故满足条件(Ⅰ)的集合C 的个数是3 20C 上面集合中，还满足φ=A C 的集合C 的个数是38C 因此，所求集合C 的个数是108438320=-C C [解法二]由题目条件可知，属于B 而不属于A 的元素个数是8412=- 因此，在B A 中只含有A 中1个元素的所要求的集合C 的个数为281 12C C 含有A 中2个元素的所要求的集合C 的个数为18212C C 含有A 中3个元素的所要求的集合C 的个数为312C 所以，所求集合C 的个数是10843121821228112=++C C C C C ★抢分频道 基础巩固训练： 1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集 {}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则右图中阴 影部分表示的集合为 ( ) A ．{} 0x x >；B ．{}30x x -<<；C ．{}31x x -<<-；D ．{} 1x x <- [解析]C ；图中阴影部分表示的集合是B A ，而{} 03<<-=x x A ，故 {}13-<<-=x x B A 2. （韶关09届高三摸底考）已知{}{} 2(1)0,log 0A x x x B x x =->=< 则A B = A ．(0,1)； B ．(0,2)； C ．)0,(-∞； D ．)(,0) (0,-∞+∞ [解析] A ；因为{}10<<=x x A ，{}10<<=x x B ，所以{} 10<<=x x B A 3. （苏州09届高三调研考）集合{1,0,1}-的所有子集个数为 [解析]8；集合{1,0,1}-的所有子集个数为823 = 4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A 中的代表元素设为x ，集合B 中的代表元素设为y ，若B x ∈?且A y ∈?，则A 与B 的关系是 [解析]A B ? 或A B ?≠?；由子集和交集的定义即可得到结论 5．(2008年天津)设集合{} {}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是（ ） A ．13-<<-a ； B ．13-≤≤-a C ．3-≤a 或1-≥a ； D ．3-a [解析]A ；{}{} 5132|>-<=>-=x x x x x S 或，{}8|+<<=a x a x T ，R T S = 所以?? ?>+-<5 81 a a ，从而得13-<<-a 综合提高训练： 6．{}01<<-=m m P ,{ } 恒成立对于任意实数x mx mx R m Q 0442 <-+∈= 则下列关系中立的是( ) A ．P Q ; B ．Q P ;C ．Q P =;D ．φ=Q P [解析]A ；当0≠m 时，有? ??<-??-=?<0)4(4)4(0 2 m m m ，即 {}01<<-∈=m R m Q ；当0=m 时，0442<-+mx mx 也恒成立，故 {}01≤<-∈=m R m Q ，所以P Q 7.设)(12)(N n n n f ∈+=，{ }5,4,3,2,1=P ，{}7,6,5,4,3=Q ，记 {}P n f N n P ∈∈=)(?，{} Q n f N n Q ∈∈=*)(?，则)??()??(P C Q Q C P N N ＝( ) A. {}3,0; B.{ }2,1; C. {}5,4,3; D. {}7,6,2,1 [解析] A ；依题意得{}2,1,0?=P ，{}3,2,1?=Q ，所以{}0)??(=Q C P N ， { }3)??(=P C Q N ，故应选A 8．（09届惠州第一次调研考）设A 、B 是非空集合，定义 {}A B x x A B x A B ?=∈???且，已知A={|x y =，B={|2,0}x y y x =>， 则A ×B 等于（ ） A ．[)0,+∞；B ．[] [)0,12,+∞；C ．[)[)0,12,+∞；D ．[] 0,1(2,)+∞ [解析]D ；22002x x x -≥?≤≤，∴A=[0，2]，021x x >?>，∴B=（1，＋∞）， ∴A ∪B=[0, ＋∞），A ∩B=（1，2]，则A ×B ＝[] 0,1(2,)+∞ 第2讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为 A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而 22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a [正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同 2． 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数 4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 )32(log 22 1++-=x x y 就是利用函数u y 2 1log =和322++-=x x u 的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2 21 22 +-+= x x x y 的值域 由2 2122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21 -=x ，所以0=y 是 函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=?y y y 得 021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2 13 3,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1 cos 3 cos 2+-=x x y 的值域，因为 1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]2 5,(1cos 5--∞∈+- x ，故 ]2 1 ,(--∞∈y （5）利用基本不等式求值域：如求函数4 32+=x x y 的值域 当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，x x y 43+ = ，若0>x ，则44 24=?≥+ x x x x 若0 x x x x x x ，从而得所求值域是]43 ,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 的值域 因)14(22823-=-=x x x x y ，故函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 在)2 1,1(--上递减、在 )0,21(-上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,8 15 [ （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 ★热点考点题型探析 考点一：判断两函数是否为同一个函数 [例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x x x f = )(，? ? ?<-≥=;01,01 )(x x x g （3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f = )(1+x ，x x x g += 2)(； （5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g [解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同， 所以它们不是同一函数. （2）由于函数x x x f = )(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而?? ?<-≥=; 01,01 )(x x x g 的定义 域为R ，所以它们不是同一函数. （3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，x x x g n n ==--1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数x x f = )(1+x 的定义域为{} 0≥x x ，而x x x g += 2)(的定义域为 {}10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2+=x x f ， 1)(2+=t t f ，1)1()1(2++=+u u f 都可视为同一函数. [新题导练] 1．(2009·佛山) 下列函数中与函数x y =相同的是( ) A .y = (x )2 ; B. y = y =2x ; D. y =x x 2 [解析] B ；因为y = t =，所以应选择B 2．(09年重庆南开中学)与函数)12lg(1.0-=x y 的图象相同的函数是 （ ） A.)21(12> -=x x y ；B.121-=x y ；C.)21(121>-=x x y ； D.|1 21|-=x y [解析] C ；根据对数恒等式得1 21 101.01 21 lg )12lg(-= ==--x y x x ，且函数)12lg(1.0-=x y 的定义域为),2 1(+∞，故应选择C 考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数= )(x f )4323ln(1 22+--++-x x x x x 的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞ ;B.)1,0()0,4( -；C. ]1,0()0,4[, -;D. )1,0()0,4[, - [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数)(x f 有意义，必须并且只需 ??? ????≠>+--++-≥+--≥+-0043230 430232 2 2 2x x x x x x x x x )1,0()0,4[ -∈?x ，故应选择D 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 题型2：求抽象函数的定义域 [例3]（2006·湖北）设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 -- [解题思路]要求复合函数?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。 [解析]由 202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,2 22 2.x x ?-< ??-< 解得() ()4,11,4x ∈--。故 ?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --.选B. 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()f x 的定义为[,]a b ，则函数[()]f g x 的定义域是满足不等式()a g x b ≤≤的x 的取值范围；一般地，若函数[()]f g x 的定义域是[,]a b ，指的是[,]x a b ∈，要求()f x 的定义域就是[,]x a b ∈时()g x 的值域。 题型3；求函数的值域 [例4]已知函数)(6242R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求32)(+-=a a a f 的值域 [解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围，然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意，0≥y 恒成立，则0)62(4162≤+-=?a a ，解得2 31≤≤-a ， 所以4 17 )23()3(2)(2++ -=+-=a a a a f ，从而4)1()(max =-=f a f ，419)23()(min -==f a f ，所以)(a f 的值域是]4,4 19[- 【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。 [新题导练] 3.（2008 安徽文、理）函数2()f x =的定义域为 ． [解析] [3,)+∞；由?? ?≠->-≥--1 1,01012x x x 解得3≥x 4．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数(1)y f x =-的值域为( ) A ．[1,1]a b --； B ．[,]a b ； C ．[1,1]a b ++； D ．无法确定 [解析] B ；函数(1)y f x =-的图象可以视为函数()y f x =的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的 5．(2008江西改) 若函数()y f x =的定义域是]3,1[，则函数(2) ()1 f x g x x =-的定义域是 [解析] ]2 3,1()1,21[ ；因为()f x 的定义域为]3,1[，所以对()g x ，321≤≤x 但1x ≠故 ]2 3,1()1,21[ ∈x 6．(2008江西理改)若函数()y f x =的值域是]3,32[，则函数()()1 () F x f x f x =+的值域 是 [解析] ]310, 2[；)(x F 可以视为以)(x f 为变量的函数，令)(x f t =，则)33 2 (1≤≤+=t t t F 2 222)1)(1(111t t t t t t F -+=-=-='，所以，t t F 1+=在]1,32 [上是减函数，在]3,1[上是增函数，故)(x F 的最大值是 3 10 ，最小值是2 考点三：映射的概念 [例5] （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ） A ．7,6,1,4； B ．6,4,1,7； C ．4,6,1,7； D ．1,6,4,7 [解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。 [解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时， 有214292323428a b b c c d d +=??+=??+=??=?，解得6417 a b c d =??=??=??=?，解密得到的明文为C ． 【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点： （1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个整体系统； （2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从集合B 到集合A 的对应关系一般是不同的； （3）集合A 中每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一．．的，这是映射区别于一般对应的本质特征； （4）集合A 中不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； （5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象. [新题导练] 7．集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________. [解析] 9 , 8；从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N 1＝3×3＝9.反之从B 到A ，道理相同，有N 2＝2×2×2＝8种不同映射. 8．若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B. [解析] a =2，k =5，A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}； ∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射的定义知（1） ?????+=+=,133,102 4k a a a 或（2）?????+==+. 13, 10342k a a a ∵a ∈N ，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5. ∴A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}. 备选例题：（03年上海）已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：存在非零常数T ，对任意R x ∈，有)()(x Tf T x f =+成立。 （1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的图象与x y =的图象有公共点，证明： M a x f x ∈=)( [解析]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ? （2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点， 所以方程组：???==x y a y x 有解，消去y 得a x =x , 显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T. 于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =?=?==++ 故f (x )=a x ∈M. ★抢分频道 基础巩固训练： 1．(2007·广东改编) 已知函数x x f -=11)(的定义域为N ，)1ln()(x x g +=的定义域为M ， 则=N M [解析] ),(+∞∞；因为(1,),(,1)M N =-+∞=-∞,故R N M = 2．函数)23(log 3 1-= x y 的定义域是 [解析] 23(,1]；由1230≤- 13 2 ≤ 21 2+-=x x y 的值域是 [解析])1,1(-；由1 212+-=x x y 知1≠y ，从而得y y x -+=112，而02>x ，所以 011>-+y y ，即11<<-y 4．（广东从化中学09届月考）从集合A 到B 的映射中,下列说法正确的是( ) A ． B 中某一元素b 的原象可能不只一个；B ．A 中某一元素a 的象可能不只一个 C ．A 中两个不同元素的象必不相同； D ．B 中两个不同元素的原象可能相同 [解析]A ；根据映射的定义知可排除B 、C 、D 5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则f 中，构成从集合A 到集合B 的映射是 A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>= B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．21 :},0|{,x y x f y y B R A =→>== D ．2 :},1,0{},2,0{x y x f B A = →== [解析]D ；根据映射的定义知，构成从集合A 到集合B 的映射是D 6．（09年执信中学）若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4 --，，则m 的取值范围是（ ） A ．(]4,0； B ．3[3]2，； C ．3[]2，4； D ．3[2 +∞，） [解析]B ；因为函数234y x x =--即为425)2 3(2 - -=x y ，其图象的对称轴为直线2 3 =x ， 其最小值为425-，并且当0=x 及3=x 时，4-=y ，若定义域为[0,]m ，值域为25 [4]4 - -，，则32 3 ≤≤m 综合提高训练： 8．（05天津改）设函数x x x f -+=22ln )(，则函数)1 ()2()(x f x f x g +=的定义域是 [解析] )4,21()21,4( --；由 022>-+x x 得，()f x 的定义域为22<<-x 。故??? ? ??? << -<<-21222 2x x 解得214- <<-x 或42 1 < 1)(2 ++=x x x f 的定义域是]1,[+n n (n 是正整数)，那么)(x f 的值域中共有 个整数 [解析]22+n ；因为4 1 )21(21)(22 ++=+ +=x x x x f ，可见，)(x f 在]1,[+n n (n 是正整数)上是增函数，又22)2 1(]21)1()1[()()1(2 2+=++-++++=-+n n n n n n f n f 所以，在)(x f 的值域中共有22+n 个整数 第3讲 函数的表示方法 ★知识梳理 一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 ★重、难点突破 重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式 重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法 令)(12R t t x ∈=+，则21-= t x ，从而)(9552 1 6)21( 4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-?--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法 因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法 因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x x f x f 3)1 (2)(=+，求)(x f 因为 x x f x f 3)1(2)(=+① 以 x 1代x 得 x x f x f 1 3)(2)1(?=+② 由①②联立消去)1(x f 得)0(2 )(≠-= x x x x f ★热点考点题型探析 考点1：用图像法表示函数 [例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： 进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙 （1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水． 则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。 [解析]由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故②错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。从而一定不正确．．．的论断是（2） 【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。 [新题导练] 1．(05辽宁改)一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式 n a {(0*n ∈ ） A B C D [解 析] A.；令1n n a x a y +=?? =?，则()y f x =等价于)(1n n a f a =+，()y f x =是由点1(,)n n a a +组 成，而又知道1n n a a +<，所以每各点都在y=x 的上方。 时间0 1 1时间02 1时间 034665 2．(2005·湖北)函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是( ) [解析] D ；当1≥x 时，1)1(=--=x x y ，可以排除A 和C ；又当21=x 时，2 3 =y ，可以排除B 考点2：用列表法表示函数 [例2] （07年北京）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出 则[(1)]f g 的值为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是 [解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。 [解析]由表中对应值知[(1)]f g =(3)1f =； 当1=x 时，[(1)]1,[(1)](1)3f g g f g ===，不满足条件 当2=x 时，[(2)](2)3,[(2)](3)1f g f g f g ====，满足条件， 当3=x 时，[(3)](1)1,[(3)](1)3f g f g f g ====，不满足条件， ∴满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是2=x 【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。 [新题导练] 3．（09年山东梁山）设f 、g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f 的对应法则是表映射g 则与)]1([g f 相同的是（ ） A ．)]1([f g ； B ．)]2([f g ； C ．)]3([f g ； D ．)]4([f g [解析] A ；根据表中的对应关系得，1)4()]1([==f g f ，1)3()]1([==g f g 4．（04年江苏改编）二次函数c bx ax y ++=2（x ∈R ）的部分对应值如下表： 则不等式02 <++c bx ax 的解集是 [解析] )3,2(-；由表中的二次函数对应值可得，二次方程02=++c bx ax 的两根为－2和3，又根据)2()0(- 02<++c bx ax 的解集是)3,2(- 考点3：用解析法表示函数 题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 [例3] （04湖北改编）已知)11(x x f -+=2 2 11x x +-，则)(x f 的解析式可取为 [解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 [解析] 令t x x =-+11，则11+-=t t x ，∴ 12)(2+=t t t f .∴1 2)(2+=x x x f . 故应填 2 12x x + 【名师指引】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新元的取值范围）；② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方 程组（如自变量互为倒数、已知)(x f 为奇函数且)(x g 为偶函数等）。 题型2：求二次函数的解析式 [例4] （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f 。 ⑴求)(x f 的解析式； 高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集， R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 A B = 真子集 A ≠ ?B （或 B ≠ ?A ） B A ?，且B 中至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子 集） (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?，则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元 素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A (北师大版)高一数学必修1全套教案 第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动， 圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同 学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定 一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么 要学数学？如何学数学？高中数学知识结 构？新课程标准的基本思路？本期数学教 学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必 修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）， 高二下期（选修系列），高三年级：复习资 料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排： 本期学习内容：高一必修①、②，共72课时， 高一数学必修1质量检测试题（卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至6页。考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．集合｛0,1｝的子集有 （ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知集合2 {|10}M x x =-=，则下列式子正确的是 A ．{1}M -∈ B ． 1 M ? C ． 1 M ∈－ D ． 1 M ?－ 3．下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．1y =与0y x = B ．4lg y x =与2 2lg y x = C ．||y x =与2 y = D ．y x =与ln x y e = 4.设集合{(,)|46},{(,)|53}A x y y x B x y y x ==-+==-，则B A = A ．{x =1，y =2} B ．{（1，2）} C ．{1，2} D ．（1，2） 5. 函数()ln 28f x x x =+-的零点一定位于区间 A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 6．二次函数2 ()23f x x bx =++()b R ∈零点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．以上都有可能 7.设 ()x a f x =（a>0，a ≠1），对于任意的正实数x ，y ，都有 A.()()()f xy f x f y = B. ()()()f xy f x f y =+ C.()()()f x y f x f y += D. ()()()f x y f x f y +=+ 最新北师大版高中数学必修二教案（全册） 第一章 推理与证明 合情推理（一）——归纳推理 课时安排：一课时 课型：新授课 教学目标： 1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。 教学过程： 一、课堂引入： 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解： 1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2、 三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是 由此我们猜想：凸边形的内角和是 3、，由此我们猜想：（均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。 三、例题讲解： 例1已知数列的通项公式，，试通过计算的值，推测出的值。 【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下） （1） 180?360?540?(2)180n -??221222221,,,331332333+++<<<+++ a a m b b m +<+,,a b m {}n a 2 1()(1)n a n N n +=∈+12()(1)(1)(1)n f n a a a =--???-(1),(2),(3)f f f ()f n 113(1)1144 f a =-=-= 高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ?；两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n -个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 A B B ?U 补集 {|,}x x U x A ∈?且%1 （ %1 %1 %1 %1 ⑼ 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩ A ∪=U 反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相 北师大版高中数学必修3知识与题型归纳 第一章《统计》知识与题型归纳复习 （一）、抽样方法 1、简单随机抽样 （1）、相关概念：总体、个体、样本、样本容量。（2）、基本思想：用样本估计总体。 （3）、简单随机抽查概念。一般的，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤ ，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样。其特点：①总体个数有限；②逐个抽取；③不放回抽样；④等可能抽样。 （4）、抽样方法：①抽签法；②随机数表。 2、系统抽样 （1）、定义：当总体元素个数很大时，样本容量不宜太小，这时可将总体分为均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本（等距抽样）。 （2）、步骤：①编号；②分段；③不确定起始个体编号；④按规则抽取。 3、分层抽样 （1）、定义：当总体由差异明显的几部分组成时，为了使抽取的样本更好的反应总体情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样。 适用特征①总体由差异明显的几部分组成；②分成的各层互不重叠；③各层抽取的比例等于样本客样在总体中的比例，即 N n 。 （二）、用样本的频率分布估计总体的分布（统计图表） 1、列频率分布表，画频率分布直方图： （1）计算极差（2）决定组数和组距（3）决定分点（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2、茎叶图；3、扇形图； 4、条形图；5、折线图； 6、散点图。 （三）、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、有关概念 （1）、众数：频率分布最大值所对应的样本数据（或出现最多的那个数据）。 （2）、中位数：累积频率为0.5时，所对应的样本数据。 （3）、平均数：)(1 21n x x x n x +++= Λ （4）、三个概念的区别：①都是描述一组数据集中趋势的量，平均数较重要。②平均数的大小与每个数相关。③众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数更能反映问题，中位数仅与排列有关。 2、样本方差与样本标准差 1样本方差：( )()( )[]2 22212 1 x x x x x x n S n -++-+-=Λ样本方差大说明样本差异和波动性大。 （2）、样本标准差：方差的算术平方根( )()( )[]2 22211 x x x x x x n S n -++-+-= Λ （3）、要有单位，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据单位同。 （四）、变量的相关性： 1、变量与变量之间存在着的两种关系①函数关系：确定性关系。②相关关系：自变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系。 北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修） 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题 必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计 考试时间：100 1 A 圆 2位置关系是A 平行3、一个西瓜切34 5．三个球的半径之比是1：2：3，那么最大的球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．541倍 D ．4 31倍 6．以下四个命题中正确命题的个数是（ ） ①过空间一点作已知平面的垂线有且只有一条 ②过空间一点作已知平面的平行线有且只有一条 ③过空间一点作已知直线的垂线有且只有一条 ④过空间一点作已知直线的平行线有且只有一条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 8．已知直线06:1=++my x l 和直线023)2(:2=++-m y x m l 互相平行，则实数m 的值是（ ） A ．-1或3 B ．-1 C ．-3 D ．1或-3 A 9．已知直线l 的方程为02543=-+y x ，则圆12 2=+y x 上的点到直线l 的最大距离是( ) A ．1 B ．4 C ．5 D ．6 10．点)1,3,2(-M 关于坐标原点的对称点是（ ） A ．（-2，3，-1） B ．（-2，-3，-1） C ．（2，-3，-1） D ．（-2，3，1） 二、填空题（每题4分共16分） 11、从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6、8、12，则其对角线长为 12．将等腰三角形绕底边上的高旋转180o ，所得几何体是______________； 13．圆C ：1)6()2(2 2=-++y x 关于直线0543=+-y x 对称的圆的方程是___________________； 14．经过点)4,3(--P ，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程是______________________。 三、解答题（15、16、17题各题10分，18题14分） 15．过点P （1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程. 16．经过点P )3,2(-作圆2022=+y x 的弦AB ，使P 平分AB ， 求：（1）弦AB 所在直线的方程；（2）弦AB 的长。 17．如图，Rt △ABC 所在平面外一点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，D 为斜边BC 上的中点，求证：PD ⊥平面ABC 。 18题：（14分） 已知圆C:25)2()1(22=-+-y x ， 直线l :047)1()12(=--+++m y m x m （1）求证：直线l 过定点； （2）判断该定点与圆的位置关系； A B C P D 第一章 算法初步 1．1算法与程序框图 练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r . 第二步，计算以r 为半径的圆的面积2 S r π=. 第三步，得到圆的面积S . 2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n . 第二步，令1i =. 第三步，用i 除n ，等到余数r . 第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示. 第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步. 练习（P19） 算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =. 第二步，取出 的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点后 第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b a m =-. 第四步，若m d <，则得到5a ；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.返 回第二步. 第五步，输出5a . 程序框图： 习题1.1 A 组（P20） 1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题. 为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元， 那么 y 与x 之间的函数关系为 1.2,07 1.9 4.9,7x x y x x ≤≤?=? ->? 我们设计一个算法来求上述分段函数的值. 算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x . 第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =； 若不是，则计算 1.9 4.9y x =-. 第三步：输出用户应交纳的水费 y . 程序框图： 2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0. 第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2. 第四步：i = i +1，返回第二步. 必修2测试卷 一、选择题（每小题4分共40分） 1、圆锥过轴的截面是（ ） A 圆 B 等腰三角形 C 抛物线 D 椭圆 2、若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是( )。 A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 3、一个西瓜切3刀，最多能切出（ ）块。 A 4 B 6 C 7 D 8 4．下图中不可能成正方体的是（ ） 5．三个球的半径之比是1：2：3，那么最大的球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．541倍 D ．4 31倍 6．以下四个命题中正确命题的个数是（ ） ①过空间一点作已知平面的垂线有且只有一条 ②过空间一点作已知平面的平行线有且只有一条 ③过空间一点作已知直线的垂线有且只有一条 ④过空间一点作已知直线的平行线有且只有一条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 8．已知直线06:1=++my x l 和直线023)2(:2=++-m y x m l 互相平行，则实数m 的值是（ ） A ．-1或3 B ．-1 C ．-3 D ．1或-3 9．已知直线l 的方程为02543=-+y x ，则圆12 2=+y x 上的点到直线l 的最大距离是( ) A B C D A ．1 B ．4 C ．5 D ．6 10．点)1,3,2(-M 关于坐标原点的对称点是（ ） A ．（-2，3，-1） B ．（-2，-3，-1） C ．（2，-3，-1） D ．（-2，3，1） 二、填空题（每题4分共16分） 11、从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6、8、12，则其对角线长为 12．将等腰三角形绕底边上的高旋转180o ，所得几何体是______________； 13．圆C ：1)6()2(2 2=-++y x 关于直线0543=+-y x 对称的圆的方程是___________________； 14．经过点)4,3(--P ，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程是______________________。 三、解答题（15、16、17题各题10分，18题14分） 15．过点P （1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程. 16．经过点P )3,2(-作圆2022=+y x 的弦AB ，使P 平分AB ， 求：（1）弦AB 所在直线的方程；（2）弦AB 的长。 17．如图，Rt △ABC 所在平面外一点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，D 为斜边BC 上的中点，求证：PD ⊥平面ABC 。 18题：（14分） 已知圆C:25)2()1(22=-+-y x ， 直线l :047)1()12(=--+++m y m x m （1）求证：直线l 过定点； （2）判断该定点与圆的位置关系； （3）当m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最长。 B C P D 高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 A A = ?=? B A ? A A = A ?= B A ? ） ⑼ 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ =ΦΦ === 等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应 关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有 、 、 。§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集 合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数 法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y ＝ 2 21x +，可采用 法；② y ＝)32(2 312-≠++x x x ，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x -1，可采用 法；⑤ y ＝x － 2 1x -，可采用 法；⑥ y ＝ x x cos 2sin -可采用 法等. §3函数的单调性 一、单调性 1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、 高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结 高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则或真子集 AB （或BA）， （A为非空子集） (2)若且，则集且B中至少有一元素不属于A （1） 合相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算（8）交 集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）⑷Α?B?A∩B=A 并集或（1）（2）（3）⑷A?B?A∪B=B 补集?uA ⑴（?uA）∩A=?, ⑵?uA∪A=U, ⑶?u?uA=A, ⑷?uA∩B=?uA∪?uB, ⑸?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB) ⑼集合的运算律：交换律：结合律: 分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A∩?uA=? A∪CuA=U ?uU=??u?=U 反演律：?u(A∩B)=(?uA)∪(?uB) ?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB) 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射 1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 . 2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。 二、函数 1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的，记作 . 2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。 3．函数的表示法有、、。 §2函数的定义域和值域一、定义域： 1．函数的定义域就是使函数式的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：①已 高一数学必修2考试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边 长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个 底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为 （ ） （A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）192 2、已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB |=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） B. 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上， 则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5、已知正方体外接球的体积是 323π，那么正方体的棱长等于 （ D ） （A ） （B ） （C （D 6、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为 真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则 //l m 7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别为 1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） A F D B C G E 1B H 1C 1D 1A Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 8、方程（x-2）2+(y+1)2=1表示的曲线关于点T （-3，2）的对称曲线方程是： （ ） A 、 (x+8)2+(y-5)2=1 B 、(x-7)2+(y+4)2=2 C 、 (x+3)2+(y-2)2=1 D 、(x+4)2+(y+3)2=2 9、已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为： （ ） A 、7 B 、-5 C 、3 D 、-1 10、方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆则m 的取值范围是 ( ) A 、 m ≤2 B 、 m<2 C 、 m<21 D 、 m ≤2 1 11、过直线x+y-2=0和直线x-2y+1=0的交点，且垂直于第二直线的直线方程 为 （ ） A 、+2y-3=0 B 、2x+y-3=0 C 、x+y-2=0 D 、2x+y+2=0 12、圆心在直线x=y 上且与x 轴相切于点（1,0）的圆的方程为： （ ） A 、(x-1)2+y 2=1 B 、(x-1)2+(y-1)2=1 C 、(x+1)2+(y-1)2=1 D 、(x+1)2+(y+1)2=1 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13、直线x=2y-6到直线x=8-3y 的角是 。 14、圆：x 2+y 2-2x-2y=0的圆心到直线xcos θ +ysin θ=2的最大距离 是 。 15．正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿ 16如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直 角三角形。 三 解答题:(共70分) 17．（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面 PBC 求证：AB ⊥BC P A C 数学必修1知识点1.集合的基本运算 ；； 2.集合的包含关系:；； 3.识记重要结论：A B A = ?A B ?; A B A A B =?? ; () U U U A B C C A C B = ; ()U U U A B C C A C B = 4．对常用集合的元素的认识 ①{} 2340 A x x x =+-=中的元素是方程2340 x x +-=的解，A即方程的解集； ②}0 6 | {< - =x x B中的元素是不等式0 6< - x的解，B即不等式的解集； ③{} 221,05 C y y x x x ==+-≤≤中的元素是函数221,05 y x x x =+-≤≤的函数值， C即函数的值域； ④() {} 2 2 log21 D x y x x ==+-中的元素是函数() 2 2 log21 y x x =+-的自变量，D即函数的定义域； ⑤() {} ,23 M x y y x ==-中的元素可看成是关于,x y的方程的解集，也可看成以方程23 y x =-的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。 5.集合 12 {,,,} n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个； 非空的真子集有2n–2个. 6.方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax有且只有一个实根在) , ( 2 1 k k内,等价于0 ) ( ) ( 2 1 < k f k f， 或0 ) ( 1 = k f且 2 2 2 1 1 k k a b k + < - <, 或0 ) ( 2 = k f且 2 2 1 2 2 k a b k k < - < + . 7.闭区间上的二次函数的最值问题： 二次函数)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f在闭区间[]q p,上的 最值只能在 a b x 2 - =处及区间的两端点处取得。 8.()()max a f x a f x ≥?≥?? ??；()()min a f x a f x ≤?≤?? ?? 9.由不等导相等的有效方法：若a b ≥且a b ≤，则a b =. 函数 一、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集 合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做 函数的值域． 注：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；（3)对数式对数式的真数必 须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5指数为零底不可以等于零， 2.相同函数的判断：①定义域一致②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） 3.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 二次函数在闭区间上必有 最值，求最值问题用“两看法”： 一：看开口方向；二：看对称轴 与所给区间的相对位置关系。 北师大版高中数学必修 知识点总结 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有 任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 x ∈?=? B A ? A B B ? ΑBA ∩B =A x∈ A ?= B A ? B ? ⑷ABA∪B=B ⑼集合的运算律： 交换律：结合律:分配律: . ;A B B A A B B A = = ) ( ) (); ( ) (C B A C B A C B A C B A = = ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) (C A B A C B A C A B A C B A = = `北师大版高一数学必修1 第二章函数 §1 生活中的变量关系 桐柏一高中刘莉 ★教学目标 1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识， 了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系． 2．能力目标:培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力． 3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度.★教学重难点： 1．重点：生活中变量之间有依赖关系,掌握变量之间的函数关系. 2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系. ★授课类型：新授课 ★教具：多媒体、实物投影仪 ★教学方法:启发式、交互式教学 ★教学过程： 一、创设情景，引入课题 多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.(板书课题生活中的变量关系) 二、新课讲解 1、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么? ◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系? ◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v 与时间t 是否存在函数关系? 2、知识探究： 阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题 （1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。 （2）对问题3，储油量v 对油面高度h 、油面宽度w 都存在依赖关系，两种依赖关系 都有函数关系吗？ （3）请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否 为函数关系。 （4） 归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。 探究结论 ：依赖关系与函数关系 (1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。 (2)、若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变 量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。 (3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存 在函数关系。 3、议一议： （1） 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化.如图.请问：骆驼的体温与时间之间存在依赖关系吗？若存在，这种依赖关系是函数关系吗？ 图1 3032343638404204812162024283236404448时间/时温度/摄氏度 北师大版高中数学必修全 部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案 第一课时数列的概念 一、教学目标 1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。 2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。 3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析 四、教学过程 （一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题． 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层第57层有多少根从第1层到第57层一共有多少根我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （二）、推进新课 高一数学必修二模块考试题 参考公式： 球的表面积公式S 球 24R π=，其中R 是球半径． 锥体的体积公式V 锥体 1 3 Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积V 台体 1 ()3 h S S '=+，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高． 球的体积公式V 球 34 3 R π=，其中R 是球半径． 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的 （ ） 2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ． 相交 B ． 异面 C ． 平行 D ．异面或相交 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、 11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 4．正三棱锥的底面边长为6，高为3，则这个三棱锥的全面积为（ ） A.39 B.183 C.9(3+6) D. 6 5．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为 ( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位（ ） A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2 ，36πcm 3 D.以上都不正确 7一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是（ ） Ａ、８Лｃｍ２ Ｂ、１２Лｃｍ２ Ｃ、１６Лｃｍ２ Ｄ、２０Лｃｍ ２高中数学北师大版必修1全册知识点总结
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