排列、组合、二项式定理与概率测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是
由四个色块构成，可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 ( )
A. 8种
B. 12种
C. 16种
D. 20种
2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ）
A ．96种
B ．180种
C ．240种
D ．280种 3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能排在一起，则 不同的选排方法共有（ ）
A ．12种
B ．20种
C ．24种
D ．48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）
A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种 5、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod
m )。已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·
219，b ≡a (mod 10)，则b 的值可以是（ ） A.2015 B.2011 C.2008 D.2006
6、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ） A ．22种 B ．23种 C ．24种 D ．25种
7、令1
)
1(++n n x a 为的展开式中含1
-n x
项的系数，则数列}1
{
n
a 的前n 项和为 （ ）
A ．
2)
3(+n n B ．
2)
1(+n n C ．
1+n n D ．
1
2+n n
8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ）
A ．32
B ．1
C ．-1
D ．-32
9、二项式2
3n
x ?
?
*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 （ ）
A 5
B 6
C 7
D 8
10、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）
A ．150种
B ．147种
C ．144种
D ．141种 11、两位到北京旅游的外国游客要与2008奥运会的吉祥物福娃（5个）合影留念，要求排成
一排，两位游客相邻且不排在两端，则不同的排法共有 （ ） A ．1440 B ．960 C ．720 D ．480 12、若x ∈A 则
x 1∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，2
1
，1，2，3，4} 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A ．15
B ．16
C ．28
D ．25
二、填空题(每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有_________种． 14、在72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3的系数是 ．
15、已知数列{n a }的通项公式为121+=-n n a ，则01n C a +1
2n C a + +33n C a +n n n C a 1+=
16、对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，
n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1． 现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．
三、解答题(本大题共6小题，前5小题每小题12分，最后1小题14分，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17、某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法．那么该小组中男、女同学各有多少人？
18、设m，n∈Z＋，m、n≥1，f(x)=(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中，x的系数为19．
（1）求f(x)展开式中x2的系数的最值；
（2）对于使f(x)中x2的系数取最小值时的m、n的值，求x7的系数．
19、7位同学站成一排．问：
(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种?
20、已知(
n
x的展开式中前三项的系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．
21、由0，1，2，3，4，5这六个数字。
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
22、规定=x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且=1，这是排列数(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
（1）求的值；
（2）排列数的两个性质：①，②．(其中m，n是正整数)是否都能推广到(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．
参考答案
1、C
2、C
3、C
4、B
5、 B
6、C
7、 D
8、 A
9、 C 10、D 11、B
12、A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，
21、2，3
1
、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C 1
4+ C 2
4+ C 3
4+ C 4
4=15, 选A ．
13、34 14、1008 15、n n 32 16、①②③④ 点拨：(2005!!)×(2006!!)
17、解： 设男生有x 人，则女生有8－x 人，依题意，，
∴(8－x)·6=180，x 3－9x 2＋8x ＋60=0，
x 3－5x 2－(4x 2－20x)－(12x －60)=0， (x －5)(x 2－4x －12)=0，
∴x 1=5，x 2=6，x 3=－2(舍去)． ∴男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人．
18、解： =19，即m ＋n=19．∴m=19－n
(1)设x 2的系数为T==n 2－19n ＋171 =(n －)2＋171－．
∵n ∈Z ＋，n ≥1， ∴当n=1或n=18时，T max =153，当n=9或10时，T min =81； (2)对于使f(x)中x 2的系数取最小值时的m 、n 的值，
即f(x)=(1＋x)9＋(1＋x)10 从而x 7的系数为．
19、 (1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有
种方法．所以
这样的排法一共有
种．
(2)方法同上，一共有种．
(3)将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种
方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行
排列有
种方法．所以这样的排法一共有
种方法．
(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，∴一共有排法种数：
(种)．
20、解：（Ⅰ）由题设，得 02
111C C 2C 42
n n n +?=??， 即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1
（舍去）．
（Ⅱ）设第r ＋1的系数最大，则1881188111C C 2211C C .22r
r r r r r r r ++--???????≥，≥ 即1182(1)
11.291r r r ??-+????-?
≥，≥ 解得r ＝2或r
＝3．所以系数最大的项为5
37T x =，9
2
47T x =．
21、解：（1）1355300A A = (2)3112
5244156A A A A +=(3) 312154431112A A A A +++=
22、(1) =(－15)(－16)(－17)=－4080； (2)性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①，②(x ∈R ，m ∈N ＋)
事实上，在①中，当m=1时，左边==x ，右边==x ，等式成立；
当m≥2时，左边=x(x －1)(x －2)…(x －m ＋1) =x[(x －1)(x －2)…((x －1)－(m －1)＋1)]=
因此，①
成立； 在②中，m=1时，左边=
=
右边，等式成立； 当m≥2时，左边
=x(x －1)(x －2)…(x －m ＋1)＋mx(x －1)(x －2)…(x －m ＋2)
=x(x －1)(x －2)…(x －m ＋2)[(x －m ＋1)＋m] =(x ＋1)x(x －1)(x －2)…[(x ＋1)－m ＋1]
==右边， 因此②(x ∈R ，m ∈N ＋)成立．