高等数学练习题二
一、填空题:
1?设z=f(x.y),其中/具有连续的二阶偏导数，则
2-将二次积分 I = j (V2 dy^ /(x, y)dx + j\
〉/(x, y)dx 变为
42
3?设幕级数在"0处收敛，而在“2处发散，则幕级数
w=0
岸的收敛域为[-1,1).
;?=0
4.函数/(兀)= —关于兀的幕级数展开式为
x + 无一2
5?微分方程dx- (xcos )' + sin 2y)dy = 0满足y(-2) = 0的特解为
x = -2(1 4-sin y)?
二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。
6?函数z = /(x,y)在点(心，沟)处两个偏导数(兀o ，)b )，/；(勺‘沟)存在
是
f^y)在该点可微分的
【B ]
(A)充分条件
(B)必要条件
极坐标系下的二次积分后
可得心加&加(厂COS& 4
,rsin 0)rdr
OO
Z /?=0
(-1严
。舁
+1
32
z
dxd y
(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件7?设厶是曲线＞' = -71^7上点A(l,0)与点3(0,-1)间的一段弧，则
曲线积分[/(x, y)ds =
(A) J ；；f (cos&,sin 0)d0
T
(C) Jo 2
/ (cos 0,sin &)d& 8.下列级数中条件收敛的是
oo
(C) z
n=l 9.曲面2” + y2 + 3z2 = 6在点(1,1,_1)处的切平面方程为
(D) x+ y-3z = 6
10.微分方程嘤-3字+ 2尸(兀+1)0的一个特解可设为
【D ]
ax" dx
(A) Axe 2x
(B) (Ax-\-B)e 2x
(C) Ax 2e 2x
(D) (Ax+B)xe-X
三、计算下列各题：
11?求原点到曲面z 2 =xy-^x-y-^4的最短距离。
【解】设点M (兀,y,z)为曲面 z 2
=xy + x- y + 4上任一点，则该点与原 点距离的平方和为:f(x,y\z) = d 2
=x 2 + y 2 + z 2
只要求距离的平方和最小即可，约束条件： xy + x-y + 4-z 2
=0 设 F(x,y,z) = x 2
+ y 2
+z 2
+2(小 + 兀一 y + 4-z?)
⑻
Jl 一兀$ 側
(D) J jd&J ；/(厂cos0,厂sin&)厂d 厂
(A ) ￡(-ir
//=! n n+\
(—1)"
(A) x + 2y-3z = 6
(B) x + 4y-3z = 6
(D ) ￡(-ir
n=]
xy + x-y^A-z 1
=0
故，原点到曲面 z 2 =xj + x-y + 4的最短距离为：V3 ■
原式訂MM ：：；牛2血M
几兀(
、
(7
、
=—(4cos 2
(p-sec 2
^jsin (pd(p = — --2^2
13.计算曲面积分 / = JJ 2xz 2
dydz + y(z? +1)dz
面z = x 2 + r+i 被平面*2所截下部分的下侧。
【解】补平面纭：z = 2（F + y2Q ）取上侧，则工+乙构成一封闭曲面, 且是它所围区域Q 的边界曲面的外侧。
设 P = 2XZ 2,Q = y(z 2 + 1),/? = 9-Z 3 ,则竽 + 器 + 竽=1 ox dy dz 且￡1在砂的投影区域Z)vv :x 2 + / / = M _ JJ - fff \dxdydz _ jj \dxdy E+2[ Q q, \ 71 d0\ rdr\\ dz-7t = -— 代=2y + Q(x_l) = 0 F. =2z-A-2z = 0 厶 角军得兀=_1」=1，z 二±1 12. 计算三次积分JAJ 尸右广 '宀2 dz I 解】积分区域Q 界于平 z = l 与z = 1 +J1-F -严之间，且在xoy 71 14.求幕级数 的收敛域及和函数。 72=1 J o J o J r2+l 2 ,收敛。故，幕级数的收敛域为［-1,1］在［-1,1］内， 设 ,上式两边对兀求导, OO a S22 冶心讥卍 上式两边从0至肛积分，得 c * S(x) 一 S(0) =dx = -ln(l + x 2) 」°1+Q 又5(0) = 0,因此 S(x) = -ln(l + x 2), XG [-1,1] 四、证明下列各题: 连续的偏导数，试证兀车+ y* = z ? dx dy ( 、 _丄 丫2 \ A 7 dz _ yF x + Z F 2 dx X F 2 【解】因 所以，当| X 2<1, 即xe (-1,1)时，幕级数绝对收敛。在兀=±1处，原專 15. (7分)设方程F UX =0确定了隐函数z = z(x,y),其中F 具有 【证1方程F R 二、 \x XJ =0两边对兀求偏导，有 解得 方程侄 =0两边对y 求偏导，有 lim z?—>OO lim 片丄+局空=0 解得 干早 dz_yF l +zF 2 yF { 十疋 卞+远一 —一X 16?设函数/⑴在[0,1]上连续，证明：匸闵”)/()川=比/(兀)打 【证】 因/(兀)在[0,1] ±连续，所以F(x) = J ；/(M 是/(兀)的一个原函 数。于是 匸闵：/(兀)/()M 訂(；/(*) J ；/(y)dy 必訂(；/(Q F (y )|：k =F ⑴^f(x)dx-^F(x)f(x)dx=F ⑴加(兀皿一彷⑴莎⑴ 二扛2(])+扛2(o ) 2 2 而 F(l) = J ； f ⑴dt, F(0) = 0 ,因此 J (； dxj^ f(x)f(y)dy = + [j ： f(x)dx 注：本题也可以采用交换积分次序的方法证明 17?设”(兀),y 2(x),旳(兀)均为方程 y^+P^(x)y' + P 2(x)y = Q(x)的特 解， 且__工常数。求证：y =(\-c } -c 0)y } +“夕2 +巾旳为该方程通解。 【证】因y 2-y\与乃-必是原方程所对应的齐次方程 y Jy +P ](x)y+P 2(x)y = 0 的解 又21二丸工常数，所以)勺_必与y?—力线性无关。于是 乃一力 Y = c x (y 2 -力)+ 02(歹3 -力)是齐次方程y"+片(/)_/+&(x)y = 0的通解 再 由方程解的结构可知方程y" + P } (x))/ +P 2{x)y = 2(x)的通解为 y = 丫 + yI 二 Cl (y2 —北)+ C2 (乃—力)+ 力 = F 2(1)_l F 2(x) 兀 18.设a” = tan n xdx , 8 1 （1）求工丄（S+%2）的值; n=\ “ 8 Zf ⑵ 试证：对于任意常数A>0,级数工牛收敛。 【证】显然孙>0 ,又 71 71 a fl+2 = [/ tan H+2 xdx =(4 tan 11 x(sec 2 x-\)dx JO J 0 7T 7V | | 4 tan" xd tan x-(4 tan n xdx = ---- a n J ° J ° H+l " )由 a” + a* =—— 与 5 > 0 可知，0 v a n +1 z/ 1 _ 8 1 VA>0,-^-<^r ,而〃-级数 收敛，故 V2>0 fT 72 n=\ F7 收敛。 于是 (1) 1 a n + a n+2 = —"7 力+ 1 OO j 8 [ [ 8 工一(勺+。卄2)=工 -- — 心 n n=\ "2 + 1 =1 <-o 于是， n 8 n ,正项级数工占
相关主题
文本预览