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信息论习题集(陈运).doc

信息论习题集

一、名词解释（25道）

1、“本体论”的信息（P2）

2、“认识论”信息（P2）

3、离散信源（P7）

4、自信息量（P9）

5、离散平稳无记忆信源（P39）

6、马尔可夫信源（P46）

7、信源冗余度（P51） 8、连续信源（P52） 9、信道容量（P73）

10、强对称信道（P75-76） 11、对称信道（P78）12、多符号离散信道（P83）

13、连续信道（P95） 14、平均失真度（P105） 15、实验信道（P107）

16、率失真函数（P107） 17、信息价值率（P127） 18、游程序列（P143）

19、游程变换（P143） 20、L-D 编码（P146）、 21、冗余变换（P146）

22、BSC 信道（P171） 23、码的最小距离（P174）24、线性分组码（P175）

25、循环码（P188）

二、填空（100道）

1、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。

2、 1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

3、按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。

4、按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。

5、人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。

6、信息的可度量性是建立信息论的基础。

7、统计度量是信息度量最常用的方法。

8、熵是香农信息论最基本最重要的概念。

9、事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。

10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。

11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。

12、自信息量的单位一般有比特、奈特和哈特。

13、必然事件的自信息是 0 。

14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。

15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于两个自信息量之和。

16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变小。

17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍。

18、离散平稳有记忆信源的极限熵，=∞H )

/(lim 121-∞→N N N X X X X H Λ。

19、对于n 元m 阶马尔可夫信源，其状态空间共有 n m 个不同的状态。

20、一维连续随即变量X 在[a ，b]区间内均匀分布时，其信源熵为 log 2（b-a ）。 21、平均功率为P 的高斯分布的连续信源，其信源熵，H c （X ）=eP π2log 212。

22、对于限峰值功率的N 维连续信源，当概率密度均匀分布时连续信源熵具有最大值。

23、对于限平均功率的一维连续信源，当概率密度高斯分布时，信源熵有最大值。

24、对于均值为0，平均功率受限的连续信源，信源的冗余度决定于平均功率的限定值P 和信源的熵功率P 之比。

25、若一离散无记忆信源的信源熵H （X ）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。

26、m 元长度为k i ，i=1，2，···n 的异前置码存在的充要条件是：∑=-≤n i k i m 11。

27、若把掷骰子的结果作为一离散信源，则其信源熵为log26 。

28、同时掷两个正常的骰子，各面呈现的概率都为1/6，则“3和5同时出现”这件事的自信息量是log218（1+2 log23）。

29、若一维随即变量X的取值区间是[0，∞]，其概率密度函数为

)

(

，其中：0

≥

x，

m是X的数学期望，则X的信源熵

)

log。

30、一副充分洗乱的扑克牌（52张），从中任意抽取1张，然后放回，若把这一过程看作离

散无记忆信源，则其信源熵为

log

2。

31、根据输入输出信号的特点，可将信道分成离散信道、连续信道、半离散或半连续信道。

32、信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为无记忆信道。

33、具有一一对应关系的无噪信道的信道容量C= log2n 。

34、强对称信道的信道容量C= log2n-H ni 。

35、对称信道的信道容量C= log2m-H mi 。

36、对于离散无记忆信道和信源的N次扩展，其信道容量C N= NC 。

37、对于N个对立并联信道，其信道容量C N = ∑

1。

38*、多用户信道的信道容量用多维空间的一个区域的界限来表示。

39*、多用户信道可以分成几种最基本的类型：多址接入信道、广播信道和相关信源信道。40*、广播信道是只有一个输入端和多个输出端的信道。

41、当信道的噪声对输入的干扰作用表现为噪声和输入的线性叠加时，此信道称为加性连续信道。

42、高斯加性信道的信道容量C=

)

log

。

43、信道编码定理是一个理想编码的存在性定理，即：信道无失真传递信息的条件是信息率小于信道容量。

44、信道矩阵

2/1

代表的信道的信道容量C= 1 。

45、信道矩阵

代表的信道的信道容量C= 1 。

46、高斯加性噪声信道中，信道带宽3kHz，信噪比为7，则该信道的最大信息传输速率C t= 9 kHz 。

47、对于具有归并性能的无燥信道，达到信道容量的条件是p（y j）=1/m）。

48、信道矩阵

代表的信道，若每分钟可以传递6*105个符号，则该信道的最大信息

传输速率C t= 10kHz 。

49、信息率失真理论是量化、数模转换、频带压缩和数据压缩的理论基础。

50、求解率失真函数的问题，即：在给定失真度的情况下，求信息率的极小值。

51、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越大，获得的信息量就越小。

52、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大道传输消息所需的信息率也越小。

53、单符号的失真度或失真函数d（x i，y j）表示信源发出一个符号x i，信宿再现y j所引起的误差或失真。

54、汉明失真函数 d （x i ，y j ）=??

?≠=j i j i 10 。

55、平方误差失真函数d （x i ，y j ）=（y j - x i ）2。

56、平均失真度定义为失真函数的数学期望，即d （x i ，y j ）在X 和Y 的联合概率空间P （XY ）中的统计平均值。

57、如果信源和失真度一定，则平均失真度是信道统计特性的函数。

58、如果规定平均失真度D 不能超过某一限定的值D ，即：D D ≤。我们把D D ≤称为保真度准则。

59、离散无记忆N 次扩展信源通过离散无记忆N 次扩展信道的平均失真度是单符号信源通过单符号信道的平均失真度的 N 倍。

60、试验信道的集合用P D 来表示，则P D = {}

m j n i D D x y p i j ,,2,1,,,2,1;:)/(ΛΛ==≤ 。 61、信息率失真函数，简称为率失真函数，即：试验信道中的平均互信息量的最小值。

62、平均失真度的下限取0的条件是失真矩阵的每一行至少有一个零元素。

63、平均失真度的上限D max 取{D j ：j=1，2，···，m}中的最小值。

64、率失真函数对允许的平均失真度是单调递减和连续的。

65、对于离散无记忆信源的率失真函数的最大值是 log 2n 。

66、当失真度大于平均失真度的上限时D max 时，率失真函数R （D ）= 0 。

67、连续信源X 的率失真函数R （D ）= );()/(Y X I P x y p Inf

D ∈ 。

68、当2σ≤D 时，高斯信源在均方差失真度下的信息率失真函数为 =)(D R

D 2

2log 21σ 。

69、保真度准则下的信源编码定理的条件是信源的信息率R 大于率失真函数R （D ）。 70、某二元信源??????=?????

?2/12/110)(X P X 其失真矩阵D=??????00a a ，则该信源的D max = a/2 。 71、某二元信源??????=?????

?2/12/110)(X P X 其失真矩阵D=??????00a a ，则该信源的D min = 0 。 72、某二元信源??????=??????2/12/110)(X P X 其失真矩阵D=??????00a a ，则该信源的R （D ）= 1-H

（D/a ）。

73、按照不同的编码目的，编码可以分为三类：分别是信源编码、信道编码和安全编码。

74、信源编码的目的是：提高通信的有效性。

75、一般情况下，信源编码可以分为离散信源编码、连续信源编码和相关信源编码。

76、连续信源或模拟信号的信源编码的理论基础是限失真信源编码定理。

77、在香农编码中，第i 个码字的长度k i 和p （x i ）之间有

)(log 1)(log 22i i i x p k x p -<≤-

关系。 78、对信源??????=?????

?16/116/116/116/18/18/14/14/1(87654321x x x x x x x x X P X ）进行二进制费诺编码，其编码效率为 1 。

79、对具有8个消息的单符号离散无记忆信源进行4进制哈夫曼编码时，为使平均码长最短，应增加 2 个概率为0的消息。

80、对于香农编码、费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。

81、对于二元序列0011100000011111001111000001111111，其相应的游程序列是 23652457 。

82、设无记忆二元序列中，“0”和“1”的概率分别是p 0和p 1，则“0”游程长度L （0）的

概率为 11)0(0)]0([p p L p L -= 。

83、游程序列的熵等于原二元序列的熵。

84、若“0”游程的哈夫吗编码效率为η0，“1”游程的哈夫吗编码效率为η1，且η0>η1对

应的二元序列的编码效率为η，则三者的关系是 η0>η>η1 。

85、在实际的游程编码过程中，对长码一般采取截断处理的方法。

86、“0”游程和“1”游程可以分别进行哈夫曼编码，两个码表中的码字可以重复，但 C 码

必须不同。

87、在多符号的消息序列中，大量的重复出现的，只起占时作用的符号称为冗余位。

88、“冗余变换”即：将一个冗余序列转换成一个二元序列和一个缩短了的多元序列。

89、L-D 编码是一种分帧传送冗余位序列的方法。

90、L-D 编码适合于冗余位较多或较少的情况。

91、信道编码的最终目的是提高信号传输的可靠性。

92、狭义的信道编码即：检、纠错编码。

93、BSC 信道即：无记忆二进制对称信道。

94、n 位重复码的编码效率是 1/n 。

95、等重码可以检验全部的奇数位错和部分的偶数位错。

96、任意两个码字之间的最小汉明距离有称为码的最小距d min ，则d min =)',(min 'c c d c c ≠。

97、若纠错码的最小距离为d min ，则可以纠正任意小于等于t= ?????

?-21min d 个差错。 98、若检错码的最小距离为d min ，则可以检测出任意小于等于l= d min -1 个差错。

99、线性分组码是同时具有分组特性和线性特性的纠错码。

100、循环码即是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。

三、判断（50道）

1、必然事件和不可能事件的自信息量都是0 。错

2、自信息量是)(i x p 的单调递减函数。对

3、单符号离散信源的自信息和信源熵都具有非负性。对

4、单符号离散信源的自信息和信源熵都是一个确定值。错

5、单符号离散信源的联合自信息量和条件自信息量都是非负的和单调递减的。对

6、自信息量、条件自信息量和联合自信息量之间有如下关系：

)/()()/()()(j i j i j i j i y x I y I x y I x I y x I +=+=

对

7、自信息量、条件自信息量和互信息量之间有如下关系： )

/()()/()();(i j j j i i j i x y I y I y x I x I y x I -=-= 对

8、当随即变量X 和Y 相互独立时，条件熵等于信源熵。对

9、当随即变量X 和Y 相互独立时，I （X ；Y ）=H （X ）。错

10、信源熵具有严格的下凸性。错

11、平均互信息量I （X ；Y ）对于信源概率分布p （x i ）和条件概率分布p （y j /x i ）都具有凸函数性。对

12、m 阶马尔可夫信源和消息长度为m 的有记忆信源，其所含符号的依赖关系相同。错

13、利用状态极限概率和状态一步转移概率来求m 阶马尔可夫信源的极限熵。对

14、N 维统计独立均匀分布连续信源的熵是N 维区域体积的对数。对

15、一维高斯分布的连续信源，其信源熵只与其均值和方差有关。错

16、连续信源和离散信源的熵都具有非负性。错

17、连续信源和离散信源都具有可加性。对

18、连续信源和离散信源的平均互信息都具有非负性。对

19、定长编码的效率一般小于不定长编码的效率。对

20、若对一离散信源（熵为H （X ））进行二进制无失真编码，设定长码子长度为K ，变长码子平均长度为K ，一般K >K 。错

21、信道容量C 是I （X ；Y ）关于p （x i ）的条件极大值。对

22、离散无噪信道的信道容量等于log 2n ，其中n 是信源X 的消息个数。错

23、对于准对称信道，当

m y p j 1)( 时，可达到信道容量C 。错

24、多用户信道的信道容量不能用一个数来代表。对

25、多用户信道的信道容量不能用一个数来代表，但信道的信息率可以用一个数来表示。错

26、高斯加性信道的信道容量只与信道的信噪有关。对

27、信道无失真传递信息的条件是信息率小于信道容量。对

28、最大信息传输速率，即：选择某一信源的概率分布（p （x i ）），使信道所能传送的信息率的最大值。错

29、对于具有归并性能的无燥信道，当信源等概率分布时（p （x i ）=1/n ），达到信道容量。错

30、求解率失真函数的问题，即：在给定失真度的情况下，求信息率的极小值。对

31、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小。错

32、当p （x i ）、p （y j /x i ）和d （x i ，y j ）给定后，平均失真度是一个随即变量。错

33、率失真函数对允许的平均失真度具有上凸性。对

34、率失真函数没有最大值。错

35、率失真函数的最小值是0 。对

36、率失真函数的值与信源的输入概率无关。错

37、信源编码是提高通信有效性为目的的编码。对

38、信源编码通常是通过压缩信源的冗余度来实现的。对

39、离散信源或数字信号的信源编码的理论基础是限失真信源编码定理。错

40、一般情况下，哈夫曼编码的效率大于香农编码和费诺编码。对

41、在编m （m>2）进制的哈夫曼码时，要考虑是否需要增加概率为0的码字，以使平均码长最短。对

42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵与“1”游程序列的熵的和）大于等于原二元序列的熵。错

43、在游程编码过程中，“0”游程和“1”游程应分别编码，因此，它们的码字不能重复。错

44、L-D 编码适合于冗余位较多和较少的情况，否则，不但不能压缩码率，反而使其扩张。对

45、狭义的信道编码既是指：信道的检、纠错编码。对

46、对于BSC 信道，信道编码应当是一对一的编码，因此，消息m 的长度等于码字c 的长度。错

47、等重码和奇（偶）校验码都可以检出全部的奇数位错。对

48、汉明码是一种线性分组码。对

49、循环码也是一种线性分组码。对

50、卷积码是一种特殊的线性分组码。错

四、简答（20道）

1、信息的主要特征有哪些？（P3）

2、信息的重要性质有哪些？（P3）

3、简述几种信息分类的准则和方法。（P4）

4、信息论研究的内容主要有哪些？（P6）

5、简述自信息的性质。（P9-10）

6、简述信源熵的基本性质。（P17-20）

7、简述信源熵、条件熵、联合熵和交互熵之间的关系。（P38-39）

8、信道的分类方法有哪些？（P71）

9、简述一般离散信道容量的计算步骤。（P82）

10、简述多用户信道的分类。（P88）

11、简述信道编码定理。（P98）

12、简述率失真函数的性质。（P108-111）

13、简述求解一般离散信源率失真函数的步骤。（P112-114）

14、试比较信道容量与信息率失真函数。（P128）

15、简述编码的分类及各种编码的目的。（P131）

16、简述费诺编码的编码步骤。（P135）

17、简述二元哈夫曼编码的编码步骤。（P136-137）

18、简述广义的信道编码的分类及各类编码的作用。（P170）

19、简述线性分组码的主要结构参数。（P181）

20、简述循环码的系统码构造过程。（P195）

五、证明（10道）

1、最大离散熵定理：信源X 中n 个不同离散消息时，信源熵H （X ）有

n X H 2log )(≤ 当且仅当X 中各个消息出现的概率全相等时，上式取等号。

2、证明平均互信息量的极值性，即：)();(X H Y X I ≤，并说明等式成立的条件。

3、证明条件熵小于信源熵，即：)()/(X H Y X I ≤，并说明等式成立的条件。

4、设X =X 1，X 2，···，X N 是平稳离散有记忆信源，试证明：

H （X 1X 2···X N ）=H （X 1）+H （X 2/X 1）+···+H （X N /X 1X 2···X N-1）

5、若X ，Y ，Z 是三个随即变量，试证明：

I （X ；YZ ）=I （X ；Y ）+I （X ；Z/Y ）=I （X ；Z ）+X ；Y/Z ）

6、试证明：当信道每输入一个X 值，相应有几个Y 值输出，且不同的X 值所对应的Y 值不相互重合时，有H （Y ）-H （X ）=H （Y/X ）

7、设X 是X 的N 次扩展信源，若信道为无记忆信道时，试证明：

I （X ；Y ）=N*I （X ；Y ）

8、试证明对于离散无记忆N 次扩展信源，有RN （D ）=NR （D ）。其中N 为任意正整数，

D min D ≥。

9、试证明离散二元无记忆信源的熵等于对应的游程序列的熵。

10、试证明：线性分组码的最小码距为dmin=d ，当且仅当其一致效验矩阵H 中任意d-1列

线性无关，某d 列线性相关。

六、计算（20道）

1、设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时刻且不论以前发生过什么符号，均按P （0）=0.4,P(1)=0.6的概率发出符号。试计算：

（1）H （X 2）（2）H （X 3/X 1X 2）（3）)(lim X H N ∞

→

2、已知信源X 和条件概率P （Y/X ）如下： ??????=??????2/12/1)(21x x X P X ??????=??????4/34

/14/14/3////)/(/222

11211x y x y x y x y X Y P X Y

试计算：H （X ）、H （Y ）、H （XY ）、H （X/Y ）、H （Y/X ）、H （X ；Y ）

3、同时扔两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都是1/6，求：

(1)“３和５同时出现”这事件的自信息量；

(2)“两个１同时出现” 这事件的自信息量；

(3)两个点数的各种组合（无序对）的熵或平均自信息量；

(4)两个点数之和（即２、３、…１２构成的子集）的熵；

(5)两个点数中至少有一个是１的自信息。

( LOG 23≈1.585 LOG 25≈2.3236 LOG 211≈3.46 )

４、某校入学考试中有１/4考生被录取，3/4考生未被录取。被录取的考生中有50%来自本

市，而落榜考生中有10%来自本市。所有本市的考生都学过英语。而外地落榜考生以及被录取的外地考生中都有40%学过英语。

(1)当已知考生来自本市时，给出多少关于考生是否被录取的信息；

(2)当已知考生学过英语时，给出多少有关考生是否被录取的信息；

(3)以x 表示是否落榜，y 表示是否为本市学生，z 表示是否学过英语，试求H(X)、H(Y |X)、H(Z |XY)。

5、A ensemble X has the non-negative integers as its sample space. Find the probability assignment P X (n),n=0,1,2, …,that maximizes H(X) subject to the constraint that the mean value of X.（n=0,∞）

∑=0X (n)nP

is a fixed value A. Evaluate the resulting H(X).

6、设有一单符号离散信源??

????????=??????161,161,161,161,81,81,41,41,,,,,,,)(87654321x x x x x x x x X P X （1）对该信源编二进制费诺(Fano)码；

（2）计算其信息熵、平均码长、信息率、编码效率。

① 该信源每秒钟内发出一个符号,求该信源的熵及信息传输速率。

② 对八个符号作二进制码元的霍夫曼编码,写出各代码组,并求出编码效率。

③ 对八个符号作三进制码元的霍夫曼编码,写出各代码组,并求出编码效率。

8、设具有归并性能的无噪信道的信道矩阵P=?????

???????100010010001001，求其信道容量及达到信道容量时信

源的概率分布p （x i ）。

9、设二进制对称无记忆信道，信道矩阵为[P]=?????

?p p p p ，其中：0

试计算：

（1）[P]代表的信道的信道容量C ；

（2）[P 3]代表的信道的信道容量C 3。 10、信道矩阵[P]=?????

?8/18/12/14/18/18/14/12/1，计算[P]代表的信道的信道容量。提示：利用如下公式

（1）

k M y p j k m y p y p k j ∑∈=

)()()(k=1，2，···，s

（2）)

,,,()(log )(2121m k k s k k q q q H y p y p m C Λ--=∑=

11、彩色电视显象管的屏幕上有5×105 个象元，设每个象元有64种彩色度，每种彩度又

有16种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组合均以等概率出现并且各个组合之间相互独立。

（1）计算每秒传送25帧图象所需要的信道容量；

（2）如果在加性高斯白噪声信道上信号与噪声平均功率的比值为63，为实时传送彩色电视的图象，信道的带宽应为多大？

12、设离散无记忆信源??????=?????

?3/13/13/1)(321x x x X P X 其失真度为汉明失真度。试计算：（1）D min 及R （D min ）；

（2）D max 及R （D max ）。

13、若某无记忆信源??????=??????6/13/12/1)(321x x x X P X ，失真矩阵D=????

??????131231，求该信源的最大和最小失真度。

14、设信源??????-=?????

?p p x x X P X 1)(21（p<1/2），其失真度为汉明失真度。试计算：（1）D min 及D max ；

（2）率失真函数R （D ）；

（3）当d=p 2

1时的信息率（即R （D ））；（4）粗略地绘制D 与R 的关系曲线。

15、若某二元等概率信源的失真矩阵为汉明失真矩阵，试计算：

（1） D min 、D max 和R （D ）；

（2）信道传输矩阵P （Y/X ）

即为19题的特例。

16、证明最小错误概率译码与最大似然译码在先验等概的条件下等价。设M ＝2且两个消息

等概，令)0000(1=x ，)1111(2=x 。通过信道转移概率p<1/2的信道传输。若将译码区间分为}1000,0100,0010,0001,0000{1=Y ， }0111,1011,1101,1110,1111{2=Y ， }0101,1010,1001,0110,1100,0011{3=Y 。试给出译码错误概率和有错而不能判决的概率。（24个4位0、1序列分为Y 1、Y 2、Y 3）

17、设二元（7, 4）线性分组码的生成矩阵为?????

???????=1000101010011100101100001011G 给出该码的一致校验矩阵并写出所有的伴随式和与之相对应的陪集首。若接收矢量)0001011(=v ，试计算出其对应的伴随式S 并按照最小距离译码准则试着对其译码。

18、有一组码将二位信息位编成五位长的码字，其规则如下：

00 00000

01 01101

10 10111

11 11010

（1）证明此码是系统一致校验码；

（2）找出其生成矩阵和一致校验矩阵；

（3）对于无记忆二元对称信道(p<<

1)，列出其最大似然译码的译码表；（4）计算正确译码概率。

19、设一分组码具有一致校验矩阵 H ＝ ????

??????111100110010101001 （1）求这分组码n=？k=？，共有多少个码字？

（2）求此分组码的生成矩阵；

（3）矢量101010是否是码字？

（4）设发送码字C=(001111)，但接收到的序列为R=(000010)，其伴随式S 是什么？

这伴随式指出已发生的错误在什么地方？为什么与实际错误不同？

20、Consider two parity check codes.Code I is generated by the rule

x 1=u 1 x 4=u 1⊕u 2

x 2=u 2 x 5=u 1⊕u 3

x 3=u 3 x 6=u 2⊕u 3

x 7=u 1⊕u 2⊕u 3

Code II is the same except that x 6=u 2.

(1)Write down the generator matrix and parity check matrix for code I .

(2)Write out a decoding table for code I , assuming a BSC with crossover probability ε< 2

1. (3)Give an exact expression for the probability of decoding error for code I and for code II .

Which is larger ?

(4)Find d min for code I and for code II .

(5)Give a counter example to the conjecture that if one (N,k) parity check code has a larger

minimum distance than another (N,k) parity check code, it has a samaller error probability on a BSC.

答案~信息论与编码练习

1、有一个二元对称信道，其信道矩阵如下图所示。设该信道以1500个二元符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二元符号，并设在这消息中P(0)=P(1)=1/2。问从信息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真地传送完？解答：消息是一个二元序列，且为等概率分布，即P(0)=P(1)=1/2，故信源的熵为H(X)=1(bit/symbol)。则该消息序列含有的信息量＝14000(bit/symbol)。下面计算该二元对称信道能传输的最大的信息传输速率：信道传递矩阵为：信道容量（最大信息传输率）为： C=1-H(P)=1-H(0.98)≈0.8586bit/symbol 得最大信息传输速率为： Rt ≈1500符号/秒× 0.8586比特/符号 ≈1287.9比特/秒 ≈1.288×103比特/秒此信道10秒钟内能无失真传输得最大信息量＝10× Rt ≈ 1.288×104比特可见，此信道10秒内能无失真传输得最大信息量小于这消息序列所含有的信息量，故从信息传输的角度来考虑，不可能在10秒钟内将这消息无失真的传送完。 2、若已知信道输入分布为等概率分布，且有如下两个信道，其转移概率矩阵分别为：试求这两个信道的信道容量，并问这两个信道是否有噪声？ 3 、已知随即变量X 和Y 的联合分布如下所示： 01 100.980.020.020.98P ?? =?? ??11112222 1111222212111122221111222200000000000000000000000000000000P P ????????????==????????????11 222 2111 2222 2 log 4(00)1/()log 42/log 8(000000)2/(),H bit symbol H X bit symbol C C H bit symbol H X C =-===>=-==1解答：(1)由信道1的信道矩阵可知为对称信道故C 有熵损失，有噪声。(2)为对称信道，输入为等概率分布时达到信道容量无噪声

信息论与编码课后习题答案

1．有一个马尔可夫信源，已知p(x 1|x 1)=2/3，p(x 2|x 1)=1/3，p(x 1|x 2)=1，p(x 2|x 2)=0，试画出该信源的香农线图，并求出信源熵。解：该信源的香农线图为： 1/3 ○ ○ 2/3 (x 1) 1 (x 2) 在计算信源熵之前，先用转移概率求稳定状态下二个状态x 1和 x 2 的概率)(1x p 和)(2x p 立方程：)()()(1111x p x x p x p =+)()(221x p x x p =)()(2132x p x p + )()()(1122x p x x p x p =+)()(222x p x x p =)(0)(2131x p x p + )()(21x p x p +=1 得4 3 1)(=x p 4 12)(=x p 马尔可夫信源熵H = ∑∑- I J i j i j i x x p x x p x p )(log )()( 得 H=0.689bit/符号 2．设有一个无记忆信源发出符号A 和B ，已知4 341)(.)(= =B p A p 。求： ①计算该信源熵； ②设该信源改为发出二重符号序列消息的信源，采用费诺编码方法，求其平均信息传输速率； ③又设该信源改为发三重序列消息的信源，采用霍夫曼编码方法，求其平均信息传输速率。解：①∑- =X i i x p x p X H )(log )()( =0.812 bit/符号 ②发出二重符号序列消息的信源,发出四种消息的概率分别为用费诺编码方法代码组 b i BB 0 1 BA 10 2 AB 110 3 AA 111 3 无记忆信源 624.1)(2)(2 ==X H X H bit/双符号平均代码组长度 2B =1.687 bit/双符号 B X H R )(22==0.963 bit/码元时间 ③三重符号序列消息有8个,它们的概率分别为用霍夫曼编码方法代码组 b i BBB 64 27 0 0 1 BBA 64 9 0 )(6419 1 110 3

信息论与编码试题集与答案(2014)

一填空题 1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。平均互信息表示从Y 获得的关于每个X 的平均信息量，也表示发X 前后Y 的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。 2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大,最大熵值为。 3、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。 4、只要，当N 足够长时，一定存在一种无失真编码。 5、当R ＜C 时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。 6、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 7.人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。 8.信息的可度量性是建立信息论的基础。 9.统计度量是信息度量最常用的方法。 10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。 11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。 12、自信息量的单位一般有比特、奈特和哈特。 13、必然事件的自信息是 0 。 14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。 15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于两个自信息量之和。 16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变小。 17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍。 18、离散平稳有记忆信源的极限熵，=∞H )/(lim 121-∞→N N N X X X X H 。 19、对于n 元m 阶马尔可夫信源，其状态空间共有 n m 个不同的状态。 20、一维连续随即变量X 在[a ，b]区间内均匀分布时，其信源熵为 log2（b-a ）。

《信息论与编码》教学大纲

《信息论与编码》教学大纲一课程简介课程编号：04254002 课程名称：信息论与编码Informatics & Coding 课程类型：基础课必修课学时：32 学分：2 开课学期：第六学期开课对象：通信、电子专业先修课程：概率论与数理统计、信号与系统、随机信号原理。参考教材：信息论与编码，陈运，周亮，陈新，电子工业出版社，2002年8月二课程性质、目的与任务信息论在理论上指出了建立最佳编码、最佳调制和最佳接收方法的最佳系统的理论原则，它对通信体制和通信系统的研究具有指导意义。提高信息传输的可靠性和有效性始终是通信工作所追求的目标。因此，信息论与编码是从事通信、电子系统工程的有关工程技术人员都必须掌握的基本理论知识。内容提要：本课程包括狭义相对论和提高通信可靠性的差错控制编码理论。信息论所研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现有效性和可靠性。三教学基本内容与基本要求本课程总学时为32。其中理论教学为28，实验学时为4。主要的理论教学内容包括：离散信源和连续信源的熵、条件熵、联合熵和平均互信息量的概念及性质；峰值功率受限和平均功率受限下的最大熵定理和连续信源熵的变换；变长码的霍夫曼编码方法，熟悉编码效率和平均码长的计算；最大后验概率准则和最大似然译码准则等。实验内容主要包括：离散无记忆信道容量的迭代算法，循环码的编译码。四教学内容与学时分配第3章离散信源无失真编码

第6章网络信息论（教学要求：A—熟练掌握；B—掌握；C—了解）五实习、实验项目及学时分配 1．离散无记忆信道容量的迭代算法2学时要求用Matlab编写计算离散信道容量的实用程序并调试成功，加深对信道容量的理解。 2．循环码的编译码2学时要求用Matlab编写程序，用软件完成循环码的编译码算法。六教学方法与手段常规教学与多媒体教学相结合。

信息论与编码理论课后习题答案高等教育出版社

信息论与编码理论习题解第二章-信息量和熵解: 平均每个符号长为:154 4.0312.032= ?+?秒每个符号的熵为9183.03log 3 1 23log 32=?+?比特/符号所以信息速率为444.34 15 9183.0=?比特/秒解: 同步信号均相同不含信息,其余认为等概, 每个码字的信息量为 3*2=6 比特；所以信息速率为600010006=?比特/秒解:(a)一对骰子总点数为7的概率是 36 6 所以得到的信息量为 585.2)366(log 2= 比特 (b) 一对骰子总点数为12的概率是36 1 所以得到的信息量为 17.536 1 log 2= 比特解: (a)任一特定排列的概率为 ! 521 ,所以给出的信息量为 58.225! 521 log 2 =- 比特 (b) 从中任取13张牌,所给出的点数都不相同的概率为 1352 13 13 521344!13C A =? 所以得到的信息量为 21.134 log 1313 52 2=C 比特. 解:易证每次出现i 点的概率为 21 i ,所以

比特比特比特比特比特比特比特398.221 log 21)(807.1)6(070.2)5(392.2)4(807.2)3(392.3)2(392.4)1(6,5,4,3,2,1,21 log )(26 12=-==============-==∑ =i i X H x I x I x I x I x I x I i i i x I i 解: 可能有的排列总数为 27720! 5!4!3! 12= 没有两棵梧桐树相邻的排列数可如下图求得， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 图中X 表示白杨或白桦，它有???? ??37种排法，Y 表示梧桐树可以栽种的位置，它有???? ??58种排法，所以共有???? ??58*???? ??37=1960种排法保证没有两棵梧桐树相邻，因此若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列的信息为1960log 27720log 22-= 比特解: X=0表示未录取，X=1表示录取； Y=0表示本市，Y=1表示外地； Z=0表示学过英语，Z=1表示未学过英语，由此得

信息论与编码试卷及答案

一、概念简答题（每题5分，共40分） 1.什么是平均自信息量与平均互信息，比较一下这两个概念的异同？平均自信息为：表示信源的平均不确定度，表示平均每个信源消息所提供的信息量。平均互信息：表示从Y获得的关于每个X的平均信息量；表示发X前后Y的平均不确定性减少的量；表示通信前后整个系统不确定性减少的量。 2.简述最大离散熵定理。对于一个有m个符号的离散信源，其最大熵是多少？最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。最大熵值为 3.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念，说明平均互信息与信源的概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系？信息传输率R指信道中平均每个符号所能传送的信息量。信道容量是一个信道所能达到的最大信息传输率。信息传输率达到信道容量时所对应的输入概率分布称为最佳输入概率分布。平均互信息是信源概率分布的∩型凸函数，是信道传递概率的U型凸函数。 4.对于一个一般的通信系统，试给出其系统模型框图，并结合此图，解释数据处理定理。数据处理定理为：串联信道的输入输出X、Y、Z组成一个马尔可夫链，且有，。说明经数据处理后，一般只会增加信息的损失。

5.写出香农公式，并说明其物理意义。当信道带宽为5000Hz，信噪比为30dB时求信道容量。香农公式为，它是高斯加性白噪声信道在单位时间内的信道容量，其值取决于信噪比和带宽。由得，则 6.解释无失真变长信源编码定理。只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。 7.解释有噪信道编码定理。答：当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。 8.什么是保真度准则？对二元信源，其失真矩阵，求a>0时率失真函数的和？答：1）保真度准则为：平均失真度不大于允许的失真度。 2）因为失真矩阵中每行都有一个0，所以有，而。二、综合题（每题10分，共60分） 1.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求： 1）黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵；

信息论与编码课后答案

一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =， ()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。解：状态图如下状态转移矩阵为： 1/21/2 01/302/31/32/30p ?? ?= ? ??? 设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3 由1231WP W W W W =??++=?得1231132231231 112331223 231W W W W W W W W W W W W ?++=???+=???=???++=? 计算可得1231025925625W W W ?=??? =?? ?=?? 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =，(0|11)p =，(1|00)p =， (1|11)p =，(0|01)p =，(0|10)p =，(1|01)p =，(1|10)p =。画出状态图，并计算各状态的稳态概率。解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p == (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==

信息论与编码理论习题答案

第二章信息量和熵 2.2 八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。解：同步信息均相同，不含信息，因此每个码字的信息量为 2?8log =2?3=6 bit 因此，信息速率为 6?1000=6000 bit/s 2.3 掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。问各得到多少信息量。解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1} )(a p =366=6 1 得到的信息量 =) (1 log a p =6log =2.585 bit (2) 可能的唯一，为 {6，6} )(b p =361 得到的信息量=) (1 log b p =36log =5.17 bit 2.4 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问： (a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？ (b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) )(a p =! 521 信息量=) (1 log a p =!52log =225.58 bit (b) ???????花色任选种点数任意排列 13413!13 )(b p =13 52134!13A ?=1352 13 4C 信息量=1313 52 4log log -C =13.208 bit

信息论与编码理论习题答案全解

信息论与编码理论第二章习题答案

I (X ;Y=1)= P(x/Y 1)I(x;Y 1) x P(x/Y 1)log P(x/Y 1) P(x) = P(X 0/Y 1)log P(X 0/Y 1) P(X 0) P(X 1/Y 1)log P(X 1/Y 1) P(X 1) 部分答案，仅供参考。信息速率是指平均每秒传输的信息量点和划出现的信息量分别为log3Jog3， 2’ 一秒钟点和划出现的次数平均为 1 15 2 1 ~4 0.20.4 - 3 3 一秒钟点和划分别出现的次数平均为巴5 4 4 那么根据两者出现的次数，可以计算一秒钟其信息量平均为10 log 3 5 竺 5 4 2 4 4 2 解： ⑻骰子A和B，掷出7点有以下6种可能： A=1,B=6; A=2,B=5; A=3,B=4; A=4,B=3; A=5,B=2; A=6,B=1 概率为6/36=1/6，所以信息量 -log(1/6)=1+log3 ~ bit (b)骰子A和B,掷出12点只有1种可能： A=6,B=6 概率为1/36，所以信息量 -log(1/36)=2+log9 ~ bit 解：出现各点数的概率和信息量： 1 点：1/21 , log21 ?bit ; 2 点：2/21 , log21-1 ?bit ; 3 点：1/7 , log7 4 点：4/21 , log21-2 5 点：5/21 , log (21/5 )~; 6 点：2/ 7 , log(7/2)? 平均信息量： (1/21) X +(2/21) X +(1/7) X +(4/21) X +(5/21) X +(2/7) 解： X=1:考生被录取；X=0考生未被录取； Y=1：考生来自本市；Y=0考生来自外地； Z=1:考生学过英语；z=o：考生未学过英语 P(X=1)=1/4, P( X=q=3/4; P( Y=1/ X=1)=1/2 ；P( Y=1/ X=0)=1/10 ；P(Z=1/ Y=1 )=1, P( Z=1/ X=0, Y=0 )=, P( Z=1/ X=1, Y=0 )=, P(Z=1/Y=0)= (a)P(X=0,Y=1)=P(Y=1/X=0)P(X=0)=, P(X=1,Y=1)= P(Y=1/X=1)P(X=1)= P(Y=1)= P(X=0,Y=1)+ P(X=1,Y=1)= P(X=0/Y=1)=P(X=0,Y=1)/P(Y=1)=, P(X=1/Y=1)=P(X=1,Y=1)/P(Y=1)=

信息论与编码习题参考答案(全)

信息论与编码习题参考答案第一章单符号离散信源 1.1同时掷一对均匀的子，试求： (1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量； (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量； (3)两个点数的各种组合的熵； (4)两个点数之和的熵； (5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。解： bit P a I N n P bit P a I N n P c c N 17.536log log )(361 )2(17.418log log )(362)1(36 662221111 616==-=∴====-=∴== =?==样本空间： (3)信源空间： bit x H 32.436log 36 62log 3615)(=??+?? =∴ (4)信源空间： bit x H 71.3636 log 366536log 3610 436log 368336log 366236log 36436log 362)(=??+?+?+??= ∴＋＋ (5) bit P a I N n P 17.11136 log log )(3611333==-=∴==

1.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A 和B ，分别以等概落入任一方格，且它们的坐标分别为（Xa ，Ya ）, （Xb ，Yb ）,但A ，B 不能同时落入同一方格。（1）若仅有质点A ，求A 落入任一方格的平均信息量；（2）若已知A 已落入，求B 落入的平均信息量；（3）若A ，B 是可辨认的，求A ，B 落入的平均信息量。解： bit a P a P a a P a I a P A i 58.548log )(log )()(H 48log )(log )(481 )(:)1(48 1 i i i i i ==-=∴=-=∴= ∑=落入任一格的概率 bit b P b P b b P b I b P A i 55.547log )(log )()(H 47 log )(log )(47 1 )(:B ,)2(48 1i i i i i ==-=∴=-=∴=∑=落入任一格的概率是落入任一格的情况下在已知 bit AB P AB P AB H AB P AB I AB P AB i i i i i i i 14.11)4748log()(log )()() (log )(47 1 481)()3(47481 =?=-=-=∴?=∑?=是同时落入某两格的概率 1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。问这两个回答中各含有多少信息量？平均每个回答中各含有多少信息量？如果你问一位女士，则她的答案中含有多少平均信息量？解： bit w P w P w P w P m m P m I w P w I bit m P m P m P m P m bit m P m I bit m P m I n n y y n n y y n n y y n n y y 0454.0log99.5%99.5%-log0.5%-0.5% )(log )()(log )()(H % 5.99log )(log )(%5.0log )(log )(36 6.0log93%93%-log7%-7% )(log )()(log )()(H 105.0%93log )(log )(84.3%7log )(log )(: =??=?-?-=-=-=-=-==??=?-?-==-=-==-=-=平均每个回答信息量：：回答“不是”的信息量回答“是”的信息量：对于女：平均每个回答信息量：：回答“不是”的信息量回答“是”的信息量：对于男士

信息论与编码陈运主编答案完整版

信息论与编码课后习题答案详解 2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？解：四进制脉冲可以表示4 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3} 八进制脉冲可以表示8 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2 个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量H X( 1) = log n = log4 = 2 bit symbol/ 八进制脉冲的平均信息量 H X( 2) = log n = log8 = 3 bit symbol/ 二进制脉冲的平均信息量H X( 0) = log n = log2 =1 bit symbol/ 所以：四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和3 倍。 2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设随机变量X 代表女孩子学历 X x1（是大学生）x2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75 设随机变量Y 代表女孩子身高 Y y1（身高>160cm）y2（身高<160cm） P(Y) 0.5 0.5 已知：在女大学生中有75%是身高160 厘米以上的即： p y( 1 / x1) = 0.75 bit 求：身高160 厘米以上的某女孩是大学生的信息量 p x p y( 1) ( 1 / x1 ) log 0.25×0.75 =1.415 bit即：I x( 1 / y1 ) = ?log p x( 1 / y1 ) = ?log = ? p y( 1 ) 0.5 2.3 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问 (1)任一特定排列所给出的信息量是多少？ (2)若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？解： (1) 52 张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是： p x( i ) =

信息论与编码课后习题答案

1．有一个马尔可夫信源，已知p(x 1|x 1)=2/3，p(x 2|x 1)=1/3，p(x 1|x 2)=1，p(x 2|x 2)=0，试画出该信源的香农线图，并求出信源熵。解：该信源的香农线图为： 1/3 ○ ○ 2/3 (x 1) 1 (x 2) 在计算信源熵之前，先用转移概率求稳定状态下二个状态x 1和 x 2 的概率)(1x p 和)(2x p 立方程：)()()(1111x p x x p x p =+)()(221x p x x p =)()(2132x p x p + )()()(1122x p x x p x p =+)()(222x p x x p =)(0)(2131x p x p + )()(21x p x p +=1 得4 3 1)(=x p 4 12)(=x p 马尔可夫信源熵H = ∑∑- I J i j i j i x x p x x p x p )(log )()( 得 H=符号 2．设有一个无记忆信源发出符号A 和B ，已知4 3 41)(.)(= =B p A p 。求： ①计算该信源熵； ②设该信源改为发出二重符号序列消息的信源，采用费诺编码方法，求其平均信息传输速率； ③又设该信源改为发三重序列消息的信源，采用霍夫曼编码方法，求其平均信息传输速率。解：①∑- =X i i x p x p X H )(log )()( = bit/符号 ②发出二重符号序列消息的信源,发出四种消息的概率分别为 1614141)(=?=AA p 1634341 )(=?=AB p 1634143)(=?=BA p 1694343)(=?=BB p 用费诺编码方法代码组 b i BB 0 1 BA 10 2 AB 110 3

(完整版)信息论与编码习题参考答案

1.6为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。求传输此图象所需要的信息率（bit/s ）。解： bit/s 104.98310661.130)/)(()/(R bit/frame 10661.1322.3105)(H 105)(H bit/pels 322.310log )(log )()(H 76650510 10?=??=?=∴?=??=??====∑=frame bit X H s frame r x X a p a p x i i i 所需信息速率为：每帧图像的熵是：每个像素的熵是：，由熵的极值性：由于亮度电平等概出现 1.7设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大 2.5倍左右。证: . 5.2,,5.25.2477.210 log 300log )(H )(H pels /bit 300log )(log )()(H bit 3001030,10,,3001300 11倍左右比黑白电视系统高彩色电视系统信息率要图形所以传输相同的倍作用大信息量比黑白电视系统彩色电视系统每个像素每个像素的熵是：量化所以每个像素需要用个亮度每个色彩度需要求下在满足黑白电视系统要个不同色彩度增加∴≈====∴=?∑=x x b p b p x i i i Θ 1.8每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成，所以像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现。问每帧图像含有多少信息量？若现在有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个字来口述这一电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？解: 个汉字最少需要数描述一帧图像需要汉字每个汉字所包含信息量每个汉字所出现概率每帧图象所含信息量556 6 5 5 10322.6/10322.61 .0log 101.2)()()()(,log H(c):1.010000 1000 symble /bit 101.2128log 103)(103)(: ?∴?=-?=≥ ≤-=∴== ?=??=??=frame c H X H n c nH X H n p p x H X H 1.9 给定一个概率分布 ) ,...,,(21n p p p 和一个整数m ， n m ≤≤0。定义 ∑=-=m i i m p q 1 1，证明： )log(),,...,,(),...,,(2121m n q q p p p H p p p H m m m n -+≤。并说明等式何时成立？证： ∑∑+==- -=>-=<-=''-=''∴>- =''-=''>-=n m i i i m i i i n p p p p p p p H x x x x f x e x x x f x x e x x x f x x x x f 1 121log log ),...,,( )0(log )( 0log )log ()(0 log )log ()()0(log )(ΘΘ又为凸函数。即又为凸函数，如下：先证明时等式成立。当且仅当时等式成立。当且仅当即可得：的算术平均值的函数，函数的平均值小于变量由凸函数的性质，变量n m m m m m n m m m i i i m m m m m m i i i n m i i i m i i i n n m m m m m n m i i i m m n m i i n m i i n m i i n m i i n m i i i p p p m n q q p p p H p p p H q q p p q p p p H m n q q q p p p p p p p p p H p p p m n q q q p p m n q q m n p m n p m n m n p f m n m n p f m n p p ===-+≤--=-+--≤- -=∴===-+-≤- --=----=---≤---=- ++==+==+++=+=+=+=+=+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑...)log(),,...,,(),...,,(log log ),,...,,() log(log log log log ),...,,(...) log(log log log log )()()() ()(log 2121211 211 1 1 21211 1111 1 ΘΘ 2.13把n 个二进制对称信道串接起来，每个二进制对称信道的错误传输概率为p(0

信息论与编码陈运第二章习题部分答案

· 1 · 《信息论与编码》课后习题解答 2.2 假设一副充分洗乱了的扑克牌（含52张牌），试问 (1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？ (2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？解： (1) 52张牌共有52！种排列方式，任一特定的排序方式出现是等概率的，则所给出的信息量是： ! 521)(=i x p bit x p x I i i 581.225!52log )(log )(==-= (2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下： bit C x p x I C x p i i i 208.134log )(log )(4)(1352131352 13 =-=-== 2.3 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设随机变量X 代表女孩子学历 X x 1（是大学生） x 2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75 设随机变量Y 代表女孩子身高 Y y 1（身高>160cm ） y 2（身高<160cm ） P(Y) 0.5 0.5 已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即：bit x y p 75.0)/(11= 求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量即：bit y p x y p x p y x p y x I 415.15 .075.025.0log )()/()(log )/(log )/(11111111=?-=-=-= 2.4 设离散无记忆信源? ?????=====??????8/14/1324/18/310)(4321x x x x X P X ，其发出的信息为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？ (2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解： (1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：

信息论与编码在现实中的运用

信息论与编码在现实中的运用之从信息论的观点来看学习中文与英文的难易比较学院：电气学院专业：通信工程姓名：孙大山学号：1043031420 教师：王忠【摘要】当今世界是一个充满信息的世界，没有信息的世界是混乱的世界。因而信息十分重要，随着社会信息化进程的加速，人们对信息的依赖程度会越来越高。为此，有关信息研究的科学——信息论也就应运而生，其中研究信息论的佼佼者与先驱便是香农，他为信息论的发展做出了巨大贡献。为此，信息论也叫做香农信息论。信息论自诞生现在不到60年的时间，在人类科学史上是短暂的，但他的发展对学术界与人类社会的影响是相当广泛的。信息在信息化程度越来越高的现代社会将起到越来越重要的作用，是比物质和能量更为宝贵的资源。全面掌握，理解运用它，有效的利用信息，更能为人类服务。就如，在日常学习英文与中文中。【关键词】信息、香农信息论、学习中文、学习英文 1、信息论的发展过程一般认为信息论的创始人是香农和维纳，但由于香农的贡献更大，所以更多人认为香农更合适。?维纳，美国数学家，控制论的创始人。1894年11月26日生于密苏里州的哥伦比亚，1964年3月18日卒于斯德哥尔摩。?维纳在其50年的科学生涯中，先后涉足哲学、数学、物理学和工程学，最后转向生物学，并且在各个领域中都取得了丰硕的成果，称得上是恩格斯颂扬过的、本世纪多才多艺和学识渊博的科学巨人。他一生发表论文240多篇，著作14本，自传两本《昔日神童》和《我是一个数学家》。?维纳的主要成果有八个方面：建立维纳测度、引进巴拿赫—维纳空间、位势理论、发展调和分析、发现维纳—霍普夫方法、提出维纳滤波理论、开创维纳信息论、创立控制论。 2、目前的发展香农信息论：信息概念的深化；网络信息理论和多重相关信源编码理论的发展和应用；通信网的一般信息理论研究；信息率失真理论的发展及其在数据压缩和图像处理中的应用；信息论在大规模集成电路中的应用；磁记录信道的研究等。纠错码理论：在工程方面应用及最优编码方法研究。维纳信息论：对量子检测和估计理论、非参数检测和估计理论以及非线性检测与估计理论的研究。 3、信息论研究的问题：信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。这两个方面又由信息传输定理、信源－信道隔离定理相互联系。香农被称为是“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《贝尔系统技术学报》上的论文《A Mathematical Theory of Communication》（通信的数学理论）作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和拉尔夫·哈特利先前的成果。在该文中，香农给出了信息熵（以下简称为“熵”）的定义：香农（1916.4.30—2001.2.26 美国数学家、信息论的创始人）

信息论与编码课后习题答案

1、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。 2、 1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 3、按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。 4、按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。 5、人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。 6、信息的可度量性是建立信息论的基础。 7、统计度量是信息度量最常用的方法。 8、熵是香农信息论最基本最重要的概念。 9、事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。 10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。 11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。 12、自信息量的单位一般有比特、奈特和哈特。 13、必然事件的自信息是 0 。 14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。 15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于两个自信息量之和。 16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变小。 17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍。 18、离散平稳有记忆信源的极限熵，。 19、对于n 元m 阶马尔可夫信源，其状态空间共有 n m 个不同的状态。 20、一维连续随即变量X 在[a ，b]区间内均匀分布时，其信源熵为 log 2（b-a ）。 21、平均功率为P 的高斯分布的连续信源，其信源熵，H c （X ）=。 22、对于限峰值功率的N 维连续信源，当概率密度均匀分布时连续信源熵具有最大值。 23、对于限平均功率的一维连续信源，当概率密度高斯分布时，信源熵有最大值。 24、对于均值为0，平均功率受限的连续信源，信源的冗余度决定于平均功率的限定值P 和信源的熵功率之比。 25、若一离散无记忆信源的信源熵H （X ）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。 26、m 元长度为k i ，i=1，2，···n 的异前置码存在的充要条件是：。 27、若把掷骰子的结果作为一离散信源，则其信源熵为 log 26 。 28、同时掷两个正常的骰子，各面呈现的概率都为1/6，则“3和5同时出现”这件事的自信息量是 log 218（1+2 log 23）。 29、若一维随即变量X 的取值区间是[0，∞]，其概率密度函数为，其中：，m 是X 的数学期望，则X 的信源熵。 30、一副充分洗乱的扑克牌（52张），从中任意抽取1张，然后放回，若把这一过程看作离散无记忆信源，则其信源熵为。 31、根据输入输出信号的特点，可将信道分成离散信道、连续信道、半离散或半连续信道。 32、信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为无记忆信道。 33、具有一一对应关系的无噪信道的信道容量C= log 2n 。 34、强对称信道的信道容量C= log 2n-H ni 。 35、对称信道的信道容量C= log 2m-H mi 。 36、对于离散无记忆信道和信源的N 次扩展，其信道容量C N = NC 。 =∞H )/(lim 121-∞→N N N X X X X H eP π2log 212P ∑=-≤n i k i m 11 m x e m x p -=1)(0≥x =)(X H C me 2log 52 log 2

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