古典概型的应用
【第一学时】
【学习目标】
1．理解从不同的角度考虑可以建立不同的概率模型．
2．能够建立概率模型来解决简单的实际问题．
【学习重难点】
正确理解掌握古典概型及其概率公式，古典概型中计算比较复杂的背景问题．
【学习过程】
一、基础知识·梳理
建立不同的古典概型：
一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把什么看作一个________(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不同的______去考虑，只要满足以下两点：
①试验中所有可能出现的基本事件只有______个，每次试验只出现其中的一个结果；
①每个试验结果出现的可能性______．
就可以将问题转化为不同的________来解决，所得可能结果越____，那么问题的解决就变得越______．
【做一做1】从甲、乙、丙三名学生中选出两名班委，其中甲被选中的概率为()．
A．1
2B．
1
3C．
2
3D．1
【做一做2】在两个袋中，分别装有写着0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，求两数之和等于7的概率，对本题给出的以下两种不同的解法，你认为哪种解法正确？为什么？
解法一：因两数之和共有0,1,2,3，…，9,10十一种不同的结果，所以和为7的概率P＝1 11.
解法二：因从每个袋中任取一张卡片，可组成6×6＝36(种)有序卡片对，其中和为7的卡
片对为(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)四种，所以P＝4
36＝
1
9.
二、合作探究
题型一：概率模型的构建
【例题1】任取一个正整数，求该数的平方的末位数字是1的概率．
反思：同一个古典概型问题由于考虑的角度不同，其解法繁简差别较大，因此，在选取样本空间时，务必抓住欲求事件的本质，而把其他无关的因素抛开，以简化求解过程．题型二：构建不同的概率模型解决问题
【例题2】袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
（1）A：取出的两球都是白球；
（2）B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
分析：求出基本事件的总数，及A，B包含的基本事件的个数，然后套用公式．
反思：用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，然后求出其中的m、n，再利
用公式P（A）＝m
n求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某
种顺序，以保证做到不重复、不遗漏．
题型三：易错辨析
【例题3】有1号、2号、3号三个信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
错解：每封信投入1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A信投入1号或2号信
箱的概率为1
4＋
1
4＝
1
2.
错因分析：应该考虑A信投入各个信箱的概率，而错解考虑成了4封信投入某一信箱的概率．
【精炼反馈】
1．在分别写有1,2，…，9的9张卡片中任意抽取一张，则抽得卡片上的数字能被3整除的概率是()．
A．1
9
B．
1
6
C．
2
3
D．
1
3
2．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为()．
A．3
5
B．
2
5
C．
1
5
D．
4
5
3．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()．
A．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
5
4．20名高一学生，25名高二学生和30名高三学生在一起座谈，如果任意抽其中一名学生讲话，抽到高一学生的概率是______，抽到高二学生的概率是______，抽到高三学生的概率是______．
5．100个人依次抓阄，决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率．
【答案】：
基础知识·梳理
基本事件角度①有限①相同古典概型少简单
【做一做1】C基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3个，其中甲被选中的有
(甲，乙)，(甲，丙)共2个，①P＝2 3.
【做一做2】解：解法一错误，解法二正确，错误的原因在于对试验结果中的基本事件认识不清，本题的基本事件应为由两张卡片上的数字组成的有序数对，而不是所取两张卡片上数
字的和，概念的混淆导致了解答的错误．
典型例题·领悟
【例题1】解：因为正整数的个数是无限的，故不属于古典概型．但是一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数字，正整数的末位数字是0,1,2，…，9中的任意一个数．现任取一正整数，它的末位数字是这十个数字中的任一个是等可能出现的．因此所有的基
本事件为：0,1,2，…，9，欲求的事件为1,9，即所求概率P ＝210＝1
5.
【例题2】解：设4个白球的编号为1．2．3．4,2个红球的编号为5．6．从袋中的6个球中任取两球的取法有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，且每种取法都是等可能发生的．
（1）从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球的取法总数，即为从4个白球中任取两球的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以P （A ）＝615＝25.
（2）从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
所以P （B ）＝8
15.
【例题3】正解：由于每封信可以任意投入信箱，对于A 信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，故A 信恰好投入1号
或2号信箱的概率为2
3.
【精炼反馈】 1．D 2．A
3．A 该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，①其概率P ＝1
2.
4．415 13 2
5 任意抽取一名学生是等可能事件，基本事件总数为75，记事件A ，B ，C 分别表示“抽到高一学生”、“抽到高二学生”和“抽到高三学生”，则它们包含的基本事件的个数分别为20,25和30.
①P （A ）＝2075＝415，P （B ）＝2575＝13，P （C ）＝3075＝2
5.
5．解：只考虑最后一个人抓阄的情况，他可能抓到100个阄中的任何一个，而他摸到有
奖的阄的结果只有一种，最后一个人中奖的概率为1
100.
【第二学时】
【学习目标】
1．理解互斥事件和对立事件的定义，能根据定义辨别一些事件是否互斥，是否对立．2．掌握两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的应用．
【学习重难点】
互斥事件与对立事件。
【学习过程】
一、基础知识·梳理
1．互斥事件
（1）定义：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．
（2）规定：事件A＋B发生是指事件A和B至少有一个发生．
【归纳】
①A，B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生．
②如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.
③与集合类比，可用图表示，如图所示．
（3）公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝________.
【归纳】
①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
②如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)，即彼此互斥事件和的概率等于它们概率的和．
③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
【做一做1－1】判断下列说法是否正确，并说明原因：
（1）将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是互斥事件；
（2）在10件产品中有3件是次品，从中取3件．事件A：“所取3件中最多有两件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与B是互斥事件．
【做一做1－2】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
2
，乙获胜的概率是
1
3
，则乙不输
的概率是________．
2．对立事件
（1）定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个__________，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为A.
（2）性质：P（A）＋P(A)＝1，即P（A）＝1－________.
【归纳】
①对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
③从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．
【做一做2－1】袋中装有除颜色外其他均相同的白球和黑球各3个，从中任取2球，在下列事件中是对立事件的是()．
A．恰有1个白球和恰有2个黑球
B．至少有1个白球和全是白球
C．至少有1个白球和至少有1个黑球
D．至少有1个白球和全是黑球
【做一做2－2】事件A与B是对立事件，且P（A）＝0.6，则P（B）等于()．
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．1
二、合作探究
题型一：互斥事件与对立事件的判断
【例题1】判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1到10各10张)中，任取一张．
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
（2）要紧扣互斥事件的概念，判断两个事件是否能同时发生是关键．
题型二：概率的有关计算
【例题2】甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，求甲获胜的概率．
（2）公式P(A∪B)＝P（A）＋P（B）的使用条件是事件A，B互斥，否则不成立．
题型三：互斥事件、对立事件的综合应用
【例题3】一盒中装有各色球12只，其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球．从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
【精炼反馈】
1从一批产品中取出三件，设A表示“三件产品全不是次品”，B表示“三件产品全是次品”，C表示“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是()．
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任两个均互斥
D．任两个均不互斥
2一人射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()．
A．两次都不中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．至多有一次中靶
3抛掷一枚均匀的正方体骰子，记A为事件“落地时向上的点数是奇数”，B为事件“落地时向上的点数是偶数”，C为事件“落地时向上的点数是3的倍数”．其中是互斥事件的是______，是对立事件的是______．
4有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3．0.2．0.1．0.4．（1）求他乘火车或飞机来的概率；
（2）求他不乘轮船来的概率．
【答案】：
基础知识·梳理
1．（3）P（A）＋P（B）
【做一做1－1】解：（1）正确．A和B是互斥事件．因为这两个事件在一次试验中不会同时发生．
（2）不正确．A和B不是互斥事件，因为事件A包括三种情况：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含两种情况：2件次品1件正品，3件次品．从而事件A，B可以同时发生，故不互斥．
【做一做1－2】5
6
乙不输的概率为
1
2
＋
1
3
＝
5
6
.
2．（1）发生（2）P(A)
【做一做2－1】D至少有一个白球的反面是没有白球，即全是黑球．
【做一做2－2】A P（B）＝1－P（A）＝0.4．
典型例题·领悟
【例题1】解：（1）是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发
生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，两者不是对立事件．
（2）既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，两者不是互斥事件，也不是对立事件．
【例题2】解：设“甲胜”为事件A，“和棋”为事件B，A，B为互斥事件，则P(A＋B)＝P（A）＋P（B）＝0. 8，
∴P（A）＝0.8－P（B）＝0.8－0.5＝0.3．
∴甲获胜的概率为0.3．
【例题3】解法一：（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的
概率为P1＝
9
12
＝
3
4
.
（2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从
而得红球或黑球或白球的概率为5＋4＋2
12
＝
11
12
.
解法二：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；
A 3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝
5
12
，P(A2)＝
4
12
，P(A3)＝
2
12
，P(A4)
＝
1
12
.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式得（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P(A
1
＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝
5
12
＋
4
12
＝
3
4
.
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A
1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝
5
12
＋
4
12
＋
2
12
＝
11
12
.
解法三：(利用对立事件求概率)
（1）由方法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4．所以取得红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－
2
12
－
1
12
＝
9
12
＝
3
4
.
（2）A1＋A2＋A3的对立事件为A4，
所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－1
12＝
11 12
.
【精炼反馈】
1．B
2．A“至少有一次中靶”即“一次或两次中靶”，所以“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不可能同时发生且必有一个发生．
3．A与B A与B
4．解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A，B，C，D，则P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1， P（D）＝0.4，
且事件A，B，C，D之间是互斥的．
（1）他乘火车或飞机来的概率为
P
1
＝P(A＋D)＝P（A）＋P（D）＝0.3＋0.4＝0.7．
（2）他乘轮船来的概率是P（B）＝0.2，
所以他不乘轮船来的概率为
P(B)＝1－P（B）＝1－0.2＝0.8．