灰色系统预测
重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
1灰色系统理论的产生和发展动态
1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
2灰色系统的基本原理
2.1灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种：
1.元素信息不完全
2.结构信息不完全
3.边界信息不完全
4.运行行为信息不完全
2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别
主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；
研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。
2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
2.4灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G ，M ）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
灰色关联分析 灰色统计 灰色聚类
3灰色系统预测模型
灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。
3.1灰色系统理论的建模思想
下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1()
0()
0()
0()
0(X X X X
上图表明原始数据)
0(X 没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K 个累加生成为)()
1(K X ,并且
1)1()1()
0()1(==X X 321)2()1()2()
0()0()1(=+=+=X X X 5.45.121)3()2()1()3()
0()0()0()1(=++=++=X X X X 5.735.121)4()3()2()1()4()
0()0()0()0()1(=+++=+++=X X X X X
上图表明生成数列X 是单调递增数列。
3.2灰色系统预测模型建立 1. 数列预测GM （1，1）模型
灰色系统理论的微分方程成为Gm 模型，G 表示gray （灰色），m 表示model （模型），Gm （1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。
Gm （1，1）建模过程和机理如下： 记原始数据序列)
0(X 为非负序列
其中，n k k x ,,2,1,0)()
0( =≥ 其相应的生成数据序列为)
1(X
其中，n
k i x
k x
k
i ,,2,1,)()(1
)
0()
1( ==
∑
=
)
1(Z
为)
1(X
的紧邻均值生成序列 {})(,),2(),1()
1()
1()
1()
1(n z z z Z
=
其中，n k k x k x k Z ,2,1),1(5.0)(5.0)()
1()
1()
1(=-+=
称b k az k x =+)()()
1()
0(为Gm(1,1)模型，其中a ，b 是需要通过建模求解的参数，若T
=),(b a a 为参数列，且
??
??
??????=)()3()2()0()0()0(n x x x Y ，????
??
???
???-
--
-
=)5(1)4(1)3(1)2()
1()
1()
1()
1(z z z z B
则求微分方程b
k az
k x
=+)()()
1()0(的最小二乘估计系数列，满足
Y
B B B a
T
T
1
)(?-=
称
b
ax
dt
dx
=+)
1()
1(为灰微分方程，b
k az
k x
=+)()()
1()
0(的白化方程，
也叫影子方程。
如上所述，则有
1.白化方程
b ax dt
dx
=+)
1()
1(的解或称时间响应函数为
a
b e
a
b x
t x
at
+-
=-))0(()(?)
1()
1(
2.Gm(1,1)灰微分方程b
k az k x
=+)()()
1()
0(的时间响应序列为
()
()
()()()()()()
(){
}
n x
x x x
X
00000,...,
3,2,1=()
()()()()()()()(){}
n x x x x
X
1
1
1
1
1,..,.3,2,1=
n
k a b e
a b x
k x
ak
,,2,1,))0(()1(?)
1()
1( =+
-
=+- 3.取)1()0()
0()
1(x
x
=，则
n
k a
b e
a
b x k x
ak
,,2,1,))1(()1(?)
0()
1( =+-=+-
4.还原值
n
k k x
k x
k x
,,2,1),(?)1(?)1(?)
1()
1()
0( =-+=+ 2. 系统综合预测GM （1，N ）模型P134
4灰色系统模型的检验
定义1. 设原始序列
{})
(,),2(),1()
0()
0()
0()
0(n x
x
x
X = 相应的模型模拟序列为
{
})
(?,),2(?),1(??)
0()
0()
0()
0(n x
x
x
X
=
残差序列
{})(),2(),1()
0(n εεεε
=
{})
(?)(,),2(?)2(),1(?)1()
0()
0()
0()
0()
0()
0(n x
n x
x
x
x
x ---=
相对误差序列
?
?
?
???=?)()(,,)2()2(,)1()1()0()0()0(n x n x x εεε
{}n
k 1
?=
1.对于k ＜n,称)
()()
0(k x
k k
ε=
?
为k 点模拟相对误差，称)
()()
0(n x
n n
ε=
?
为滤波相对误差，称∑=?=
?
n
k k
n
1
1
为平均模拟相对误差； 2.称?-1为平均相对精度，n
?-1为滤波精度；
3.给定α，当α
成立时，称模型为残差合格模型。
定义2
设)
0(X 为原始序列，)0(?X 为相应的模拟误差序列，ε为)0(X 与)
0(?
X 的绝对关联度，若对于给定的0
0,0εεε>>，则称模型为关联合格模型。
定义3
设)0(X 为原始序列，)0(?X 为相应的模拟误差序列，)
0(ε为残差序
列。
∑==
n
k k x
n
x 1)
0()
(1
为)
0(X
的均值，
2
1)
0(2
1)
)((1
x k x n
s n
k -=
∑=为)
0(x 的方差，
∑==n k k n
1)(1εε为残差均值，
∑=-=
n
k k n
s 1
2
2
2))((1
εε为残差方差， 1.称1
2s s c
=
为均方差比值；对于给定的0
>c
，当0
c c <时，称模型
为均方差比合格模型。
2.称()16745
.0)(s k p p <-=εε为小误差概率，对于给定的0
0>p ,当
0p p >时，称模型为小误差概率合格模型。
5应用举例
例 1 设原始序列
{
})
5(),4(),3(),2(),1()
0()
0()
0()
0()
0()
0(x
x
x
x
x
X
=
()679.3,390.3,337.3,278.3,874.2=
建立Gm(1,1)模型，并进行检验。 解：1）对)
0(X 作1-AGO ，得
[D 为)0(X 的一次累加生成算子，记为1-AGO ，A cumulated Generating Operator]
{})5(),4(),3(),2(),1()
1()
1()
1()
1()
1()
1(x x x x x X =
()558.16,579.12,489.9,152.6,874.2=
2)对)
1(X 作紧邻均值生成，令
)
1(5.0)(5.0)()
1()
1()1(-+=k x k x k Z
{
})
5(),4(),3(),2(),1()
1()
1()
1()
1()
1()
1(z z z
z
z
Z
=
()718
.14,84.11,820.7,513.4,874.2=
于是，
????
??????----=??????
???
???-
---=1718.14184
.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()1()
1()1()
1(z z z z
B ，????
?
?????=??
??
?
?
??????=679.3390
.3337
.3
278
.3)5()4()3()2()0()0()0()0(x x x x Y
?
????????
?----?
??
???
?
----=T
1718.14184.111820
.71513
.411
1
1718.14184
.11820.7513.4B B
??
?
???--=4235
.38235.38221
.423
??
?
???
==???
???--=--T
832371.11665542.0165542.0017318
.04235.38235.38221
.423)
(1
1
B B
???
????
???
??
?
?
??
????=
??????
-?=221.423235
.38235.384969.2301221
.423235
.38235
.384235.384221.4231
2
????
?
??????
?????
?----?
??????==T
-T 679
.3390
.3337
.3278
.311
1
1718.14184
.11820
.7513
.4832371.11665542
.0165542.0017318
.0)(?1
Y
B B B a
????
?
????
??
??????---=679.3390
.3337
.3278
.3604076.10019051
.0537833.0085280
.1089344.0028143.0030115
.0087386
.0
??
????-=065318.3037156.0
3）确定模型
065318
.3037156.0)
1()
1(=-x
dt
dx
及时间响应式
a
b e
a
b x
k x
ak
+
-
=+-))1(()1(?)
0()
1(
4986
.823728.85037156.0-=k
e
4)求)1(X
的模拟值
{
})
5(?),4(?),3(?),2(),1(??)
1()
1()
1()
1()
1()
1(x
x
x
x
x
X
=
=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538) 5)还原出)
0(X 的模拟值，由
)(?)1(?)1(?)
1()
1()
0(k x k x k x -+=+ 得 {})5(?),4(?),3(?),2(?),1(??)
0()0()0()0()0()0(x x x x x X
=
=（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）
[]????
???
????==T
)5()4()3()2()5()4()3()2(εεεεεεεεεεs
[]????
????
??--?--=0662
.00911.00171
.00462
.00662.00911
.00171.00462
.0
=0.0151085
平均相对误差
%)
80.1%69.2%51.0%41.1(4
14
15
1
+++=
?=
?∑
=k k
=1.0625%
计算X 与X ?的灰色关联度
))
1()5((2
1)1()((4
2
x x x k x S k -+
-=
∑
=
=)
874.2679.3(2
1)874.2390.3()874.2337.3()874.2278
.3(-+
-+-+-
0.4025
0.5160.4630.404+++=
=1.7855
)1(?)5(?(2
1)1(?)(?(?4
2
x x
x k x
S
k -+-=∑
=
)
874.26128.3(2
1)874.24811.3()874.23541.3()874.22318.3(-+
-+-+-=
3694
.06071.04801.03578.0+++=
=1.8144
[][]∑=---+---
=-4
2
))1(?)5(?())1()5((2
1))1(?)(?())1()((?k x x x x x k x x k x S S
)
4025.03694.0(2
1)516.06071.0()463.04801.0()404.03578.0(-+
-+-+-=01655
.0091.00171.00462.0-++-=
=0.04535
64525
.45999.404535
.08144.17855.118144.17855.11??1?1=
+++++=
-+++++=
S S S
S S
S ε
=0.9902＞0.90
精度为一级，可以用
4986
.823728.85)1(?037156.0)1(-=+k
e k x
)(?)1(?)1(?)
1()
1()
0(k x
k x
k x
-+=+预测。
例 2
试建立Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对Gm(1,1)模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。 解：设时间序列为
{
})
4(),3(),2(),1()
0()
0()
0()
0()
0(x
x
x
x
X
=
=（27260，29547，62411，35388） {})4(),3(),2(),1()
1()
1()
1()
1()
1(x x x x X =
()124606,89218,56807,27260=
2)对)1(X
作紧邻均值生成，令
)
1(5.0)(5.0)()
1()
1()1(-+=k x k x k Z
{
})
4(),3(),2(),1()
1()
1()
1()
1()
1(z z
z
z
Z
=
()106912
,5.73012,5.42033,27260=
于是，
????????--=??????????---=110691215.7301215.420331)4(1)3(1)2()1()1()1(z z z B ，????
????=????
?
?????=353883*********)4()3()2()0()0()0(x x x Y
对参数列T
=]
,[?
b a α作最小二乘估计，得
??
????-==T
-T
28.25790089995.0)(?1
Y B B B a
设
b
ax
dt
dx
=-)
1()
1(
由于
28
.25790,089995.0=-=b a
可得Gm(1,1)模型的白化方程
28
.25790089995.0)
1()
1(=--x
dt
dx
其时间响应式为
??
???-+=+-=+-=+-)(?)1(?)1(?286574
313834))1(()1(?)
1()1()0(089995
.0)0()1(k x k x k x e a
b e a b x k x k
ak
由此得模拟序列 {})4(?),3(?),2(?),1(??)
0()
0()
0()
0()
0(x x x x X
=
=（27260，29553，32336，35381） 检验：
残差序列为
))4(),3(),2(),1(()
0()
0()
0()
0()
0(εεεεε=
=（0，-6，75，7）
?
?
????=?)4()4(,)3()3(,)2()2(,)1()1()0()0()0()0()0()0()0()0(x x x x εεεε
)
,,,()0002.0,00231.0,0002
.0,0(4321?????=
=
平均相对误差
01.0%068.000068.04
1
4
1
<==?=
?∑=k k
模拟误差01.0%02.00002.04
<==? ，精度一级
计算)
0(X 与)
0(?X 的灰色关联度ε
))
1()4((2
1)1()(()
0()
0(3
2)
0()
0(x
x
x
k x
S k -+-=∑
==11502
)1(?)4(?(2
1)1(?)(?(?3
2
x x
x k x S
k -+-=∑
==11429.5
[]
[]
∑=---+
---=-3
2)
0()
0()
0()
0()
0()
0()
0()
0())
1()4(())1(?)4(?(2
1))1()(())1(?)(?(?k x
x
x
x
x
k x
x
k x
S S
=72.5
90
.0997.05
.725.114291150215.11429115021??1?1>=+++++=
-+++++=
S S S
S S
S ε
精度为一级
计算均方差比
5
.31151)(4
1
4
1
)
0(==
∑=k k x
x
74
.3051,25.9313116)
)((4
1
14
12
)
0(2
1==-=
∑=S x k x S k
19)(4
141
==
∑=K K εε
66
.32,5.1066))((4
1
22
4
1
2
2==-=
∑=s k S k εε
所以，35
.0011.074
.305166.321
2<==
=
S S c
，均方差比值为一级
计算小误差概率
40
.20586745.01=S 12
)4(,56)3(25
)2(,19)1(=-=-=-=-εεεεεεεε
所以，95
.01)6745.0)((1
>=<-=S k P P εε
小误差概率为一级，故可用
?
??-+=+-=+)(?)1(?)1(?286574313834)1(?)
1()1()0(089995.0)1(k x k x k x e k x k
进行预测，2001-2005年预测值为
{
})
9(?),8(?),7(?),6(?),5(??)
0()
0()
0()
0()
0()
0(x
x
x
x
x
X
=
=（38713，42359，46318，50712，55488）
例3
解： {})5(),4(),3(),2(),1()
0()
0()
0()
0()
0()
0(x x x x x X =
()99.1,14.2,03.1,51.1,67.1= {})5(),4(),3(),2(),1()
1()
1()
1()
1()
1()
1(x x x x x X =
()43.8,35.6,21.4,18.3,67.1=
对)
1(X 作紧邻均值生成，令 )1(5.0)(5.0)()
1()1()1(-+=k x k x k Z {})5(),4(),3(),2(),1()
1()1()1()1()1()1(z z z z z Z =
()345.7,28.5,695.3,425.2,67.1=
于是，
????
??????----=??????
???
???----=1345.7128
.51695.31425.21)5(1)4(1)3(1)2()1()
1()1()
1(z z z z
B ，??
?
??
?????=??
??
??
??????=99.114.203.1
51.1)5()4()3()2()0()0()0()0(x x x x Y
????
?
?????----???
???
?
----=T
1345
.7128.51695
.31425
.211
1
1345.728
.5695.3425.2B B
??
?
???--=4745
.18745.18361.101 ??
?
???=-T
8747.134669.034669.007398
.0)
(1
B B
???
?
?
????????
???
?
----=T
99.114.203.151.111
11345.728.5695
.3425.2Y B
??
????
-=67.638335.33
??
?
???-?
??????==??????=T
-T 67.638335.338747.134669
.034669.0003798.0)(?1Y B B B b a a
??
????-=931.0157.0 方程为
b
ax
dt
dx =-)
1()
1(
931
.0157.0)
1()
1(=-x
dt
dx
及时间响应式
a
b e
a
b x
k x
ak
+
-
=+-))1(()1(?)
0()
1( 93
.5)93.567.1(157.0-+=k
e
93.56.7157.0-=k
e
求)
1(X 的模拟值
{
})
5(?),4(?),3(?),2(),1(??)
1()
1()
1()
1()
1()
1(x
x
x
x
x
X
=
=(1.67,2.962,4.474,6.202,8.311) 还原出)
0(X 的模拟值，由
)(?)1(?)1(?)
1()
1()
0(k x k x k x -+=+ 得 {})5(?),4(?),3(?),2(?),1(??)
0()0()0()0()0()0(x x x x x X
=
=（1.67，1.292，1.512，1.728，2.109） 计算X 与X ?的灰色关联度
))
1()5((2
1)1()((4
2
x x x k x S k -+
-=
∑
=
=17
.032.02
147.064
.061.0(=?++--
)1(?)5(?(2
1)1(?)(?(?4
2
x x
x
k x
S
k -+-=∑=439
.021058.1580.0378.0?+--=
=0.2585
[][]∑=---+---
=-4
2
))1(?)5(?())1()5((2
1))1(?)(?())1()((?k x x x x x k x
x k x S S
)
32.0439.0(2
147.0058.0()64.0158.0(16.0378.0(-+
-++-++-=
0595
.0417.0482.0218.0+-+-=
=0.0885
517
.14285.10885
.02585.017.012585.017.01??1?1=
+++++=
-+++++=
S S S
S S
S ε
=0.94＞0.90
精度为一级，关联度为一级，可以用
?
??-+=+-=+)(?)1(?)1(?93
.56.7)1(?)
1()1()0(157.0)1(k x k x k x e k x k
进行预测。
{
),
10(?),9(?),8(?),7(?),6(??)
1()
1()
1()
1()
1()
1(x
x
x
x
x
X
= })
15(?),14(?),13(?),12(?),11(?)
1()
1()
1()
10)
1(x x x x x
(,
293.25,756.20,879.16,565.13,732.10=
)523
.62,577.52,076.44,811.36,601.30
(
))
15(?,),10(?),9(?),8(?),7(?),6(??)
0()
0()
0()
0()
0()
0()
0(x x
x
x
x
x
X
=
(,537.4,877.3,314.3,833.2,421.2=
)946
.9,501.8,265.7,21.6,308.5
§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色模型GM （1，1） 建模步骤如下： （1）GM （1，1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律， 然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1，1），其数据矩阵为 ???? ?? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)] 2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5） 这就是要建立的灰色模型。
四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城
市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。 TSP 问题是VRP 问题的特例。 ● 车间作业调度问题(JSP) 车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。如何求得从第一个操作开始到最后一个操作结束的最小时间间隔。 2 分类模型 判别分析是在已知研究对象分成若干类型并已经取得各种类型的一批已知样本的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分析。 聚类分析则是给定的一批样品，要划分的类型实现并不知道，正需要通过局内分析来给以确定类型的。 2.1 判别分析 ● 距离判别法 基本思想：首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心即分组(类)的均值，判别准则是对任给的一次观测，若它与第i 类的重心距离最近，就认为它来自第i 类。 至于距离的测定，可以根据实际需要采用欧氏距离、马氏距离、明科夫距离等。 ● Fisher 判别法 基本思想：从两个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个判别函数或称判别式1p i i i y c x ==∑。其中系数i c 确定的原则是使两 组间的区别最大，而使每个组内部的离差最小。 对于一个新的样品，将它的p 个指标值代人判别式中求出 y 值，然后与判别临界值(或称分界点(后面给出)进行比较，就可以判别它应属于哪一个总体。在两个总体先验概率相等的假设下，判别临界值一般取： (1)(2)1 2012n y n y y n n +=+
灰色系统模型的应用 灰色系统理论对中国50年人口发展预测 一、中国人口发展概况 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多、底子薄、耕地少、人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立60年，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20多年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（表3.2.1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。 中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子，有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下了坚实的基础, 同时也为世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。因此，准确预测未来50年人口数量及其增长，为中国经济和社会发展决策提供科学依据，对于加速推进我国现代化
灰色预测模型的Matlab 程序及检验程序 %灰色预测模型程序 clear syms a b; c=[a b]'; A=[46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3];% 原始序列 B=cumsum(A);%累加n=length(A); for i=1:(n-1) C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; end %计算待定参数 D=A; D(1)=[]; D=D'; E=[-C; ones(1,n-1)]; c=inv(E*E')*E*D; c=c'; a=c(1); b=c(2); %预测往后预测5个数据 F=[];F(1)=A(1); for i=2:(n+5) F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; end G=[];G(1)=A(1); for i=2:(n+5) G(i)=F(i)-F(i-1); end t1=2002:2009; t2=2002:2014; G plot(t1,A,'o',t2,G) %灰色预测模型检验程序 function [ q,c,p ] = checkgm( x0,x1 ) %GM 检验函数 %x0 原始序列
%x1 预测序列 %·返回值 % q –- 相对误差 % c -- ·方差比 % p -- 小误差概率 e0=x0-x1; q=e0/x0; s1=var(x0); %qpa=mean(e0); s2=var(e0); c=s2/s1; len=length(e0); p=0; for i=1:len if(abs(e0(i)) < 0.6745*s1) p=p+1; end end p=p/len; end
灰色系统模型的应用 第一节灰色系统模型在现金流量预测中的应用 一、灰色理论应用在现金流量预测中 我们选取伊利集团的2000—2007年财务报表的现金流量表中的“经营活动产生的净现金流”作为分析预测的对象。伊利集团是我国著名的奶业生产集团，知名度较高，且长期以来生产经营较为规范，其报表可信度较高，所以，用该公司的财务报表的数据，可以较好的反映实际情况，有利于我们进行分析和验证。而2008年出现的儿童奶粉事件，给乳制品产业带来了致命的打击，所以不采用2008年的财务报表。 在使用GM(1,1)时,首先要对实际的原始数据进行一定的处理或假设： 1.企业在长期来看,不存在负现金流。尽管企业在短期,例如月现金流无法避免存在负现金流，但对于一个持续经营的企业来说，尽量保持正的现金流，是大多数的企业理财所应达到的目标。当然,当企业的实际数据出现负现金流时，也可用第二章第八节五中提到的办法进行处理。 2.企业在一定时期内的经营条件和外部环境不存在大的波动。即企业在相似的外部环境和促销手段下进行。这种假设避免了现金流大的波动，从而避免预测失真。由于对于一般的销售型企业来说，经营活动的现金流量是主要的资金来源，筹资活动和投资活动并不是经常发生的项目。而且，经营活动产生的现金流量通常情况下较稳定，不会产生大的波动，也很少有负值的出现，即使在短时期内可能出现应收账款较多，资金周转不开的情况，但从一年时间来看，在一年内的现金收入通常会大于现金流出。对于一个健康的正在成长的企业来说，经营活动现金流量应该是正数，投资活动是负数，筹资活动是正负相间的。 所以，以下选择的伊利集团现金流量表中2000-2007的数据符合前述假设和模型的要求，见表1。
灰色系统预测 重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。 1灰色系统理论的产生和发展动态 1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 2灰色系统的基本原理 2.1灰色系统的基本概念 我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种： 1.元素信息不完全 2.结构信息不完全 3.边界信息不完全 4.运行行为信息不完全 2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别 主要在于对系统内涵与外延处理态度不同； 研究对象内涵与外延的性质不同。 灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。 “黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。
2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 2.4灰色系统理论的主要内容 灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G ，M ）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。 灰色关联分析 灰色统计 灰色聚类 3灰色系统预测模型 灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。 3.1灰色系统理论的建模思想 下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1() 0() 0() 0() 0(X X X X
数学建模之灰色预测模型
一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 1.2步骤 ①级比检验与判断 由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为 (0)(0)(1)(),2,3, ,.() x k k k n x k λ-== 若序列的级比()k λ∈ 221 2 (,)n n e e -++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建模。 光滑比为 (0)1 (0) 1 () ()() k i x k p k x i -== ∑ 若序列满足 [](1) 1,2,3,,1;() ()0,,3,4, ,;0.5. p k k n p k p k k n ??+<=-∈=<
则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换 (0)(0)()(),1,2, ,,y k x k c k n =+= 序列(0)y 的级比 0(0)(1) (),2,3, ,.() y y k k k n y k λ-=∈Θ= ②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（） 建立模型: (1) (1),dx ax b dt += （1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ??- ??- ? ?=?? ????- 1??(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ??????=?? ?????? （） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 1??()?T T a u B B B Y b -??==???? 求得估计值?a = ?b = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 ? (1) (0)???(1)(1)k 0,1,,1,,??ak b b x k x e n a a -??+=-+=- ? ??? ， 则模型还原值为 (0)(1)(1)???(1)(1),1,2,,1,.x k x k x k n +=+-=- ⑥精度检验和预测 残差 (0)(0)?()()(),1,2,,,k x k x k k n ε=-=
预测未来2015年到2020年的货运量 灰色预测模型 是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断. 灰色系统的定义 灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
建模原理 模型的求解
原始序列为： ) 16909 15781 13902 12987 12495 11067 10149 9926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x 构造累加生成序列 ) 131159,114250,98469,84567,71580,59085, 48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x 归纳上面的式子可写为 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成. 对(1)X 作紧邻均值生成 ,.... 2)) 1()((21)()1() 1() 1(=-+=k k z k z k z MATLAB 代码如下： x=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; z(1)=x(1); for i=2:6 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); end format long g z z = Columns 1 through 3 7691 13152.5 23278.5 Columns 4 through 6 32906 42943.5 319437.5
数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
灰色预测模型理论及其应用 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。 一、灰色系统及灰色预测的概念 灰色系统 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。 特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或
数学模型与数学实验数 课程报告 题目：灰色预测模型介绍专业： 班级： 姓名： 学号： 二0一一年六月
1. 模型功能介绍 预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。 灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚 龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）[]1表示1阶的，N个 变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。 现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点： 为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。 关联度]1[
数值模拟软件与地质建模软件优缺点比较 数值模拟软件 目前中国市场上数模软件主要有CMG、ECLIPSE、VIP。 对于黑油模型由于研究时间较长，技术相对成熟，是目前最成熟的模型，所以不论那款软件计算黑油模型，基本都没有问题，对于应用者关键看操作简单与否。这3款软件黑油模型我都应用过，感受如下： 1、最好的软件为CMG，前处理、图形与数据的交互功能，调参、计算等绝对一流。 2、VIP是我国引进的第一款数模软件，该软件我应用过，操作上感觉很好。前处理较CMG稍差，再是必须按装在英文系统下，从我的角度考虑，该软件可以排第二。 3、ECLIPSE我也应用过，该软件调参中BUG太多，麻烦很多，给操作者带来诸多不便。该软件正版一个许可好像在200万左右（不是很准）。在中国它主要应用黑油模型，这个模型应用哪个软件都拿得出手。目前CMG在中国主要应用的是热采模块stars，该模块任何软件都比不了，在世界上也是这样，CMG的组分模型与热采模型一样出名，如果你做注气组分模拟，你必定会选择CMG，就像热采一样。另外它的聚合物、化学驱三采模块我估计也差不了，但我没应用过，不做过多说明。三采应用过且见到公开评论较好的软件是VIP软件，CMG三采评价可以，但我见到的评价者好像没应用它，所以评价很少。 3个软件中各有有优缺点吧，黑油模型公认的是eclipse最好，它的前后处理模型是最好的，尤其加上建模软件petrel，功能还是很强大的，热采方面CMG的stars模块最好，相比而言VIP就有点中庸，VIP在聚合物驱方面相比要强点，至于别的三采泡沫驱，凝胶驱我听人说CMG比较厉害，不过个人感觉实际操作时那些需要的参数很难懂 ＷｏｒｋＢｅｎｃｈ是从美国ＳＳＩ公司引进的集油藏描述、试井、生产数据分析及油藏数值模拟于一体的大型综合性软件，是一个功能齐全、图文并茂、操作灵活方便的实用软件。它的推广应用，改善了油田开发的工作条件，提高了油田开发的工作效率。Workbench1.6油藏数值模拟软件的特点：开发出油藏描述、生产数据分析、油藏模拟三模块，缺点：该软件数据库管理脆弱，无自动历史拟合功能。 另一款数值模拟软件SURE软件用的比较少，改软件的主要特点是： 集黑油与组分为一体的主模拟器.采用图形界面进行项目管理及作业管理. SURESim模拟器基于通用组分方程.采用自适应解法,也有全隐式和IMPES解法. 其迭代线性解法对PEBI网格进行了特殊设计,以保证解的速度和精度. SURESim可以用于模拟黑油,组分,聚合物,API,双孔和双渗. 可以模拟各种断层,包括逆断层,Y型断层或尖灭断层. 可以模拟饱和压力,汽液平衡,多级分离,CVD,CCE,DL实验. 模拟天然裂缝及沉积环境.可以在Windown XP, Windown 2000及UNIX工作站上运行. 采用神经网络技术 描述裂缝分布,确定性分析. 利用随机模拟计算双孔介质参数,为数值模拟提供输入参数. 地质建模软件 从本质上讲,地质建模技术是从三维的角度对储层进行定量的研究,其核心是对井间储层进行多学科综合一体化、三维定量化及可视化的预测。在给定资料前提下,井间储层预测有两种途径,相应地也就有两种建模途径,即确定性建模和随机建模。确定性建模是对井间未知区给出确定性的预测结果,而随机建模则是对井间未知区应用随机模拟方法给出多个“可选”的、“等可能”的预测结果。 PETREL软件的特点： PETREL具有极强的处理复杂断层能力，其方法独特，方便。首先，既能利用断层多边形建立断层模型，
灰色预测模型matlab程序 %下面程序是灰色模型GM(1,1)程序二次拟合和等维新陈代谢改进预测程序,mat lab6.5 ,使用本程序请注明，程序存储为gm1.m %x = [5999,5903,5848,5700,7884];gm1(x); 测试数据 %二次拟合预测GM(1,1)模型 function gmcal=gm1(x) sizexd2 = size(x,2); %求数组长度 k=0; for y1=x k=k+1; if k>1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成 z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1)); %z1维数减1，用于计算B yn1(k-1)=x(k); else x1(k)=x(k); end end %x1,z1,k,yn1 sizez1=size(z1,2); %size(yn1); z2 = z1'; z3 = ones(1,sizez1)'; YN = yn1'; %转置 %YN B=[z2 z3]; au0=inv(B'*B)*B'*YN; au = au0'; %B,au0,au
ufor = au(2); ua = au(2)./au(1); %afor,ufor,ua %输出预测的 a u 和 u/a的值 constant1 = x(1)-ua; afor1 = -afor; x1t1 = 'x1(t+1)'; estr = 'exp'; tstr = 't'; leftbra = '('; rightbra = ')'; %constant1,afor1,x1t1,estr,tstr,leftbra,rightbra strcat(x1t1,'=',num2str(constant1),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,r ightbra,'+',leftbra,num2str(ua),rightbra) %输出时间响应方程 %****************************************************** %二次拟合 k2 = 0; for y2 = x1 k2 = k2 + 1; if k2 > k else ze1(k2) = exp(-(k2-1)*afor); end end %ze1 sizeze1 = size(ze1,2); z4 = ones(1,sizeze1)'; G=[ze1' z4]; X1 = x1'; au20=inv(G'*G)*G'*X1; au2 = au20'; %z4,X1,G,au20
灰色系统理论的研究 摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计 算式具有唯一性和规范性[]4 。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型， 并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。 关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论
灰色系统理论的研究 GM(1,1)预测与关联度的拓展 1、引言 模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。白箱模型：信息完全，明朗，纯净。灰箱模型：信息不完全，若明若暗，多种成分。 1.1、研究背景 1.1.1、国内研究现状 灰色系统理论在我国提出至今已有二十几年的历史，它的应用引起了人们的广泛兴趣，不论是我国粮食发展决策中总产量预测模型，还是对湖北2000年宏观经济的发展趋势的量化分析，抑或是河南人民胜利渠的最佳灌溉决策，还是武汉汉阳火车对火车装车吨位的预测等，无一不是灰色预测系统理论杰出的硕果。 1.1.2、国外研究现状 灰色系统理论在国际上也产生了很大的影响，IBM公司要求将灰色系统软件加入其为全球服务的管理软件库。目前英国、美国、德国、日本、澳大利亚、加拿大、奥地利、俄罗斯等国家、地区及国际组织有许多学者从事灰色系统的研究和应用。 国内外84所高校开设了灰色系统课程，数百名博士、硕士研究生运用灰色系统的思想方法开展学科研究，撰写学位论文。国际、国内200多种学术期刊发表灰色系统论文，许多会议把灰色系统列为讨论专题，SCI、EI、ISTP、SA、MR、MA等纷纷检索我国灰色论著。 1.2、研究意义 邓聚龙教授提出灰色系统有着重要的意义: (1) 是系统思维和系统思想在方法论上的具体体现; (2) 是科学方法论上的重大进展, 具有原创性的科学意义和深远的学术影响，是对系统科学的新贡献。 2、灰色系统及灰色预测的概念 2.1、灰色系统理论发展概况 2.1.1、灰色系统理论的提出 著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出。
1.1.5 两岸间液体化工品贸易前景预测 从上述分析可见，两岸间液体化工品贸易总体上呈现上升的增长趋势。然而，两岸间的这类贸易受两岸关系、特别是台湾岛内随机性政治因素影响很大。因此，要对这一贸易市场今后发展的态势做出准确的定量判断是相当困难的；但从另一方面来说，按目前两岸和平交往的常态考察，贸易作为两岸经济与贸易交往的一个有机组成部分，其一般演化态势有某些规律可寻的。故而，我们可以利用其内在的关联性，通过选取一定的数学模型和计算方法，对之作一些必要的预测。 鉴此，本研究报告拟采用一定的预测技术，借助一定的计算软件，对今后10余年间大陆从台湾进口液化品贸易量作一个初步的预测。 (1) 模型的选择 经认真考虑，我们选取了灰色系统作为预测的技术手段，因为两岸化工品贸易具有的受到外界的因素影响大和受调查条件限制数据采集很难完全的两大特点，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。灰色系统理论认为，对既含有已知信息又含有未知信息或不确定信息的系统进行预测，就是在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程进行的预测。尽管这一过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具有潜在的规律。灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 本报告以灰色预测模型，对两岸间化工品贸易进行的预测如下： 灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ） 设有变量为) 0(X 的原始非负数据序列 )0(X =[)1()0(x ,)2()0(x ,…)() 0(n x ] （1.1） 则) 0(X 的一阶累加生成序列 )1(X =[)1()1(x ,)2()1(x …)() 1(n x ] （1.2） 式中 ) ()(1)0() 1(i x k x k i ∑== k=1,2…n ② 对) 0(X 进行准光滑检验和对进行准指数规律检验
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果
数学建模之灰色预测模 型 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 步骤 ①级比检验与判断 由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为 (0)(0)(1)(),2,3, ,.() x k k k n x k λ-== 若序列的级比()k λ∈ 221 2 (,)n n e e -++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建模。 光滑比为 (0)1 (0) 1 () ()() k i x k p k x i -== ∑ 若序列满足 [](1) 1,2,3,,1;() ()0,,3,4, ,;0.5. p k k n p k p k k n ??+<=-∈=<
则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换 (0)(0)()(),1,2, ,,y k x k c k n =+= 序列(0)y 的级比 0(0)(1) (),2,3, ,.() y y k k k n y k λ-=∈Θ= ②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（） 建立模型: (1) (1),dx ax b dt += （1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ??- ??- ? ?=?? ????- 1??(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ??????=?? ?? ???? （） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 1??()?T T a u B B B Y b -??==???? 求得估计值?a = ?b = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 ? (1) (0)???(1)(1)k 0,1,,1,,??ak b b x k x e n a a -??+=-+=- ? ??? ， 则模型还原值为 (0)(1)(1)???(1)(1),1,2,,1,.x k x k x k n +=+-=- ⑥精度检验和预测 残差 (0)(0)?()()(),1,2,,,k x k x k k n ε=-=