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概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题

1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-.

2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=-∞),(y F 0 .

3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=+),0(y x F ),(y x F

4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=+∞),(x F )(x F X

5、设随机变量),(Y X 的概率密度为

?

?

?<<<<--=其它

04

2,20)

6(),(y x y x k y x f ,则=k

8

1

. 6、随机变量),(Y X 的分布如下,写出其边缘分布.

7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度,)(x f X 是X 的边缘分布密度,则

=?

∞+∞

-)(x f X

1 .

8、二维正态随机变量),(Y X ,X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 .

X

Y

0 1 2 3 j P ?

1 0

8

3 8

3 0

86 3

81 0

8

1 8

2 ?i P

81 83 83 8

1

9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为

Y X

1

2 3

1 61 91 181 2

3

1

α β 则βα,应满足的条件是 186=

+βα ;若X 与Y 相互独立,则=α

184 ,=β 18

2 . 10、设Y X ,相互独立,)1.0(~),1,0(~N Y N X ,则),(Y X 的联合概率密度

=),(y x f

2

2221

y x e +-

π

,Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z

4

22

21x e

-

π .

12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为

()()()()

??

???

≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2

22则 A =__1___。 二、证明和计算题

1、袋中有三个球,分别标着数字1,2,2,从袋中任取一球,不放回,再取一球,设第一次取的球 上标的数字为X ,第二次取的球上标的数字Y ,求),(Y X 的联合分布律.

解:031

}1,1{?=

==Y X P 31

131}2,1{=?===Y X P

31

2132}1,2{=?===Y X P

3

1

2132}2,2{=?===Y X P

2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中,设X 为投入1号信箱的信数,Y 为投入2 号信箱的信数,求),(Y X 的联合分布律. 解:X 的可能取值为0,1,2,3

Y 的可能取值为0,1,2,3

33

1

}0,0{===Y X P

333}1,0{===Y X P 33233

3

3}2,0{====C Y X P

X Y 1 2

1 0

31 2

3

1 3

1

3

31}3,0{=

==Y X P 333}0,1{=

==Y X P 3

32

3}1,1{?===Y X P

331

3}2,1{?===Y X P 0}3,1{===Y X P 32

33

}0,2{C Y X P ===

333

}1,2{=

==Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 33

1

}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P

X Y

1 2 3

0 271 273 273 27

1 1 273 276 27

3 0 2 273 27

3 0 0 3

27

1

3、设 函 数 F(x , y) = ??

?≤+>+1

20

1

21

y x y x ;问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的

联 合 分 布 函 数 ? 并 说 明 理 由 。

解: F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数

因 P{0 < ξ ≤ 2, 0 < η ≤1}= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)

= 1- 1- 1 + 0 =

- 1 < 0

故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。

4、设?+∞=≥0

1)(,0)(dx x g x g 且,有?

????+∞<≤++=其它,

0,0,][)

(2),(2

222y x y x y x g y x f π 证明:),(y x f 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。

证明:易验证),(y x f 0≥,又

=

??

+∞∞-+∞

-dxdy y x f ),(dxdy y

x y x g ??

∞+∞

+++0

2

222)

(2π

??

?

∞+∞

+==02

1)()

(2

dr r g rdr r

r g d π

θπ

符合概率密度函数的性质,可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。

5、在[ 0,π] 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y ,求0){cos(<+Y X P }的值。

解:??

?

??≤≤=其它,0,0,1

),(2ππy x y x f ,0){cos(<+Y X P =43)232{=<

+<ππY X P 6、设随机变量),(Y X 的密度函数为???>>=+-其它0

,0),()43(y x ke y x f y x

(1)确定常数k (2)求),(Y X 的分布函数

(3)求}20,10{≤<≤

解:(1)

?

?∞∞

+-=0

0)43(1dx e k dy y x

??∞

-∞---=-?-=0003043412

]31[]41[k e e k dx e dy e

k x y x y

12=∴k (2)??--+---?==y x y x v u e e dudv e

y x F 0043)

43()1)(1(1211212),( )1)(1(43y x e e ----=

0,0>>y x

0),(=y x F

(3))2,0()0,1()0,0()2,1(}20,10{F F F F Y X P --+=≤<≤<

95021.00)1)(1(83=+--=--e e

7、设随机变量),(Y X 的概率密度为

??

?≤≤≤≤+=其它

2

0,103

/),(2y x xy x y x f 求}1{≥+Y X P

解:????

≥+-+

==

≥+110

212)3

(),(}1{y x x

dy xy x dx dxdy y x f Y X P ?=++=1

03272

65)65342(dx x x x

8、设随机变量),(Y X 在矩形区域},|),{(d y c b x a y x D <<<<=内服从均匀分布, (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量Y X ,是否独立?

解:(1)根据题意可设),(Y X 的概率密度为

??

?<<<<=其它

,),(d

y c b x a M

y x f

?

?

??∞+∞

-∞+∞

---===b

a

d

c

c d a b M dy dx M dxdy y x f ))((),(1

于是))((1

c d a b M --=

,故?

?

?<<<<--=其它

0,))(/(1),(d

y c b x a c d a b y x f

??

∞+∞

--=--==d c

X a

b c d a b dy dy y x f x f 1))((),()(

即???

??<<-=其它

1)(b x a a

b x f X

?

?

∞+∞

--=--==b

a Y c

d c d a b dx dx y x f y f 1

))((),()(

即??

?<<-=其它

)

/(1)(d y c c d y f Y

(2)因为)()(),(y f x f y x f Y X ?=,故X 与Y 是相互独立的.

9、随机变量),(Y X 的分布函数为?

??≥≥+--=----其它,00

,0,3331),(y x y x F y x y x 求:

(1)边缘密度;(2)验证X,Y 是否独立。 解:(1))33(3ln ),(y x x

x y x F ----?=??,,3

3ln ),(22y

x y x y x F --?=??? 0,0>>y x .

?

??<>?=--其它00,033ln ),(2y

x y x f y x

?????>?=?=---+∞

?其它0033ln 3

3ln )(20x dy x f x y x X ,

?????>?=?=---+∞

?其它0

0,33ln 3

3ln )(20y dx x f y y x Y

(2) 因为)()(),(y f x f y x f Y X ?=,故X 与Y 是相互独立的.

10、一电子器件包含两部分,分别以Y X ,记这两部分的寿命(以小时记),设),(Y X 的分布函

数为?

?

?≥≥+--=+---其它

00,01),()

(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x

(1)问X 和Y 是否相互独立? (2)并求}120

,120{>>Y X P 解:(1)???<≥-=+∞=-00

1),()(01.0x x e x F x F x X

?

?

?<≥-=+∞=-0

001),()(01.0y y e y F y F y

Y

易证),()()(y x F y F x F Y X =,故Y X ,相互独立. (2)由(1)Y X ,相互独立

}]120{1[}]120{1[}120{}120{}120,120{≤-?≤-=>?>=>>Y P X P Y P X P Y X P

091.0)]120(1)][120(1[42==--=?-e F F Y X

11、设 随 机 变 量 (ξ , η)的 分 布 函 数 为 F x y A B arctg x

C arctg y (,)()()=++23

求:( 1 ) 系 数 A , B 及 C 的 值 , ( 2 ) (ξ , η)的 联 合 概 率 密 度 ?(x , y)。

解:( 1 )

F A B C (,)()()+∞+∞=++=ππ

221

F A B C (,)()()-∞+∞=-+=ππ

220

F A B C (,)()()+∞-∞=+-=ππ

220

由 此 解 得 A B C ===12

2ππ

,,

( 2 ) ?π(,)()()

x y x y =

++6

49222

12、设),(Y X 相互独立且分别具有下列表格所定的分布律

试写出),(Y X 的联合分布律. 解:

X

Y

2- 1- 0

21 2

1- 81 61 241 61 1 161 121 481 121 3

161 121 48

1 12

1 13、设Y X ,相互独立,且各自的分布律如下:

求Y X Z +=的分布律. 解: ,2,1,0}{===k P k X P k

,2,1,0}{===γγγ

q Y P

Y X Z +=的分布律为 ,2,1,0}{===-i q P i Z P k i k

Z 的全部取值为2,3,4

4

12121}1{}1{}1,1{}2{=?=

=======Y P X P Y X P Z P }1,2{}2,1{}3{==+====Y X P Y X P Z P

Y 2

1-

1 3

k P

21 41 4

1 X 2- 1- 0

21 k P

41 31 121 3

1 X 1 2

k P

21 21 Y 1 2

k P

21 2

1

2

121212121}1{}2{}2{}1{=?+?=

==+===Y P X P Y P X P 4

1

2121}2{}2{}2,2{}4{=?========Y P X P Y X P Z P

14、 X,Y 相互独立,其分布密度函数各自为

??

???<≥=0

002

1)(2

1x x e

x f x X

??

???<≥=0

003

1)(3y y e

y f y

Y

求Y X Z +=的密度函数.

解:Y X Z +=的密度函数为?

∞+∞

--=

dx x Z f x f Z f Y X Z )()()(,

由于)(x f X 在0≥x 时有非零值,)(x Z f Y -在0≥-x Z 即Z x ≤时有非零值, 故)()(x Z f x f Y X -在Z x ≤≤0时有非零值

?

?

--

---=?=Z Z x

Z x Z x

Z dx e e

dx e e Z f 0

6

3

3

26

13

121)( )1(][6

3

63

Z Z

Z x Z e

e e e -

--

--=-=

当0≤Z 时,0)(=Z f

故??

???≤>-=--0

00)

1()(63

Z Z e e Z f Z Z Z