2009届高三数学二轮专题复习教案――立体几何
珠海市第四中学邱金龙
一、本章知识结构：
二、重点知识回顾
1、空间几何体的结构特征
（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体
棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．
棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥． 多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体． （2）圆柱、圆锥、圆台、球
分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥． 2、空间几何体的侧面积、表面积
（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．
因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为c ，高为h ，则侧面积S ch
=侧．
若长方体的长、宽、高分别是a 、b 、c ，则其表面积
2()
S ab bc ca =++表．
（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为l ，底面半径为r ，那么圆柱的侧面积2πS rl
=侧，此时圆柱底面面积
2
πS r
=底.所以圆柱的表面积
2
22π2π2π()
S S S rl r r r l =+=+=+侧底．
（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则侧面积
πS rl
=侧，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为
2
πππ()
S S S rl r r r l =+=+=+侧底．
（4）正棱锥的侧面展开图是n 个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为c ，斜高为h '，
则它的侧面积12S ch '
=
侧．
（5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是
c c '，，斜高是h '，那么它的侧面积是
12S ch '
=
侧．
（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为r r '，，母线长为l ，那么它的侧面积是
π()S r r l
'=+侧．
圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和， 即
2222
π()πππ()
S S S S r r l r r r r r l rl ''''=++=+++=+++侧上底下底．
（7）球的表面积2
4πS R =，即球的表面积等于其大圆面积的四倍． 3、空间几何体的体积
（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh
=柱体．其中
底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2
πV r h
=圆柱．
（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S ，高是h ，那么它的体积是
13V Sh
=
锥体．其
中底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是
2
1π3V r h
=
圆锥，就是说，锥体的体积是与其同底
等高柱体体积的1
3．
（3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是S S '，，高是h ，那么它的体积
是
1()3V S S h
=
+
台体．其中上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是
22
1π()3
V r R r R h
=
++圆台．
（4）球的体积公式：3
3
4R
V π=
.
4、中心投影和平行投影
（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。 （2）平行投影：投射线相互平行的投影。
（3）三视图的位置关系与投影规律
三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方．
三视图之间的投影规律为：
主、俯视图———长对正；主、左视图———高平齐；俯、左视图———宽相等． 5、直观图画法 斜二测画法的规则：
（1）在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O 点，再取z 轴，使xO z ∠=90°，且yOz ∠=90°．
（2）画直观图时把它们画成对应的x '轴、y '
轴和z '轴，它们相交于O '，并使
x O y '''∠=45°，x O z '''∠= 90°。
（3）已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴、y '轴和z '轴的线段．
（4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度相等；平行于y 轴的线段，长度取一半． 6．平面 （1）对平面的理解
平面是一个不加定义、只须理解的最基本的原始概念．
立体几何中的平面是理想的、绝对平且无限延展的模型，平面是无大小、厚薄之分的．类似于我们以前学的直线，它可以无限延伸，它是不可度量的． （2）对公理的剖析
（1）公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，公理1的条件“线上不重合的两点在平面内”是公理的必要条件，结论是“线上所有点都在面内”．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内．
其作用是：可判定直线是否在平面内、点是否在平面内．
（2）公理2中的“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两方面．这个术语今后也会常常出现，要理解好．
其作用是：一是确定平面；二是证明点、线共面．
（3）公理3的内容反映了平面与平面的位置关系,它的条件简而言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线．
其作用是：其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上． 7. 空间直线.
（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。
（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
8. 直线与平面平行、直线与平面垂直.
（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）
（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）
（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 9. 平面平行与平面垂直.
（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.
（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”） 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）
（4）两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）
（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 10. 空间向量.
（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
（2）空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使
c
z b y a x p ++=.
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一
的有序实数组x 、y 、z 使
OC
z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).
（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a1,a2,a3),),,(321b b b b =，则
)
,,(332211b a b a b a b a ±±±=+，
)
)(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，
3
32211b a b a b a b a ++=? ，
a
∥
)
(,,332211R b a b a b a b ∈===?λλλλ3
32
21
1b a b a b a =
=? 。
332211=++?⊥b a b a b a b a 。
2
2
2
3
2
1
a
a
a
++==
(用到常用的向量模与向量之间的转化：
a a =??=O
A
B
C
D
空间两个向量的夹角公式2
3
2
22
12
32
22
1332211|
|||,cos b b b a a a b a b a b a b a b
a b a ++?++++=??>=
<
（a ＝
123(,,)
a a a ，
b ＝
123(,,)
b b b ）。
②空间两点的距离公式：
2
122
122
12)
()()(z z y y x x d -+-+-=
.
b.法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果
α
⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.
c.用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射
线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为
.
②.异面直线间的距离
||
||
C D n d n ?=
(
12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n
，C D 、分别是
12
,l l 上任一点，d 为
12
,l l 间的距离).
③.点B 到平面α的距离
||
||
A B n d n ?=
（n
为平面α的法向量，A B 是经过面α的一条斜线，
A α∈）.
④直线A B 与平面所成角
sin ||||AB m
arc AB m β?=
(m 为平面α的法向量). ⑤利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面β
α,的法向量，
则
2
1,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（
2
1,n n 方向相同，则为补角，2
1
,n n 反方，则为其夹角）.
二面角l αβ--的平面角
cos ||||m n arc m n θ?= 或cos ||||m n
arc m n π?-
（m ，n
为平面α，β的法向量）.
三、考点剖析
考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图
【内容解读】了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直
观图。
空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几何体的模型和实物，总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。
【命题规律】柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征在旧教材中出现过，而三视图为新增内容，一般情况下，新增内容会重点考查，从2007年、2008年广东、山东、海南的高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，也有出现在解答题里，如2007年广东高考就出现在解答题里，属中等偏易题。
例１、（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是G H I △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A
点评：本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。 例2、（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．
解：
因为主视图左边有两层，
表示俯视图中左边最多有两个木块，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。点评：从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。 考点二：空间几何体的表面积和体积
【内容解读】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。
把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。
【命题规律】柱、锥、台、球的表面积和体积以公式为主，按照新课标的要求，体积公式不要求记忆，只要掌握表面积的计算方法和体积的计算方法即可。因此，题目从难度上讲属于中档偏易题。 例3、（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
E F
D
I
A H G
B
C E
F D
A
B C
侧视 图1
图2
B
E
A ．
B
E
B ． B
E
C ．
B
E
D ．
主视图
左视图
俯视图
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V -ABCD 。
(1) ()186464
3
V =
???=
(2) 该四棱锥有两个侧面V AD. VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为
1h =
=, 另两个侧面V AB. VCD 也是全等的等腰三角形,
AB 边上的高为
25
h =
= 因此
112(
685)402
2
S =????=+点评：在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在一起，综合考查。
例4、（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10π
C ．11π
D ．12π
解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体， 其表面及为：
2
2
411221312.S ππππ=?+??+??=，故选D 。
点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。
例5、（湖北卷3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）
A. 38π
B. 3
28π C. π28 D.
3
32π
解：截面面积为π?截面圆半径为1，又与球心距离为1?
所以根据球的体积公式知3
43
3
R V π=
=
球，故B 为正确答案．
点评：本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。 考点三：点、线、面的位置关系
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
【内容解读】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。
通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。
【命题规律】主要考查平面的基本性质、空间两条直线的位置关系，多以选择题、填空题为主，难度不大。
例6、如图1，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、
AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且C F
C B ＝C G
C D ＝2
3，则（ ）
（A ）EF 与GH 互相平行
（B ）EF 与GH 异面
（C ）EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上
（D ）EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上
解：依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，由公理2可
知，E 、F 、G 、H 共面，因为EH ＝1
2BD ，F G
B D ＝2
3，故EH ≠FG ，所以，EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M ，因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上，同理，点M 在平面ACD 上，即点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，而AC 是这两个平面的交线，由公理3可知，点M 一定在平面ACB 与平面ACD 的交线AC 上。 选（D ）。
点评：本题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题。利用四个公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点。
例7、（2008全国二10）已知正四棱锥S A B C D -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则A E SD ，所成的角的余弦值为（ ）
A ．1
3 B
．3 C
．3 D ．2
3
解：连接AC 、BD 交于O ，连接OE ，因OE ∥SD.所以∠AEO 为异面直线SD 与AE 所成的角。设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO 中，OE ＝1,AO ＝
2，AE=
3122
=
-，
于是3
33
11
32)
2(1)3(cos 2
2
2
=
=
??
-+=
∠AEO ，故选C 。
点评：求异面直线所成的角，一般是平移异面直线中的一条与另一条相交构成三角形，再用三角函数的方法或正、余弦定理求解。
考点四：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。
图1
通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。
【命题规律】主要考查线线、面面平行的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线面平行、面面平行为主，属中档题。
例8、（2008安徽）如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形，
4A B C π
∠=
, O A A B C D ⊥底面, 2O A =,M 为O A 的
中点，N 为B C 的中点
（Ⅰ）证明：直线M N OCD
平面‖；
（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 方法一：（1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE
ME CD ME CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖
又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖
M N OCD ∴平面‖
（2）CD ‖AB,
M D C ∠∴为异面直线A B 与M D 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接M P
⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP
,4
2AD P π
∠=
∵∴DP =
M D ==
1cos ,2
3D P M D P M D C M D P M D
π
∠=
=∠=∠=
∴
所以 A B 与M D 所成角的大小为3π
（3）AB 平面∵∴
‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP ,过点A 作
AQ OP
⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD
⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴
又
,AQ OP AQ OCD
⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离
N
B
2
O P ==
==
∵，
2AP D P ==
22
32
O A AP AQ O P =
=
= ∴，所以点B 到平面OCD
的距离为2
3
方法二(
向量法)
作AP C D
⊥于点P ,如图,
分别以AB,AP ,AO 所在直线为,,
x y z 轴建立坐标系
(0,0,0),(1,0,0),(0,0),
(0),(0,
0,2),(0,0,1),(1
0)
2
2
2
4
4
A B P D O
M N --,
(1)(1,,1),(0,
2),(2)
44
2
22M N O P O D =-
-=-=-
-
设平面OCD 的法向量为
(,,)n x y
z =,则
0,
n O P n O D ==
即
2022022
y z x y z ?-=???
?
-+-=??
取z =
,解得(0,n =
(11)(0,4,
4
4
M N n
=-
-=
∵
M N OCD
∴平面‖
(2)设A B 与M D 所成的角为θ,
(1,0,0),(1)
22AB M D ==-
-
∵
1c o s ,23AB M D AB M D
π
θθ==
=?
∴∴ , A B 与M D 所成角的大小为3π
(3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB
在向量(0,n =上的投影的绝对值,
由 (1,0,2)
O B =-
, 得23O B n d n ?== .所以点B 到平面OCD 的距离为23
点评：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，后者较简便，但新课标地区文科没学空间向量。 例9、（2008江苏模拟）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点. （1）求证：;AC GN ⊥
（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明.
证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ， ∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC
∴AC ⊥面FDN FDN GN 面? ∴GN ⊥AC
（2）点P 在A 点处
证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC
G S A GA 面?
∴GA//面FMC 即GP//面FMC
点评：证明线面平行，在平面内找一条直线与平面外的直线平行，是证明线面平行的关键。 考点五：直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
【内容解读】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。 通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。
【命题规律】主要考查线线、面面垂直的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题。 例10、（2008广东五校联考）正方体ABCD —A1B1C1D1中O 为正
方形ABCD 的中心，M 为BB1的中点，求证： （1）D1O//平面A1BC1;
（2）D1O ⊥平面MAC. 证明: (1)连结
11
,BD B D 分别交
11
,AC A C 于
1
,O O
在正方体
1111
ABC D A B C D -中,对角面
11BB D D
为矩形
1
,O O 分别是
11
,BD B D 的中点
11
//BO D O ∴
∴四边形11BO D O 为平行四边形11//BO D O ∴
1D O ?
平面
11A BC ,1BO ?
平面
11A BC 1//
D O ∴平面
11
A BC
（2）连结M O ,设正方体1111
ABC D A B C D -的棱长为a ,
在正方体
1111
ABC D A B C D -中,对角面
11BB D D
为矩形且
1,BB a BD ==
,O M 分别是1
,BD BB 的中点
,2
2
a BM BO O D a
∴=== 12
B M B O O D
D D
∴
=
=
1O D D Rt MBO Rt ??? 1B O M D D O ∴∠=∠
在1
ODD
Rt ?中，
1190
D D O D O D ∠+∠=
190
BO M D O D ∴∠+∠=
，即
1D O M O
⊥
在正方体1111
ABC D A B C D -中
1DD ⊥
平面A B C D
1
D D A C
∴⊥
又A C B D ⊥ ，1D D BD D = A C ∴⊥平面11BB D D
1D O ?
平面
11BB D D
1
A C D O ∴⊥
又AC MO O = 1D O ∴⊥平面M A C
点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理．
例11、（2008广东中山模拟）如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点． (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (II) 求证：BE//平面PAD ．
C
D
E
P
证明：（1）由PA ⊥平面ABCD ?
???
?
?
=?⊥⊥A AD PA CD PA ）AD （CD 已知
?
?
?
?
?⊥P A D CD PAD CD 面面
?平面PDC ⊥平面PAD ；
（2）取PD 中点为F ，连结EF 、AF ，由E 为PC 中点， 得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD ，CD=2EF ． 又CD=2AB ，则EF=AB ．由AB//CD ，则EF ∥AB ． 所以四边形ABEF 为平行四边形，则EF//AF ．
由AF ?面PAD ，则EF//面PAD ．
点评：证明面面垂直，先证明线面垂直，要证线面垂直，先证明线线垂直．
例12、（2008广东深圳模拟）如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，
E 是SC 上一点．
（1）求证：平面⊥EBD 平面SAC ；
（2）设4=SA ，2=AB ，求点A 到平面SBD 的距离； (1)证明： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴ 且AC BD ⊥ ∴S A C 平面⊥BD
∴平面⊥EBD 平面SAC
(2)解：因为
ABD
-S SBD -A V V =，且
2
3222
1S SBD ??=
?，
可求得点A 到平面SBD 的距离为34
点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现了转化思想．
考点六：空间向量
【内容解读】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有等问题（进行向量运算）；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）．
E
D
C
B
A
S
B C
D E
P F
【命
题规律】
空间向量的问题一般出现在立体几何的解答题中，难度为中等偏难． 例１３、如图1，直三棱柱111ABC A B C -中，1C A C B ==，
90BC A ∠=°，棱12AA M N
=，，分别是111A B A A ，的中点．
求BN
的长；
求
11
cos BA CB ，的值．
解：如图1，建立空间直角坐标系O xyz -． （1）依题意， 得
(010)(101)
B N ，，，，，
，
BN =
=
∴
（2）依题意，得11(102)(010)(000)(012)
A B C B ，，，，，，，，，，，，
11(112)(012)
BA C B =-= ，，，，，∴．
11113BA CB BA CB ===
，，∴·
111111
cos 10BA C B BA C B BA C B ==
，·∴．
点评：本题主要考查了空间向量的概念及坐标运算的基本知识，考查了空间两向量的夹角、
长度的计算公式．解题的关键是恰当地建立空间直角坐标系和准确地表示点的坐标 例１４、如图2，在四棱锥-P ABC D ，底面ABC D 为矩形，PD ⊥底面ABC D ，E 是AB 上
一点，PE EC ⊥
．已知
122
PD CD AE =
==
，．求：
异面直线PD 与EC 的距离； 二面角E P C D --的大小．
解：以D 为坐标原点，D A D C D P ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，
并设D A a =
，则
1(00)(20)(020)(000)(0002A a B a C D P E a ??
?
??
，，，，，，，，，，，，，，，，．
（1）PE C E ⊥∵，0PE
CE = ∴·
，解得2a =
．
0D E C E =
∴·，即D E C E
⊥，
又DE PD ⊥，故D E 是异面直线PD 与EC 的公垂线． 而
1
DE =
，即异面直线PD 与EC 的距离为1．
（2）作D G P C ⊥，并设(0)G y z ，，，
(0)(2)D G y z
P C ==
，，，，，∵，且0DG PC =
·，
则z =
，∴
可取
(01DG =
．
再作EF PC ⊥于F ，并设(0)F m n ，，，
1
22EF m n ??=-- ? ??? ，∵，且0EF PC = ·
，则2
n =-
，
∴
又取
1222EF ?= ?? ，．
由D G PC ⊥，EF PC ⊥，可知DG
与EF 的夹角就是所求二面角θ的大小，
c o s 2
D G
E D G E
F θ==
·∴，即所求二面角为π
4．
点评：向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不但是传统方法的有力补充，而且还可以另辟溪径，解决传统方法难以解决的求二面角问题．向量法求二面角通常有以下三种转化方
式：①先作、证二面角的平面角AO B ∠，再求得二面角的大小为
arccos O A O B
O A O B
·；②先求二
面角两个半平面的法向量12，n n （注意法向量的方向要分布在二面角的内外），再求得二面
角的大小为1212
arccos
n n n n ·或其补角；③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线（垂足不重
合），又可转化为求两条异面直线的夹角．
例１５、 如图，已知正三棱柱111-ABC A B C ，D 是A C 的中点，求证：1AB ∥平面1DBC ．
证明：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设正三棱柱的底面边长为a ，侧棱长为b ，
则11(000)0(0)0022222a a a A B B b C a b D ?????
?? ?
????????，，，，，，，，，，，，，，，
122a AB b ??= ? ??? ，，∴
，100022a BD D C b ????
== ? ?
????? ，，，，，．
设平面1DBC 的一个法向量为n ()x y z =，，，
则
102
02BD a D C y bz ?==????=+=??
，
，··n n 所以0.2x a z y b =??
?
=-?
?，
不妨令2y b =，则n (02)
b a =-，，． 由于1
AB
·n 0
ab ab =-=，得1AB ⊥ n
．
又1AB ?平面1DBC ，1AB ∴∥平面1DBC ．
点评：平面的法向量是空间向量的一个重要概念，它在解决立体几何的许多问题中都有很好的应用.
四、方法总结与2009年高考预测 （一）方法总结
1．位置关系：
（1）两条异面直线相互垂直
证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。 （2）直线和平面相互平行
证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。（3）直线和平面垂直
证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
（4）平面和平面相互垂直
证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。
2．求距离：
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（1）两条异面直线的距离
求法：利用公式法。
（2）点到平面的距离
求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。
3．求角
（1）两条异面直线所成的角
求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所
成角得范围是
]
2
,0(
π
，向量所成的角范围是]
,0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应
的锐角。
（2）直线和平面所成的角
求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量于
平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为
α
π
-
2或2
π
α-
。
（3）平面与平面所成的角
求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。
（二）2009年高考预测
从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，1至3个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力 . 近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。
高考对立体几何的考查侧重以下几个方面：
1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第
一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合。
2．从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。⑥三视图，辨认空间几何体的三视图，三视图与表面积、体积内容相结合。
3．从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。
五、复习建议
1、三视图是新课标新增的内容，2007、2008年课改区的高考题都有体现，因此，三视图的内容应重点训练。
2．证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.
3．空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°。
4．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用
5．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.
2019年高三数学知识点总结：立体几何 由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
高三第一次月考数学卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题有15个小题，每小题3分，共45分） 1.下列说法正确的是( ) A.平面和平面只有一个公共点 B.两两相交的三条直线共面 C.不共面的四点中,任何三点不共线 D.有三个公共点的两平面必重合 2.在空间,下列命题中正确的是( ) A.对边相等的四边形一定是平面图形 B.四边相等的四边形一定是平面图形 C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形 3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 4.下列命题中,结论正确的个数是( ) (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; (2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角或直角相等; (3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; (4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( ) (1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线; (2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线; (3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线; (4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( ） A.异面 B.相交 C.不相交 D.相交或异面
第7章立体几何习题 练习9.1.1 1、判断题，下列语句说法正确的打“√”，错误的打“Χ” （1）一个平面长是4cm ，宽是2cm （ ）； （2）10个平面重叠在一起比5个平面重叠在一起要厚（ ）； （3）一个平面将空间分成两部分（ ）。 2、选择题（每题只有一个正确答案） （1）以下命题中，正确的个数是（ ） ①平面是没有边界且光滑的图形，②四条线段首首尾连接，所得图形一定是平面图形，③画两个相交平面时，一定要画出交线。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）下列说法中，正确的是（ ） A ．教室里的黑板面就是平面 B ．过一条直线的平面只有1个 C ．一条线段在一个平面内，这条线段的延长线可以不在这个平面内 D ．平面是没有厚薄之分的 3、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，请表示出该图形的6个平面（要求用各面的四个顶点来表示） 参考答案： 1、（1）Χ（2）Χ（3）√ 2、（1）C （2）D 3、平面ABCD ，平面A 1B 1C 1D 1，平面ADD 1 A 1，平面BCC 1 B 1，平面ABB 1 A 1，平面D CC 1D 1 练习9.1.2 1、选择题（每题只有一个正确答案） （1）下列说法中有错误的是（ ） ①三个点可以确定一个平面，②若两个平面有一个公共点，则它们有无数多个公共点，③空间任意两条直线可以确定一个平面，④直线与直线外一点可以确定一个平面。 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ （2）下列图形中不一定是平面图形的是（ ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．四条线段首尾连接而成的四边形 D ．梯形 （3）用符号表示语句“直线a ，b 相交于平面α内一点M ”，正确的是（ ） A ．,,a b M a b αα=??B ．,a b M M α=∈ C ．,,a b M a b ααα=∈ D ．,,,M M a b a b ααα∈∈ 2、用符号表示下列语句 （1）点A 在直线a 上，直线a 在平面α内 （2）平面β过直线b 及b 外一点M ，点N 在平面β外，直线c 过点M ，N 3、如图所示，对于长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，回答下列问题。 （1）直线AC 是否在平面ABCD 内？ （2）四点A 、A 1、C 、C 1是否在同一平面内？
2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点． （1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：AE ⊥BD ； （3）求三棱锥D —A 1BA 的体积 ． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ， 将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F
F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点， 且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边 形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
江苏省洪泽中等专业学校数学单元试卷（立体几何） 时间120分钟 满分150分 一．选择题（每题5分，共50分） 1、一条直线和直线外两点可确定平面的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、1或2 2、若直线L ⊥平面a ，直线m ?a ，则L 与的关系是（ ）。 A 、L ⊥m B 、L ∥m C 、L 与m 异面 D 、无法确地 3、如果空间中两条直线互相垂直，那么它们（ ） A 、一定相交 B 、是异面直线 C 、是共面直线 D 、一定不平行 4、．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D.4 3 5、两个球的表面积之比为1:4，则它们的体积之比是（ ）。 A 、1:64 B 、1:16 C 、1:8 D 、1:32 6、正方体的全面积是18，则正方体的体积是（ ）。 A 、9 3 B 、9 C 、33 D 、27 7、正方体1111ABCD A B C D -中，上底面对角线11A C 与侧面对角线1B C 所成的角为（ ）。 A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 8、圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（ ）。 A 、4π B 、22π C 、4 2 π D 、8π 9、长方体1111ABCD A B C D -中，AB=3,BC=3,AA 1=4,则二面角D 1-AB-D 的余弦值是（ ）。 A 、53 B 、54 C 、22 D 、4 3 10、正三棱锥中，底面边长为33，侧棱长为5，则它的高为是（ ）。 A 3 B 、4 C 、26 D 、23 二、填空题（每题5分，共30分）
平面的基本性质 一、高考要求： 理解平面的基本性质. 二、知识要点： 1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名. 2.平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面,那么这条直线上的所有点都在这个平面.这时我们说,直线在平面或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α. (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论: 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ. 3.有关概念:如果空间的几个点或几条直线都在同一平面,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集. 三、典型例题： 例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上. 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上. 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面. 证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α. ∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的
（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE
（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定
平面的基本性质 一、高考要求: 理解平面的基本性质、 二、知识要点: 1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、 2、平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用 符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α、 (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单 地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论: 推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、 (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平 面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ、 3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、 三、典型例题: 例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内、
高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I//
【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ， 是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q
高三数学立体几何专 题
专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．
专题五 立体几何 第一讲 空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何 问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ；
③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )
高三文科数学第二轮复习资料 ——《立体几何》专题 一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图： 二、练习题： 1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交、异面都有可能 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ． V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 3 2 3．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥ C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥ D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 D 1 B 1
线A C 1上的点，若 a PQ= 2 ，则三棱锥P BDQ -的体积为 A3 B3 C3 D．不确定 5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1 2Q B 2 3 Q C 2 π Q D 2 3π Q 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H； （3）A1O⊥平面BDF； （4）平面BDF⊥平面AA1C． 7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形， 侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求 此三棱柱的侧面积和体积． 8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积V P-ABC．
立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π
数学教学大纲 一、课程性质与任务 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。 数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。本课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。 二、课程教学目标 1. 在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。 2. 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。 3. 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。 三、教学内容结构 本课程的教学内容由基础模块构成。 1. 基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求。
2.基础模块分上下两册，分两学年学习，每学年128课时。 四、教学内容与要求 （一）本大纲教学要求用语的表述 1. 认知要求（分为三个层次） 了解：初步知道知识的含义及其简单应用。 理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。 2. 技能与能力培养要求（分为三项技能与四项能力） 计算技能：根据法则、公式，或按照一定的操作步骤，正确地进行运算求解。 计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。 数据处理技能：按要求对数据（数据表格）进行处理并提取有关信息。 观察能力：根据数据趋势，数量关系或图形、图示，描述其规律。 空间想象能力：依据文字、语言描述，或较简单的几何体及其组合，想象相应的空间图形；能够在基本图形中找出基本元素及其位置关系，或根据条件画出图形。 分析与解决问题能力：能对工作和生活中的简单数学相关问题，作出分析并运用适当的数学方法予以解决。
图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 23 （B ）3 （C ）23 （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
高三数学立体几何高考题 1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 2.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ， 则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面, ABCD m α=平面，11ABB A n α =平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A （B ）2 （C （D ）1 3 11．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。