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勾股定理经典题型

勾股定理

已知两边求第三边

例1．

在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长

勾股定理及其证明

1．勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则

222

a b c +=，如图1－1－1，其中

222222,,b c a a c b b a c -=-=+=

2．勾股定理的证明：勾股定理是通过面积拼图法来证明，其方法较多．勾股定理的逆定理

1．在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，即⊿ABC 中，若

222a b c +=，则∠ABC 为直角三角形，∠C=90o 这是判

定一个三角形是直角三角形的方法．

为_____________．

例2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

例3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为 .

例4．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为㎝，

高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝，问吸

管要做多长

利用列方程求线段的长

例5．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还

要准备一根长为____的铁丝才能把三角

形做好．

E D C

B A

例6．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A点重合，则EB的长是．

例7．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村

庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，

CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收

购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E

站应建在离A站多少km处

例8．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距

离为300米，

又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上

建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离

相等，求商店与车站之间的距离．

综合其它考点的应用

例9．如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外

壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm

例10．在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．

例11．已知：如图，△ABC中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高．

求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．

例12．如图∠B=90o，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm

求四边形ABCD 的面积．

例13．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗

杆上的绳子接长一些，1米，然后将绳子

下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．

判别一个三角形是否是直角三角形

例14．在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是。

例15．如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，

且BC CE 4

1=．你能说明∠AFE 是直角吗

开放型试题

例16．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方

形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．

1S4

例17．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，

其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关

系(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角

形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间

的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其

面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系.

1. 在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长是。

2. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6,8，10；②5

,41,31；

③8,15,17；④4,5，6其中一定能构成直角三角形的有。

3. 直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，

82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．

4. 已知：c b a ,,为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，试判断△ABC 的形状．

5. 如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时

梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，

测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米

6. 如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋

转后，能与'

ACP

?重合，如果AP＝3，那么.

______

7. 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：

()2

12=

()3

22=

()4

32=

（1）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的长；

（3）求出S12 + S22 + S32 + … + S102的值。

8.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M

在北偏西300，

...

O A1

货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北

偏西450，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是

多少

9. △ABC中，∠A＝300，∠B＝450，BC＝4，求AB的长。

10. 图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，

以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角

边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正

方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.

勾股定理全章知识点总结大全、例题精讲中考题目

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b=，a=）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 6：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A b a c b a c c a b c a b

勾股定理经典例题(教师版)

勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：３.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

勾股定理知识点总结及练习

第课时第十八章勾股定理一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=?，则 2 2 c a b = +，22 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =? +=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2 S a b a b = +?+梯形，2 112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形，化简得证 3：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2 2 21,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一:直接考查勾股定理例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2，即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A

勾股定理经典例题(含答案)

类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，

. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）

勾股定理题型归纳

勾股定理复习小结一、二. 1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c ）（2）验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系（3）若2 c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠2 2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、勾股数满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 勾股定理培优经典题型归纳题型一：利用勾股定理解决实际问题训练1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？训练2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

题型二、与勾股定理有关的图形问题训练3．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．题型三、关于翻折问题训练4、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG. 训练5、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积. 训练6、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． G A B F E D C B A

初二上勾股定理(经典题型)

初二上勾股定理(经典题型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

- 2 - 第十九章几何证明 ——勾股定理及两点之间的距离公式【知识回顾】 1、勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。） 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 4、常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)….. 5、勾股定理的证明图 6、两点之间的距离公式：2 122 12)()(y y x x AB -+-= 【例题讲解】例题1、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含n （n 是整数数）的等式表示上述变化规律；

（2）求出的值。例题3、已知等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长？若能，请把它们求出来，若不能，要说明理由。例题2、如图所示，已知△ABC的三边 15= = =AC BC AB求△ABC , 20 25 , , 最长边上的高？例题4、已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且 ∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2． - 3 -

- 4 - 例题5、如图，已知0090,60=∠=∠=∠D B A ，AB=2，CD=1，求BC 、AD 的长。例题6、一只2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是多少？

勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 ; 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗”

占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。” ' “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗思路分析： 1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答

中考“勾股定理”题型归纳

中考“勾股定理”题型归纳勾股定理是我国劳动人民智慧的结晶，是研究几何的基础和数形结合的典型代表，更是历年中考不可缺少的组成部分，为了方便同学们的学习与运用，并及时了解中考中有关勾股定理的题型，现就中考试题归纳剖析如下，供参考. 一、求线段的长度例1（滨州市）如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10， BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（） A.21 B.15 C.6 D.以上答案都不对分析由于AD是高，所以可得到两个直角三角形，这样可分别利用勾股定理求得线段BD和CD. 解因为AD是高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，即△ADB与△ADC都是直角三角形. 因为AB＝17，AC＝10，AD＝8，所以由勾股定理，得BD ＝＝＝15，CD 6，所以BC＝BD+CD＝15+6＝21.故应选A. 说明利用勾股定理求解有关线段的大小是中考中随时都会遇到的问题，同学们一定要掌握其运用，并避免出现错误. 二、求图形的周长例2（牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 分析由于两直角边长分别为6m，8m，于是，可利用勾股定理求出其斜边的长，而题目只说明扩充成等腰三角形，并没有指明等腰三角形的底边和腰，所以应分情况求解. 解在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理，得AB＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD应分以下三种情况：①如图1，当AB＝AD＝10时，可求CD＝CB＝6，于是，△ABD的周长为32m；②如图2，当AB＝BD＝10时，可求CD ＝4，由勾股定理，得AD＝ ABD的周长为 m；③如图3，当AB D B A

勾股定理典型题型

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理 222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，. 已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分B C 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到 D 点，并求水池的深度AC. 解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2 设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ C B D A

勾股定理题型总结83533

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳 1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。（1）重视勾股定理的叙述形式： ①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和. 从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。（2）定理的作用： ①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ③作长为n 的线段。（利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。） 2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下： ①首先确定最大的边（如c ） ②验证2 2 b a +与2 c 是否具有相等关系：若2 2 2 c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。若2 2 2 c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当2 22c b a <+时，则是钝角三角形。（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2 2 2 2 的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,122 2 ++++n n n n n （1>n 的整数） ③ 柏拉图发现的：1,1,222 +-n n n （1>n 的整数）

勾股定理全章知识点总结大全、例题精讲中考题目

勾股定理全章知识点总结大全一.基础知识点： 1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2= c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1 ）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中， C 90，则c . a2b2， b .c2a2， a .c2b2）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3 ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2 :勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1 ）首先确定最大边，不妨设最长边长为: c ；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2= a2+b2，则△ ABC是以/C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ ABC是以/C为钝角的钝角三角形；若c2

勾股定理经典例题(含答案)A

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C 点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。举一反三【变式】在数轴上表示的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 2．原命题：对顶角相等 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足

八年级下册勾股定理典型例题

D 人教版数学第十七章《勾股定理》必刷题如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． OA 22= 2 1+1=2，1S 1 ； OA 32=12+(2 2=3，2S 2 ； OA 42=12+(2 3=4，3S 3… （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变规律：OA n 2= ；S n = ．（2）求出OA 10的长．（35，计算说明他是第几个三角形？（4）求出S 12+S 22+S 32+…+S 102的值．

如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度． 60° 30° D B A C

小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A 、B 两点，测量数据如图，其中矩形CDEF 表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A 、C 、D 、B 四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由． 1.73 ≈1.41 ≈2.24） B A C 如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ．（1）台风中心经过多长时间从B 移动到D 点？（2）已知在距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D 的工作人员早上6： 00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？ B A

勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2 、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 150° 20m 30m

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，

八年级数学-勾股定理及其常考题型

八年级数学勾股定理及其常考题型勾股定理也称毕达哥拉斯定理，文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.结合直角三角形图形，用字母可表示为：222 a b c +=，如下图，a 、b 为直角边，c 为斜边。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美地体现了“数形统一”的数学思想，将初中几何与代数很好的联系起来。因此，学好勾股定理这一知识点对于我们解决数学问题有很大的帮助，下面我们具体来看看初中数学有关勾股定理的一些常见题型及其解答方法。 ` 一、边的计算 1、在Rt△ABC 中，△C ＝90°，若a =6，b =8，则c = ．解：因为2 2 2 a b c +=，所以c=10。评论：直接由勾股定理所以得 2、在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边上的高CD 的长为（） A ． 125 B ． 552 C ． 52 D ．57 解：由勾股定理知：AB=5，又因为S △ABC = 21A C ×BC=2 1 A B ×CD 即：21×3×4=21 ×5×CD,所以CD=125 — 评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出斜边上的高。 3、若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（） A ．13 B ．13或119 C ．13或15 D ．15

解：当12当12对应的边是直角边时，则第三边为斜边，由222 a b c +=得第三边的长为13 评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。 4．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（） A 、121 B 、120 C 、132 D 、不能确定 , 解：设该Rt △的三边分别为a 、b 、c ，a 、b 为直角边，c 为斜边由勾股定理知：222a b c +=，即：112＋b 2 = c 2 所以（b+c ）（c －b ）=121 因为b 、c 都为自然数，所以b+c ，c －b ，都为正自然数。又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c －b=1。所以b=60，c=61 评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。二、直角三角形的判定 5、在△ABC 中中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，给出如下的命题：。 ①若∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 为直角三角形；②若∠A ＝∠C 一∠B ，则△ABC 为直角三角形；③若4 5 c a = ，3 5 b a =，则△ABC 为直角三角形；④若a ：b ： c ＝5：3：4，则△ABC 为直角三角形；⑤若（a ＋c ）（a －c ）＝b 2，则△ABC 为直角三角形；⑥若(a ＋c)2＝2ac ＋b 2 ，则△ABC 为直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,B Ｃ＝15, 则△ABC 为直角三角形。上面的命题中正确的有（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解：对①，因为三角形内角和为180度，所以∠A+∠B+∠C ＝180°，因为∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，所以∠C=180°× 2 1 所以∠C=90°则△ABC 为直角三角形，①正确。对②，因为∠A+∠B+∠C ＝180°，而∠A ＝∠C 一∠B ，所以∠C 一∠B+∠B+∠C ＝180°所以∠C=90°，即△ABC 为直角三角形，②正确。对③，设a=5k ，因为45c a = ，3 5 b a =，则c=4k ，

勾股定理经典题型(后附答案)

第 1 页共 5 页勾股定理经典题型(后附答案) 一、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 = 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例题4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直—— 例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

第 2 页共 5 页题型六：旋转问题：例题7 如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。变式1: 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 变式2: 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究2 2 2 BE CF EF 、、间的关系，并说明理由. 题型七：关于翻折问题例题8 如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长. 变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长. 题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，

勾股定理经典例题(含答案)29050

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD