地图学课件第2章

dx ds sin B
ds M dB
dx 1 M dB sin B
dx sin B ds dy cos B ds dy ctgB dx
x y 2 1 2 a b y2 x2 1 2 2 b a 2y 2x y' 2 2 b a 2 b x y' 2 a y
tan(45


2
)
b a
长度变形是各种变形的基础！
面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形椭圆面积） dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF 之比。 P 表示面积比 Vp 表示面积变形 = 0 不变 dF ' πar * br Vp p 1 P a b > 0 变大 2 dF πr < 0 变小 P = a· = m ·n b ( = 90)（主方向 和经向纬向一致） P = m ·n ·sin ( ≠ 90)（阿波隆 尼定理） 面积比是变量，随位置的不同而变化。
2.2 常用坐标系
2.2.1 大地坐标系 大地坐标系以参考椭球 面为基准面，用大地经 度L、纬度B和大地高H 表示地面点位置。 大地坐标系是参心坐标 系，其坐标系统的原点 位于参考椭球中心。
2.2.2 地心坐标系 地心坐标系也是以参考 椭球为基准面，地心坐 标与上述的大地坐标不 同之处： 地面点A的纬度是以Aˊ 的向径AˊO与大地赤道 面的交角Bˊ表示的。 Bˊ叫地心纬度。
用机械的方法将它展开成平面
用透视法将球面投射到平面上
用数学方法将球面转换为平面
x = f1 (B,L) y = f2 (B,L)
投影变形
由椭球面元素投影成平面元素必然会产 生投影变形。投影变形包括长度变形、 角度变形和面积变形，选取某种合适的 投影方程，可使其中的一种变形减小或 消失，然而绝不存在使用三种变形同时 消失的投影方式，这是由椭球面的不可 展性决定的。
建立地球椭球面上经纬线 网和平面上相应经纬线网的 数学基础，也就是建立地球 椭球面上的点的地理坐标 （λ，φ）与平面上对应点 的平面坐标（x，y）之间的 函数关系：
x = f1 (B,L) y = f2 (B,L)
当给定不同的具体条件时，将 得到不同类型的投影方式。
如何将地球表面（曲面）展开成平面？
r N cos a cos (1 e sin )
2 2 1 2
2、天文经纬度 表示地面点在大地水准面上的位置 （天文经度，天文纬度，正高）(λ ， Ψ， Hg) 天文纬度 Ψ :在地球上定义为 铅垂线与赤道平面间的夹角。 天文经度λ :是过观测点天文子午 面与本初子午面间的两面角。 正高Hg：该点到通过该点的铅垂 线与大地水准面的交点之间 的距 离。 常用天文测量和天文台授时方法 解决。
第一章 地球体与地图投影
第一节 地球体
第二节 大地测量系统
第三节 地图投影 第四节 地图比例尺
一、地球形状大小
第一节 地球体
（一）地球的自然表面(自然形体) 地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长， 北极略突出、南极略扁平，近似的不规则椭球体。
WDM94 — 1994年的全球重力场模型
（二）地球的物理表面(大地体)
它实际上是一个起伏 不平的重力等位面，是 逼近于地球本身形状的 一种形体，称大地体。
大地水准面：平均静止海水面向大陆延伸所形成的不规 则的封闭曲面 。
（三）地球的数学表面(参考椭球体)
参考椭球体：参考椭球面 包围起来的形体。
用于测量计算的基准面。
参考椭球面：假想将大地 体绕短轴(地轴)飞速旋转， 形成的光滑表面。
垂 线 偏 差
铅垂线 θ
法线

赤道面
3、地心经纬度 地心坐标系统 ——原点与地球中心重合
地心子午面：包含地面某点地 心之间连线和地球自转轴的平 面。
地心经度：某点的地心子午面 与本初子午面之间的夹角；
地心纬度： 某点同地心之连线 与地球赤道面所成的夹角称地 心纬度。
M、N、r公式推导
ds MdB
①正轴方位投影 ——等角
正轴等角方位投影又叫平射正轴 方位投影或球面投影，是一种使 投影面上与实际地面上的微分圆 保持形状不变的投影，满足m=n 投影条件。
经纬线形状 纬线是以极点为圆心的同心圆，经 线是同心圆的半径，纬线间隔自投 影中心向外逐渐增大。 变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈 远面积、长度变形增大；面积变形 较大；面积等变形线为以投影中心 为圆心的同心圆。
①正轴方位投影 ——等距
一种满足 m=1 的方位投影，又 叫波斯托投影，联合国徽即采 用此投影设计。
（1）方位投影 以平面为投影面，使平面与椭球体相切或相 割，将球面上的经纬线网投影到平面上而成。
根据平面和球面的位置关系可以分为：正轴、 横轴、斜轴三种类型
方位投影
①正轴方位投影
投影中心为极点，纬线为 同心圆，经线为同心圆的 半径，两条经线间的夹角 与实地相等。等变形线都 是以投影中心为圆心的同 心圆。 包括等角、等积、 等距三种变形性质，主要 用于制作两极地区图。
空间直角坐标系
第三节 地图投影
问题？ 地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、面积等参 数的量算 地球椭球体为不可展曲面 地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、方位、面 积等量算和各种空间分析
地图投影：通常都要将椭球面诸元素（包括坐标、 方向和长度）按一定的数学法则归算（投影）到某 个平面，这就是地图投影。
地图投影的变形
地图投影中不可避免地存在着变形，建立一个投影时 不仅要建立（x,y)与( ,)之间的关系，而且要研究投 影变形的分布与大小。地图投影的变形主要体现在：



长度变形 面积变形 角度变形
长度变 形 角度变 形
面积变形和 长度变形
变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上 通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分 析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变 形椭圆。
二、地理坐标
地理坐标，就是用经度、纬度、高程表示地面点位的球面坐标。
1、大地经纬度
表示地面点在 参考椭球面上 的位置 大地经度、大地维 度、大地高（B，L ，H）
1、大地经纬度
表示地面点在参考椭球面上的位置
大地经度 （L） :参考椭球面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。东正西负。 大地纬度 （B） : 参考椭球面上某点的法线 与赤道平面的夹角。北正南负。
(A点上所有截弧的曲 率半径中的最大值）：
N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a (1 e sin )
2 2 1 2
平均曲率半 径R：
R
a(1 e 2 )1 2 MN 1 e 2 sin 2
子午圈曲率半径与卯酉圈曲率半径除在两极
处相等外，同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午
圈曲率半径。
纬圈的半径 r ：
①正轴方位投影 ——等积
一种投影面上与实际地面相应 面积保持相等，即满足 p=1 投 影条件的方位投影。
经纬线形状 纬线是以极点为圆心的同心圆，经 线是同心圆的半径，纬线间隔自投 影中心向外逐渐减小。
变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈 远角度、长度变形增大；角度变形 较大；角度等变形线为以投影中心 为圆心的同心圆。
投影分类
1）. 按地图投影的构成方法分类 几何投影: 将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然 后将几何面展为平面。
方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相割， 将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平 面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平 面而成。
b2 x 2 ctgB a y b2 x ctgB 2 a y
2
2
y x(1 e 2 )tgB
x2 y2 2 1 2 a b x 2 x 2 (1 e 2 ) 2 tg 2 B 1 2 2 a b x 2 cos2 B x 2 (1 e 2 ) 2 sin 2 B a 2 1 2 2 2 2 2 a cos B a cos B b a2 1 2 b 1 e2 x 2 cos2 B x 2 (1 e 2 ) sin 2 B a 2 cos2 B x 2 (1 e 2 sin 2 B) a 2 cos2 B a cos B a cos B x 2 2 W 1 e sin B
a cos B x (1 e 2 )tgB W a y (1 e 2 ) sin B W b sin B b sin B h V 1 e'2 sin 2 B
dx 1 M dB sin B dx a sin B 2 (1 e ) 3 dB W a sin B 1 a(1 e 2 ) M (1 e 2 ) 3 W sin B W3
2.1.3 空间直角坐标 系
以地心或参考椭球中心 为直角坐标系的原点， 椭球旋转轴为Z轴，X轴 位于起始子午面与赤道 的交线上，赤道面上与 X轴正交的方向为Y轴， 指向符合右于规则，便 构成了直角坐标系
在测量应用中，常将空间直 角坐标系的原点选在地球参 考椭球的中心，Z轴与地球自 转轴平行并指向参考椭球的 北极，X轴指向参考椭球的本 初（起始）子午线，Y轴与X 轴和Z轴相互垂直。点在此坐 标系下的点的位置由该点在 各个坐标轴上的投影x、y、z 坐标所定义。当原点位于地 球质心时，这样定义的坐标 系又称为地心系。否则，则 称为参心系。
X' Y' m 为经线长度比 n 为纬线长度比 X Y