小学六年级奥数复习资料 第一章 数与计算
第一单元 同余问题
1． 知识前提。
（1） 整除：如果整数a 除以自然数b ,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a 能被b 整除或b 能整除
a 。
（2） 乘方的意义：求n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n 个相同因数a 相乘，即n a
a a a ?
个，
记做n a 。其中a 叫做底，n 叫做指数，n a 读做a 的n 次方。
（3） 幂的运算法则：
① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即
a a a
+
?=。
② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 ()m
n n m
a a
=。
③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即 ()n
n
n
ab a b =?。
2． 同余
如果两个整数的a 、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a 、b 对于m 是同余的，记为a =?h （mod m ）。我们把m 称为模。如果a 、b 对于m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除；反之，如果a 与b 的差能被M 整除，那么a 、b 对于m 是同余的。 3． 规律、方法应用。
（1） 反身性规律：a 和a 对于m 同余。
（2） 对称性规律：a 和b 对于m 同余，那么b 和a 对于m 同余。
（3） 传递性规律：如果a 和b 对于m 同余，b 和c 对于m 同余，那么a 和c 对于m 同余。
（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a 和b 对于m 同余，c 和d 对于m 同余，那么a ＋c ，和b ＋d ，a －c 和b －d ，
a c 和bd 对于m 同余。 （5） 同余的乘方规律：如果a 和
b 对于m 同余，那么n
a 和n
b 也对于m 同余。
（6） 同余的连加规律：1a 和1b 对于m 同余，2a 和2b 对于m 同余，3a 和3b 对于m 同余……n a 和n b 对于m 同余，那
么123n a a a a +++ 和123n b b b b +++ 也对于m 同余。
例1． 有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？ 拓展一 如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?
拓展二 自然数16520,14903,14177除以m 的余数相同, m 的最大值是多少?
拓展三 若2836,4582,5164,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?
例2．求200359?除以7的余数。
拓展一 求189********??除以13的余数。
拓展二求281432338752413289786
???-?除以11的余数。
拓展三求123456789
++++++++的结3的余数。
123456789
拓展四把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个1234200020012002
A= 试求A除以9的余数。
例3．10被7除的余数是多少？
拓展一1000
2除以13的余数是多少？
拓展二今天是星期日，过1991
2天是星期几？
拓展三求355
7的末两位数是多少？
拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）（2）2008年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008年1月1日是星期二）
检测
1．已知69,90,125被Ｎ除余数相同，求81被N除的余数是（）
Ａ．４Ｂ．７Ｃ．５Ｄ．２
２．1991和1769除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是( )
Ａ．23Ｂ．13Ｃ．17Ｄ．18
3．16173738
???除以13的余数是（）
Ａ．12Ｂ．11Ｃ．9Ｄ．7
4．1999
1999除以3所得的余数是（）
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．0Ｄ．3
5．今天是星期二，再过2002
99天是星期（）
Ａ．三Ｂ．四Ｃ．五Ｄ．六
6．1999
1998的个位数字是（）
Ａ．3Ｂ．2Ｃ．4Ｄ．6
7．199********
??的个位数字是（）
111317
Ａ．3Ｂ．1Ｃ．9Ｄ．6
8．50515253
+++的个位数字是（）
3457
Ａ．3Ｂ．1Ｃ．9Ｄ．5
9．在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（）个。
Ａ．17Ｂ．198Ｃ．34Ｄ．51
10．一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三们数是（）。
Ａ．345 Ｂ．121Ｃ．150Ｄ．267
11．一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（）。
Ａ．157 Ｂ．253Ｃ．942Ｄ．471
12．用1，9，8，8这四个数能排出（）个被11除余8的四位数。
Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．6
?的积被7除的余数是（）。
13．7142719
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．5 二．解答题。
14．试证明：111112113111112113++能被10整除。 15．求乘积34374143???除以13所得的余数。 16．今天是星期五，再过364365天是星期几？ 17．求12343979除以39所得的余数。 18．求32319991999323+的个位数字。 19．131415131132133++除以13余几？ 20．试证明：1990199034+是5的倍数。
21．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是
这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数被6除余几？ 22．2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（2002年1月1日是星期二） 23．某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？
24．甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数（零除外），把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是
20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？
25．设A 是一个有35位循环节的循环小数123350.A a a a a = ，把A 的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：
124680.A a a a a = 再把1
A 的所
位画去，得到一个新的无限小数：2480.n A a a a = 如此继续下去，能否
仍得到原来的循环小数？
第二单元 分数的大小比较
比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：
1． 相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。
2． 相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。 3． 交叉相乘法。分数
a b
和
c d
，如果a d ＞bc ，那么
a b
＞
c d
。
4． 倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。 5． 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。
6． 中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作
适当的变形。 解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。 例1 比较
1519
、49
、
1225
、
2037
这四个分数的大小。
拓展一 将下列的分数由小到大的排列起来。
1017
，
1219
，
1523
，
2033
拓展二 2
1
199819981
A =
-+，2
2
1
1998199719981997
B =
-?+。试比较A 和B 的大小。
拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。
23
，58
，
1523，1017
，
1219
拓展四 将下列分数由小到大排成一列不等式。
107
、
149
、75
、3523
例2 比较
4443
5554，
55576668
，
6668
7779三个分数的大小。 拓展一 比较7777775
7777777和
6666661
6666663
的大小。
拓展二 比较
218191654321
和
152347456789
的大小。
拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。 1727，
1931，
2338
，
101161
例3
4681000000
57
91000001A =
??
??
，试比较A 与0.003谁大谁小。
拓展一 如果1
357992468100A =????? ，试比较A 与1
10
的大小。
拓展二 用A 表示下面的积：3571999946
8
20000
A =?
?
?? ，问：A 与0.01相比,谁大谁小?
拓展三 比较111111
124816
32
1024
-----
-
与0.001的大小.
检测
1． 在○中填入“＞”或“＜”。 （1）680791
○
432
543 （2）117448○
207
808 （3）
1123412345○33456
34567
○5567856789
（4）23
99
○
2323
9999 （5）
3333333
○
3333
33333
（6）
23
○
47
○
311
○
415
（7）
5556666
○
555566666
（8）
71125
○
1312
（9）
3433127934331281
○
5149691751496919
（10）
17
69
○
15
67 （11）2330
○
2231
2. 比较555553555555和
666664666666的大小。
3. 把27
、
4
9、
3
8和6
11按从小到大的顺序排列。 4. 在
5
12
，
1219
，
1023
，
47
，
1522五个分数中，最大的分数是谁？
5. 把下面的分数按从小到大的顺序排列。
2123
、
8489
、
1213
、
2831
、1415
。
6. 比较111111110
222222221和
444444443888888887
的大小。
7. 把
9876598766
、
9876
9877
、987988
、
9899
按从小到大的顺序排列。
8. 下面四个算式谁最大。
（1）11207
19??+
?
??? （2）11302429
??
+?
???
（3）114031
37??+
?
??? （3）1
1504147??+? ???
9. 下面两个算式谁大谁小？ 199319921995
1994
19941995
+；199319921996
1993
1994
1995
+
10. 把下面五个分数从大到小排列。
10519
、14725、
15
776
、
21
1088、
35
1814
。
11. 在
47
、
12
25
、
149300
、
59
、
201
1814
中，哪个分数最大？ 12. 比较100000005
100000008、
800000003
800000006
的大小。
13.
222222220444444441
和，
333333334666666669谁大谁小？
14. 按下面各式值的大小，把A 、B 、C 、D 、E 从小到大的顺序排列。
111
1
110
100100010000A =-
+
-
+
11
11
110100100010000B =????
1111110100100010000C =+-+- 1
11
1
110100100010000
D =÷
÷÷
÷
1101001000100000E =?????
15. 满足下面式子的n 最小是多少？
111112
23
34
(1)
n n +
+
++
????+ ＞
19491998
16. 试比较1111111
和
111111111的大小。
17. 如果
1229
＜
70
＜2970
，那么□中应填哪个自然数？
18. 已知：111123
A =
+
+
，11112134
B =
+
+
+
，1111213145
C =
+
+
+
+
将A 、B 、C 三个数从小到大排列。
19. 在下式中的□内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立。 11111111=
++++++
20. 下面给出6个分数算式： 36724
+，
378
24
+
，38925+，
3910
25
+
，
31011
25
+
，
31112
25
+
，其中哪一个计算结果最小？并求出它的值。
第三单元 速算与巧算
六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算，除与整数、小数简便计算相同外，还有其独特的巧算方法。
1． 运算定律规律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，还有加、减法的运算性质、商不变的规
律等。
2． ()a b c d a c b ÷±÷=±÷
3． （1）
111(1)
1n n n n =
-
?++
（2）11
()
d n n d n n d =-
?++
（3）1111()()
n n d d
n
n d
=?-
?++
（4）1
(1)(2)
n n n ?+?+1
112(1)(1)(2)n n n n ??=
?-???++?+??
（5）将1A
分拆成两个分数单位和的方法：先找出A 的两个约数a 和b ，然后分子、分母分别乘()a b +，再拆分，
最后进行约分。 11()()
()
()
a b a b A A a b A a b A a b ?+=
=
+
?+?+?+
4. 等差数列求和法：（首项+末项）×项数2÷=和。
5. 约分法简章：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从而简化计算
过程。 例1． 计算 172928
?
拓展一计算44
37 45
?
拓展二计算
2255 (97)()
7979
+÷+
拓展三计算
1 16641
20
÷
拓展四计算
1998 19981998
1999
÷
拓展五计算
577577 (2890)() 68106810
+++÷++
例2．计算362548361 362548186
+?
?-
拓展一计算198819891987 198819891
+?
?-
拓展二计算20458419915 199258438089 +?
-
?-
拓展三计算1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 122334455667
+++++
+++++
例3．计算
1111 1223344950 ++++
????
拓展一计算
11111 144771********* ++++
?????
拓展二计算
1111 1232343459899100 ++++
????????
拓展三计算
11111 155991313171721 ++++
?????
拓展四计算
111
1
1212312910 ++++
+++++++
例4．计算12112112112112121212 21212121132132132132
?
拓展一计算123456787654321 888888888888888888888888
+++++++++++++
+
??
拓展二计算12336971421 135391572135??+??+??
??+??+??
拓展三计算1990199019901990199019901 1989198919891989198919891989 ++
-
++
拓展四计算12378 223234234567823456789 +++++
????????????????
计算下面各题：
1.
11111 198619871987198819881989198919901990 ++++????
2.211555445789555789211445
?+?+?+?
3.
179111315 1
31220304256
-+-+-
4.382498381 382498116
+?
?-
5. 198819871986198519841983198219811+--++--++
6. 0.99.999.9999.99999.999999.9+++++
7. 0.10.30.50.70.90.110.130.150.170.190.210.99++++++++++++ 8.
111123
234
181920+++??????
9. 1
1
1
1
112123123412399100
+
+
+
+++++++++++++
10. 233445
517191354759
?+?+?
11. 11111111113
3
3
3
10
100
1000
10000
+++
12. 299999199999+ 13. 86.80.32 4.282525
?
+?-÷
14. 19921993199319931993199219921992?-? 15.
100891009989118989
5429998452?+?-?-??+?+?
16. 11111113927
81243
729
+++++
+
17. 1991199219921993199119931123419911992?+?+?+++++++
18.
1324264839721242483612
??+??+????+??+??
19. 5211111111125(3)(
)(
)3(
)(
)93691269
12
6
9
12
3
9
+
-?++--
+
?++
+
?-
20. 141.28.111953.7 1.94?+?+?
21.
2
123456789
12345678912345678901234567892
-?
22. 已知2
2
2
2
(1)(21)
12(1)6n n n n n +++++-+=
，
求123456784950?+?+?+?++? 23. 11111111111111(1)()(1)(
)23423452
3
4
5234+++?+++-+
+
+
+?++
24.
35791113
2612203042-+-
+-
25. 12132143219871
()()()()11212312341239
+-+-++-+-++-+-+
26. 112123125859(
)(
)(
)23
3
4
4
4
6060
60
60++
++
+
+++
++
+
27. 1998减去它的12
，再减去余下的13
，再减去又余下的14
，依此类推，一直减到最后余下的
11998
，最后得多少？
第二章 有关的分数应用题
第一单元单位“1”的妙用
解答分数应用题，关键要通过分析数量关系，弄清每一道题把什么看作单位“1”，找出解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。
知识、规律、方法
在解答时，有的分数应用题常常会出现几个不同的单位“1”，一般都要经过分析，转化成统一的单位“1”，然后进行解答。
例1．甲、乙两数之和为180，甲数的1
4
等于乙数的
1
5
，问甲、乙两数各是多少？
拓展一甲、乙两数相差30，其中甲数的
3
10
与乙数的
1
3
相等，求这两个数的和是多少？
拓展二上元水果店运来的苹果比橘子多1筐，其中苹果筐数的3
7
与橘子筐数的
1
2
相同，上元水果店一共运来苹果和
橘子多少筐？
拓展三学校有皮球和足球共100个，皮球个数的1
3
比足球个数的
1
10
多16个，学校有皮球和足球各多少个？
例2．某工厂的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的2
3
，
乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的3
5
，已知丙车间捐款180元，这三个车间共捐
款多少元？
拓展一兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的1
3
，老三修了另外三人
总数的1
4
，老四修了91米，问这条路全长多少米？
拓展二把一堆皮球分装在四个盒子中，其中1
5
放入甲盒，
1
3
放入乙盒。放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮球总数的
3
4
，
丁盒放入10个皮球，这堆皮球一共有多少个？
拓展三有红黄两种颜色的小球共140个，拿出红球的1
4
，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球正好一样多。原来红
球和黄球各有多少个？
例3．把一批面粉分给三个工厂，甲厂先分得这批面粉的2
5
，乙厂分得余下的
2
5
，最后丙厂
分得14.4吨，这批面粉重多少吨？
拓展一某校四、五、六三个年级共有学生618人，其中五年级人数比四年级多10%，六年级人数比五年级少10%，求各年级有学生多少人？
拓展二有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的5
7
。如果从乙粮库调6吨粮食到甲粮库，甲粮库存粮
的吨数是乙粮库的4
5
。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？
拓展三甲容器中装有一定数量的糖，乙容器中装有若干千克水，先从甲容器中取出8克糖放入乙容器中，搅拌均匀后，又将乙容器中的糖水倒30千克到甲容器，搅拌均匀后，甲容器中糖水的质量分数为40%，乙容器中糖水的质量分数为20%，甲容器中应有糖多少克？
检测、反馈、应用
1．某车间男工人数比女工人数多3
5
，女工人数比男工人数少（）。
2.菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的3
8
时，装满了4筐还多36千克，收完其余部分时，又刚好装满8筐，共收黄瓜
（）千克。
3.食堂运来一批大米，第一天吃了全部的2
5
，第二天吃了余下的
1
3
，第三天吃了余下的
3
4
，这时还剩下15千克。食
堂运来大米（）千克。、
4.甲有若干本书，乙借走了一半加3本，剩下的书，丙借走了1
3
加2本，再剩下的书，丁借走了
1
4
加1本，最后甲
还有2本书。甲原来有（）本书。
5.小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的一半是上坡路，一半是下坡路。小明上学时走两条路所
用的时间一样，已知下坡的速度是平路的3
2
倍，那么上坡的速度是平路速度的（）
6.有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个。为了使A堆中黑子占50%，B堆
中的黑子占75%，要从B堆中拿到A堆黑子多少个？白子多少个？
7.甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货1200吨。当甲仓库的货物运走
7
15
，乙仓库的货物运走
1
3
以后，再从甲仓库取出
剩下货物的10%放入乙仓库，这时，甲、乙两仓库的货物重量恰好相等。那么甲仓库原有存货多少吨？
8.同学们乘汽车外出春游。开始上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的同学多8人。后来调走13个同学上第二辆汽
车，这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的
7
10
。参加这次春游活动的同学一共有多少人？
9.某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果。已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9.60元、
16元、18元。如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润定价，那么这种什锦糖每千克定价多少元？
10.电影票原价每张若干元，现在每张降价3元出售，观众增加一半，收入增加1
5
，一张电影票原价多少元？
11.王师傅要加工一批零件，若每小时多加工12个零件，则所用的时间比原计划少1
9
；若每小时少加工16个零件，则
所用的时间比原来多3
5
小时。这批零件共有多少个？
12.金放在水里称，重量减轻
1
19
；银放在水里称，重量减轻
1
10
。一块金银合金重770克，放在水里称，共减轻了50
克。这块合金含金银各多少克？
13.甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇后各自继续前进。又经过3小时，甲车到达B地，
乙车离A地还有70公里，求A、B两地相距多少公里？
14.二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数的75%，二班的少先队员占
本班人数的5
6
，求两个班各有多少人？
15.张师傅做一种零件，第一天做了这批零件的12.5%，第二天比第一天多做了25%，第三天比第二天多做了8只，这
时正好完成这批零件的一半，这批零件共有多少只？
16.兄弟三人，老大比老二的年龄大20%，老二比老三的年龄大20%，老大比老三的年龄在百分之几？
17.某工厂的27位师傅共带徒弟40名，每位师傅可以带一各徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟的师傅是其
他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有多少位？
18.已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的42%，那么
两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少？
19.某商店到橘子产地去收购橘子，收购价为每千克1.20元，从产地到商店距离400千米，运费为每吨货物每运1千
米收1.50元，如果不计损耗,商店要实现25%的利润，每千克橘子零售价应是多少元？
20.有三堆棋子，每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样多，第三
堆里的黑子数为全部黑子的2
5
，把三堆棋子集中在一起，白子为全部棋子的几分之几？
21.纸箱中有若干个乒乓球，其中1
4
是一级品，
5
n
（n为正整数）是二级品，其余的91个是三级品。共有多少个乒乓
球？
第二单元工程问题
工程应用题中的工作(或工作)一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位“1”，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。在解答时要注意以下几点。
1．有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。
2．涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。
3．对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。
例1．打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的1
3
，乙接着又打了2小时，打了这份稿件的
1
4
，剩余的甲、乙
共同打，还需几小时？
拓展一一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14天，问甲、乙两人各做了多少天？
拓展二一件工作，若单独完成，甲需10小时，已需15小时，丙需20小时。现由三人合做，中途甲因故停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时？
拓展三有甲、乙两人合做一项工程，需
8
8
9
天完成。若甲一人独做8天后，再由乙独做10天完工，问甲、乙单独做各
需几天完工？
拓展四一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时2小时才能灌满（这时乙管关闭），那么乙管单独开灌满水池需要多少小时？
例2．修一段公路，甲队单独做要40天，乙队单独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果距中点750米处相遇，这段公路长多少米？
拓展一甲、乙两人同时共同加工一批零件。完成任务时甲做了全部零件的5
8
。已知乙每小时加工12个零件，甲单独
加工完成这批零件要12小时，这批零件有多少个？
拓展二有一批零件，甲单独做要用
1
8
2
天，比乙单独做多用了
1
2
天。现两人合作4天后，剩下210个零件由甲单独去
做，自始至终甲共做了多少个零件？
拓展三栽一批黄瓜，兄弟二人合栽8小时完成。现哥哥先栽了3小时后弟弟又独栽了一小时，还剩总棵数的11
16
没有
栽。已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵，这块地共栽黄瓜多少棵？
例3．一项工程，甲单独做需12小时，乙单独做需18小时，若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？
拓展一一项工程，甲单独做6小时完成，乙单独做10小时完成，如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少个小时完成？
拓展二一项工程，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每
人每次工作1小时，那么完成这项工程的2
3
一共要用多少小时？
拓展三一件工程，甲、乙合作6天能完成5
6
。如果甲单独做，那么完成
1
3
与乙完成
1
2
所需的时间相等。若按甲、乙、
甲、乙……的顺序每人一天轮流，则需多少天完成任务？
检测、反馈、应用
1．老刘和小李合做一件工作，要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成？
2．一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成，再在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？
3．一项工作，甲、乙合作要12天完成。若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的
5
12
。如果这件工作
由甲、乙单独做，甲需要多少天？乙需要多少天？
4．抄一份稿件，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和
的1
5
；如果三人合抄，只需8天就完成了，那么乙单独抄需要多少天才能完成？
5．师徒三人合作承包一项工程，4天能够全部做完。已知师傅单独做所需要天数与两个徒弟合作所需天数相等，而师傅与乙徒弟合做所需天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等。那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？乙徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？
6．一件工作，甲乙两人合作30天可以完成。甲乙两人共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
7．一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合做，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），问开始到完工共用了多少年来天时间？
8．某工程由甲单独做63天可以完成，由乙单独做28天可完成。现在甲先单独42天，然后再由乙来单独完成，乙还需要多少天？
9．甲乙合作一件工作，由于配合好，甲的工作效率比单独做时提高
1
10
，乙的工作效
率比单独做时提高了1
5
。甲乙合作6小时，完成全部工程的
2
5
，第二天乙又单独
做了6小时，还剩下这件工作的13
30
未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需多少小时？
10．甲、乙、丙、合修围墙，甲乙合修5天完成了1
3
，乙丙合修了2天完成余下的
1
4
，然后甲丙合修了5天才完工，
整个工程的劳动报酬是600元，乙分得多少元？
11．一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做要18天完成，丙单独做要24天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于完成这件工作。问共用了多少天？
12．一项工程，甲乙丙三人合作需13天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲乙两人合作多做1天，这项工程由甲单独做需要多少天？
13．制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需8天才能完成。现在三个车间一起做，完工时发现甲车间比乙车间多做零件2400个，丙车间制作零件多少个？14．甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天完成。若按乙、丙、甲
的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用1
2
天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用
1
3
天。
已知甲单独做完这件工作要13天，甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多少天完成？
15．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管要3小时，单开丙管要5小时，要排
光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现在池内有16
池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各
水管，每次每管开1小时，则多长时间后水开始溢出水池？
第三单元 类比法解题
知识、规律、方法
在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解题方法使新问题获得解答。这种思考方法叫做类比法。常见的类比题型如下：
钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。钟表中的时钟和分针与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。
还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。
例1． 某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？
拓展一 小明每天6点回家吃晚饭。一天，她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小时几点钟到家的？
拓展二 有一只手表，每小时慢4分，早上8点整时将时间对准，那么当这只表指向中午12点整的时刻，实际时间是几点几分？
拓展三 某运输队为商店运输花瓶500箱，每箱6个花瓶。已知每10个花瓶的运费为5.5元，损坏一个花瓶，要赔偿
成本11.5元（这只花瓶的运费当然也就得不到了），结果运输队共得到1553.6元。共损坏了多少只花瓶？
例2．张老师为国画兴趣小组的同学买书。他带的钱正好可以买15本山水画或24本人物画。如果张老师买了8本人物画以后，剩下的钱全部买山水画，那么还可以买几本山水画？ 拓展一 一列快车由甲城开往乙城需要8小时，一列慢车由乙城开到甲城要用12小时。两车同时从两城相对开出，相遇时快车比慢车一共多行192千米，两城相距多少千米？
拓展二 大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长。他俩的起点和走的方向完全相同。小亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两人的脚印有重合，所以，雪地上只留下60个脚印，求这个花圃的周长是多少米？ 拓展三 我国明代数学家徐光启逝世时的年龄是他出生年份的
122
，1607年他完成了《原本》前6卷的翻译工作。1629
年主持编写“新历法”，但未完成就去世了，1634年由李天经最后完成。1607年徐光启多大岁数？
检测、反馈、应用
1. 一个两位数，十位数与个位数的和是9，把十位数字与个位数字交换位置后所得的新数与原数的比是5 ：6，原数
是（ ）。
2. 时钟六点整，分针与时针正好在一条直线上，至少再过（ ）分，两针正好重合？
3. 一个小于400的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数是平方数，其个位数也是平方数。这个三位数
是（ ）。 4. 在某五年制小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有18人获奖，在全校获奖者中有16人不是四年级的，有14人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是（ ）。 5. 如图所示：线段AB 上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有（ ）条不同的线段。
B
a 1a a a a a a a 2
3
45678
6. 李老师为课外兴趣小组的同学去买书，他带的钱可买15本语文书或24本数学书。如果李老师买了10本语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可买多少本？
7. 甲、乙两人从两地出发，相向而行。甲走完全程需2小时，乙走完全程需3小时，两个相遇时甲比乙多走44
5
千米，
求两地之间的距离。
8. 甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先从甲桶倒入乙、丙两桶，使乙、丙两桶各增加原有油的一倍；再从乙桶
倒入甲、丙两桶，使甲、丙两桶各增加原有油的一倍；最后，从丙桶倒入乙、甲两桶，使乙、甲两桶各增加原有油的一倍。这样，各桶里的油都是48千克。问各桶原来分别盛油多少千克？
9. 在下列两组图形中，正方形的边长都是1。每组三个图形里的阴影部分的面积是否都相等？为什么？
10. 把自然数中的偶数2、4、6、……像下表那样依次排成5列，把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号。这
样，数“1990”出现在第几列？ 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26 34 36 38 40 48 46 44 42
50 52 54 56
11. 把1000个1立方厘米的正方体合在一起，堆成边长是1分米的正方体，把这个正方体的表面涂上黄漆。小正方体
中，至少有一面涂了黄漆的共有多少个？
12. 计算12345678910+++++++++
13. 一个圆柱体的侧面积是320平方厘米，圆柱的底面积半径是20厘米，求圆柱体体积。
14. 如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD 和MNPQ ，如果把A 点放在MNPQ 的中心，那么这两个正方形纸片的
重叠部分的面积等于多少？
A
B
C
D
M
N Q
P
15. 一篮鸡蛋2个2个地数余1个，3个3个地数余2个，5个5个地数余4个，6个6个地数余5个。这篮鸡蛋最少
有多少个？
16. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米。现在这三根钢管截成尽可能长又相等的小段，共截成这样的小段多少段？
17. 50张卡片，写着1~50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。某班有50名学生，老师
把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上，对同学们说：“请你们按学号的顺序逐个到前面 来翻卡片，规则是只要卡片上的数字是你自己的学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝。”那么每个学生都翻完后，红色朝上的卡片有几张？
第四单元 对应法解题
知识、规律、方法
对应的思想方法是解题时常用到的一种方法。所谓“对应”，就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知的转化。
1. 量率对应：解答分数应用题时，在确定单位“1”以后，一个具体数量总与一个具体分率相对应，抓住这种对
应关系是解答分数应用题的关键。
（1）求一个数的几分之几是多少时，单位“1”的量×分率=对应数量。
（2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，对应数量÷对应分率=单位“1”的量。
2.对应消去法：有些应用题，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量。我们可以通
过比较，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去一个未知量，从而求出最后问题。
例1．王师傅计划做一批零件，零件，第一天做了计划的4
7
，第二天做了余下的
3
5
，这时还剩42个零件没做，王师
傅计划做多少个零件？
拓展一某小学学生中的3
8
是男生，男生比女生少328人，该小学共有学生多少人？
拓展二小林看一本故事书，第一天看的页数比总页数的1
8
多16页；第二天看的页数比总页数的
1
2
1
6
少2页，还余下
88页。这本书共有多少页？
拓展三新生小学男生比全校学生总数的4
7
少25人，女生比全校学生总数的
4
9
多15人，求全校总人数。
拓展四部队给养老院运苹果，第一次运来了全部的3
8
，第二次运来了50千克，这时，已运来的恰好是没运来的
5
7
，
还有多少千克苹果没有运来？
例2．小明有5盒奶糖，小强有4盒水果糖，共值44元。如果小明和小强对换一盒，则各人手里的糖的价值相等。
一盒奶糖和一盒水果糖多值多少元？
拓展一把105升水注入两个容器，可灌满甲容器及乙容器的1
2
，或可灌满乙容器及甲容器的
1
3
。甲、乙两个容器的容
量各是多少升？
拓展二2个男工和4个女工在一天内可加工全部零件的
3
10
，8个男工和10个女工在一天内可加工完全部零件。如果
把单独让男工加工和单独女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？
拓展三教室里有若干名学生，走了10名女生后，男生人数是女生的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍，最初有多少名女生？
检测、反馈、应用
1.两个仓库共储存粮食1024吨，甲仓存粮是乙仓存粮的3倍，甲、乙两仓各存粮多少吨？
2.张华看一本故事书，每天看30页，3天后还剩全书的5
8
没有看，这本故事书一共有多少页？
3.甲乙两人合买一筐西瓜，甲买了其中的2
5
还要多5.5千克，乙正好买了其中的一半，这筐西瓜共有多少千克？
4.有红黄两种颜色的小球共140个，拿出红球的1
4
，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球同样多，原来红球和黄球
各有多少个？
5.学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去了134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118
元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？
6.甲筐的苹果比乙筐多30斤，丙筐的苹果是甲筐的2倍，丙筐比乙筐的3倍多10斤。三筐各有多少苹果？
7.打退敌人一次进攻后，班长清点手榴弹发现：如每人分5颗，还剩8颗；如每人分6颗则差4颗。这个班共有多
少名战士？还有多少颗手榴弹？
8.56名少先队员参加学校劳动，其中3
7
的打扫礼堂，剩下的队员中，
3
8
的人打扫操场；第二次剩下的队员中，
1
4
的
人打扫教室，其余的负责打扫空地。问打扫空地的同学有多少人？
9.甲、乙两车分别从A、B同时出发，相向而行。第一次两车在距B地64公里处相遇，相遇后仍以原速继续行驶，
到达对方站后原路返回，两车在距离A地48公里处第二次相遇。两次相遇地点间的距离是多少公里？
10.买5个排球和3个篮球需付100元，而买2个排球和3个蓝球只需会67元。问每只排球和篮球各多少元？
11.妈妈带了一笔钱，去市场买水果，若买橙子15千克，差4元，若买橘子20千克，则多20元。两种水果每千克的
价格相差2.1元。两种水果的单价分别是多少元？
12.少先队员参加植树，准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍，如果每人栽3棵梨树苗，则多3棵，每人栽7棵苹果树
苗，则少6棵，参加植树的少先队员有多少人？苹果树苗和梨树苗分别有多少棵？
13.一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4：
5：6。已知他上坡速度为每小时3千米，路程全长50千米。此人走完全程用了多少时间？
第五单元时钟问题
知识、规律、方法
钟表是我们日常生活中的计时工具，它除了告诉我们时间外，在钟面上还存在着许多数学问题。如分针和时针每隔多少时间重合一次，在一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次，当钟表比标准时间快或慢时会有什么样的规律。
在一个钟面上，由于时针12小时旋转一周，所以时针1小时旋转的圆心角度数是30度，1分钟旋转的圆心角度数为0.5度。分针1小时旋转一周，也就是分针1分钟旋转的圆心角度数为6度。
钟面一周平均分为60格，相邻两格刻度之间的时间间隔为1分钟，时针1分钟走
1
12
格，分针1分钟走1格，时
针的速度是分针速度的
1
12
。
例1．现在是下午3点，从现在起时针与分针什么时候第一次重合？
拓展一分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？
拓展二钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？
拓展三在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？
拓展四9点过多少分时，时针与分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？
例2．小云晚上9点整将手表对准，可第二天早晨8点到校时，她以为准时到校，却迟到了10分钟。那么，小云的手表每小时慢几分钟？
拓展一小明有一块手表，每分钟比标准时间快2秒钟。小明早晨8点整将手表对准，问当小明这块手表第一次指向12点时，标准时间此是是几点几分？
拓展二有一只钟，每小时比标准时间慢1分。中午12点调准，下午慢钟指到6点时，标准时间是下午几时几分？
拓展三星期日小明去同学家玩了两个多小时，离家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰好互换了一个位置，问小明离开家多少时间？
拓展四爷爷的老式时钟一点也不准，它的时针与分针每隔66分重合一次，如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时钟再次指示8点时，实际是几时几分？
检测、反馈、应用
1.从时钟指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合。
2.在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻互相垂直？
3.有一只钟每小时慢3分钟，早上7点钟的时候，对准了标准时间，当慢钟的批针批向12点整的时候，标准时间是
多少？
4.在3点与4点之间，时针与分针在什么时刻位于一条直线上，并且方向相反？
5.星期天，小李在公园玩，他上午10点10分进去，下午3点50分出来，他在公园一共玩了多长时间？
6.小玲家有一个闹钟，每小时比标准时间快2分钟。星期天上午9点整，小玲对准了闹钟，想让闹钟在11点半闹铃，
提醒她帮助妈妈做饭，那么小玲应将铃定在几点几分上？
7.有一个时钟快20秒，它在3月1日中午12时准确指示时间，下一次准确指示时间是在什么时间？
8.爷爷家的老式钟的时针与分针，每隔66分钟重合一次，这只时钟每昼夜慢多少分钟？
9.张奶奶家的闹钟每小时快2分钟（准确的闹钟的分针每小时应走一圈，而这个闹钟的分针每小时走一圈多2格）。
昨晚21：00，张奶奶把闹钟与北京时间对准了，同时把闹钟拨到今天早晨6：00闹铃，张奶奶听到闹铃声时比北京时间今天早晨6：00提前了几分钟？
10.王宇家有一只闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8点时，王宇对准了闹钟，他想在第二天早晨5点
55分起床，于是他将闹钟的闹铃定在5点55分。问这个闹钟将在标准时间何时响铃？
11.小张下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了，他上足发
条后忘了拨针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有10分钟。8小时工作后夜里11点下班，小张回到家，一看钟才9点整。假如他上下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？
12.某科学家设计了一个怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分，当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点；
当这只怪钟显示6点75分时，实际上是什么时间？
13.手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分
几秒？
14.高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走得不正常，每个白天快1
2
分，每个夜晚慢
1
3
分。
如果在9月1日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快3分？
15.8点过多少分时，时针与分针离“8”的距离相等？
16.一部动画片放映的时间不足1小时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时针、分针的位置交换
了一下，这部动画片放映了多少时间？
第六单元倒推法解题
知识、规律、方法
有些应用题告诉我们事情的发生、发展和结果，解这类应用题如果从已知条件出发，顺着考虑下去，可能因误入歧路而陷入解题困境。这时不妨把思考方向改变一下，倒过来想想，可能会“柳暗花明又一村”。从后往前一步步倒着推算，这种思考方法叫还原法。
能用倒推法解决的数学问题常常满足下列三个条件：
1．已知最后的结果；
2．已知在到达最终结果时的每一步的具体过程（或具体做法）；
3．求知的数量是最初的数据。
例1．华球商店出售洗衣机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台。华球商店原有洗衣机多少台？
拓展一某人去取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时还剩125元，他原有存款多少元？
拓展二小明有钱若干元，第一次用去2
5
后，又得到240元，第二次用去这时所有钱的
1
3
后，还剩下720元。问第一次
用去多少元？
拓展三3只猴子吃篮子里的桃子，第一只猴子吃了1
3
，第二只猴子吃了剩下的
1
3
，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后
剩下的1
4
，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮子里原有桃子多少只？
拓展四甲、乙两人各有钱若干元，甲拿出1
6
给乙后，乙又拿出
1
5
给甲，这时他们各有240元，两人原来各有多少元？
例2．甲、乙两港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲港同样多的船只，那么照这样四次后，甲、乙两港所停的船只数都是48只，求甲、乙两港原来各有多少只小船？
拓展一有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先把甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再把乙桶的油倒入甲、丙两桶，使它们现有的油各增加一倍；最后以同样的方式把丙桶的油倒入甲、乙两桶，这样各桶的油都是16千克。三个油桶原来各盛油多少千克？
拓展二甲、乙、丙三人各有若干本书。甲给乙、丙两人几本书，使两人书的本数增加1倍；然后乙也照这样送给甲、
丙两人；最后丙也照这样送给甲、乙两人。结果甲有书48本，是丙的书本数的4
5
，乙的书本数是丙的书本数
的
7
1
15
，甲、乙、丙三人原来各有书多少本？
拓展三甲、乙、丙、丁各有棋子若干，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍；
然后乙也把自己的棋子的一部分以同样的方式给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以这样的方式给了甲、丁，最后丁也以这样方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16枚，原来四人各有多少枚棋子？
检测、反馈、应用
一、选择题
1.货场原有煤若干吨，第一次运出存煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果
还剩600吨。货场原存煤吨。
A．850 B．760 C．1700 D．1800
2.小丽从家带来鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天再吃余下的一半
又半个，恰好吃完。小丽从家带了个鸡蛋。
A．10 B．7 C．13 D．9
3.仓库里的水泥要全部运走。第一次运走了全部的1
2
又
1
2
吨，第二次运走了余下的
1
3
又
1
3
吨，第三次运走了第
二次余下的1
4
又
1
4
吨，第四次运走了第三次余下的
1
5
又是
1
5
吨，第五次运走了最后剩下的19吨。这个仓库
原来共有水泥吨。
A．99 B．78 C．56 D．135
4.甲、乙、丙三个朋友按下列方法分配苹果：甲得到了全部的1
3
又8个，乙取了所剩的
1
3
又8个，丙取了最后
余下的1
3
和所剩下的8个。甲小朋友得苹果个。
A．24 B．27 C．25 D．28
5.一辆拖拉机耕一块地，第一小时耕了整块的1
4
又
1
4
公亩，第二小时耕了余下的
1
4
又
1
4
公亩，还剩230公亩没
有耕。这块地原来有公亩。
A．307 B．
1
409
3
C．
1
512
3
D．460
6.一堆西瓜，第一次卖出总个数的1
4
又6个，第二次又卖出余下的
1
3
又4个，第三次又卖出余下的
1
2
又3个，
正好卖完，这椎西瓜原有（）个。
A．27 B．28 C．29 D．30
7.有一堆棋子（棋子数大于1），把它四等分后剩一枚，拿去三份又一枚。将剩下的棋子再四等分后还是剩下一
枚，再拿走三份又一枚，将剩下的棋子四等分还是剩一枚，原来至少有（）枚棋子。
A．37 B．43 C．69 D．85
二、解答题
8.把180个苹果按每个人一个分给甲、乙、丙、丁四个幼儿班的小朋友。如果甲班人数加2，乙班人数减2，丙
班人数乘以2，丁班人数除以2，四个班人数相等。这四个班各应分多少个？
9.有一筐梨，甲取了一半又1个，乙取了余下的一半又1个，丙取了余下的一半又1个，这时筐里只剩1个梨。
这筐梨共值4.40元,问每个梨值多少钱?
10.工地运来两车水泥，第一次用去一半又半吨，第二次用去余下的一半又半吨，第三次用去最后剩下的一半又
半吨，正好用完。这两车水泥共有多少吨？
11.两棵树上共有麻雀25只，第一棵树上的麻雀飞到第二棵树上5只，又从第二棵树上飞走了7只，这时第一棵
树上的麻雀是第二棵树上的2倍，问原来每棵树上的麻雀各有几只？
12.甲、乙各有若干元，甲拿出1
5
给乙后，乙拿出
1
4
给甲，这时他们各有90元。他们原来各有多少元？
13.一堆西瓜第一次卖出总数的1
5
还多4个，第二次卖出剩下的
1
4
还多3个，第三次卖出剩下的
1
3
还多3个，第
四次卖出剩下的1
2
少1个半，还剩12个。这堆西瓜原有多少个？
14.仓库中有水泥若干袋。第一次运出全部水泥的1
3
，第二次运进400袋，第三次又运出现有水泥的
1
5
又40袋，
结果仓库里还剩下水泥800袋。仓库里原来有水泥多少袋？
15.老奶奶卖西瓜，第一次卖出了全部的一半又半个，第二次卖出了余下的一半又半个，第三次卖出了第二次余
下的一半又半个，第四次卖出了第三次余下的一半又半个，最后还剩下一个西瓜，老奶奶原来有多少个西瓜？
16.54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁取最后一张就输。问先拿牌的人怎样拿才能保
证获胜？
17.有铅笔若干支，分给甲、乙、丙三个学生，最初甲得最多，乙得较少，两得最少。后重新分配，第一次甲分
给乙、丙各自所有的铅笔数再多4支；第二次乙分给甲、丙各自所有的铅笔数再多4支；第三次丙分给甲、乙各自所有的铅笔数再多4支，此时甲、乙、丙三个学生各得铅笔44支。最初这三个学生各有铅笔多少支？
18.红星小学为山区学校捐图书，按计划把这批书的
1
10
又6本送给李村小学，把余下的一部分送给王村小学，送
给王村小学的比送给李村小学的3倍还多136本，又把第二次余下的75%又80本送给张村小学，最后剩下300本，作为数学竞赛的奖品，红星小学一共捐献了多少本图书？
第七单元列举法解题
知识、规律、方法
当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，有时不得不采用逐一检验这些答案的策略。列举法就是把问题分为不重复、不遗漏的几类情况，并把每一类中的答案按一定的顺序一一列举出来，直至看出规律，然后再根据规律数一数答案的个数或者写出全部答案。
范例、解析、拓展
例1李萍的口袋里有五张标有数5、10、20、50、100的卡片。如果每次取出4张计算它们的和，那么共有多少种不同的和？
拓展一用0，4，5，9可以组成多少个能被5整除的四位数？
拓展二由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个不同的最简真分数？
拓展三有一个没有盖子的正方体纸盒，请你沿着正方体的棱，将这个无盖纸盒剪成展开图，有多少种不同的展开图？拓展四参加“洽谈会”的客人见面问候，在6位客人中，不重复地握手13次，互相之间都握过手的至少有多少位客人？
例2．玲玲买了三种练习本：自然本每本8分钱，语文本每本1角钱，数学本每本2角钱。她一共用了一元二角二分钱。
那玲玲买的三种本子的总和最少是多少？
拓展一某次数学竞赛共有10道题，评分办法是：答对一道题得3分，答错一题倒扣1分，不答得0分。已知参加竞赛的学生中至少有3个人的得分相同。参加竞赛的学生至少有多少人？
拓展二 我家住在一条短胡同里，这条胡同的门牌号从1号开始，挨着号码编下去。如果除我家外，其余各家的门牌号
数加起来减去我家门牌号数的2倍，恰好等于100。我家门牌号是几号？全胡同共有多少家？ 拓展三 甲、乙、丙三个自然数的和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是“商5余1”，甲数是多少？ 检测、反馈、应用
一．选择题
1. 新学期开学了，10个同学见了面，如果每两个同学都握一次手，那么共握手 次。
A ．9
B ．20
C ．30
D ．45
2. 从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙
地可有 种走法。
A ．9
B ．15
C ．12
D ．16
3. 一个工人将子弹装进两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完。如果子弹一共99颗，盒
子数大于10。问大盒子有 个，小盒子有 个。
A ．11，13
B ．2，20
C ．2，30
D ．2，15 4. 观察前四个数，写出最后一个数：2，7，22，67，（ ）
A ．89
B ．202
C ．104
D ．124
5. 从1993这个数里，第一次减去它的二分之一，第二次减去剩下的三分之一，第三次再减去剩下的四分之一，
依此类推，一直到最后减去剩下的一九九三分之一，那么最后剩下的数是 。 A ．2 B ．1 C ．3 D ．4
6. 某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条线路上每个车站发售的通往其他各车站的火车
票，他一共收集了 张。
A ．60
B ．110
C ．95
D ．55
7. 有一个五分币，四个二分币，八个一分币，要取9分钱，有 种取法。 A ．7 B ．11 C ．20 D ．14
8. 用1、2、3、4四张数字卡片，每次取3张组成一个三位数，可以组成 个奇数。 A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
9. 下图中有 个三角形。 条线段。
A ．3，5
B ．6，10
C ．7，7
D ．8，12
二、解答题
10. 两个人的年龄和是36岁，且各自的年龄数都是质数，他们们各自的年龄可能分别是多少岁？ 11. 现有1克、2克、3克重的天平砝码，要用10个砝码称出20克重的物体。（1）在取出的砝码中有3个1克的，
那么3克重的砝码应有多少个？（2）除（1）的情况外，取出的砝码还有几种情况呢？（设任何一种砝码至少取一个） 12. 有铅笔若干支，分配给甲、乙、丙三个学生。最初甲分得的最多，乙分得的较少，丙分得的最少，因此重新
分配。第一次分配，甲分别给乙、丙原有支数多4支；第二次分配，乙分别给甲、丙原有支数多4支；第三
次分配，丙分别给甲、乙原有支数多4支。经过三次重新分配后，甲、乙、丙三人各得铅笔44支，最初甲得几支？
13. 有糖块144颗，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不得多于40颗，共有多少种分法？
14. 小刚和小李玩掷骰子游戏，共有两枚骰子，一起掷出，若两枚骰子的点数和为7，则小刚胜；若点数和为8，
则小李胜。想一想，他们两人获胜的可能性大，为什么？ 15. 一只甲虫从A 点出发（如下图），要沿着某几条线段从A 点爬到F 点。在行进中，同一个点或同一条线段只
能经达一次，这只甲虫最多有多少种不同走法？
A
B
C
D E F
16. 新任宿舍管理员拿了20把钥匙去开20个房门，他知道每把钥匙只能开一个房门，但不知道哪把钥匙能开哪
A
B
C
D E
小学六年级奥数题集锦 Last revision date: 13 December 2020.
小学六年级奥数题集锦 1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。甲行驶了全程的5/11,如果甲每小时行驶4.5千米，乙行了5小时。求AB两地相距多少千米 2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。甲乙两地相距多少千米 3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出发点。求乙绕城一周所需要的时间 4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程的1\4时，乙离B地还有640米，当甲走余下的5\6时，乙走完全程的7\10，求AB两地距离是多少米 5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对开出,相向而行。甲车每小时行75千米，乙车行完全程需7小时。两车开出3小时后相距15千米，A,B两地相距多少千米 6、甲，已两人要走完这条路，甲要走30分，已要走20分.现两人同时出发相向而走.走3分后，甲发现有东西没拿，拿东西耽误3分，甲再走几分钟跟已相遇
7、甲，乙两辆汽车从A地出发，同向而行，甲每小时走36千米，乙每小时走48千米，若甲车比乙车早出发2小时，则乙车经过多少时间才追上甲车？ 8、甲乙两人分别从相距36千米的ab两地同时出发,相向而行,甲从a地出发至1千米时,发现有物品落在a地，便立即返回，拿了物品又立即从a地向b地行进，这样甲、乙两人恰好在a，b两地的中点处相遇，又知甲每小时比乙多走0.5千米，求甲、乙两人的速度9、两列火车同时从相距400千米两地相向而行,客车每小时行60千米，货车小时行40千米，两列火车行驶几小时后，相遇有相距100千米？ 10、甲每小时行驶9千米，乙每小时行驶7千米。两者在相距6千米的两地同时向背而行，几小时后相距150千米 11、甲乙两车从相距600千米的两地同时相向而行已知甲车每小时行42千米，乙车每小时行58千米两车相遇时乙车行了多少千米？ 12、两车相向,6小时相遇,后经4小时,客车到达,货车还有188千米,问两地相距？ 13、甲乙两地相距600千米,客车和货车从两地相向而行,6小时相遇,已知货车的速度是客车的3分之2 ，求二车的速度？
六年级奥数题及答案 1、电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 2、甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 3、由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 4、小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？
5、搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 6、一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天? 7、股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印花税和佣金（通常所说的手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一种科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出，老王卖出这种股票一共赚了多少钱？
8、某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出4/5时出现滞销，便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多少，若赚，赚多少 9、一件工程原计划40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人 10、育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时达标人数是未达标人数的9/11，育才小学共有学生多少人？
小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。 (1)和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。三、差倍问题： 小数=差÷(倍数-1) (2)年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 (双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。 (4)植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距×段数，封闭图形：棵数=段数不封闭图形：
两头都栽：棵数=段数+1 两头都不栽：棵数=段数-1 一头栽一头不栽：棵数=段数 (5)鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，假设法(6)行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程÷速度和，追及时间=距离÷速度差。 (7)周期问题 (8)还原问题 (9)归一问题 (10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1.圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2.常用特殊数的乘积 125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111 3.100内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4.单位换算： 1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
一．知识的回顾 1.工厂原有职工128人，男工人数占总数的1 4 ，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的 2 5 ，这时工厂共有职工 人． 【解析】 在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为1 128(1)964 ?-=人， 调入后女职工占总人数的23155-=，所以现在工厂共有职工3 961605 ÷=人． 2.有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的5 2 倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的 4 3 倍，乙桶中原有油 千克． 【解析】 原来甲桶油的质量是两桶油总质量的55 527 =+，甲桶中倒出5千克后剩下的油的 质量是两桶油总质量的44 437 =+，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为 545()3577÷-=千克，乙桶中原有油2 35107 ?=千克． 【例 2】 （1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比 元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？ 【解析】 （1）设二月份产量是1，所以元月份产量为： ()10 11+10%= 11 ÷，三月份产量为：110%=0.9-，因为 10 11 ＞0.9，所以三月份比元月份减产了 （2）设商品的原价是1，涨价后为1+15%=1.15，降价15%为： ()1.15115%=0.9775?-，现价和原价比较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价 降低了。
【巩固】 把100个人分成四队，一队人数是二队人数的1 13倍，一队人数是三队人数的11 4 倍，那么四队有多少个人? 【解析】 方法一：设一队的人数是“1”，那么二队人数是：1 3 113 4 ÷= ，三队的人数是：141145÷=，345114520++= ，因此，一、二、三队之和是：一队人数51 20 ?，因为人数是整数，一队人数一定是20的整数倍，而三个队的人数之和是51?(某一整 数)， 因为这是100以内的数，这个整数只能是1．所以三个队共有51人，其中一、二、三队各有20，15，16人．而四队有：1005149-=(人)． 方法二：设二队有3份，则一队有4份；设三队有4份，则一队有5份.为统一一队所以设一队有[4,5]20=份，则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为 15162051++=份，而四个队的份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人，所以四队有1005149-=人(人). 【例 3】 新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的 25，美术班人数相当于另外两个班人数的3 7，体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？ 【解析】 条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的22 527 =+，美术班的学生人数是所 有班人数的33 7310 =+，所以体育班的人数是所有班人数的2329171070--=，所以所 有班的人数为295814070 ÷=人，其中音乐班有2 140407?=人，美术班有 3 1404210 ?=人.
小学六年级奥数题及答案 1.某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？ 解： 设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是（A-2）/4，及格的就是A+22，不及格的就是A+（A-2）/4-（A+22）=（A-90）/4，而6*（A-90）/4=A+22，则A=314，80分以下的人数是（A-2）/4，也即是78，参赛的总人数314+78=392 2.电影票原价每若干元,现在每降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一电影票原价多少元？ 解：设一电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x 元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等
3.甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款. 解答：解：设乙存款x元，则甲存款是9600-x元，由题意得： （9600-x）（1-40%）x=（1-40%）x+2×120， 5760-60%x=60%x+240， 60%x+60%x=5760-240， 1.2x=5520， x=4600； 答：乙的存款4600元． 点评：解答此题的关键是根据题意设出未知数，另一个未知数用设出的字母表示，再根据数量关系等式：甲存款的（1-40%）等于乙存款的（1-40%）加上2个120元，列出方程解决问题． 4.由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？答案 加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1。5倍 再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗
小学六年级奥数测试题 1、2009＋200.9＋20.09＋2.009＋991＋99.1＋9.91＋0.991＝( )。 2、2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009的积的个位数是 ( )。 3、99999×7＋11111×37＝( )。 4、观察前三个算式，找出规律，在最后的式子中的括号内填入合适的数。123456789×9＝1111111101；123456789×18＝2222222202； 123456789×27＝3333333303；123456789×( )＝8888888808 5、在2008年北京奥运会上，中国运动健儿勇夺金、银、铜牌100枚。其中，金牌数比银牌数的2倍多9枚，铜牌数比银牌数多7枚。请算一算：中国运动健儿获得金牌( )枚，银牌( )枚，铜牌( )枚。 6、列车通过420米长的海底隧道用16秒；通过一座120米长的桥梁用10秒。列车的车身长( )米。 7、4条直线最多能把一个长方形割成( )块。 8、有5位同学参加数学比赛，比赛分数都为整数。5人中最高分数100分，最低分数是60分，且每人所得分数不相同，5人的平均分数是85分。请估算一下，排在第三的那位同学最少得( )分。 9、箱子里有红球30个，白球20个，黄球15个，蓝球25个。那么最少要从箱子里摸出( )个球，才能保证摸出的球有红球，白球，黄球，和蓝球。10、开学前打扫教室，小明30分钟能打扫完毕；小芬却要50分钟才能打扫完毕。现在小明先打扫6分钟，然后小芬也来参加一起打扫，那么，还要( )分钟就可以打扫完毕。
11、科学家进行一项科学实验，每隔2小时做一次记录，做第六次记录时，挂钟时针指向“11”，做第一次记录时，时针指向( )。 12、一辆客车和一辆货车从a，b两地同时相向开出。出发后2小时，两车相距282千米；出发后5小时，两车相遇。请回答：a，b两地相距( )千米。 13、把19个棱长为1厘米的正方体重叠起来，如右图，拼成 一个立体图形，求这个立体图形的表面积是( )平 方厘米。 15、100名学生当上全区儿童运动会的“志愿者”，男同学2人一组，女同学3人一组，刚好41组。男志愿者有( )名，女志愿者有( )名。
小学六年级奥数题集锦 及答案
小学六年级奥数题集锦及答案 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个 6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵 7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完
六年级奥数题及答案 1 电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 解：设一张电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思,为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1 ,则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1 ,则原来应收入1x元,而现在增加了原来的五分之一,就应该再*（1+5/1）,减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入,使方程左右相等 2 甲乙在银行存款共9600元 ,如果两人分别取出自己存款的40% ,再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等 ,求乙的存款 答案 取40％后,存款有 9600×（1－40％）＝5760（元） 这时,乙有：5760÷2＋120＝3000（元） 乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元） 3 由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖,如果增加10颗奶糖后,巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后,巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 答案 加10颗奶糖,巧克力占总数的60% ,说明此时奶糖占40% , 巧克力是奶糖的60/40=1。5倍 再增加30颗巧克力,巧克力占75% ,奶糖占25% ,巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍,说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗
小明和小亮各有一些玻璃球,小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6 ,我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 答案 小明说：“你有球的个数比我少1/4！” ,则想成小明的球的个数为4份,则小亮的球的个数为3份 4*1/6＝2/3 （小明要给小亮2/3份玻璃球） 小明还剩：4-2/3＝3又1/3（份） 小亮现有：3+2/3＝3又2/3（份） 这多出来的1/3份对应的量为2 ,则一份里有：3*2＝6（个） 小明原有4份玻璃球,又知每份玻璃球为6个,则小明原有玻璃球4*6＝24（个） 搬运一个仓库的货物 ,甲需要10小时 ,乙需要12小时 ,丙需要15小时.有同样的仓库A 和B ,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物 ,丙开始帮助甲搬运 ,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2 ,所需时间是 答：丙帮助甲搬运3小时 ,帮助乙搬运5小时 解本题的关键 ,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化 ,设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6 ,乙每小时搬运 5 ,丙每小时搬运4 三人共同搬完 ,需要 60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）
数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差
小学六年级奥数入学测试题 【考生注意】 本试卷包括两道大题(13道小题)，满分100分，考试时间120分钟． 一、填空题：(本题共有12道小题，每小题7分，满分84分) 1.计算： =______________. 2．7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数，那么c=______． 3. 上面这个火柴等式显然是错误的，请你移动两根火柴，使它成为一个正确的等式(所移动的两根火柴不许拿走，也不许与其他火柴重合)，那么组成的正确等式是 . 4．两个孩子在圆形跑道上从同一点A出发按相反方向运动，他们的速度是5米／秒和9米／秒．如果他们同时出发并当他们在A点第一次相遇的时候结束，那么他们从出发到结束之间相遇的次数是 (不计出发时和结束时的两次)． 5．学校举行一次考试，科目是英语、历史、数学、物理和语文，每科满分为5分，其余等级依次为4、3、2、1分．今已知按总分由多到少排列着5个同学A、B、C、D、E，并且满足条件：①在同一科目以及总分中，没有得分相同的人；②A的总分是24；③C有4门科目得了相同分数；④D历史得4分，E物理得5分，
语文得3分．那么B的成绩是：英语分， 历史，数学分，物理分，语文分 . 6．数的各位数字之和为．7．一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行驶32千米，货车每小时行驶40千米，两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地．返回的速度，客车增加8千米／小时，货车减速5千米／小时．已知两车两次相遇处相距70千米，那么货车比客车早返回出发地小时． 8．40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼中，共有26个头、298只脚，若40只脚的蜈蚣有1个头，则3个头的龙有只脚． 9．确定图7-1中图形的周长，至少要知道8条边中边 的长度． 10．如图7-2，小圆半径为10，大圆半径 为20，那么，阴影部分的面积是．( ≈3.14). 11．某一天中，经理有5封信要交给打字员打字，每次他都将信放在打字员的信堆的上面，打字员有时间就将信堆最上面的那封信取来打．假定5封信按经理放在信堆上的先后顺序依次编号为l、2、3、4、5，那么打字员有___________种可能的打字顺序． 12．请将1、2、3……14填入图7-3中所 示的图形的圆圈内(每个数用一次，每个
小学六年级奥数题 1. 某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人， 及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？ 2. 电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张 电影票原价多少元？ 3.甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给 乙。这时两人钱相等，求乙的存款 4. 由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增 加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 5. 小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给 我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 6. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A 和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 7. 一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起 工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天? 8.股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印花税和佣金 （通常所说的手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一种科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出，老王卖出这种股票一共赚了多少钱？ 9. 某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售， 很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出4/5时出现滞销，便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多少，若赚，赚多少
1、某校参加数学竞赛的男生人数比女生人数的4倍少8人，比女生人数的3倍多24人，这个学校参加数学竞赛的男生有多少人？女生有多少人？ 2、修一条长200米的水渠，已经修了80米，再修多少米刚好修了这条水渠的3/5？ 3、一本书600页，第一天看了它的1/4，第二天看了它的2/5，两天一共看了多少页？ 4、爱达花园小学向希望工程捐款，六（1）班捐的占六年级的1/3，六年级捐的占全校捐款的1/4，全校共捐款2400元，六（1）班捐了多少元？（用两种方法解答） 5、甲乙两地相距60千米，汽车从甲地开往乙地，当汽车超过全程中点10千米时，还剩下全程的几分之几？ 6、学校去年植树120棵，今年植树的棵树比去年的3/4多5棵，今年植树多少棵？
7、学校今年植树120棵，比去年的3/5多5棵，去年植树多少棵？ 8、一筐苹果，第一次卖出它的一半，第二次卖出的是第一次的4/5，还剩下这筐苹果的几分之几没有卖？ 9、一个乒乓球从25米的高空下落，每次弹起的高度是下落高度的2/5，它第四次下落后又能弹起多少米？ 10、一批加工服装的任务按4：5分配给甲、乙两个车间，实际甲车间生产了450套，超过分配任务的1/4。这批服装共有多少套？ 11、某年七月份雨天是晴天的2/3，阴天是晴天的2/5，这个月晴天有几天？ 12、商场有白、蓝、花布一共1380米，白、花布米数的比是5∶6，花布的米数是蓝布的3/2倍，三种布各有多少米？
13、三组同学采集树种，甲组、乙组、丙组的工作效率的比是5∶3∶4。甲组采集了15千克，乙组比丙组少采集多少千克？ 14、甲数是乙数的3/5，丙数是甲数的2/3，丙数是乙数的几分之几？ 15、每台拖拉机每小时耕地5/7公顷，8台拖拉机45分钟耕多少公顷？ 16、一根绳子，第一次剪去它的1/2，第二次剪去剩下的1/3，第三次剪去又剩下的1/4，剩下的绳子是原来的几分之几？ 17、一种混凝土的水泥、黄沙和石子的比是2∶3∶5，如果有3/4吨的水泥搅拌混凝土，需要黄沙和石子个多少吨。 18、小红8天读一本书的2/5，剩下的准备6天读完，平均每天读这本书的几分之几？
小学六年级奥数测试题及答案 奥数（一） 一、填空题： 3．一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个． 5.图中空白部分占正方形面积的______分之______. 6．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为______． 7．将11至17这七个数字，填入图中的○内，使每条线上的三个数的和相等． 8．甲、乙、丙三人，平均体重60千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重3千克，则乙的体重为______千克． 9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是______． 10．现有七枚硬币均正面（有面值的面）朝上排成一列，若每次翻动其中的六枚，能否经过若干次的 翻动，使七枚硬币的反面朝上______（填能或不能）． 二、解答题： 1．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度 是多少？ 2．数一数图中共有三角形多少个？
3．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数． 奥数（一）答案 一、填空题： 1．（1） 3．（6个） 设原两位数为10a+b，则交换个位与十位以后，新两位数为10b+a，两者之差为（10a+b）-（10b+a）=9（a-b）=27，即a-b=3，a、b为一位自然数，即96，85，74，63，52，41满足条件．4．（99） 5．（二分之一） 把原图中靠左边的半圆换成面积与它相等的右半部的半圆，得右图，图 6．（60千米/时） 两船相向而行，2小时相遇．两船速度和210÷2=105（千米/时）；两船同向行，14小时甲赶上乙，所以甲船速-乙船速=210÷14=15（千米/时），由和差问题可得甲：（105+15）÷2=60（千米/时）．乙：60-15=45（千米/时）．
小学六年级奥数题集锦文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
小学六年级奥数题集锦 1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。甲行驶了全程的5/11,如果甲每小时行驶4.5千米，乙行了5小时。求AB两地相距多少千米 2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。甲乙两地相距多少千米 3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出发点。求乙绕城一周所需要的时间 4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程的1\4时，乙离B地还有640米，当甲走余下的5\6时，乙走完全程的7\10，求AB两地距离是多少米 5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对开出,相向而行。甲车每小时行75千米，乙车行完全程需7小时。两车开出3小时后相距15千米，A,B两地相距多少千米 6、甲，已两人要走完这条路，甲要走30分，已要走20分.现两人同时出发相向而走.走3分后，甲发现有东西没拿，拿东西耽误3分，甲再走几分钟跟已相遇? 7、甲，乙两辆汽车从A地出发，同向而行，甲每小时走36千米，乙每小时走48千米，若甲车比乙车早出发2小时，则乙车经过多少时间才追上甲车？ 8、甲乙两人分别从相距36千米的ab两地同时出发,相向而行,甲从a地出发至1千米时,发现有物品落在a地，便立即返回，拿了物品又立即从a地向b地行进，这样甲、乙两人恰好在a，b两地的中点处相遇，又知甲每小时比乙多走0.5千米，求甲、乙两人的速度?
小学六年级经典奥数题和答案 甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 9600×（1－40％）＝5760（元）5760÷2＋120＝3000（元）3000÷（1－40％）＝5000（元） 小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 4*1/6＝2/3 4-2/3＝3又1/3（份）3+2/3＝3又2/3（份）3*2＝6（个）4*6＝24（个） 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 60 ×2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）（60- 6×8）÷4= 3（小时）（60- 5×8）÷4= 5（小时） 一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天
5/6-1/3=1/2 1/2÷8=1/16，1/16×4=1/4 1/3-1/4=1/12 [1/12-1/72× 3]/2=1/48 1/16-1/72-1/48=1/36 [1-5/6]÷1/36=6天 答：还需要6天 股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印花税和佣金（通常所说的手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一种科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出，老王卖出这种股票一共赚了多少钱？ 一件工程原计划40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人？解: 设需要增加x人 (40+x)(15-3)=40*15 x=10 答：所以需要增加10了 仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为2：7.如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓库原有货物多少吨？ 解：第1次运走：2/（2+7）=2/9. 64/（1-2/9-3/5）=360吨。
小学奥数知识点汇总 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
小学六年级奥数测试题及答案 1、2009＋200.9＋20.09＋2.009＋991＋99.1＋9.91＋0.991＝（）。 2、2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009的积的个位数是（）。 3、99999×7＋11111×37＝（）。 4、观察前三个算式，找出规律，在最后的式子中的括号内填入合适的数。 123456789×9＝1111111101；123456789×18＝2222222202； 123456789×27＝3333333303；123456789×（）＝8888888808 5、在2008年北京奥运会上，中国运动健儿勇夺金、银、铜牌100枚。其中，金牌数比银牌数的2倍多9枚，铜牌数比银牌数多7枚。请算一算：中国运动健儿获得金牌（）枚，银牌（）枚，铜牌（）枚。 6、列车通过420米长的海底隧道用16秒；通过一座120米长的桥梁用10秒。列车的车身长（）米。 7、4条直线最多能把一个长方形割成（）块。 8、有5位同学参加数学比赛，比赛分数都为整数。5人中最高分数100分，最低分数是60分，且每人所得分数不相同，5人的平均分数是85分。请估算一下，排在第三的那位同学最少得（）分。 9、箱子里有红球30个，白球20个，黄球15个，蓝球25个。那么最少要从箱子里摸出（）个球，才能保证摸出的球有红球，白球，黄球，和蓝球。 10、开学前打扫教室，小明30分钟能打扫完毕；小芬却要50分钟才能打扫完毕。现在小明先打扫6分钟，然后小芬也来参加一起打扫，那么，还要（）分钟就可以打扫完毕。11、科学家进行一项科学实验，每隔2小时做一次记录，做第六次记录时，挂钟时针指向“11”，做第一次记录时，时针指向（）。 12、一辆客车和一辆货车从a，b两地同时相向开出。出发后2小时，两车相距282千米；出发后5小时，两车相遇。请回答：a，b两地相距（）千米。 13、把19个棱长为1厘米的正方体重叠起来，如右图，拼成 一个立体图形，求这个立体图形的表面积是（）平 方厘米。 15、100名学生当上全区儿童运动会的“志愿者”，男同学2人一组，女同学3人一组，刚好41组。男志愿者有（）名，女志愿者有（）名。 奥数答案 1. 3333 2. 1 3. 1111100 4. 72 5. 51 21 28 6. 380 7. 11 8. 84 9. 76 10. 15 11. 1
小学六年级奥数题集锦 1.工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解： 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天） 1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等） 得到1/甲＝1/乙×2 又因为1/乙＝1/17 所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？ 答案为300个 120÷（4/5÷2）＝300个