一元二次方程的应用题及答案
一、选择题 1.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株设每盆多植x 株,则可以列出的方程是( )
A .(3+x )(4﹣0.5x )=15
B .(x+3)(4+0.5x )=15
C .(x+4)(3﹣0.5x )=15
D .(x+1)(4﹣0.5x )=15
2.一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果每次提价的百分率都是x ,
根据题意,下面列出的方程正确的是( )
A .100(1+x )2=121
B .100(1-x )2=121
C .100(1+x )=121
D .100(1-x )=121
~
3.某商品连续两次降价,每次都降20﹪后的价格为m 元,则原价是( )
A .28.0m 元
B .1.2m 元
C .22
.1m 元 D .0.82m 元 4.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x 2-6x +8=0的一个根,则这个
三角形的周长是( )
A .9
B .11
C .13
D .11或13
5.等腰三角形一条边的长为3,它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两个根,则k 的值是( )
A .27
B .36
C .27或36
D .18
6.某商店购进一种商品,单价为30元.试销中发现这种商品每天的销售量P (件)与每件的销售价x (元)满足关系:P=100﹣2x .若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A .(x ﹣30)(100﹣2x )=200
B .x (100﹣2x )=200
C .(30﹣x )(100﹣2x )=200
D .(x ﹣30)(2x ﹣100)=200
7.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x ,则由题意列方程应为( )
·
A .2200(1)1000x +=
B .20020021000x +?=
C .20020031000x +?=
D .2
200[1(1)(1)]1000x x ++++=
二、填空题
8.某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米,计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是.
9.一种药品经过两次降价,药价从原来每盒60元降至现在的48.6元,设平均每次降价的百分率是x,则可列出方程.
10.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,若设参赛球队的个数是x,则列出方程为.
¥
11.某药品原价每盒25元,经过两次连续降价后,售价每盒16元.则该药品平均每次降价的百分数是_ _.
12.某药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,若平均每次下降百分率为x,则所列方程为.
13.市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格.某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为.
14.如图,某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144m2,求小路的宽度.若设小路的宽度为xm,则x满足的方程为.
15.现定义运算“※”,对于任意实数a、b,都有a※b=a2-3a+b,如:3※5=32-3×3+5,若x※2=6,则实数x的值是 ___________.
16.学校组织一次乒乓球赛,要求每两队之间都要赛一场.若共赛了15场,则有几个球队参赛设有x个球队参赛,列出正确的方程___________________.
三、解答题
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17.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.
(1)若花园的面积为192m2,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
&
18.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台
19.(本小题满分8分)新华商场销售某种空调,每台进货价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种空调的销售利润平均每天达到5000元,每台空调的定价应为多少元
20.如图所示,在长30m,宽20m的花园,要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少m(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
21.如图,在长为32m,宽为20m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,把耕地分成大小不等的六块作实验田,要使试验田面积为570m2,道路的宽应为多少
.
22.某电脑公司2012年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元,且计划从2012年到2014年,每年经营总收入的年增长率相同,问每年的增长率是多少。
23.(本题满分8分)小明锻炼健身,从A地匀速步行到B地用时25分钟.若返回时,发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米,便抄小路以原速返回,结果比去时少用2.5分钟.
(1)求返回时A、B两地间的路程;
(2)若小明从A地步行到B地后,以跑步形式继续前进到C地(整个锻炼过程不休息).据测试,在他整个锻炼过程的前30分钟(含第30分钟),步行平均每分钟消耗热量6卡路里,跑步平均每分钟消耗热量10卡路里;锻炼超过30分钟后,每多跑步1分钟,多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里.测试结果,在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量.问:小明从A地到C地共锻炼多少分钟
、
24.(本题满分8分)如图,要建一个总面积为45m2的长方形养鸡场(分为相同的两片区域),养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙,另几条边用总长为22m的竹篱笆围成,每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门.求这个养鸡场的长AD与宽AB.
25.浠水县某中学规划在校园内一块长36米,宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草,(如图所示),若使每一块草坪的面积都为96平方米,则人行道的宽为多少米
26.(12分)某商场将进货单价为18元的商品,按每件20元售出时,每天可销售100件,如果每件提高1元,日销售量就要减少10件,若使商场投资少,收益大,那么该商品的售出价格定为多少元时,才能使每天获得350元
、
27.(10分)如图,△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,点P从点A开始沿AC向点C以2厘米/秒的速度运动;与此同时,点Q从点C开始沿CB边向点B以1厘米/秒的速度运动;如果P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.
C
Q
P
B A
(1)经过几秒,△CPQ的面积等于3cm2
(2)在整个运动过程中,是否存在某一时刻t,使PQ恰好平分△ABC的面积若存在,求出运动时间t;若不存在,请说明理由.
,
28.(本题满分8分)某市为打造“绿色城市”,积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程,已知2013年投资1000万元,预计2015年投资1210万元.若这两年内平均每年投资增长的百分率相同.
(1)求平均每年投资增长的百分率;
(2)按此增长率,计算2016年投资额能否达到1360万
29.(10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元.
#
(1)求每张门票的原定票价;
(2)由实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
30.在一块长16m、宽12m的矩形荒地上,小明要建造一个花园,并使花园所占的面积为荒地面积的一半,其中花园四周小路的宽度都相等,求小路的宽。
参考答案
1.A
【解析】
试题分析:根据题意可得:每盆的株数为(3+x)珠,每珠的利润为(4-0.5x)元,根据题意得出方程.
考点:一元二次方程的应用
2.A
【解析】
百分率,根据这个公式可以进行求解.试题分析:在商品问题中,现价=原价×(1)提价次数
考点:一元二次方程的应用.
3.A
【解析】
试题分析:把原价看作单位“1”,每降价一次,价格就是原价的(1-20%).因此原价为:
故应选A.
考点:一元二次方程的应用——降价问题
4.C
【解析】
试题分析:根据题意知:x2-6x+8=0,利用因式分解法可得(x-2)(x-4)=0,因此x-2=0,x-4=0,解得x1=2,x2=4,所以:
当x=2时,2+3<6,不符合三角形的三边关系定理,所以x=2舍去,
当x=4时,符合三角形的三边关系定理,三角形的周长是3+6+4=13,
故选C
考点:因式分解法解一元二次方程,三角形的三边关系
5.B .
【解析】
试题分析:分两种情况:
①当其他两条边中有一个为3时,将x=3代入原方程,得9﹣12×3+k=0,解得k=27.将k=27代入原方程,得212270x x -+=,解得x=3或9.∵3,3,9不能够组成三角形,不符合题意舍去;
②当3为底时,则其他两条边相等,即△=0,此时144﹣4k=0,解得k=36.
将k=36代入原方程,得212360x x -+=,解得x=6.∵ 3,6,6能够组成三角形,符合题意.故k 的值为36.
故选B .
考点:1.等腰三角形的性质;2.一元二次方程的解;3.分类讨论.
6.A
【解析】
试题分析:根据:一件的利润×每天销售量=每天销售这种商品获得的利润200元,列方程可得:(x ﹣30)(100﹣2x )=200,故选:A .
考点:一元二次方程的应用.
7.D .
【解析】
试题分析:∵一月份的营业额为200万元,平均每月增长率为x ,∴二月份的营业额为200×(1+x ),∴三月份的营业额为200×(1+x )×(1+x )=2
200(1)x +,∴可列方程为2200200(1)200(1)1000x x ++++=,即2200[1(1)(1)]1000x x ++++=.故选D . 考点:1.由实际问题抽象出一元二次方程;2.增长率问题.
8.20%
【解析】
试题分析:对于增长率的一般通用公式为:增长前的数量×(1)x 增长次数=增长后的数量.根
据题意可得:22000(1+)=2880x ,然后解出方程得出答案.
考点:一元二次方程的应用
9.6.48)1(602
=-x
【解析】
试题分析:对于降价率的基本公式可得:降价前的数量×(1)降价次数降价率=降价后的数量. 考点:一元二次方程的应用
10.(1)2
x x -=28 【解析】
试题分析:设邀请x 个球队参加比赛,那么第一个球队和其他球队打(x-1)场球,第二个
考点:一元二次方程
11.20%.
【解析】
试题分析:设该药品平均每次降价的百分率为x ,根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率),则第一次降价后的价格是25(1-x ),第二次后的价格是25(1-x )2,据此即可列方程求解.
解:设该药品平均每次降价的百分率为x ,
由题意可知经过连续两次降价,现在售价每盒16元,
故25(1-x )2=16,
解得x=0.2或1.8(不合题意,舍去),
故该药品平均每次降价的百分率为20%.
故答案为:20%.
考点:一元二次方程的应用.
12.200(1-x ) 2
=128
【解析】
试题分析:根据降价率的通用公式为:降价前的数量×(1)降价次数降价率=降价后的数量. 考点:一元二次方程的应用
13.20%.
【解析】
试题分析:设这种药品平均每次降价的百分率为x ,则第一次下调后的价格为200(1﹣x ),第二次下调的价格为2200(1)x -,由题意列得:2200(1)128x -=,解得:x=0.2=20%,或x=1.8=180%(舍去),则这种药品平均每次降价的百分率为20%.故答案为:20%. 考点:1.一元二次方程的应用;2.增长率问题.
14.(402)(26)864x x --=.
【解析】
试题分析:草坪可整理为一个矩形,长为40﹣2x ,宽为26﹣x ,即列的方程为(40﹣2x )(26﹣x )=864,故答案为:(40﹣2x )(26﹣x )=864.
考点:1.由实际问题抽象出一元二次方程;2.几何图形问题.
15.4或-1
【解析】
试题分析:因为定义运算“※”,对于任意实数a 、b ,都有a ※b=a 2-3a+b ,且x ※2=6,所以x 2-3x+2=6,所以x 2-3x-4=0,所以(x-4)( x+1)=0,所以x-4=0, 或x+1=0,所以x=4或x= -1.
考点:新定义、一元二次方程.
16.152
)1(=-x x . 【解析】
试题分析:设有x 个球队参加比赛,依题意得1+2+3+…+x﹣1=15,即152
)1(=-x x .故答
案为:152
)1(=-x x . 考点:由实际问题抽象出一元二次方程.
17.(1)x=12m 或16m ;(2)195平方米.
【解析】
试题分析:首先设AB=x ,则BC=(28-x )m ,根据题意得出关于x 的方程,从而求出x 的值;根据题意列出S 与x 的函数关系式,然后再根据题意得出x 的取值范围,根据函数的增减性求出S 的最大值.
试题解析:(1)∵AB=xm ,则BC=(28﹣x )m , ∴x (28﹣x )=192, 解得:x 1=12,x 2=16,
答:x 的值为12m 或16m ;
(2)∵AB=xm , ∴BC=28﹣x , ∴S=x (28﹣x )=﹣x 2+28x=﹣(x ﹣14)2
+196,
∵在P 处有一棵树与墙CD ,AD 的距离分别是15m 和6m , ∵28﹣15=13, ∴6≤x ≤13, ∴当x=13时,S 取到最大值为:S=﹣(13﹣14)2+196=195,
答:花园面积S 的最大值为195平方米.
考点:一元二次方程,二次函数的应用.
18.8台;会超过700台.
【解析】
试题分析:首先设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑,根据题意列出方程进行求解;根据题意求出3轮后感染的台数,然后与700进行比较大小.
试题解析:设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑,依题意得:1+x+(1+x )x=81, 整理得(1+x )2=81,则x+1=9或x+1=﹣9,解得x 1=8,x 2=﹣10(舍去),
∴(1+x )2+x (1+x )2=(1+x )3=(1+8)3=729>700.
答:每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台. 考点:一元二次方程的应用
19.2750元.
【解析】
试题分析:本题我们首先设降价x 元,然后根据总利润=单价利润×数量列出方程进行求解. 试题解析:设每台空调降价x 元, 根据题意,得(2900-x -2500)(8+4×50
x )=5000 解得:12x x =150 ∴定价为:2900-150=2750
答:每台空调应定价为2750元.
考点:一元二次方程的应用.
20.1米
【解析】
试题分析:首先设小道进出口的宽度为x 米,根据题意得出方程,从而求出x 的值. 试题解析:设小道进出口的宽度为x 米 根据题意得:(30-2x )(20-x )=532 解得:x=1 x=34(舍)
答:小道进出口的宽度为1米
考点:一元二次方程的应用
21.1m
【解析】
试题分析:相等关系:试验地的面积=试验地的长×宽.如果设道路宽x ,可根据此关系列出方程求出x 的值,然后将不合题意的舍去即可.
试题解析:解:设道路为x 米宽,
由题意得:(32﹣2x )=570,
整理得:x 2
﹣36x+35=0,
解得:x=1,x=35,
经检验是原方程的解,但是x=35>20,因此不合题意舍去.
答:道路为1m 宽.
考点:一元二次方程的应用
22.20%
【解析】
试题分析:首先根据题意得出2012年的全年经营总收入,然后再根据增长前的数量×(1)x 增长次数=增长后的数量列出方程进行求解.
试题解析:600÷40%=1500(万元)
设平均每年的增长率为x ,根据题意列方程15002
(1)x =2160 解得:1x =-2.2,2x =0.2
答:每年的增长率为20%.
考点:一元二次方程的应用.
23.
【解析】
试题分析:(1)可设AB 两地之间的距离为x 米,根据两种步行方案的速度相等,列出方程即可求解;
(2)可设从A 地到C 地一共锻炼时间为y 分钟,根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量,列出方程即可求解.
试题解析:解:(1)设返回时A ,B 两地间的路程为x 米,由题意得:
2002525 2.5
x x +=-, 解得x=1800.
答:A 、B 两地间的路程为1800米;
(2)设小明从A 地到B 地共锻炼了y 分钟,由题意得:
25×6+5×10+[10+(y ﹣30)×1](y ﹣30)=904,
整理得y2﹣50y ﹣104=0,
解得y1=52,y2=﹣2(舍去).
答:小明从A 地到C 地共锻炼52分钟.
考点:一元一次方程,一元二次方程
24.9m ,5m .
【解析】
试题分析:根据实际问题中的条件列方程组时,要注意抓住题目中的一些关键性词语,找出等量关系,列出方程组.注意方程的解要符合题意.设鸡场的长为xm ,宽为ym ,根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系,解方程组即可,注意鸡场的长小于围墙的长. 试题解析:解:设鸡场的长为xm ,宽为ym ,由题意可得:
x 3y 222xy 45+-???
==,且x <14,解得y=3或5; 当y=3,x=15;
∵x <14,
∴不合题意,舍去;
当y=5时,x=9,经检验符合题意.
答:这个养鸡场的长为9m ,宽为5m .
考点:二元一次方程组的应用.
25.2米
【解析】
试题分析:首先设人行道的宽为x 米,根据题意列出关于x 的方程,从而得出答案. 试题解析:设人行道的宽为x 米,根据题意得:
(36-2x )(20-x )=96×6; 解得:x1 =2 x2 =36(舍去)
答:人行道路的宽为2米。
考点:一元二次方程的应用
26.25元.
【解析】
试题分析:设售价定为每件x 元,由:利润=每件利润×销售量,列方程求解.
试题解析:解:设售价定为每件x 元,则每件利润为(x ﹣8)元,销售量为[100﹣(x ﹣10)
×10],依题意,得(x ﹣8)[100﹣(x ﹣10)×10]=360,整理,得2281960x x -+=,解
得12x x ==14.
答:他将售出价定为每件14元时,才能使每天所赚利润为360元.
考点:一元二次方程的应用.
27.(1)x 1=1,x 2=3.(2)不存在
【解析】
试题分析:(1)设经过x 秒,用x 表示出CP ,CQ 的长,根据△CPQ 的面积等于3cm 2列一元二次方程,然后解方程即可;(2)设存在某一时刻t ,使PQ 恰好平分△ABC 的面积,根据题意可列方程12t (8-2t )=12×12
×6×8,解方程后可判断. 试题解析:(1)解:设经过x 秒,△CPQ 的面积等于3cm 2.则
12
x (8-2x )=3, 化简得x 2
-4x +3=0,
解得x 1=1,x 2=3.
(2)解:设存在某一时刻t ,使PQ 恰好平分△ABC 的面积.则 12t (8-2t )=12×12
×6×8, 化简得t 2
-4t +12=0,
b 2-4a
c =16-48=-32<0,方程无实数根,即不存在满足条件的t .
考点:一元二次方程的应用.
28.(1)10%;(2)不能
【解析】
试题分析:(1)设年平均增长率为x ,根据2015年投资1210万元列一元二次方程,解方程即可;(2)把(1)中的x 的值代入1210(1+x )求值,然后与1331比较大小即可. 试题解析:解 (1)设年平均增长率为x , 则:21000(1)1210x += 120.1, 2.1x x ==-(舍去)
答略
(2)1210(1+0.1)=1331<1360
答不能
考点:一元二次方程的应用.
29.(1)400;(2)10%.
【解析】
试题分析:(1)设每张门票的原定票价为x 元,则现在每张门票的票价为(x ﹣80)元,由“按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元”建立方程,解方程即可;
(2)设平均每次降价的百分率为y ,由“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程,解方程即可.
试题解析:解:(1)设每张门票的原定票价为x 元,则现在每张门票的票价为(x ﹣80)元,由题意得:6000480080
x x =-,解得x=400.经检验,x=400是原方程的根. 答:每张门票的原定票价为400元;
(2)设平均每次降价的百分率为y ,由题意得:2400(1)324y -=,解得:10.1y =,2 1.9
y =(不合题意,舍去).
答:平均每次降价10%.
考点:1.一元二次方程的应用;2.分式方程的应用.
30.2m
【解析】
试题分析:首先设小路宽为xm ,根据题意列出关于x 的一元二次方程,从而得出x 的值. 试题解析:设小路宽为xm ,由于花园四周小路的宽度相等
则根据题意,可得(16-2x )(12-2x )=
12
×16×12 即x 2-14x+24=0,
解之得x=2或x=12
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得 90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典 型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?
解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,
一元二次方程应用题 1、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行、列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价关系式 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 4.现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒? 解:设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0
增长率问题:1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价:1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元。(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大。”你认为对吗?请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游,推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游,共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游? 图 1
一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 2、一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数. 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增 加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求: (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案. 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家 电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
三、平均变化率问题增长率 (1)原产量+增产量=实际产量. (2)单位时间增产量=原产量×增长率. (3)实际产量=原产量×(1+增长率). 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 7. 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮,长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形,折起来做成一个没盖的盒子,使底面积是原来面积的一半,求盒子的高. 9、如图,在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2,求小路宽的宽度.
一元二次方程应用题典型题型归纳 (一)传播与握手问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组 共互赠了182件,这个小组共有多少名同学? 6.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有 多少人? 7.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?
5.恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. (三)商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品,进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系:P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件? 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产 品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元? (2)若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少? 3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。 为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
实际问题与一元二次方程(3) 教学目标: 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 3、通过一题多解使学生体会列方程的实 质,培养灵活处理问题的能力. 教学重点:列方程解应用题. 教学难点:会用含未知数的代数式表示题目里的中间量(简称关 系式);会根据所设的不同意义的未知数,列出相应的方程。 教学过程: 一、复习引入 1、上一节,我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”,现在,我们要学习解决“面积、体积问题。 2.直角三角形的面积公式是什么??一般三角形的面积公式呢? 3.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么? 4.梯形的面积公式是什么? 5.菱形的面积公式是什么? 6.平行四边形的面积公式是什么? 7.圆的面积公式是什么? 二、探究: 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何 设计四周边衬的宽度? 解法一: 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 设正中央的矩形两边分别为9xcm ,7xcm 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 2331=x ),(2332舍去不合题意-=x 21274379??=?x x 8.143275422339272927≈-=?-=-x
左右边衬的宽度为: 解法二: 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7 设上下边衬的宽为9xcm ,左右边衬宽为7xcm 依题意得 解方程得 (以下同学们自己完成) 三、例题讲解: 用20cm 长的铁丝能否折成面积为30cm 2的矩形,若能够,求它的长 与宽;若不能,请说明理由. 解:设这个矩形的长为x cm,则宽为 cm, 即 x 2-10x+30=0 这里a=1,b=-10,c=30 ∴此方程无解. ∴用20cm 长的铁丝不能折成面积为30cm 2的矩形. 四、学生练习: 1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m, 四周外围环绕着宽度相等 4.14 3214222337212721≈-=?-=-x 212743)1421)(1827(??=--x x 4336±=x )220(x -30)220(=-x x 0 203014242)10(<-=??-=-∴-ac b
一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台?
(二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。
一元二次方程应用题(含答案) 学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,
列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是: “审、设、列、解、答”. (1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.这 一步是解决问题的基础; (2)“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设 什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易; (3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系, 再根据这个相等关系列出含有未知数的等式,即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键; (4)“解”就是求出所列方程的解; (5)“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意, 如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验. (一)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期 后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 。 4.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 5.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?
一元二次方程应用题经典题型汇总 认真阅读题目,分析题意,学会分解题目,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目,举例说明. 一、面积问题: 例1:如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直 的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设 道路的宽为x米,则可列方程为() A.100×80-100x-80x=7644 B.(100-x)(80-x)+x2=7644 C.(100-x)(80-x)=7644 D.100x+80x=356 二、增长率问题:(变化前的基数a,增长率x,变化的次数n,变化后的基数b,关系:a(1+x)n=b)例2:恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 三、商品价格问题 例3:某商场服装部销售一种名牌衬衫,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了扩大销售,减少库存,商场决定降价销售,经调查,每件降价1元时,平均每天可多卖出2件。若商场要求该服装部每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 四、储蓄问题 例4:王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 五、情景对话类 例5:春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
Page 1 of 17 让每一个学生超越老师! 一元二次方程应用题经典题型汇总 同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x .,则根据题意,得200(1-20%)(1+x )2=193.6, 即(1+x )2=1.21,解这个方程,得x 1=0.1,x 2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m (1+x )2=n 求解,其中m <n .对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m (1-x )2=n 即可求解,其中m >n .
Page 2 of 17 让每一个学生超越老师! 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商 品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a -21)(350-10a )=400,整理,得a 2-56a +775=0, 解这个方程,得a 1=25,a 2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a 2=31不合题意,舍去. 所以350-10a =350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x . 则根据题意,得[1000(1+x )-500](1+0.9x )=530.整理,得90x 2+145x -3=0.
一、一元二次方程的应用题 1.(2010年长沙)长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售. (1)求平均每次下调的百分率; (2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1.5元.请问哪种方案更优惠? 解:(1)设平均每次降价的百分率是x ,依题意得 ………………………1分 5000(1-x )2= 4050 ………………………………………3分 解得:x 1=10% x 2= 19 10 (不合题意,舍去) …………………………4分 答:平均每次降价的百分率为10%. …………………………………5分 (2)方案①的房款是:4050×100×0.98=(元) ……………………6分 方案②的房款是:4050×100-1.5×100×12×2=(元) ……7分 ∵< ∴选方案①更优惠. ……………………………………………8分 2.(2010年成都)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为180万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆. (1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率; (2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆. 答案:26.. 解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意,得 2 150(1)216 x += 解得10.220%x ==,2 2.2x =-(不合题意,舍去)。 答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 (2)设全市每年新增汽车数量为y 万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆,2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤ 答:该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
一元二次方程应用题20及答案 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 解:设这两个数分别是a和a+1. 根据题意列方程:a2+(a+1)2=25 整理得:a2+a-12=0 解得:a1=3 a2=-4 当a=3时,两个数分别是3和4 当a=-4时,两个数分别是-3和-4 2、有一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字小2,十位上的数字与个位上的数字之 积的3倍刚好等于这个两位数。求这个两位数。 解:设个位数为x,则十位数为x-2 x(x-2)3=10(x-2)+x 3 a22-17x+20=0 (3x-5)(x-4)=0 x=5/3(舍去)或x=4 则这两位数为24 3、有一个两位数,它的个位上的数字与十位上的数字之和是6,如果把它的个位数字与十 位数字调换位置,所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008,求调换位置后得到的两位数。 解:设这个两位数个位数为x,则(10x+6-x)(10(6-x)+x) = 1008, 化简得到x 2-6x+8=0,所以x=2或4 面积问题 4、用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方 形,然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子,求X的值。 解:设小正方形的边长为X厘米 (80-2X)(60-2X)=1500 x2 -70X+825=0 (X-15)(X-55)=0 X=15或X=55(不符合,舍去)X=15 5、如图,在长为32m,宽为20m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,把耕地分成大小 不等的六块作实验田,要使试验田面积为570m2,道路的宽应为多少? 解:设宽度为xm,640-(20*2*x+32*x)+2x^=570 x2-36x+35=0 (X-1)(X-35)=0 x=1 或35(不合题意,舍去)x=1 增长率问题 6、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册,其中一月份发行图书32万册,二、三月 份平均每月增长率相同,求二、三月份各应发行图书多少万册? 解:设增长率为x,则 32+32(1+x)+32(1+x)(1+x)=122 (4x-1)(4x+13)=0 x=0.25或-3.25(不合题意,舍去) 二月发行图书32(1+x)=40册三月发行图书32(1+x)(1+x)=50册 7、某校2009年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2011年共捐款4.75万元, 问该校捐款的平均年增长率是多少? 解:设平均年增长率为X。则1+(1+X)+(1+X)(1+X)=4.75 x2+3x-1.75=0 (x-0.5)(x+3.5)=0 解得x=0.5或-3.5(不合题意,舍去)X=0.5=50% 销售问题 8、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量增 加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每
一元二次方程应用复习 1.“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏.为抢修其中一段120米的铁路,施工队每天比原计划多修5米,结果提前4天开通了列车.问原计划每天修多少米? 2.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1.在温室内,沿前侧内墙保留3m宽的空地,其它三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是2 288m? 3.李叔叔家房子前面有一块长方形荒地,准备把它建成一座花园.但中央修两条互相垂直的等宽小路,正好将荒 地分成四个面积相等的小长方形.如图3-8-7,已知原长方形的长为30米,宽20米,要使每个小长方形面积不少于126m2.则每条小路宽至少为多少米? 4.如图3-9-13,所示一个农户用24m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个鸡舍的总面积为36m2,求每个鸡舍的长和宽. 5.如图3-9-5,从一块长80厘米,宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形,使剩下的长方框 四周的宽度一样,并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半,求这个宽度. (第2题) 蔬菜种植区域 前 侧 空 地
6.某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元,且计划从2000年到2002年,每年经营总收入的年增长率相同,问2001年预计经营总收入为多少万元? 7.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%。求这个月的石油价格相对上个月的增长率。 8.某百货商店服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元? 9.某商店进了一批服装,进价为每件50元.按每件60元出售时,可销售800件;若单价每提高1元,则其销售 量就减少20件.今商店计划获利12000元,问销售单价应定为多少元?此时应进多少件服装? 10.将进货单价为40元的商品按50元售出时,就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,问为了赚得8000元的利润,售价应定为多少?这时应进货多少个?
列一元二次方程解应用题的一般步骤: 第一步:审题,明确已知和未知; 第二步:找相等关系; 第三步:设元,列方程,并解方程; 第四步:检验根的合理性; 第五步:作答. 一、 数字问题 1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数. 3. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数. 4.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是 5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数. 二、 传播问题 例一 有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析:设每轮传染中平均一个人传染了x 人 开始有一人患了流感, .2332:或这两个数为答.3,221==x x 解得()[]()[].736510510=-++-x x x x 得根据题意字为设这个两位数的个位数解,,:x .36,25:或这个两位数为答.6,521==x x 解得().3102x x x +-=得根据题意为设这两位数的个位数字解,,:x .5,99,5:--或这两个数为答.9,521-==x x 解得得根据题意设其中一个数为解,,:x ().454=+x x
第一轮:他传染了x 人,第一轮后共有______人患了流感. 第一轮后共有________人患了流感 第二轮的传染源 第二轮:这些人中的每个人都又传染了x 人,第二轮共传染______人 第二轮后共有____________________人患了流感. 2、有一个人收到短消息后,再用手机转发短消息,经过两轮转发后共有144人收到了短消息,问每轮转发中平均一个人转发给几个人? 分析:设每轮转发中平均一个人转发给x 个人,第一轮后有 人收到了短消息,这些人中的每个人又转发了x 人,第二轮后共有 个人收到短消息. 练习:甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感,每天平均一个人传染了几人?如果按照这个传染速度,再经过5天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感? 分析:第一天人数+第二天人数=9 解:设每天平均一个人传染了x 人。 变式:甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因3人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有27人患了甲型H1N1流感,每天平均一个人传染了几人?如果按照这个传染速度,再经过2天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感? 变式:甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因a 人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,每天平均一个人传染了b 人,第一轮后,传染了( )人,共有( )人患病,第二轮后,传染了( )人, 共有( )人患病。整理得: 总结归纳 a 表示传染之前的人数, x 表示每轮每人传染的人数, n 表示传的天数或轮数, A 表示最终的总人数 综合练习:惠州市开展“科技下乡”活动三年来,接受科技培训的人员累计达95万人次,其中第一年培训了20万人次,设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x,根据题意列出的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ 分析:本题中的相等关系为第一年培训人数+第二年培训人数+第三年培训人数=95万。 9)1(2 =+x 9)1(1=+++x x x 即 A x a n =+)1(