对称性在初中数学中的运用
“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法。在“对称”中往往体现出数学的“美”来。
对称性问题是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形位置变化或图形性质的数学问题，有时在代数中若能运用，就更会有独到的效果。这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、分析、推理、猜想，在运动中寻找不变的量，从而发现规律，达到解决问题的目的。
这类问题一般有两类：一类是根据条件中的图形运动，研究图形在运动过程中或经过运动后的位置变化与相关性质；另一类是条件中无图形的运动，要利用运动的思想研究其有关性质。
在初中数学中，图形的运动的基本形式有三种：（1）平移（包括点的移动）；
（2）图形的翻折；（3）图形的旋转。无论哪种运动都有一个极为重要的基本结论：任何图形经过运动后，其形状、大小都保持不变，即对应边、对应角都相等，变化的只是图形的位置，这在解题中是潜在的重要前提。下面通过几个例题进行简单的分析说明“对称性”在解题中的运用。
一、初中数学解题中图形的对称性的灵活运用。
例1、如图1：?ABC 中，AB=AC,∠BAC=0120，BD 平分∠ABC ，且与AC 相交于点D 。
求：AD:DC 的值；
（图1）
分析：读完题目，要抓住BD 平分∠BAC 的条件，将?ABD 翻折过来，点A
落在BC 边的点1A 处（如图2），这样AD 与1A D 重合，则AD=1A D ，问题就归纳为在?1A DC 中求1A D ：DC 的问题。
1A 1 解法一：如图2
在BC 边上截取一点1A ，使B 1A =BA ，
∵BD 平分∠BAC ，即∠ABD=∠DB 1A ，且BD=BD
∴?ABD ≌?1A BD
∴AD=1A D ，∠B 1A D=∠BAC=0120
∴∠D 1A C=-0180∠B 1A D=060，
又∵AB=AC
∴∠C=∠B= 030,则∠1A DC= 090
在Rt ?1A DC 中：1A D ：DC=tgC=tg 030=
33, ∴AD:DC=
33
（如图3）
解法二：如图3
过D 作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥BA 于F ；
∵BD 平分∠BAC ，∴DE = DF ，
同解法一，∠BAC=0120，∠C=∠B= 030得到∠FAD=060，
在Rt ?DEC 中 DE=DCsinC=DCsin 030=2
1DC ， 在Rt ?DAF 中 DF=ADsin ∠FAD=ADsin 060=
23AD ∴
21DC=23AD, ∴AD:DC=33 [说明]无论是解法一中作辅助线的作用在于把?ABD 翻折过来，还是解法二种的由对称性导出的角平分线的性质的运用，都是应用了图形的对称性的翻折的性质解决问题。方法简单便于联想，当然还有其它方法，请读者自己完成。
例2：设x 的一个二次函数的图象过A （0，1），B （1，3），C （-1，1）三点，求这个二次函数的解析式。
思路 如果不仔细观察三个点的坐标特点，设一般式求解，计算就很复杂，但通过观察掌握了三个点的特点，利用点的“对称”性，则达到事半功倍的效果。
解 A （0，1）、C （-1，1）两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点，
所以该抛物线对称轴为x= 12 ，结合A （0，1）是抛物线y 轴的交点，即函数的
一般表达式中的常数项应为1，据此可设所求函数表达式为
Y=a （x+12 ）2+1- a 4
将B=（1，3）代入求得a=1
所求函数解析式为y=x 2+x+1
例3：⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD 于P ，又OE ⊥AB 于E ，求证CD=2OE
思路 如何将看似联系不紧密的OE 、CD 拉到一起？或者说如何构造2AE ？这里应用“对称”效果就很好。
证明 如图，以O 为中心作A 关于O 的对称点A ′，
则AA ′为直径，连A ′B 、A ′C ，则A ′C ⊥AC ，又BD ⊥
AC ，故A ′C ∥BD.所以CD=A ′B.另易知A ′B=2OE ，从而CD=2OE 。
例4：△ABC 中，∠C=2∠B ，求证：AB 2=AC 2+AC ·BC 。 思路 待证式中出现平方，联想到直角三角形，作AD
⊥BC ，有勾股定理推知，只要证BD 2=CD 2+AC ·BC ，移项后整理知，只要证BD-CD=AC 。
证明 如图，作AD ⊥BC ，以D 为中心作C 关于D
的对称点C ′，则有AC=AC ′,故∠C=∠AC ′C ，又∠C=2
∠B ，∠AC ′C=∠B+∠BAC ′，于是∠B=∠BAC ′，故
BC ′=AC ′=AC
此时BD-CD=BD-C ′D=BC ′=AC
BC （BD-CD ）=AC ·BC
（BD+CD ）（BD-CD ）=AC ·BC
BD 2=CD 2+AC ·BC AD 2+BD 2=AD 2+CD 2+AC ·BC
AB 2=AC 2+AC ·BC
命题得证。
例5：已知锐角∠AOB ，P 点位于角的内部，试在角的两边上各确定一点M 、N ，使△PMN 的周长最小。
思路 将三条线围成的封闭折线打开，结合两点间
以线段最短的性质加以研究。
解 如图，作P 点关于AO 的对称点P ′；再作P 点关于BO 的对称点P 〞，由对称性易知：PM=P ’M ，PN=P ”N ，
此时PM+MN+PN= P ’M+MN+ P ”N 。欲使周长最小，M 、
N 应在P ’P ”上，取M 、N 点为P ′P ″、与AO 与BO 的
交点，此时△PMN 的周长最小。
例6：已知平行四边形ABCD 中，BC=6，AC=3+3，AB=23，将平行四边形折叠，使A 点与C
点重合，求折痕的长度。
思路 首先要找出折痕位置，根据A 与C 重合的
折叠要求，我们知道折痕为AC 的中垂线。
解 如图，过对角线交点O 作EF ⊥AC 分别交AB 、
CD 于E 、F ，再作CG ⊥AB 交AB 延长线于G ，设CG=x ，E O P A'C B A
D
B O G
C F
D
E B A P N M P'A B P''O
在Rt △AGC 中有
（3+3）2=x 2+（23+26x -）2
整理得：4x 2=12+63 2x=3612+ 2x=3+3 即x=2
33+ 所以∠CAG=30°，在Rt △OAE 中，OE=OA ·tg30°=
33·233+ 于是EF=2OE=1+3。
下面的三个题留作思考题，请读者朋友思考：
1、 如图，长方形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB =3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，点C 至点C /，折痕为EF ．求△BEF 的面积．
2、已知⊙O 的半径为5，两条平行弦长分别为6和8，则两条平行弦间的距离是 _________。
3、矩形ABCD 中，AB=5，BC =12，将对角线BD 绕点B 旋转，点D 落在BC 的延长线上的点D '处，那么tg ∠B D 'A 的值等于 。
二、初中数学题型的设计中对称变换法的运用。
加强初中数学思想和方法的训练应该落实到平时的教学中，总复习时
应注重双基、注重数学思想方法培养的基础上，能力的培养也必不可少。当然能力的培养是多方面的，这里主要是谈谈如何在题型的设计中，体现对称变化法，使数学的复习更加有效，达到举一反三、事半功倍的效果。 例1、如图?ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，连BE 延长交AC 于F ，
求AF ：FC 的值； A
F
E
G
B D C
[分析]：
C /F E D
C B A
1、要解决这个问题，方法多种。一般地只要过点作相应的平行线，构造“A ”字型或“X ”字型，通过三角形全等，得到AF=DG,把AF ：FC 的问题转化为DG ：FC=BD:BC=1:2即可。
2、学会对称变换。在?ADC 中，由AD 中点E ，就可“对称”的联想到AC 中点时，问题得到了变式转化为：如下图在?ABC 中，D 为BC 中点，F 为AC 中点，连结BF 交AD 于E ，求AE ：ED 的值；过F 点作FG ∥AD 交BC 于G ，过程请读者思考后自己完成。 A
E F
B D G C
例2、如图：G 是Rt ?ABC 斜边AB 上任意一点，GD ⊥AB 于G ，交BC 的延长线于
D ，交AC 于F ，以AB 为直径的半圆交GD 于
E ，
求证;GD GF GE ?=2 D
E
C
F
A G B
[分析]：
1、要解决本题方法多种，利用基本的三角形的相似即可。如?AFG ∽
?BDG ，得到BG AG ? =GD GF ?，再连接AE 、BE ，易得?AEG ∽?EBG,从而得到=2GE BG AG ?，等量代换得到结论。
2、若将图形BDFA 视作“对称”图形，那么GD GF GE ?=2只是在一条边上的结论，对称的看问题，另一边AF 上还应有这样的规律。于是有问题：
请在AC 上找一点X ，使CA CF CX ?=2成立。此题最简单的方法是，利用“对称”的方法以BD 为直径作半圆，交AC 于一点就是所求的X 点。