解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法
“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：
即一般地，若函数()x f 的定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M
x f ≥?min （()M x f ≥有解?M max )(x f ≤）；()M x f ≤恒成立()M x f ≤?m a x
（()M x f ≤有解?M x f ≤m i n )(）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.
例一 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当??
?
??∈2,0πθ时，有
()
()022s in 2c o s 2
>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.
分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。 【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数，
故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立， 又因为()x f 为R 减函数，
从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对??
?
??∈2,0πθ
设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于(
)1,0∈t 恒成立， 在设函数()1222
++-=m mt t t g ,对称轴为m t =.
①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，
即21-≥m ，又0 1 <≤-m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时, ()012442 <+-=?m m m 2 ∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2) ③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m ( 故由①②③可知：2 1 -≥m . 例二 定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23 且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数； (2)若()()02933<--+?x x x f k f 对任意x ∈R 恒成立，求实数k 分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2＞0对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解． 【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)， ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数． (2)解：f(3)=lo g 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数， 所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数． ()()() 2932933++-=--- 即()023132>+?+-x x k 对于任意R x ∈恒成立. 令t=3x ＞0，、问题等价于()0212>++-t k t 对于任意0>t 恒成立. 令()()212++-=t k t t f ,其对称轴为直线2 1k x += 当 02 1<+k ,即1- ?? 24102 12k k ， 解得2211+-<≤-k 综上所述,当221+- t =m 分离系数,由2933++- 2 3-+ 2 3-≥-+=x x u ,即u 的最小值为122-. 要使对于R x ∈不等式13 2 3-+ 例三 已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。若函数x f ?=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。 分析：利用导数将“函数)(x f 在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“0)(≥'x f 在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数023)(2≥++-='t x x x f 在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t 分离出来，通过讨论最值来解出t 的取值范围。 【解析】依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(。 则t x x x f ++-='23)(2， 若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(≥'x f 恒成立。 ∴0)(≥'x f x x t 232-≥?在（-1，1）上恒成立。 考虑函数x x x g 23)(2-=，（如图4） 由于)(x g 的图象是对称轴为3 1=x ， 开口向上的抛物线， 故要使x x t 232 -≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥?g t 即5≥t 。 而当5≥t 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数。故t 的取值范围是5≥t . 数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化．因此，更要重视转化的数学思想． 含参数不等式恒成立问题中参数范围确定的具体方法： 1：分离参数法 例 1：设()()( )?? ? ? ? ?+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数 且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。 该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为 图4 y ) 这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法： 例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征： 因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子()() a n n x x x +-+++121 就必须也是正数。并容易看出，可以将a 分离出来。 分析： 当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有 ()??? ? ??????? ??-++??? ??+??? ??->?>+-+++x x x x x x n n n a a n n 11210121 令()??? ? ??????? ??-++??? ??+??? ??-=x x x n n n x 1121 ?，只要对()x ?在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。 故我们可以利用函数的最值分离出参数a 。 解： 由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得： ()0121>+-+++a n n x x x ???? ??? ???? ??-++??? ??+??? ??->?x x x n n n a 1121 ，由指数函数单调 性知上式右边的函数()??? ? ??????? ??-++??? ??+??? ??-=x x x n n n x 1121 ?的最大值是 ()? ???????? ??-++??? ??+??? ??-=n n n n 1211 ?＝()n -12 1 故 a>()n -121 一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 ()0,≥λx f , （ D x ∈λ为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤: （1） 将参数与变量分离，即化为()()()()()x f f x f f 2221≤≥λλ或的形式； （2） 求()x f 2在∈x D 时的最大（或最小）值； （3） 解不等式()()()()x f x f f min 2max 21≤≥或λ 得λ的取值范围。 思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 变式：不等式-2cos 2x +4sinx-k 2+k<0对一切实数x 恒成立，求参数k 的取值范围。 分析与解：所给不等式可化为：（2 sinx+1）2< k 2-k+3<==>（2 sinx+1）2max < k 2-k+3 而（2 sinx+1）2max =9 ∴k 2-k+3=9，解之得：k > 3或k < -2 故k 的取值范围是（-∞，-2）∪（3，+∞）。 利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。 例 2： 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。 解： ∵ f(x)在R 上为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数 ∴f(x)在()+∞∞-,上为增函数 又 ∵ ()()0c o s 2432c o s >-+-θθm m f f ∴ ()32cos -θf ＞－()θcos 24m m f -＝()m m f 4cos 2-θ ∴ m m 4cos 232cos ->-θθ 即()θθ2cos 3cos 22->-m ∵ 2－cos θ[]3,1∈，∴ 2θ θ θθcos 2cos 24cos 22cos 32--=-->m ∴ m>θθθθcos 22cos 2cos 2cos 22--+=--]cos 22 cos 2[4θ θ-+--= 令2－[]3,1,cos ∈=t t θ ∴ m>4－?? ? ? ? + t t 2 即4－m 在[]3,1∈t 上恒成立 ，即求()t t t g 2 +=在[]3,1∈t 上的最小值 ∵ ()t t t g 2+=≥22等号成立条件t=t 2 ,即[]3,12∈=t 成立 ∴ ()22m i n =t g ∴ 4－m<22即m>4－22 ∴ m 的取值范围为（4－22，＋∞） 例 3： 设0 5 ≤ ,若满足不等式b a x <-的 一切实数x ，亦满足不等式 2 1 2< -a x 求正实数b 的取值范围。 简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A ＝}(){b a b a b a x x +-=<-,|， B=? ????? ??+-=???<-21,2121|222a a a x x 由题设知A ?B ，则： 21 2-≥-a b a 21 2+≤+a b a 于是得不等式组： 2++-≤a a b 2 12+ -≤a a b 又 =-+-212 a a 43212 +??? ?? --a ，最小值为163； ,4 1 21212 2 +??? ??-=+-a a a 最小值为41； ∴ 163≤ b , 即 ：b 的取值范围是?? ? ??163,0 2 ：主参换位法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442 -+-=的 值恒大于0，求x 的取值范围。 分析：此题若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值 很难求出，思路受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。 解： 设 ()()4422+-+-=x x a x a g ，把它看成关于a 的直线， 由题意知，直线恒在横轴下方。 所以 ()01≥-g ()01>g 解得： 1 例 5对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范围。 分析： 一般的思路是求x 的表达式，利用条件求m 的取值范围。但求x 的表达式时，两 边必须除以有关m 的式子，涉及对m 讨论，显得麻烦。 解： 若设()()()()()m x m x m x x f 212122-+-=---=，把它看成是关于x 的直线，由题 意知直线恒在x 的轴的下方。所以 ()03≤f 且()00≤f 解得： 52 1 ≤≤m 3： 构建函数法 当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决。我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的效果。这里，我们主要介绍如何通过构造一次函数，二次函数模型，并利用它们的性质来确定参数的取值范围。 （1） 构造一次函数 例6： 若对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++222 2log 21log log 恒成立，求实数x 的取 值范围。 解： 原不等式变形为()()01log 2log 1log 22 22>+-+-x x x p ， 现在考虑p 的一次函数： ()()()1l o g 2l o g 1l o g 22 22+-+-=x x x p p f ∴ ()0>p f 在(]2,2-∈p 上恒成立 ()() ()0 1l o g 2l o g 1l o g 2222 22>+-+--=-x x x f ()()()01l o g 2l o g 1l o g 2222 22>+-+-=x x x f 解得： 8>x 或210< ? ??,821,0 注： 本题对于一切2≤p 不等式恒成立，因此应视p 为主元，视x 为参数，把不等式左边变成关于p 的一次函数型。 （2） 造二次函数 例7： 对于?? ? ???∈2,0πθ，022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求实数m 的范围。 解： 原不等式变形为： 012sin 2sin 2<--+-m m θθ 即 012s i n 2s i n 2 >++-m m θθ 令 t =θsin ，[]1,0∈t ∴ 01222>++-m mt t 令()t f ＝1222++-m mt t ∴ 题意为()t f >0在[]1,0∈t 上恒成立。 0122 ()0120>+=m f 11 220≤?-- ≤m ?＝()2 2m -－4×1×(12+m )<0 11 22>?-- m ()12211++-=m m g >0 解得 ： 02 1 <<-m 或10≤≤m 或1>m ∴ 21- >m ，即 m 的取值范围为：?? ? ??+∞-,21 4： 数形结合法 ∴ 某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法。因为辨正唯物主义认为：万物皆有形。所以从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形象的直观模型，这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象。我们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，变抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数。数形结合往往能迅速而简捷地找到解题途径。对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。 例8、已知对于一切x ，y ∈R ，不等式0218 281222≥--+-+a y x xy x x 恒成立，求实数a 的取值范围。 解：222222218 2810218281y x xy x x a a y x xy x x -+-+≤?≥--+-+要使原不等式恒成立 min 222}218 281{y x xy x x a -+-+≤?，又 2]22)9 (2)9[(222222 2 --+-+++-y y x x y xy x =2)29()(222--++-y x y x ，考虑到点M （x,x 9 ）， N （y,-22y -）则点M 在曲线C 1：xy=9上，点N 在曲线 C 2：x 2+y 2=2(y ≤0)上。显然|MN|min =22223=-，此时 a 6≤.故满足条件的a 的取值范围为]6,(-∞ 评析：对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象较容易作出的，可以考虑作出函数图象，用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题，也非常容易得到意想不到的效果。 例9：若不等式0log 32<-x x a 在??? ??∈31,0x 内恒成立，求实数a 的取值范围。 解： 由题意知 ： x x a log 32< 在?? ? ??∈31,0x 内恒成立。 在同一坐标系内分别作出23x y = 和 x y a l o g =的图象 因为?? ? ??∈31,0x 时，x y a log =的图象位于函数23x y =的图象上方， 当 a> 1时，显见不成立。故 0 由图可知： x y a log =的图象必须过点?? ? ??31,31 或在这个点的上方，则： 3131log ≥a ∴ 27 1≥a ② 由 ①，② 知 ： 1271<≤a ∴ a 的取值范围为?? ? ???1,271 5： 观察.试探.猜想.证明法 当前面的方法都难以解决问题时，我们可以考虑从特殊到一般的思想，先考虑一些变量的特殊值，找出相应的满足题设的参数的取值，然后猜想出参数的取值范围，并将问题转化为：在已知参数取值范围的情况下，证明所给问题恒成立。 例10： 已知对一切实数θ，不等式()03cos sin 424 >+-+-a a θθ恒 成立，试求实数a 的取值范围。 分析： 取θ＝2π，则由032cos 2sin 424 >+-+?? ? ??-a a ππ解得： a>823 又取θ＝0，π时均得： ,2573>a 由此猜想： ,82 3 >a 由于当 82 3 > a 时，对一切R ∈θ∵ 0c o s 2≥θ，3sin 4≥-θ ∴ ()03033c o s s i n 4424>+-+?>+-+-a a a a θθ恒成立故 82 3 >a 为所求。 数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们要以变应变，在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度，不同的方向，加以分析探讨，从而选择适当方法快速而准确地解出。当然除了以上的方法外，还有许多其它的方法，值得一提的是，各种方法之间并不是彼此孤立的。因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。 【自我测评】 1．函数x y a log =在),2[+∞∈x 上恒有1>y ，则a 的取值范围是 。 2．x 的不等式b x x +>-21在]0,1[-上恒成立，则b 的取值范围是 。 3．函数3 47 2 +++= kx kx kx y 的定义域是一切实数，则k 的取值范围是 。 4．对任意实数，若不等式k x x >--+21恒成立，则k 的取值范围是 。 5．若不等式1sin 13 )5(cos cos )1(22->+-+--+θθθx x x x 对于任意实数x 都成立，求θ的取值范围。 6．若3 231 222+-++=x x mx x y 对任意实数x 都有5 7．已知函数f(x)=x a x x ++22,x ∈),1[+∞. （1）当a=2 1 时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意的x ∈),1[+∞，0)(>x f 恒成立，试求a 的取值范围。 8．已知()),(23R b a b ax x x f ∈++-= （１）若函数)(x f y =图象上任意两个不同点的连线斜率小于1，求证：33<<-a （２）若[]1,0∈x ，函数)(x f y =上任一点切线斜率为k ，当1≤k 时，求a 的取值范围。 9．若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442 -+-=的值恒大于0，求x 的取值范 围。 10．已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意x ∈R ，求实 数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。 11．已知)(x f 定义在)1,1(-上，且有)1( )()(xy y x f y f x f ++=+，f （2 1 ）= -1 若数列)}({n x f 满足 2 1112,21 n n n x x x x +== +。 （1）求数列)}({n x f 的通项公式 （2）是否存在整数M ，使不等式 M x f x f x f n >+++) (1 ...)(1)(121对任意+∈N n 恒成立？若存在，求出M 的最大值；若不存在，请说明理由。 12.已知函数 2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥. （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间上单调递减，求实数a 的取值范围. 【参考解答】 1． 1221≠< 3 ,0[ 4 .)3,(--∞ 5．{x|x=－1或x ≥3} 6．5 231 252 2 2<+-++<-x x mx x 恒成立， 解得-11 a 时，221 )(++ =x x x f ，)(x f 在区间[),1+∞上为增函数， )(x f ∴在区间[),1+∞上的最小值为2 7 )1(=f （2）[解法一]在区间的[),1+∞上，02)(2>++= x a x x x f 的恒成立022>++?a x x 恒成立，设),1[,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递 增，∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a [解法二]),1[.2)(+∞∈++ =x x a x x f ， 当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正，当0+=a x f ，于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a 8．解（1）、设任意不同两点为()()222111,,,y x P y x P ，且21x x ≠，则 ()0 11122 212212 12 23 22 13 12121<-+--+-∴<--++-∴<--ex x x x e x x x ex x ex x x x y y 33043 4042302222 21<<-∴<-∴<-++- （2）、当[]()ax x x f k x 23,1,02'+-==∈时由题意：[]1,0,12312∈≤+-≤-x ax x ， 则???? ????? ≤= ≤≤≤+-=13)3(130123)1(2''a a f a a f 或?????>≤+-=13123)1('a a f 或??? ??<≤+-=0 31 23)1('a a f 解得：当1≤k 时，31≤≤a 9．设 ()()4422+-+-=x x a x a g ，把它看成关于a 的直线，由题意知，直线恒在横轴下方。 所以(1)0 (1)0 g g -≥??>?， 解得： 1 10．∵ f(x)在R 上为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数， ∴ f(x)在()+∞∞-,上为增函数 又 ∵ ()()0c o s 2432c o s >-+-θθm m f f ∴ ()32cos -θf ＞－()θcos 24m m f -＝()m m f 4cos 2-θ ∴ m m 4cos 232cos ->-θθ 即()θθ2cos 3cos 22->-m ∵ 2－cos θ[]3,1∈， ∴ 2θθ θθcos 2cos 24cos 22cos 32--=-->m ∴ m>θθθθcos 22cos 2cos 2cos 22--+=--]cos 22 cos 2[4θ θ-+--= 令2－[]3,1,cos ∈=t t θ， ∴ m>4－?? ? ?? + t t 2 即4－m 在[]3,1∈t 上恒成立，即求()t t t g 2 +=在[]3,1∈t 上的最小值 ∵ ()t t t g 2+=≥22等号成立条件t=t 2 ,即[]3,12∈=t 成立， ∴ ()22m i n =t g ∴ 4－m<22即m>4－22，∴ m 的取值范围为（4－22，＋∞） 11．（1）1)21 ()(,2)()(),(2)12( )(112 1-====+=++f x f x f x f x f x x f x f n n n n n n 又所以，即有 为公比的等比数列为首项，是以21)}({n x f ，故12)(--=n n x f 。 （2） )21...21211()(1...)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f 22 1 1-=-n 22 1)(1 -= -n n g 在+∈N n 上是减函数， 1)1()(max -==∴g n g ，所以Z m M ∈-<又1 故2-=m 。 12. 解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)e x f x x x =-，所以2()(2)e x f x x '=-， 令()0f x '=，得x = ()f x '，()f x 随x 的变化情况入下表： 由上表可知，x =()f x 的极小值点，x =是函数()f x 的极大值点. （Ⅱ） 22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+, 由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立， 当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意x ∈恒成立； 当0a >时，()0f x '≤等价于22(22)20ax a x a ---≥， 因为x ∈，不等式2 2 (22)20ax a x a ---≥等价于2222a x x a --≥, 令2 (),g x x x x =-∈， 则2 2 ()1g x x '=+ ，在上显然有()0g x '>恒成立，所以函数()g x 在单调递增， 所以()g x 在上的最小值为0g =， 由于()0f x '≤对任意x ∈恒成立等价于2222 a x x a --≥对任意x ∈恒成立， 需且只需2min 22()a g x a -≥，即222 0a a -≥，解得11a -≤≤，因为0a >，所以01a <≤. 综合上述，若函数()f x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤. 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+, 由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立， 即22(22)20ax a x a ---≥对任意x ∈恒成立， 当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意x ∈恒成立； 当0a >时，令2 2 ()(22)2h x ax a x a =---，则函数()h x 图象的对称轴为21 a x a -=， 若21 0a a -≤，即01a <≤时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增，要使()0h x ≥对任意x ∈恒成 立，需且只需0h ≥，解得11a -≤≤，所以01a <≤; 若21 0a a ->，即1a >时，由于函数()h x 的图象是连续不间断的，假如()0h x ≥对任意x ∈ 恒成立，则有0h ≥，解得11a -≤≤，与1a >矛盾，所以()0h x ≥不能对任意x ∈恒成立. 综合上述，若函数()f x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤. 自主探究 1：已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。 2：已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3m ∈恒成立，求实数x 的取值范围。 3：已知不等式2220x ax -+>对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。 4：已知不等式2220x ax -+>对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 5：已知不等式2220x ax -+>对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围。 6：当()1,2x ∈时，不等式()2 1log a x x -<恒成立，求实数a 的取值范围。 7：已知函数21 ()ln(2)2 f x x a x =-++在区间()1,-+∞上为减函数，求实数a 的取值范围。 8：对于满足||2p ≤的所有实数p ，求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。 9若不等式221(1)x m x ->-对满足||2m ≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围。 10设504a <≤ ，若满足不等式||x a b -<的一切实数x ，能使不等式21 ||2 x a -<恒成立，求正实数b 的取值范围。 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 关于不等式恒成立问题的几种求解方法 不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。 下面我们一起来探讨其中一些典型的问题 一、一次函数型——利用单调性求解 例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。 若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有： 此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ） 可合并成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3; “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。 1 变量转换策略 例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则? ? ?>>-0)1(0 )1(g g ，得 133133+-<<--x . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左 侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或?????????≥≥--≤->?0)2(0)2(220f f a 或?????????≥≥-≥->?0 )2(0)2(2 20f f a ，即a 的取值范围为 [-7，2]. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 3 函数最值策略 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立 ?2)(],2,2[m in ≥-∈?x f x ??????≥-=-=-≤-2 37)2()(2 2 m in a f x f a 或??? ???? ≥--=-=≤-≤-243)2()(2222 m in a a a f x f a 或?????≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ， 即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >?m in )(；m x f <)(恒成立m x f 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0 分析： 本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 2 解 ：∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0， 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类，即 0, 0, 0 ； 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。 解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时，解集为 R ； 解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a 当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ； 当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 ， x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ，即 0 时，解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析： 此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解： 原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时， a ，故原不等式的解集为 x |a x ； a 1 当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为 ； a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0 分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故 所以当 m 3 ，即 0 时，解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ，即 0 时，解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ； ； a a 2 16 a a 16 ，显然 ∴不等式的解集为 学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。 5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'． 法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2. 不等式恒成立或有解问题的解决策略 恒成立与有解问题的解决策略大致分四类： ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算； 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点． 【考点突破】 【典例1】（2018届石家庄高中毕业班教学质量检测）已知函数()()()121x f x axe a x =-+-. （1）若1a =，求函数()f x 的图象在点()0,(0)f 处的切线方程； （2）当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）若1a =，则)12(2)(--=x xe x f x ，4)('-+=x x e xe x f 当0=x 时，2)(=x f ，3)('-=x f ， ………﹝导数的几何意义的应用﹞ 所以所求切线方程为23+-=x y 。 （Ⅱ）思路一：()()()121x f x axe a x =-+-，)1(2)1()('+-+=a e x a x f x ， 由条件可得，首先0)1(≥f ，得01 1 >-≥ e a ， 令()'()(1)2(1)x h x f x a x e a ==+-+，则 '()(2)0x h x a x e =+>恒为正数，所以()'()h x f x =单调递增，………﹝高阶导数的灵活应用﹞ 而02)0('<--=a f ，0222)1('≥--=a ea f ，所以)('x f 存在唯一根0(0,1]x ∈，使得函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在)(0∞+x 上单调递增， ………﹝极值点不可求，虚拟设根﹞ 恒成立问题的求解策略 辽宁锦州义县高级中学高二数学组王双双 高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想 方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③分离变量型； ④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤数形结合。 一?一次函数型 给定一次函数y=f（x）=ax+b（a丰0）,若y=f（x）在［m,n］内恒有f（x）＞0 ,则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于 a＜0 J/（加）＞0 弘）＞0亦可合并定成1/何＞0 严)€0 同理，若在［m,n］内恒有f(x)＜0 ,则有I.- L'--'.. ■"-- 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 2 例i ?对任意兀［一1」］，不等式x +（—4）X+4-2Q0恒成立，求x的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把丿看成主元，则问题可转化 为一次不等式在：］_ L」上恒成立的问题。 解：令：- ■,则原问题转化为恒成立 （一丄） 当汁工、时，可得他二0 ，不合题意。 a＞0 ；「-或ii 当二：］时，应有1/(-1) > 0 解之得-■''■ ' O 故」的取值范围为「二..-O 二.二次函数型 (1)判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函 2 T 数/(X)二处+加+血# R),有 tj > 0 1)>。对x E R恒成立上v ° ； a <0 2)J D■=：(〕对X E R 恒成立［△ < o 例1.已知函数y = ^+(a-l)x + df2］的定义域为R求实数必的取值范围。 2 2 解：由题设可将问题转化为不等式八：■■ 对「丄匸恒成立，即有A = (H八0解得“—I或呜。 (-0J,-1) U (；,+°°) 所以实数“的取值范围为-■ O 若二次不等式中:.的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2 .设'■.：「「.：，当—一」⑴时，了萬聖泾恒成立，求实数匸的 取值范围。 解：设:二'丄J则当■- |［J,时，恒成立 当- :- 门―.- “ .1 时，『I.;汕显然成立; 当丄二H时，如图，小二J恒成立的充要条件为: 不等式中恒成立问题的解法 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00 a ; 2）0)( 处理有关“恒成立”的思路方法 乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。 一．恒成立问题的基本类型 按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。 二．处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 ①变量分离思路处理； ②利用函数的性质，图象思路处理。 若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。 在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。 ≥∈--∈∴≥=-- =+∴≥-21 例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ） 2 5 A. 0 B. -2 C. - D.-3 2 111 解析：由于x (0,],a 21115 ()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值 2225 ,故选2 方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在： 1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C ≠≥≤≥≥∈?≥≤≤∈?≤若原题可化 为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得： f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0 2，利用二次函数的图象性质： >≠??<≤∈220 若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{ 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。 例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t -2at+1对所有的a [-1,1]都成立，求t 的取值范围 解析： 不等式中有三个变元，通过逐步消元a ≤∈?≥∈≥∈?≥22max 22法处理。首先选 定主元x ，()在[-1,1]递增 f(x)t -2at+1 a [-1,1]恒成立t -2at+1（x ）[-1,1] 即t -2at+11，a [-1,1]上恒成立t -2at 0 f x f x 解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法 “含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想： 即一般地，若函数()x f 的定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥?min （()M x f ≥有解?M max )(x f ≤）；()M x f ≤恒成立()M x f ≤?m a x （()M x f ≤有解?M x f ≤m i n )(）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 例一 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当?? ? ??∈2,0πθ时，有 () ()022s in 2c o s 2 >--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。 【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数， 故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立， 又因为()x f 为R 减函数， 从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对?? ? ??∈2,0πθ 设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于( )1,0∈t 恒成立， 在设函数()1222 ++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ， 即21-≥m ，又0 专题05 导数与函数不等式恒成立、有解（存在性）（训练篇B ） -用思维导图突破解导数压轴题 1. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 解 （1）的定义域为，. 若，则当时，，故在单调递增. 若，则当时，； 当时，. 故在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为 . 所以等价于，即. 设，则， 当时，； 当时，. 所以在单调递增，在单调递减.故当时，取得最大值，最大值为.所以当时. 从而当时，，即. 2. 已知函数，设. （1）求的极小值； ()2(1)2lnx ax a x f x =+++()f x 0a <3()24f x a ≤--()f x (0,)+∞'1(1)(21)()221x ax f x ax a x x ++= +++=0a ≥(0,)x ∈+∞()0f x '>()f x (0,)+∞0a <1(0,)2x a ∈- ()0f x '>x ∈1(,)2a -+∞()0f x '<()f x 1(0,)2a -1(,)2a -+∞0a <()f x 12x a =- 11()214)21(ln f a a a =----3(4)2a f x ≤--13(12441)2a ln a a ---≤--1(02121)a ln a -++≤()ln 1 g x x x =-+1()1g x x '= -(0,1)x ∈()0g x '>(1,)x ∈+∞()0g x '<()g x (0,1)(1,)+∞1x =()g x (1)0g =0x >()0g x ≤0a <10,2a ->1(02121)a ln a -++≤3(4)2a f x ≤--()()e x f x x a x a =-++()() g x f x '=()g x 数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注 意地问题. 【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范围问题 不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问 题. 1 最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题地一种 非常重要地方法,其解题原理是f(n>>m恒成立f(n> min>m,f(n>0. ∵an>0,∴只需lga［n(a-1>+a］>0. <1）当a>1时,lga>0,只要n(a-1>+a>0,n>a1-a. <2）当0a1-a. 为了使b n+1>b n对任何正整数n都成立,只需a1-a小于n 地最小值1,令a1-a1或0 评析以上两例是综合性极强地好题,是数列不等式恒成立求参数地取值范围,转化为解不等式或求函数 地最值,这是高中数学中有关确定参数范围题目地涅槃. 2 数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题,对于某些最值不容易求出地问题,我们可以考虑先实行变量分离,再求其最值.所谓变量分离,是指在含有参数地数列不等式中,通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,则所蕴涵地数列关系便由隐变显,从而问 题转化为求主元函数地值域或上,下限(上限为最大值地临界值、 下限为最小值地临界值>,进而求出参数范围.这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强,因而应是一种较好地求参方法. 例3 <2003年新教材高考题改编题）设a0为常数,数列{a n}地通项公式a n=15［3n+(-1>n-12n］+(-1>n2na0(n∈n*>,若对任意n≥1不等式a n＞a n-1恒成立,求a0地取值范 围. 解 a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-13×2n-15+ (-1>n3×2n- 1a0, 故a n＞a n-1等价于(-1>n-1(5a0-1>-15×322k-2+15. 此式对k=1,2,…恒成立,有 a0>-15×322×1-3+15=0. 综上所述,①式对任意n∈n+成立,有0 故a0地取值范函数不等式恒成立问题经典总结
关于不等式恒成立问题的几种求解方法
恒成立与存在性问题的基本解题策略
不等式恒成立问题的几种求解策略(老师用)
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
不等式恒成立或有解问题的解决策略
恒成立问题的求解策略
不等式恒成立问题
处理恒成立问题基本方法汇总
含参数不等式恒成立问题的解题策略
2020高考数学复习--专题05 导数与函数不等式恒成立、有解(存在性)-用思维导图突破导数压轴题
数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题