第 2 章静电场
2.4 介质中的静电场方程
2.4.2 介质中的高斯定律
1.介质中高斯定律的微分形式
ερ
=
??E 0
ερρp
+=
??E （真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement ）
?D 线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。
D ——辅助矢量，又称电通密度，C /m 2代入P
?-?=p ρ)
(1
P E 0
??-=??ρερ
ε=+??)(0P E P
E D +=0ε则有
ρ
=??D 电介质中高斯定律的微分形式
为自由电荷体密度
ρ
2. 介质中高斯定律的积分形式
?
∑=?S
q
S D d 介质中高斯定律的积分形式
?
∑∑+=
?S
q q )
(S E p 0
1
d
ε代入??-=S p q S
P d ??∑?-=?S S q S
P S E d d 0
ε?∑?=?+?S
S
q
S P S E d d 0
ε?∑=?+S
q
S P E d )(0
εq 为闭合面包围的自由电荷
? D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；? P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。
? E 线由正电荷出发，终止于负电荷；
D 线
E 线
P 线
D 、
E 与P
三者之间的关系
图示平行板电容器中放入介质板后，其D 线、E 线和P 线的分布。
3.D 和E 的关系D = ε0E + P P = χe ε0E
??
??
D = ε0
E +χe ε0E = ε0(1+χe ) E
= ε0εr E = εE
D = εE
介质的本构关系或组成关系
e
r 1χεε
ε+==ε——介质的电容率（介电常数）F/m
εr ——介质的相对电容率（相对介电常数）无量纲
χe 、εr 和ε的取值取决于媒质的特性
4. 介质特性
电场中，介质的特性由其介电常数确定。E D ε=r ε????
?
???????????????=??????????z y x z y x E E E D D D 3332
31
2322211312
11εεεεεεεεε均匀、线性、各向同性介质的介电常数是常量--简单介质。
各向异性介质的介电常数不是标量，而是矩阵-张量
晶体、地球上空电离层会显示各向异性的特点与空间位置无关，是常数----均匀介质
与空间位置有关，是函数----非均匀介质)
(r
ε与电场大小无关----线性介质与电场大小有关----非线性介质
)(E ε与方向无关----各向同性介质与方向有关----各向异性介质
介质存在时，静电场的基本方程为
总结
??
?
?
???==?=???E D l E S D ε0d d c S q ??
?
??==??=??E D E D ερ
第四节电位移有电介质时的高斯定理
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
8-4 电位移 有电介质时的高斯定理 在高斯面内不仅会有自由电荷，而且还会有极化电荷。这时，高斯定理应有些什么变化呢？ 我们仍以在平行平板电容器中充满各向同性的均匀电介质为例来进行讨论。在如下图所示的情形中，取一闭合的正柱面作为高斯面，高斯面的两端面与极板平行，其中一个端面在电介质内，端面的面积为S 。设极板上的自由电荷面密度为0σ，电介质表面上的极化电荷面密度为σ'。由高斯定理，有 ? '-= ?s Q Q 00 ) (1 d εS E （8-12） 式中Q Q ' 和0分别为S Q S Q σσ'='= 00和。我们不希望在式（8-12）中出现极化电荷，利用前节讨论的结果，我们可以计算出 r 00/εQ Q Q ='- （8-13） 把它代入（8-12）有 ? = ?s Q r 00 d εεS E 或 ?=?s Q r 0d S E εε （8-14） 现在不妨，令 E E D εεε==r 0 （8-15） 其中εεε=r 0叫做电介质的电容率。那么式（8-14）可写成 ?=?s Q d S D （8-16） 式中D 称作电位移，而??s S D d 则是通过任意闭合曲面S 的电位移通量。D 的单位为 2m C -?
讨论：证明: 关于 r Q Q Q ε0 0= '-的证明 电介质中的电场强度E 应为 E E E '+=0 考虑到E '的方向与0E 的方向相反，以及E 与E '的关系式（8-9），可得电介质中电场强度E 的值为 r 0 0εE E E E = '-= 故 r r 1 E E εε-= ' 因为 0/εσ' ='E ，000/εσ=E 从而可得 0r r 1 σεεσ-= ' 由于S Q 00σ=、S Q σ' ='，故上式亦可写成 0r r 1 Q Q εε-= ' 即 r Q Q Q ε0 0= '- 式（8-16）虽是从平行板电容器得出的，但可以证明在一般情况下它也是正确的。故 有 电介质时的高斯定理可叙述如下： 在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和，其数学表达式为 ??s S D d ∑ ==n i i Q 1 0 （8-17） 可以看出，电位移通量只和自由电荷联系在一起。
第 2 章静电场 2.4 介质中的静电场方程 2.4.2 介质中的高斯定律
1.介质中高斯定律的微分形式 ερ = ??E 0 ερρp += ??E （真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement ） ?D 线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。 D ——辅助矢量，又称电通密度，C /m 2代入P ?-?=p ρ) (1 P E 0 ??-=??ρερ ε=+??)(0P E P E D +=0ε则有 ρ =??D 电介质中高斯定律的微分形式 为自由电荷体密度 ρ
2. 介质中高斯定律的积分形式 ? ∑=?S q S D d 介质中高斯定律的积分形式 ? ∑∑+= ?S q q ) (S E p 0 1 d ε代入??-=S p q S P d ??∑?-=?S S q S P S E d d 0 ε?∑?=?+?S S q S P S E d d 0 ε?∑=?+S q S P E d )(0 εq 为闭合面包围的自由电荷
? D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；? P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。 ? E 线由正电荷出发，终止于负电荷； D 线 E 线 P 线 D 、 E 与P 三者之间的关系 图示平行板电容器中放入介质板后，其D 线、E 线和P 线的分布。
3.D 和E 的关系D = ε0E + P P = χe ε0E ?? ?? D = ε0 E +χe ε0E = ε0(1+χe ) E = ε0εr E = εE D = εE 介质的本构关系或组成关系 e r 1χεε ε+==ε——介质的电容率（介电常数）F/m εr ——介质的相对电容率（相对介电常数）无量纲 χe 、εr 和ε的取值取决于媒质的特性
用高斯定理求解有电介质时的电场强度 物理与电信工程学院 10级课程与教学论 张雅琪 2010021539 在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变，反过来又会影响极化情况。如此相互影响，最终达到平衡。在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强E ，必须同时知道自由电荷及极化电荷 的密度，而极化电荷密度取决于极化强度P 【V dS P S ????-='ρ，n e P P ?-=)('12σ】， P 又取决于E （E P χε0=），这就似乎形成计算上的循环。高斯定理通过列出有 关E 、P 、'ρ、'σ的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场D 以消去'ρ和'σ，方便求解。 当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理 ??=?S q dS D 0 其中P E D +≡0ε. 如图1所示，假设有一厚度为b 的无限大均匀介质平板中有体密度为0ρ的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为r ε， 两侧分别充满相对介电常数为1r ε和2r ε的均匀介质.要求板内外的电场强度E ，首先分析介质平板中激发电场的电荷分 布，因介质板内有自由电荷0ρ，在自由电荷处对应的极化电荷密度为 01 'ρεερr r -- = 总电荷体密度为 r ερ ρρρ00'=+= 因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质，由于21r r εε≠，故在两界面上的极化电荷面密度 图2 1r ε2 r ε图1
21''σσ≠.在板内存在一个电场强度0=E 的平面'OO ，不妨称它为零电场面.此面 的电位移矢量0=D ,如图2.以'OO 面为基面,向两侧作底面积为S ,垂直'OO 面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,E 与D 的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为 10Sb ρ和20Sb ρ.根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为 n n e b D e b D 202101,ρρ== 两侧的电场强度为 n r n r e b E e b E 2 020210101,εερεερ== 单位矢n e 的方向为背向介质板表面,如图 2所示,介质板两侧的电场的大小相等,即21E E =.因而 2 2 1 1 r r b b εε= 因21b b b +=,求得零电场面的位置 2 1212111,r r r r r r b b b b εεεεεε+= += 用i 表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为 i b E r r ) (2100εεερ+± = 同理,以零电场面为基面在板内作底面积为S 、长为x 的高斯面，求得介质板内电位移矢量为 xi D 0ρ=内 板内的电场强度为 i x E r εερ00= 内 式中x 为板内场点的坐标.
8-4 电位移 有电介质时的高斯定理 在高斯面内不仅会有自由电荷，而且还会有极化电荷。这时，高斯定理应有些什么变化呢？ 我们仍以在平行平板电容器中充满各向同性的均匀电介质为例来进行讨论。在如下图所示的情形中，取一闭合的正柱面作为高斯面，高斯面的两端面与极板平行，其中一个端面在电介质内，端面的面积为S 。设极板上的自由电荷面密度为0σ，电介质表面上的极化电荷面密度为σ'。由高斯定理，有 ?'-=?s Q Q 00 ) (1 d ε S E （8-12） 式中Q Q ' 和0分别为S Q S Q σσ'='= 00和。我们不希望在式（8-12）中出现极化电荷，利用前节讨论的结果，我们可以计算出 r 00/εQ Q Q ='- （8-13） 把它代入（8-12）有 ? = ?s Q r 00 d εεS E 或 ?=?s Q r 0d S E εε （8-14） 现在不妨，令 E E D εεε==r 0 （8-15） 其中εεε=r 0叫做电介质的电容率。那么式（8-14）可写成 ?=?s Q d S D （8-16） 式中D 称作电位移，而??s S D d 则是通过任意闭合曲面S 的电位移通量。D 的单位为 2m C -?
讨论：证明: 关于 r Q Q Q ε0 0= '-的证明 电介质中的电场强度E 应为 E E E '+=0 考虑到E '的方向与0E 的方向相反，以及E 与E '的关系式（8-9），可得电介质中电场强度E 的值为 r 0 0εE E E E = '-= 故 r r 1 E E εε-= ' 因为 0/εσ' ='E ，000/εσ=E 从而可得 0r r 1 σεεσ-= ' 由于S Q 00σ=、S Q σ' ='，故上式亦可写成 0r r 1 Q Q εε-= ' 即 r Q Q Q ε0 0= '- 式（8-16）虽是从平行板电容器得出的，但可以证明在一般情况下它也是正确的。故 有 电介质时的高斯定理可叙述如下： 在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和，其数学表达式为 ??s S D d ∑ ==n i i Q 1 0 （8-17） 可以看出，电位移通量只和自由电荷联系在一起。
第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明： R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ， 4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+= =??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π41 00εε+ ? 03π4π400=+'=R q R q εε 故 - ='q 3 q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳
1 有电介质存在时的电场 1．选择题 1．关于有电介质存在时的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的? ()A 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D 为零； ()B 高斯面上D 处处为零，则面内必不存在自由电荷； ()C 高斯面的D 通量仅与面内自由电荷有关； ()D 以上说法都不正确． 2．在一静电场中，作一闭合曲面S ，若?=?S S D 0d （D 是电位移矢量） ，则S 面内必定 ()A 既无自由电荷，也无束缚电荷； ()B 没有自由电荷； ()C 自由电荷和束缚电荷的代数和为零； ()D 自由电荷的代数和为零。 3．关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一种是正确的？ ()A 起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断； ()B 任何两条电位移线互相平行； ()C 起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交； ()D 电位移线只出现在有电介质的空间. 4．有电介质存在时的高斯定理的数学形式如下：?=?S q S D int ,0d ，式中： ()A int ,0q 是闭合曲面S 包围的净电荷的代数和； ()B int ,0q 是S 包围的自由电荷代数和； ()C int ,0q 是S 面内的束缚电荷代数和； ()D int ,0q 是S 面内包围的极化电荷代数和。 5．两平行带电金属板1、2之间充以部分电介质，电介质的介电常数为ε。介质 与两板之间都有真空间隔。若图中描绘的箭头是电场线和电位移线，那么 ()A A 区对应的是电位移线；B 区对应的是电场线； ()B A 区对应的是电场线；B 区对应的是电位移线； ()C A 、B 区对应的都是电场线； ()D A 、B 区对应的都是电位移线。 2．判断题 1．电位移矢量D 的产生只与面内外的自由电荷有关，与束缚电荷无关。 2．在有电介质存在时的静电场中，描述电场的物理量可以是电场强度E ，也可以是电位移矢量D ，完全取决于个人喜好。 3．穿过闭合曲面的电位移通量与曲面内包含的电荷有关。 4．将电介质放在电容器中，仅可以增加电容器的耐压性。 5．通过高斯面S 的电位移D 通量仅与面内自由电荷有关，所以面上各点处的D 仅与面S 内的自由电荷有关。