北京市第十三中学2015-2016学年度九年级数学期中测试
2015年11月
一、选择题（每小题3分，共30分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点A 在圆外 B ．点A 在圆上 C ．点A 在圆内 D ．不能确定
2．将抛物线2
4x y =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A ．()3142
++=x y B ．()3142
+-=x y
C ．()3142
-+=x y
D ．()314
2
--=x y
3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为（ ） A B C ．
12
D ．2 4．如图，电线杆上的路灯P 距离地面8米，身高1.6米的小明 站在距离电线杆的底部O 点20米的A 处，则小 明的影子AM 长为（ ） A ．4米 B ．5米
C ．6米
D ．8米
5．如图，A 、B 两地被池塘隔开, 小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离: 先在AB 外选一点C ，然后测出AC 、BC 的中点M 、N ，并测量出MN 的长为12m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是(
) A ．MN ∥AB B ．AB =24m
C ．△CMN ∽△CAB
D ．CM :MA = 1 : 2
N
P
6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF = 4∶25，求DE ∶DC 的值为（）．
A ．4∶25
B ．2∶5
C ．2∶7
D ．4∶29
7．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，AB OC ⊥，垂足为E ，如果2=CE ，那么AB 的长是（）
A ．4
B ．6
C ． 8
D ． 10
8．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=2，BC=3，则CD 的长是（） A ．
53 B ．23 C ．43 D ．8
3
9．已知抛物线和直线l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线l 上的点，且-1 F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s)，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为（） A B C D 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图，在平面直角坐标系中，P 是1∠的边OA 上一点， 点P 的坐标为（3，4），则tan 1∠的值为______ 12．如图，BD 平分∠ABC ，且AB=4，BC=6，则当BD=______时， D F △ABD ∽△DBC ． 13．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ．若AB=2DE ，∠E=18°，则∠C 的度数为________． 14．将抛物线224=+y x 沿x 轴翻折后的抛物线的解析式为______． 15．如图，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 经过点 1,02?? ??? ，对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0>abc ；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()b am m b a -≥-，其中 正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号） 16．如图，点A 1、A 2、A 3、…，点B 1、B 2、B 3、…，分别在射线OM 、ON 上，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥…．如果 A 1 B 1=2，A 1A 2=2OA 1，A 2A 3=3OA 1，A 3A 4=4OA 1，…．那么A 2B 2= ，A n B n = ．（n 为正整数） 三、解答题（共72分，17—26题每小题5分，27题7分，28题7分，29题8分） 17．计算：2sin 603tan 302tan 60cos 45?+?-???． 18．已知：二次函数1322-+-=a x ax y 的图象开口向上，并且经过原点O (0,0)． （1）求a 的值； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （-2，-1）． （1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ； （2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为，点B 的对应点D 的坐标为． 20．如图，在ABC ?中，0 90=∠C ，5 2 tan = A ，D 为 AC 上一点，060=∠BDC ，32=DC ， 求AD 的长． 4N M A 1 A 2 A 3 A 43 2 1 C B A A B O C D E 21．已知：如图，AB ∥CD ，AD 、BC 交于点E ，F 为BC 上一点，且∠EAF =∠C ． （1）求证：△AEF ∽△BAF （2）若EF=2，BE=4，求AF ． 进行了调研，结果如下：一件商品的售价M （元）与时间t （月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q （元）与时间t （月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）． （1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价-成本） （2）求图2中表示一件商品的成本Q （元）与时间t （月）之间的函数关系式； （3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W （元）与时间t （月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？ 24．阅读理解： 如图1，若在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 与点A ，B 不重合），分别连结ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题： （1）如图1，若∠A =∠B =∠DEC =55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相 似点，并说明理由； B 图1 图2 （2）如图2，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网 格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ； 拓展探究： （3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，请直接写出 BC AB 的值． 图1 图2 25．已知：如图，瞭望台AB 高20米，瞭望台底部B 测得对面塔顶C 的仰角为60°，从瞭望台顶A 测得C 的仰角为45°，已知瞭望台与塔CD 地势高低相同，求塔CD 的高． 26．已知二次函数y = x 2 – kx + k – 1（k ＞2）． （1）求证：抛物线y = x 2 – kx + k - 1（k ＞2）与x 轴必有两个交点； （2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若tan 3OAC ∠=，求抛物线的表达式； 27．已知二次函数y=ax 2+bx+3（a ≠0）图象的对称轴是直线x=2，且经过点B （3，0）.（1） 求这个二次函数的解析式； （2）若y >0，请直接写出x 的取值范围； （3）若抛物线y =ax 2+bx+3-t （a ≠0，t 为实数）在1 032 x <<的范围内与x 轴有公共点，求出t 的取值范围. B A 图3 28．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常 用到，如下是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，在ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若4=EF AF ，求CD CG 的值． （1）尝试探究 在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，CD CG 的值是． （2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若a =EF AF （a ＞0），求CD CG 的值（用含 a 的代数式表示） ． （3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若 0)n 0,m （n BE BC ，m CD B >>==A ，则AF EF 的 值是（用含m ，n 的代数式表示）． 29．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 (2)2y mx m x =+++过点(2,4)，且与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴 交于点C ．点D 的坐标为(2,0)，连接CA ，CB ，CD ． （1）求证：ACO BCD ∠=∠； （2）P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP 交BC 于点E ． ①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出点E 的坐标； ②连接CP ，当△CDP 的面积最大时，求点E 的坐标． 北京市第十三中学2015-2016学年度 九年级数学期中测试答案 2015年11月 一、选择题（每小题3分，共30分） 11． 43 12． ． 36° 14．224=--y x 15.②④（注：答案为②和④，得3分；答案为②或④，得2分；含正确答案且含错误答案，不得分）16．（1）11A B = 6 ，（2）n n A B =(1)n n + 三、解答题（共72分，17—26题每小题5分，27题7分，28题7分，29题8分） 17．解：2sin 603tan 302tan 60cos 45?+?-???． 232=-4分 = 5分 18.解：（1）a =1；…………………………………2分 （2）x x y 32 -=4 9 4932 -+ -=x x ………3分 49232--=）（x ……4分∴抛物线顶点坐标为)4 9,23(-…5分 19..解：（1）如图所示，画图正确． ……………… 1分 （2）C (-2，2) 或(2，-2)，D (-4，-2)或(4，2)．………5分 20. 解：在BDC ?中，090=∠C ，060=∠BDC ，32=DC ∴tan60°= DC BC =3 ∴BC=6 …………………………………2分 在ABC ?中，52tan = A ，∴5 2AC BC =，……3分 ∴AC=15……………………………………4分 ∴AD=AC-CD=15-23……………………………5分 21．证明：（1）∵AB ∥CD ∴∠B=∠C … 1分 ∵∠EAF=∠C ∴∠EAF=∠B …… 2分 又∵∠EFA=∠EFA ∴△AEF ∽△BAF …… 3分 （2）由（1）得AF EF BF AF =………… 4分 ∴AF 2=FE ·FB=12 ∴AF 2 =2 35分 22．解：延长DA 、CB 交于点E ………………………1分 在Rt △CDE 中，tan C = 2 3 = CD DE ， 2 1 cos == EC CD C ∴33=DE ，6=EC ………………………2分 AD=2AB ∴设k AB =，则k AD 2= ∠C ＝60o，∠B ＝∠D ＝90o∴∠E ＝30o 在Rt △ABE 中，21sin == AE AB E ，3 3 tan ==EB AB E ∴k AB AE 22==，k AB EB 33== ∴334==k DE 解得：4 3 3=k ………………………4分 ∴49= EB ∴4 15 496=-=BC ………………………5分 E B 23.解：（1）由图象知：3月份每件商品售价6元，成本1元，故可得，一件商品在3月份出售时的利润为5元．…………1分 （2）由图知，抛物线的顶点为（6，4），故可设抛物线的解析式为Q=a （t-6）2+4． 3分 （3）设每件商品的售价M （元）与时间t （月）之间的函数关系式为M=kt+b ． ∵线段经过（3，6）、（6，8）两点， ∴ 3k+b=6 6k+b=8. 解得 k= 32， 答：该公司一个月内至少获利110000元．…………5分 24.解：（1）点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点． 理由：∵∠A = 55°， ∴∠ADE +∠DEA = 125°． ∵∠DEC = 55°，∴∠BEC +∠DEA =125°． ∴∠ADE =∠BEC ．∵∠A =∠B ， ∴△ADE ∽△BEC ． ∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点． ………………..2分 （2）作图如下： ……..4分 （3 ）2 BC AB =………….. 5分 x …………1分 x =20,…………3分 解得：x =30+10分 26.（1）证明：∵()()2 411k k ?=--??-()2 2k =-，……………… 1分 又∵2k >，∴20k ->.∴2(2)0k ->即0?>. ∴抛物线y = x 2 – kx + k - 1与x 轴必有两个交点. ………… 2分 (2) 解：∵抛物线y = x 2 – kx + k - 1与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，有210x kx k -+-=.解得：11x k x =-=或. ………3分 ∵2k >，点A 在点B 的左侧，∴()()1,0,1,0A B k -. ∵抛物线与y 轴交于点C ,∴()0,1C k -. …………… 4分 ∵在Rt AOC ?中, tan 3OAC ∠=, ∴tan 31 1 OAC OC k OA ∠= -==, 解得4k =. ∴抛物线的表达式为243y x x =-+. ……………… 5分 27．解：(1) 对称轴x=2，由二次函数的对称性，该二次函数一定点（1,0） 9a+3b+3=0且a+b+3=0 解得a =1，b=-2 ∴y=x 2 - 4x + 3 ………………………3分 (2) x 的取值范围是_ x<1或x>3___；………………………5分 B A (3) 方法一：由（1）ax2 + bx + c = x2 - 4x + 3 ∴y = x2 - 4x + 3 – t ①当△=0时，该函数图像与x轴只有一个交点此时，△=(-4)2 -4(3-t)=0 即4+4t=0 ∴t=-1 ②当该函数图像过（0,0）时， 将（0,0）代入y = x2 - 4x + 3 - t 0=3 - t ∴t=3 此时与x轴只有一个交点,而x>0,舍掉. 综上，-1≤t<3………………………7分 28．解：（1）AB=4EH ，CG=2EH ，2 ………3分 (2) 2 a ………4分 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则△EHF ∽△ABF ∴ ,AB AF m AB mEH EH EF === ∵AB=CD ，∴CD mEH = EH ∥AB ∥CD ，∴△BEH ∽△BCG ∴ 2CG BC EH ==CG=2EH ∴ CD CG ……6分 （3）mn …7分 29.解：（1）∵抛物线y = mx 2+(m +2)x +2过点（2，4），∴1 3 m =-． ∴抛物线表达式为215 233 y x x =- ++． ………………………1分 ∴A (－1，0)，B (6，0)，C (0，2) ． 作BM ⊥CD ，交CD 延长线于点M ， 在Rt △DOC 中， ∵OC =OD =2， ∴∠CDO ＝∠BDM ＝45o ，CD = 在Rt △BMD 中， ∵BD =4， ∴DM =BM = 在Rt △CMB 中，1 tan 2 BM BCM CM ∠= ==． 在Rt △AOC 中，1 tan 2 OA ACO OC ∠= =． ∴tan ∠BCM ＝tan ∠ACO ． ∴∠BCD ＝∠ACO ． ………………………………………………2分 （2）①12(4,)3E ，2(6E ． …………………………4分 a a a ②设215 (,2)33 P x x x - ++， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为点F ，交CD 延长线于点Q ， 直线CD 的解析式为y ＝－x ＋2．∴Q (x ，－x ＋2)． CDP CPQ DPQ S S S ???=-11 22 PQ OF PQ DF = ?-?12PQ OD =?． ∴218 33 CDP S x x ?=-+（0＜x ＜6）．………5分 当x ＝4时，CDP S ?最大，此时10 (4,)3 P ． ……………6分 直线PD 的解析式为510 33y x =-． 直线CB 的解析式为1 23y x =-+． PD 与CB 的交点为810 (,)39 E ． ………………………7分 ∴当△CDP 的面积最大时，点E 坐标为810 (,)39 .
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