2.对数与对数函数
一．知识归纳 一）对数
1、定义： 如果)1,0(≠>=a a N a b
,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记
)1,0(log ≠>=a a N b a
即有：⇔=N a b
)1,0(log ≠>=a a N b a
2、性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a ；
3、恒等式：N a
N
a =log ；
b a b a =log )1,0(≠>a a
4、运算法则：
M n M a n a log log )3(= 其中a>0,a≠0,M>0,N>0
5、换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=
m m a a N a
N
N m m a 且且
二）对数函数y=log a x (a>0 , a≠1)的图象与性质：
名称 对数函数 一般形式 y=log a x (a>0 , a≠1)
定义域 (0,+ ∞) 值域 (-∞,+ ∞) 过定点 （1，０）
图像
单调性 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 值分布情况
何时y>0? y<0?
注意：研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 二、题型讲解
题型一．对数式的化简和运算 例1、计算下列各式
（1）12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 22
2
+-+⋅+
（2）06.0lg 6
1
lg
)2
(lg )1000lg 8(lg 5lg 2
3++++ （3）设函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1005)...(201021=⋅⋅⋅x x x f ，求
)()()(2
20102221x f x f x f +⋅⋅⋅++的值。
解：（1）原式=1)2lg 1()5lg 2(lg 2lg )12(lg )5lg 2lg 2(2lg 2
=-++=-++ （2
）
原
式
=
1
2325lg 32lg 325lg 32lg 32lg 5lg 322lg 3)32lg 3(5lg 22=-=-+=-++⋅=-++
（3）代入)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，即得)()()(2
20092221x f x f x f +⋅⋅⋅++=2010。
题型二、指数与对数的互化
例2、已知x,y,z 为正数，满足z
y
x
643==
①求使2x=py 的p 的值， ②求与①中所求的p 的差最小的整数
③求证：
x z y 1
121-= ④比较3x 、4y 、6z 的大小 解：①设k z k y k x k k z
y x 643log ,log ,log )1(643===≠===则，
由2x=py 得4log 2log log 2log log 234343==
⇒=k
k
p k p k ②
3216log 4log 233<<∴==p p 又
p p p p ->-∴=-=-3216
27
log 3916log 233
故与p 差最小的整数是3。 ③y
k k k x z k k k k 21
log 214log 212log 3log 6log log 1log 111436====-=-=- ④
)64lg 36(lg 6
lg 2lg lg 640)81lg 64(lg 4lg 3lg lg 430lg 1<-=-<-=
->∴>k
z y k y x k k
变式：已知a 、b 、c 均是不等于1的正数，且01
11=++==z
y x c
b a z
y
x
，求abc 的值 （ 答案：1）
题型三、对数函数图像与性质的运用
例3已知f(x)=a x
,g(x)=log a x(a>0,a≠1)，若f(3)×g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为（C ）
例4、已知不等式0)3(log )12(log 2
<<+x x x x 成立，则实数x 的取值范围为（ ）
A )31,0(
B )21,0(
C )1,31(
D )2
1,31(
解：)2
1
,31(∈x
题型四、指数、对数函数的综合问题 例5、已知[
]2
3
1)
1(3log )(--=x x f ，求f(x)的值域及单调区间。
解：因真数0<[
]13log
)
1(3log 3)1(33
12
3
12
-=≥--∴≤--x x ,即f(x)的值域是
[)+∞-,1，又31310)1(32+<<-
>--x x 得，(]
1,31-∈∴x 时2)1(3--x 单调递
增，从而f(x)单调递减，(]
31,1+∈∴x 时f(x)单调递增。
注意：讨论复合函数的单调性时要注意定义域及对底数a 分0
备用 (2011陕西卷理) 已知函数()()00111>≥+-+
+=a ，，x x
x
ax ln x f 其中 ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；
()II 求()x f 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。
解（Ⅰ）222
22
'(),1(1)(1)(1)
a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值，∴2
'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a =
（Ⅱ）22
2
'(),(1)(1)
ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>
①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时，
由'()0'()0f x x f x x >>
<<解得由解得
∴()f x +∞的单调减区间为（0）. （Ⅲ）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为
当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x 在x =
处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ 课后作业：《走向高考》
1． 求下列各式的值
①[(1-log63)2+log62×log618]÷log64 =1 ②(lg5)2+lg50×lg2=1
③(log32+log92)×(log43+log83) =4
5
④ =1
2．已知a>0 , a≠1，().11log 2
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-=x x a a x f a （1） 当f(x)的定义域为（-1,1）时，解关于m 的不等式f(1-m)+f(1-m 2
)<0;
（2） 若f(x)-4恰在(-∞,2)上取负值，求a 的值 解:（1）令t=log a x,可得f(x)=
()
x
x a a a a ---1
2
（2）()()()为奇函数x f x f x f ∴-=- 当a>1时01,221
>- x x 当0 <->a a a x x ∴()()为增函数021<-x f x f （3）由题意，当()()()()042,424,2,=--<-∞-∈f f x f x 且 思考： 设函数f (x )=lg (ax 2-4x +a -3) (1)若f (x )的定义域是R ,求a 的取值范围.4>a (2)若f (x )的值域是R ,求a 的取值范围.40≤≤a (3)若f (x )在区间[-4,-1]上递减,求a 的取值范围.2 1- >a 专题09 对数与对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2 的对数函数的图象； 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质 a >1 0 课标分析 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。 课标对本节内容要求主要包括： ① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。 ② 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 ③ 知道指数函数y ax = (01)a a >≠且与对数函数 log (01)a y x a a =>≠且互为反函数. 学情分析 本节授课对象是高二即将进行结业考试的学生，是在学习了高中必修知识基础上，对前面所学内容的复习升华。因此本节课的主要目标是让学生在熟练掌握有关对数和对数函数性质基础知识的基础 上，突破对典型题目的解答和掌握。 对于高二的学生来说，已具备一定的观察分析、解决问题的能力，对类比、转换、分类讨论、数形结合等基本数学思想方法已有较好的体验，并在前几节课的对指数函数的复习基础上，类比解决对数函数问题。大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数函与指数函数的复习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数函数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。通过本节课的学习，希望能够联系前后所学知识，配合教师恰当引导，提高自主学习主动性，并结合前后知识间的联系，主动探究、自主分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。 §2.2 对数与对数函数(复习课) 淄博四中 高二数学组 2015.12.1 ☆考纲要求： 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数。 2.了解对数函数的概念,能用描点法画出具体对数函数的图像，了解对数函数的单调性与特殊点。 ☆题型剖析 题组1指对互化； （1）1624 =； （2）27 1 33 = -； （3）205=a ； （4）45.021=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛b （5）23log 3 1-=； （6）699.1lg -=a §2.7 对数与对数函数 考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． 知识梳理 1．对数的概念 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (3)换底公式：log a b ＝log c b log c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质 y ＝log a x a >1 01时，y >0； 当0 y <0 y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论 1．log a b ·log b a ＝1，log n m b a ＝n m log a b . 2．如图给出4个对数函数的图象 则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝log a 1＋x 1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．( × ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝1 2 1 log x 的图象重合．( √ ) 教材改编题 1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点 ． 答案 (3,2) 解析 ∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2， ∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝ . 第三节 对数及对数函数 一、复习目标： 1、理解和掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。 2、综合运用对数函数的图像与性质解决问题。 二、重难点：重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。 难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。 学生阅读复资P19教师讲评，增强目标与参与意识。 （二）、知识梳理整合，方法定位。（学生完成复资P18填空题，教师准对问题讲评） 1、对数的概念 如果b N a =（a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log N b a = b N a =⇔log N b a =（a ＞0，a ≠1，N ＞0） 。 2、对数的运算性质：()log log log MN M N a a b =+。 ()log log log M N M N a a b =-. log log n b b n a a =.（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）。 3、对数换底公式：log N b log log N b a a =（a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 4、对数函数的图像及性质： ①函数log x y a =（a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下 ②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）； 值域：R ； 过点（1，0），即当x=1时，y=0. 当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。 5、对数函数与指数函数的关系 对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.。 6、重难点问题探析：（1）、对数函数性质的拓展 （Ⅰ）同底数的两个对数值)(log x f a 与)1,0)((log ≠>a a x g a 的大小比较 若0)(,0)(,1>>>x g x f a ，则0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a 若0 )(,0)(,10>>< 2019-2020年新人教b版高中数学必修一3.2.2《对数函数》 教案 教学目标：掌握对数函数的定义、图象和性质，会运用对数函数的定义域求函数的定义域，会利用单调性比较两个对数的大小. 教学重点：掌握对数函数的定义、图象和性质. 教学过程： 1、习对数的概念 R+ R 增函数 （1，0） 例1 求下列函数的定义域：(其中a>0,a≠1) (1)y=log a x2 (2)y=log a(4-x) 练习1 求函数y=log a(9-x2)的定义域 例2 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4 , log 2 8.5 ⑵log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ⑶log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 ) 练习2: 比较下列各题中两个值的大小: ⑴log 106 log 10 8 ⑵log 0.5 6 log 0.5 4 ⑶log 0.10.5 log 0.1 0.6 ⑷log 1.5 0.6 log 1.5 0.4 练习3：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小： (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < log a n (0 对数与对数函数 一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页） 1、对数与对数的运算性质 （1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。 （2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN. （3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系： （4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N （5）、对数的运算性质： 如果，M>0,N>0 ，那么 =+ = =n（n） 换底公式：= 对数恒等式：=N 2、对数函数与对数函数的性质 （1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。 （2）、对数函数的图象及性质 图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线 图象分a1 与a<1两种情况。 3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。原函数的定义域是反函数的值域，原函数的 值域是反函数的定义域。互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。【关于反函数注意大纲的要求】 二、题型探究 探究一：对数的运算 例1：（15年安徽文科）= - +-1) 2 1 ( 2 lg 2 2 5 lg。 【答案】-1 【解析】 试题分析：原式＝1 2 1 2 2 lg 5 lg 2 lg 2 2 lg 5 lg- = - = - + = - + - 考点：对数运算. 例2：【2014辽宁高考】已知 1 3 2 a- =， 21 2 11 log,log 33 b c ==，则（） A．a b c >>B．a c b >>C．c a b >>D．c b a >> 例3：【2015高考浙江】若 4 log3 a=，则22 a a - +=． 【答案】3 3 4 . 【考点定位】对数的计算 探究二：对数函数及其性质 例4：【2014江西高考】函数) ln( ) (2x x x f- =的定义域为（） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ) ,1( )0, (+∞ -∞ D. ) ,1[ ]0, (+∞ -∞ 第6讲对数与对数函数 1．对数 概念如果a x＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化： a x＝N?log a N＝x 负数和零没有对数 1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：a log a N＝N 运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1， M>0， N>0 log a M N ＝log a M－log a N log a M n＝n log a M(n∈R) 换底公式 公式：log a b＝ log c b log c a (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) 推广：log am b n＝ n m log a b；log a b＝ 1 log b a a>10 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.对数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示． 作出直线y ＝1，分别与四个图象自左向右交于点A (c ，1)，B (d ，1)，C (a ，1)，D (b ，1)，得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆． 4．反函数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，? ?? ??1a ，－1， 函数图象只经过第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2 lg 3＝4. 答案：4 2．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x 的反函数，则f (2)＝________． 解析：由题意知f (x )＝log 2x ， 所以f (2)＝log 22＝1. 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 励志名言 对数学中的困难不要着急，我坚信你正在努力，以取得更好的成绩. 爱因斯坦 目标导航 1. 理解对数的概念,能进行对数式与指数式互化. 利用它们之间的关系研究对数的 性质，从而培养自己的类比、分析、归纳能力. 2. 掌握对数的运算性质, 能利用公式法则进行数、式、方程的运算，从而培养自己的运算能力. 要点聚焦 1．对数的概念，要会说出各个字母的名称及限制条件，底数a 满足0>a 且1≠a ， 真数0>N ． 2．要掌握好对数的运算性质以及公式满足的条件 )(log log log MN N M a a a =+ )10,0,0(≠>>>a a N M 且 )( log log log N M N M a a a =- )10,0,0(≠>>>a a N M 且 log log a a a M a M = 3．要充分掌握好对数的换底公式及它的变形及其灵活应用 a b b c c a log log log = 0(>a 且1≠a ，0>b ，0>c 且)1≠c b m n b a n a m log log = 0(>a 且1≠a ，0>b ，)0≠m 对数恒等式：b a b a =log 0(>a 且1≠a ，)0>b b a b a =log 0(>a 且1≠a ，)R b ∈ 4．掌握自然对数和常用对数的记法． 5．对数的大小比较时，常见的方法有中间量法和作差法，在含有绝对值的对数大小 比较时常进行等量代换，要注意各种方法的指导思想和依据． 6．在指对数函数互化及求解问题中，要注意其格式、换底公式及转换的依据 ．3.2.1 对数及其运算（1） 经典题例 例题1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ⑴62554=，04.052=-； ⑵38log 2=,31000log 10=. 10 对数与对数函数 高考要求： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数 函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 知识梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数的另一种表达形 式，例如：与 这两个式子表达是同一关系，因此，有关 系式 ②“ ”同“+”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求 指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前 面。 ③对数的底数和真数 从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a (a >0且a ≠1) log a N 常用对数 底数为__10____ lg_N 自然对数 底数为__e __ ln_N 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1) ①＝__ N __； ②＝__0__； ③ ＝_ N ___； ④ ＝_1___. (2)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝____log a N log a b ______(a ，b 均大于零且不等于1)； §2.2.2对数函数及其性质（第一课时） 一．教学目标 1．知识技能 ①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律。 ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题。 2．过程与方法 让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质。 3．情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度。 二．学法与教学用具 1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学。 三．教学重点、难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质。 2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用。 四．教学过程 1．设置情境 实例：古谚：“一尺之木，日截其半，万世不竭…” 设木长为x，则x与经过的天数y之间显然存在一种关系式。 先填写下表： 则该关系式为:() 2y x …………（*） 那能否根据（*）式用木长x把经过的天数y表示出来？ 12 y=log x 2．探索新知 (1)探求对数函数的概念 问题1.1：由实例我们能否得到对数函数的一般式？ 答： 一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。 问题 1.2：在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1？ 答： 问题 1.3：为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）？ 答： 下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质： 先完成下表，并根据此表用描点法或用几何画板画出函数2log x y =的图象，再利用几何画板画出0.5log x y =的图象。 2log x y = 《对数函数图像与性质》的教学设计 必修1的《对数函数图像与性质》。设计分为：教材分析、学情分析、教学目标、教学重点与难点、教法与学法、教学过程六个部分。 第一部分：教材分析 函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具。本节的主要内容就是函数x y 2log =的图像和性质。它是函数x y a log =的直观体现，是进一步学习对数函数的图像和性质的准备，又是学习函数图像作法的载体，学习它也是培养和建立数形结合思想的有效途径。本节内容还涉及到前面的指数函数，所以它应该是从指数函数向对数函数过渡的有效纽带。 第二部分：学情分析。 在学习本节课之前，学生们已经学习了二次函数、指数函数图像画法及有关性质，经历了作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，已经了解如何去分析函数式到作图，研究性质去应用，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。但是学生对指、对数及运算还不灵活，函数定义不甚理解，也不能灵活应用图像及有关性质去解题。 第三部分：教学目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观： （1）学生经历学习，掌握函数图像求作的两种基本方法，即描点法和图像变换法，并会用它们作函数x y 2log =的图像；学生经历作图的过程，感受到图像对函数性质的探究非常重要，并会通过图像获知互为反函数的两个函数的图像关于直线y = x 对称，会用x y 2log =的图像特征概括出函数x y 2log =的性质，会用研究x y 2log =的图像和性质的方法类比研究函数x y a log =的图像和性质。 （2）学生能从作函数x y 2log =和x y 2=的图像的过程中较深刻的体会出图像变换法作图的特点和意义，并以此感悟出转化思想在数学中的重要意义；学生在不断感受用图形解题的过程中，会逐步建立起数形结合的思想意识；学生在自己做出的美妙的曲线中感悟出数学的美，并知道数学也具有形象的一面和很感性的地方，学生会更加喜爱数学这门学科。 第四部分：重点难点。 重点：函数x y a log =的概念、图像的作法和应用。 难点：①对数函数在a>1和0 对数与对数函数 1．对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)： ①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式 基本公式：log a b ＝log c b log c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)． (3)对数的运算法则： 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a M N ＝log a M －log a N ， ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质 a >1 01时，y >0； 当0 1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围． [试一试] 1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________． 1．对数值的大小比较的基本方法 (1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点 (1)当a >1时，对数函数的图像“上升”； 当00，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限． [练一练] 1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________． 2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________． 3.2.1 对数及其运算 自主整理 1.对数的概念 (1)如果a(a>0,且a≠1)的b 次幂等于N ，就是a b =N ，那么数b 称为以a 为底N 的对数，记 作log a N=b ，其中a 称为对数的底，N 称为真数; (2）以10为底的对数称为常用对数，log 10N 记作lgN ； (3）以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log e N 记作lnN. 2.对数的性质 (1）真数N 为正数（负数和零无对数）. (2）log a 1=0. (3）log a a=1. (4）对数恒等式：a N a log =N. (5)运算性质：如果a >0,a≠1,M>0,N>0,则 ①log a (MN)=log a M+log a N; ②log a N M =log a M-log a N; ③log a M n =nlog a M(n∈R ). 3.对数的换底公式 一般地,我们有log a N=a N m m log log (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0), 这个公式称为对数的换底公式. 通过换底公式可推导: (1）log a b·log b a=1； (2）log n a b m =m n log a b. 高手笔记 1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前. 2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子. 3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义. 4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才 成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg （-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）. 5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N. 名师解惑 1.对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a≠1，N ＞0呢？ 我 2019-2020学年高考数学一轮复习 对数和对数函数教案 教学内容 学习指导 即使感悟 【学习目标】1、理解对数的概念及其运算性质。 2、理解对数函数的概念和性质。并能利用对数函数的图像研究性质。 3、使学生形成“自主学习”与“合作学习”的良好习惯。 【学习重点】对数函数的图形和性质。x 【学习难点】对数函数的图像和性质及应用。 【回顾预习】 一回顾知识： 1、对数 (1)定义：一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做 ， 记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ． （2）、几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 以a (a ＞0，且a ≠1)为底的对数 自然对数 以 为底的对数 常用对数 以 为底的对数 （3）对数的运算性质 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝ ②n m a log ＝ ； ③log a M n ＝ (n ∈R )；④n m b a log ＝ ⑤=n a a log ；⑥log a a N ＝ ⑦换底公式：=N M log 2、对数函数 图像 1>a 10< 3、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线 对称． 基础自测： 1．以下等式(其中a ＞0，且a ≠1；x ＞y ＞0)：①log a 1＝0；②log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；③log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ；④log a a ＝1 ⑤() y a x a y x a log log log =-⑥()y x a y x a -=log log 其中正确命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(2009年湖南卷)若log 2a ＜0，121>⎪⎭ ⎫ ⎝⎛b 则 ( D ) A ．a ＞1，b ＞0 B ．a ＞1，b ＜0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 3已知1112 2 2 log log log b a c <<,则 ( A ) A.222b a c >> B.222a b c >> C.222c b a >> D.222c a b >> 4、()232 1log -= x y 函数的定义域是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛1， 32 【自主合作探究】 例1、计算： （1）22 2(lg 2)lg 2lg5(lg 2)lg 21++-+； =1 （2）32 1 lg5(lg8lg1000)(lg 2)lg lg 0.066 ++++. =1 例2、已知函数1()log 1a x f x x +=-(0,1)a a >≠ 第六节 对数与对数函数 对数与对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，且a ≠1)． 知识点一 对数及对数运算 1．对数的定义 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a _N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数． 2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log a M N ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (4)换底公式log a b ＝log m b log m a (a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1). 必记结论 1．指数式与对数式互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2．对数运算的一些结论： ①log am b n ＝n m log a b .②log a b ·log b a ＝1.③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 易误提醒 在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M ＞0. [自测练习] 1．(2015·临川一中模拟)计算⎝⎛⎭⎫lg 1125－lg 82÷4－12 ＝________. 解析：本题考查指数和对数的运算性质．由题意知原式＝(lg 5－3－lg 23)2÷2－1＝(－3lg 5 第六节 对数与对数函数 2019考纲考题考情 1．对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 (2)几种常见对数 (1)对数的性质 ①a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)。 ②log a a N ＝N (a ＞0，且a ≠1)。 (2)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零，且不等于1)。 ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。 (3)对数的运算法则 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。 ②log a M N ＝log a M －log a N 。 ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )。 ④log am M n ＝n m log a M (m ，n ∈R )。 3．对数函数的图象与性质 4.y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。 1．指数与对数的等价关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 。 2．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝ 1 log b a ； (2)log am b n ＝n m log a b ； (3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。 故0 2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第7节对数与对数函数教案理新人教版 年级： 姓名： 对数与对数函数 [考试要求] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，1 2 的对数函数的图象. 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 1．对数的概念 如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 提醒：指数式与对数式的关系 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质： ①log a 1＝0；②a log a N ＝N ；③log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式： log a b ＝ log c b log c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)． (3)对数的运算性质： 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数 图象 a ＞1 0＜a ＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0) 当0＜x ＜1时，y ＜0； 当x ＞1时，y ＞0 当0＜x ＜1时，y ＞0； 当x ＞1时，y ＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 4. 指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． [常用结论] 1．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ； (2)log am b n ＝n m log a b ； (3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) 高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第二章 对数与对数函数教学案（含解析）新人教A 版 第八节 对数与对数函数 [知识能否忆起] 1．对数的概念 (1)对数的定义： 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N . (2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1. ③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b log c a . 推广log a b ＝1 log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则： 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝n m log a M . 2．对数函数的概念 (1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0， a ≠1)的图象关于y ＝x 对称． 3．对数函数的图象与性质 y ＝log a x a >1 01时，y >0当0高考数学一轮复习 专题09 对数与对数函数教学案 文-人教版高三全册数学教学案
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