福建省宁德市2021届新高考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若
20203
1
i i
z
i
+
=
+
，则z的虚部是（）
A．i B．2i C．1-D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi
+的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】
由题可知
()()
()()
20202
2
131
313123
2 11111
i i
i i i i i
z i
i i i i i
+-
+++-
=====+ +++--
，
所以z的虚部是1.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.
2．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．
A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5 【答案】B 【解析】 【分析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可. 【详解】
A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；
B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；
C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；
D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为5459
56.52
+=,不正确； 故选：B 【点睛】
此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.
3． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定 【详解】
当2a =时，直线方程为2210x y +-=与20x y ++=，可得两直线平行；
若直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行，则()12a a -=，解得12a =，
21a =-，则“2a =”是“直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行”的充分不必要条件，故选A
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题．
4．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1
B ．结余最高的月份是7月份
C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D 【解析】
由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；
1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；
前6个月的平均收入为1
(406030305060)456
+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．
5．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21
C ．7
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】
由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，
()174
7772732122
a a a S +?∴===?=.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.
6．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )
A ．
65
B ．
C ．
5
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】
已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数2
1y x =+的图象上一点， 可知抛物线2
1y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，
设抛物线2
1y x =+的切点为()
200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，
01x ∴=，所以切点为(1,2)，
则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，
则
min ||PQ ==. 故选：C. 【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力. 7．已知复数12i
z i
-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55??- ??? B ．31,55??-- ???
C ．31,55?? ???
D ．31,55??- ???
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得出答案. 【详解】 解：1(1)(2)31
2(2)(2)55
i i i z i i i i --+=
==---+Q ，
z ∴在复平面内对应的点的坐标是31,55??
- ???
.
故选：A. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 8．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()
ln 1f x x =+
B ．()1
f x x -=
C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ?+≥?
=?-+
D ．()()
()()2,00,01,02x x
x f x x x ?
==?????-
> ????
?
【答案】C 【解析】 【分析】
对选项逐个验证即得答案. 【详解】
对于A ，()()()
()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()1
1
x x
f x
-=
=，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()
()2
2
2
0,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；
当0x <时，()()()()
()2
2
2
0,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；
又0x =时，()()000f f -=-=.
综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.
又0x ≥时，()()2
2211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单
调递增，()f x Q 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()11
1122
f f -=
>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.
故选：C . 【点睛】
本题考查函数的基本性质，属于基础题.
9．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2
20y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，
且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )
A ．
3 B ．
23
C
．
2 D ．1
【答案】C 【解析】
试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633
y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ，可得：
2000
22
3
22
22
63
OM y k y p y p p y p =
=
≤
=
++，当且仅当22002,2y p y p ==时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．
【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知
200(,)633
y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问
题．
10．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
4
1π
- D ．4
2π
-
【答案】C 【解析】
令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ
--=
==-，故选C ． 11．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=?，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当
90ACB ∠=?时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4
π?? ??
?
；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．1
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【详解】 画出图形：
若O 为ABC V 的外心，则2OA OB OC ===
PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确; ABC V 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥
可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得
222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，②错误;
若90ACB ∠=?，设PC 与平面PAB 所成角为θ 可得2,2OC OA OB PC ===
=，
设C 到平面PAB 的距离为d 由C PAB P ABC V V --=可得
1111
2223232
d AC BC ???=? 即有222242
AC BC AC BC d +?==?，当且仅当2AC BC ==取等号.
可得d 2，2
sin 22
d θ=
?
即θ的范围为0,4
π?? ??
?
，③正确；
取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而1
22
KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C 【点睛】
此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A 323
6π+ B ．836π
C 323163
π
D ．16833
π
+
【答案】B 【解析】 【分析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果. 【详解】
由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥
半个圆柱体积为：22111
23622V r h πππ=
=??= 四棱锥体积为：211
43238333
V Sh ==???=
原几何体体积为：12836V V V π=+= 本题正确选项：B
【点睛】
本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列{}n a 的前n 项和公式为2
21n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．
【答案】2,1
43,2
n n a n n =?=?-≥?
【解析】 【分析】
由题意，根据数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】
由题意，可知当1n =时，112a S ==；
当2n ≥时，()2
21221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-. 又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,1
43,2
n n a n n =?=?-≥?.
【点睛】
本题主要考查了利用数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14．如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
【答案】1 【解析】 【分析】
由题意得正三棱柱底面边长63 【详解】
如图，作AO BC ⊥，交BC 于O ，2212663AO -=，
由题意得正三棱柱底面边长6EF =，高为3h =，
∴所得正三棱柱的体积为：
1
66sin 603272
DEF V S h ?=?=?????=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
15．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A 作品获得一等奖”；乙说：“C 作品获得一等奖”；丙说：“B ，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A 或D 作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___． 【答案】C 【解析】 【分析】
假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数. 【详解】
,,,A B C D 分别获奖的说对人数如下表：
获奖作品 A B C D 甲 对 错 错 错 乙 错 错 对 错 丙 对 错 对 错 丁 对 错 错 对 说对人数
3
2
1
故获得一等奖的作品是C.