《高分子化学教程》习题答案（王槐三第三版）
第1章
1、解释下列概念
(1) 高分子化合物：由众多原子或原子团主要以共价键结合而成的相对分子质量在1万以上的化合物。
(2) 重复结构单元：将大分子链上化学组成和结构可重复的最小单位称为重复结构单元(在高分子物理里也称为链节)。
(3) 结构单元：由1个单体分子通过聚合反应而进入聚合物重复单元的那一部分叫结构单元。
(4) 平均相对分子质量：高分子化合物中同系物相对分子质量的统计平均值。
(5) 平均聚合度：所有大分子链上所含重复结构单元数量的统计平均值。
(6) 多分散性和分散指数：
多分散性是指聚合物材料中所含大分子同系物的相对分子质量不相等的这一特性。
分散指数是指重均相对分子质量与数均相对分子质量的比值。 2、写出合成下列聚合物的聚合反应方程式并标出结构单元 (1) 涤纶
n HOOC
COOH n HO(CH 2)2OH (2n -1)H 2O
HO[OC
COO(CH 2)2O]n H +=
+结构 结构单元
单元
(2) 尼龙-610
n HOOC COOH n H 2N(CH 2)6NH 2(2n -1)H 2O
HO [ OC(CH 2)8COHN(CH 2)6NH ]+=
+(CH 2)8n H 结构单元
结构单元
(3) 有机玻璃
n CH 2CH 3
COOCH 3
C
CH 2
CH 3C 3
=[]n CH 2
CH 3C COOCH 3结构单元：
(4) 聚乙烯醇
n CH 2 = CHOCOCH 3
CH 2
CH []OCOCH 3
n
聚合
[]CH 2
CH OH
n
(5) 环氧树脂 (见P8) (6) 聚碳酸酯
HO
CH 3
CH 3
C Cl C O Cl
H O
C
CH 3
CH 3
O
C
Cl + (2n - 1)HCl
=
+n n []OH n O
(7) 聚己二氨基甲酸丁二酯
n OCN(CH 2)6NCO + n HO(CH 2)2OH = []OCNH(CH 2)6NHCOO(CH 2)4O n
(8) 维尼纶
[]CH 2
CH OH
n + CH 2O 缩醛化
CH 2CH
CH 2CH CH 2CH O
CH 2
O
OH
(9) 丁腈橡胶
nCH 2
CHCN CH 2
CH
CH CH CH 2CHCH 2CH
CHCH 2n
n +[]
(10) ABS 树脂
nCH 2
CHCN CH 2
CH
CH CH 2n ++ nCH 2
CH
+ BPO
CH 2CHCH 2CH
CHCH 2CH 2CH n
[]
3、写出合成下列聚合物的聚合反应方程式并命名聚合物 (1)
HO OC(CH 2)8CONH(CH 2)6NH n H
[]
HO OC(CH 2)8CONH(CH 2)6NH n H
[]n HOOC(CH 2)8COOH + n H 2N(CH 2)6NH 2 =
尼龙-610 (2)
[]OCNH(CH 2)6NHCOO(CH 2)4O n
见第2题(7)小题 聚己二氨基甲酸丁二酯
(3) H O(CH 2)5CO OH
[]n
n HOOC(CH 2)5OH = HO []OC(CH 2)5O H + (n-1)H 2O
n
聚6-羟基己酸酯 4、参见教材p331
5、分别写出单独或与别的单体进行聚合的反应方程式并命名聚合物。解释其余化合物不能进行聚合反应的原因 (1) 苯 (2) BrCH 2-C 6H 4-CH 2Br
(3) HO-(CH 2)3-COOH (4) H 2N-( CH 2)4-COOH
(5) HO-( CH2) 6-NH2(6) H2N-CO-NH2
(1) 苯
n C6H6 + n [O] + CuCl2 == ~[C6H4]n~ + n H2O
在氧化剂存在下以氯化铜作催化剂，苯可按照氧化偶联历程进行聚合，生成耐高温性能良好的聚苯
(2) n BrCH2C6H4CH2Br + AlCl3 = -[CH2C6H4CH2]n-
生成聚对二甲撑苯
(3) HO-( CH2) 3-COOH
(4) H2N-( CH2)4-COOH
均不能参加均聚合或共聚合，原因是极易发生分子内环
化反应，分别生成稳定的5元和6元环状结构。
(5) HO( CH2) 6NH2
(6) H2N-CO-NH2
均不能均聚合，两个官能团间一般不能发生缩合反应。
但两者均可参加别的单体的共缩聚反应，生成共缩聚物
6．简要回答下列问题
(1) 高分子化合物的基本特征有哪些?
答: 相对分子质量大、化学组成单一、结构有规、具有平均相对分子质量及多分散性、物性不同于低分子同系物。
(2) 高分子化合物的分类方法有哪些?
答：七种分类方法：来源、用途或物性、主链元素、聚合反应类型、化学结构类别、热行为、相对分子质量。
(3) 高分子化合物的命名方法有哪几种?这些命名方法各适用于哪些种类的聚合物?试举例说明.
答：(A) 聚 + “单体名称”, 仅限于加聚物 (B) 单体全名 + “共聚物”, 仅限于加聚共聚物
(C) 单体名称 + 用途类别: 如酚醛树脂、丁苯橡胶、腈纶 (D) 化学结构类别命名: 如聚酯、聚酰胺、聚氨酯等 (E) IUPAC 命名
7．按照下列高分子试样的分级结果数据计算其数均相对分子质量、重均相对分子质量和分散指数，根据计算结果并参考图1-2和图1-3，用直角坐标纸分别绘制该试样的分级曲线和Flory 分布函数曲线。 级分序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量分数/% 10 19 24 18 11 8 6 4 累计质量分数/% 10 29 53 71 82 90 96 100 平均相对分子质量 12 21 35 49 73 102 122 146 解：按照公式（1-3）将数据代入
M n = 1/(W i /∑ W i × 1/M i )
= 1/(0.1 × 1/12000 + 0.19 × 1/21000 + 0.24 × 1/35000 + 0.18 × 1/49000 + 0.11 × 1/73000 + 0.08 × 1/102000 + 0.06 × 1/122000 + 0.04 × 1/146000) = 1/0.00003097 = 32300
M n
∑W i
11
M
i
=
i
1
1
M
i =/∑( )∑W i (1-3)
M w = ∑各级分的质量分数乘以其数均相对分子质量
= 0.1 × 12000 + 0.19 × 21000 + 0.24 × 35000 + 0.18 × 49000 + 0.11
× 73000 + 0.08 × 102000 + 0.06 × 122000 = 45920 M w / M n = 45920/ 32300 =1.42
绘制该试样的分级曲线和Flory 分布函数曲线参见教材p27之图1-1和1-2。 第2章
1．解释下列高分子术语： 参见教材p325-327
2．简要回答下列问题： (1) 官能团等活性理论
解：P. J. Flory 在20世纪30年代提出：单官能团化合物的分子链达到一定长度之后，其官能团的化学反应活性与分子链长无关。后来研究发现，双多官能团同系物分子中官能团的反应活性实际上与分子链长同样无关。
(2) 在密闭反应器中进行的线型平衡缩聚反应的聚合度公式为
试解释为什么不能得出“反应程度越低则聚合度越高”的结论？
参见教材p339
(3) 获得高相对分子质量缩聚物的基本条件有哪些？试写出可以合成涤纶的几个聚合反应方程式，说明哪一个反应更容易获得高相对分
X n == ==
√K p K w
_√
子质量的产物并说明理由。
参见教材p339
(4) 试举例说明线型平衡缩聚反应的条件往往对该反应的平衡常数的大小有很强的依赖性。
参见教材p339
(6) 说明体型缩聚反应的特点和基本条件。试比较三种凝胶点p c、p f、p s的相对大小并解释原因。
参见教材p340
3．试写出合成具有两种重复单元的无规共聚物和嵌段共聚物的反应方程式
(1) ~[OCC6H4COO(CH2)2O]~ 和~[OC(CH2)4COO(CH2)2O]~
解：这是两种二元酸与乙二醇生成的聚酯
第1种方法，用两种二元酸与乙二醇一起反应即生成无规结构聚酯HOOCC6H4COOH + HOOC(CH2)4COOH + 2nHO(CH2)2OH = ~[OCC6H4COO(CH2)2O] ~ [OC(CH2)4COO(CH2)2O]~
第2种方法，分别用等摩尔的两种二元酸与乙二醇聚合，然后再进行两聚合物的缩合，即生成嵌段结构的聚酯
HOOCC6H4COOH + HO(CH2)2OH = ~[OCC6H4COO(CH2)2O]~ HOOC(CH2)4COOH + HO(CH2)2OH ＝~ [OC(CH2)4COO(CH2)2O]~
两聚合物再缩合
(3) ~[OCNHC6H3(CH3)NHCOO(CH2)4O]~ 和
~[OCNHC6H3(CH3)NHCOO(CH2)2O]~
解：这是甲苯2,4-二异氰酸酯与丁二醇和乙二醇生成的聚氨酯 第1种方法，用甲苯2,4-二异氰酸酯与丁二醇和乙二醇一起反应即生成无规结构的聚氨酯
OCN-C 6H 4(CH 3)NCO+ HO(CH 2)4OH + HO(CH 2)2OH =
~[OCNHC 6H 3(CH 3)NHCOO(CH 2)4O]~[OCNHC 6H 3(CH 3)NHCOO(CH 2)
2O]~
第2种方法，分别用等摩尔的两种二元醇与甲苯2,4-二异氰酸酯聚合，然后再进行两种聚氨酯的缩合，即生成嵌段结构的聚氨酯
OCN-C 6H 4(CH 3)NCO+HO(CH 2)4OH=~[OCNHC 6H 3(CH 3)NHCOO(CH 2)4O]~
OCN-C 6H 4(CH 3)NCO+HO(CH 2)2OH=~[OCNHC 6H 3(CH 3)NHCOO(CH 2)2O]~ 4. 计算题
(1) 己二酸与己二胺进行缩聚反应的平衡常数是432，设单体为等物质的量配比，若期望得到聚合度为200的聚合物，体系中的水必须控制在多少？
解：如果按照封闭体系的聚合度公式，产物聚合度将不足20
因此必须采用开放体系合成
n w = K/X n 2 =432/40000 = 0.0108 即控制水分的摩尔分数不超过10.8%
X n K + 1
√=(2-5b)
X n
K
n w
=
(2 - 6)
√
（2）如果期望尼龙-66的相对分子质量达到15000，试计算两种单体的配料比。如果单体是等物质的量配比并改用加入苯甲酸的办法控制相对分子质量达到相同值，试计算苯甲酸的加入量。设反应程度均为为99.5%。
解：尼龙66结构单元的平均相对分子质量＝(116＋114)/2＝113 产物的聚合度＝132.7 设反应程度为1，则可用式2-12
即得γ＝（X n -1)/（X n +1) = 131.7/133.7 =0.985 即两种单体的摩尔配料比必须控制在0.985
(3) 如果期望涤纶树脂的相对分子质量达到20000，试计算反应器内乙二醇的蒸汽压必须控制在什么数值？已知该反应的平衡常数为4.9，乙二醇在该反应温度的饱和蒸汽压为7600Pa 。提示注意：该聚合反应的单体不是对苯二甲酸和乙二醇，而是对苯二甲酸双β羟乙酯。
解：涤纶结构单元的平均相对分子质量＝(132＋60)/2＝96 产物的聚合度＝208.3 设反应程度为1，则可用式2-6
即得乙二醇的摩尔分数
X n
11+γ
γ
N b + N a
N b
N a
==
_=1 / Q (2-12)
X n
K n w
=
(2 - 6)
√
n w ＝K/ X n 2 = 4.9/208.3×208.3 = 0.0113%
即乙二醇必须控制在0.0113% , 或0.086 mm Hg 柱压力之下 (4) 等物质的量的二元酸和二元醇在密闭反应器中进行缩聚反应，设在该反应温度条件下的平衡常数为9，试计算达到平衡时的反应程度和聚合度。 解：在封闭体系中
p =3/4 = 0.75
X n = 3+1 = 4
（5）根据Flory 分布函数分别计算反应程度为0.5，0.90和1时线型缩聚物中单体和二聚体的理论含量。 解：p=0.5时，单体
N n / N 0 ＝ p (1-1) (1–p )2 ＝ 0.52 ＝ 0.25 二聚体
N n / N 0 ＝ p (2-1) (1–p )2 ＝0.5×0.52 ＝ 0.125 p = 0.9时，单体
N n / N 0 ＝ p (1-1) (1–p )2 ＝0.12 ＝ 0.01 二聚体
N n / N 0 ＝ p (2-1) (1–p )2 ＝0.9×0.12 ＝ 0.009 p=1时，单体＝二聚体＝ 0
（6）分别用两种方法计算下面3种体型缩聚反应配方的凝胶点，注
p
√K √
K + 1= (2 - 5a)
X n K + 1
√=(2-5b)
意分别比较两种计算结果的数值大小。
邻苯二甲酸酐甘油乙二醇
3.0 mol 2.0 mol 0
1.5 mol 0.98 mol 0
1.50 mol 0.99 mol 0.002 mol
解：配方1，2单体为等摩尔配比
平均官能度＝(3×2＋2×3)/(2+3)＝2.40, p c = 2/f = 0.833配方2，2单体为不等摩尔配比
平均官能度＝(3×0.98×2)/2.48＝2.37, p c = 2/f = 0.844 配方3，3单体为不等摩尔配比
平均官能度＝[(3×0.99+2×0.002)×2]/2.492＝2.387,
p c = 2/f = 0.838
第3章
1．说明下列烯类单体能按何种机理进行聚合，并解释理由。解：（1）CH2=CHCl 自由基型，吸电取代基
（2）CH2 = CCl2自由基、阴离子型，吸电取代基
（3）CH2 = CHCN 自由基、阴离子型，吸电取代基
（4）CH2 = C(CN)2阴离子型，2强吸电取代基叠加
（5）CH2 = CHCH3配位聚合，1个甲基不足以阳离子（6）CH2 = C(CH3)2阳离子、配位聚合，2甲基推电子叠加（7）CH2 = CHC6H5自由基、阴离子、阳离子型，共轭
（8）CF2 = CF2自由基型，对称结构
（9）CH2 = C(CN)COOR 阴离子型，2强吸电取代基叠加（10）CH2 = CHC(CH3) = CH2自由基、阴离子、阳离子，共轭
2 判断下列单体能否进行自由基聚合反应，分别说明理由。
解: (1) CH2 = C(C6H5)2不能，位阻太大
(2) ClCH=CHCl 不能, 属1,2-二取代
(3) CH2 = C(CH3)C2H5不能, 2个推电子取代基，只能阳离子聚合
(4) CH3CH = CHCH3不能, 属1,2-二取代
(5) CH2 = C(CH3)COOCH3能，1,1-二取代
(6) CH3CH = CHCOOCH3不能, 属1,2-二取代
(7) CH2 =CHOCOCH3能, 弱吸电子取代基
(8) CH2 = CHCH2Cl 不能, 属自动阻聚的烯丙基
(9) CH2 = CHCH2OCOCH3不能, 属自动阻聚的烯丙基
(10) CF2 = CFCl 能, F原子体积和位阻很小
3．试解释下列高分子概念
定义为聚合反应的极限温度或临界(1) 聚合极限温度: 将S
T
?
H?
=/
C
上限温度。在此温度下进行的聚合反应无热力学障碍；高于此温度聚合物将自动降解或分解。
(2) 动力学链长: 指活性中心(自由基)自产生到消失所消耗的单体数目。
(3) 链转移常数: 链转移反应速率常数与链增长速率常的比值.
(4) 自动加速效应:
参见教材p327-328
4．试分别说明有哪些因素对烯类单体进行连锁聚合反应的聚合热产生影响？简要说明影响的结果和原因。
参见教材p340
5．试分别说明苯乙烯、甲基丙烯酸甲酯和氯乙烯3种单体在自由基聚合反应中的链终止反应及其对聚合度的影响有何不同？
参见教材p340
6．在推导自由基聚合反应动力学方程时作了哪些基本假定？试分别说明这些假定对动力学方程的推导过程和结果有何影响？
参见教材p340
7．试比较自由基聚合反应与线型平衡缩聚反应的不同特点。
参见教材p338
8．试总结影响自由基聚合反应速度和产物聚合度的各种因素及其影响结果。
参见教材p341
9．试总结获得高相对分子质量的自由基聚合物的基本条件。
参见教材p342
10．试叙述自由基聚合反应中自加速过程的发生过程，解释其产生原因并比较苯乙烯、甲基丙烯酸甲酯和氯乙烯（或丙烯腈）3种单体分别进行自由基本体聚合时产生自加速的早晚及程度。
参见教材p342
11．自由基聚合反应动力学方程可用下面通式表示：vp= k′[M]p
[ I ]q，试分别说明p和q可能的数值及其所代表的反应机理。
参见教材p343
12．试分别说明链自由基向单体、向引发剂、向溶剂（链转移剂）发生链转移反应的规律，并分别举例予以解释。
解：按照2原则：活泼单体的自由基不活泼，不活泼单体的自由基活泼；相关反应中自由基活性起决定性作用。
因此：对单体而言，不活泼单体均聚容易发生向单体、向引发剂和向溶剂转移，因为其自由基活泼
对引发剂而言，AIBN不容易发生诱导分解
对溶剂而言，含活泼原子的溶剂容易发生链转移13．（第2版）活泼单体苯乙烯和不活泼单体乙酸乙烯酯分别在苯和异丙苯中进行自由基溶液聚合反应，试从单体和溶剂的活性比较所合成的4种聚合物的相对分子质量大小。
参见教材p343，20 题解
14．（第1版13.）
解：υ＝单体消耗速率/自由基产生（或消失）速率
＝v p / v i
＝1.5/4.0×10 4
＝3750
苯乙烯属于双基终止,。先计算溶剂苯的浓度：
1mol苯乙烯体积＝104/0.887=117.2ml
溶剂苯的体积＝882.8ml
摩尔浓度＝0.882.7×0.839/78 = 9.50mol/L
＝ 1/2×3750+0.00008+0.00032×0.01+0.0000023×9.50
＝ 0.0002384 X n = 4195
15．（第1版 14.题）按照第14题给出的条件合成的聚苯乙烯的聚合度仍然比较高，如果要将相对分子质量降低到83200，需要加入多少相对分子质量调节剂正丁硫醇（C S =21） 解：1/X n = (1/X n 0) + C S [S]/[M]
= 1/4195 + 21 [ S] = 104/83200 = 1/800 [ S] = 1/800 – 1/4195 = 0.00101 mol/L = 0.123 g/L (正丁硫醇的分子量等于122) 16．（第1版 15.题）
解： BPO 分子量＝242，摩尔浓度＝887×0.00109/242=0.0004mol/L 苯乙烯的摩尔浓度＝887/104=8.53 mol/L 第1步，计算动力学链长：
PS 为双基终止，不考虑链转移反应，则 X n ＝2υ ＝ 2v p /v t ＝ 2v p /v i ＝2460 υ ＝ v p /v t ＝ v p /v i ＝ 1230
第2步，用动力学链长和链增长速率计算链终止和链引发速率： 因为υ＝ v p /v t ＝ v p /v i
== + C M + C I [I ]/ [M] + C S [S]/ [M] (3-11-b)
_X n 12υ
1
v t＝v i＝v p/υ＝0.000255/1230= 2.07×10 - 7 mol / L·s
第3步，计算链引发速率常数：
由v i＝2 f k d [ I ][M]
得k d＝v i/2f [ I ][M]＝2.07×10 - 7/ 2×0.8×0.0004×8.53
＝3.79×10 - 5 mol / L·s
第4步，用自由基寿命和链终止速率计算自由基浓度：
τ＝[M.]/v t＝[M.]/v i
得[M.] ＝τ×v t＝0.82 s×2.07×10 - 7 mol / L·s
＝1.703×10 -7 mol / L
k t＝v t/2[M.]2＝ 2.07×10 - 7/2 (1.703×10 -7 ) 2
＝3.5×10 6mol / L·s
k p＝v p/[M.] ＝0.000255 / 1.703×10 -7
＝1500 mol / L·s
最后比较：
[M.] << [M]
k t>>k p>> k d
v t< 17. 说明使自由基聚合物分散指数变大的主要原因。 参见教材p341 18. 试列出自由基聚合反应各种实施方法所需要的主要原料名称、用量范围以及对各种原料的基本要求。最后，分别说明决定悬浮聚合物珠粒大小的主要因素以及决定乳液聚合产物相对分子质量的主要因 素。 聚合方法本体聚合溶液聚合悬浮聚合乳液聚合 主要配方单体单体单体单体 引发剂引发剂引发剂(油溶引发剂(水溶 溶剂分散剂(悬浮乳化剂 介质水介质水聚合场所单体中溶液中单体液滴中胶束中 决定悬浮聚合物珠粒大小的因素包括分散剂、搅拌强度、液比和温度决定乳液聚合产物相对分子质量的因素包括乳化剂、搅拌、温度和液比 第4章 1．解释下列高分子术语 （1）竞聚率（2）Q – e 方程 参见教材p329 （3）序列结构 解：共聚物分子链上两种结构单元具体排列的规律即 为其序列结构或序列分布。 （4）恒比点 解：二元共聚2单体的竞聚率均<1时，其反“S”形态的 组成曲线与对角线的交点称为恒比点，此时满足 F1A＝f1A＝（1–r2）/（2 –r1–r 2） 2．简要回答下列问题 （1）推导二元共聚物组成微分方程的基本假设及含义有哪些？它们 与推导自由基动力学方程时的基本假设有何异同？ 参见教材p344 （2）在自由基聚合反应中，决定单体及自由基活性的决定性因素是什么？试比较苯乙烯和乙酸乙烯酯及其自由基的活性。 参见教材p344 （3）在自由基聚合链增长反应中，单体的活性对反应速率的影响大，还是自由基活性的影响大？ 参见教材p344 （4）在自由基均聚合反应中，是活泼单体的速率常数大还是不活泼单体的速率常数大？为什么？ 参见教材p344 （5）对合成聚合物进行改性的方法有哪几种？ 解：合成聚合物进行改性方法一般包括共聚、共混和化 学反应等3种。 3．试列出绘制二元共聚物组成曲线的基本步骤，并按此步骤绘制下列六种二共聚物的组成曲线，同时说明其所属的共聚类型。 （1）r1＝1, r2＝1 属于恒比共聚 （2）r1＝0, r2＝0 属于交替共聚 （3）r1＝0.40, r2＝0.55 属于有恒比点共聚 （4）r1＝2.60, r2＝0.11 属于无恒比点共聚（嵌均共聚） （5）r1 ＝0.10, r2＝0 属于接近交替共聚 （6）r1＝0, r2＝2.0 属于接近交替共聚 4．说明控制共聚物组成的主要方法有几种，如两种单体进行共聚的竞聚率为r 1＝0.40, r 2＝0.60，要求所得共聚物中两种结构单元之比为F 1＝0.50, 试设计两种单体的合理投料配比，并说明如何控制共聚物组成达到要求。 解：计算恒比点 F 1A ＝f 1A ＝（1– r 2 ）/（2 –r 1 –r 2）＝0.40 可见要求的共聚物组成处于恒比点的上方，且单体2消耗较快，因此可以按照公式 计算F 1=[(0.4×f 12 +f 1(1- f 1)]/[0.4×f 12 +2 f 1(1- f 1)+0.6 (1- f 1)2]=0.50 (0.4 f 12 +f 1- f 12 )/(0.4 f 12 + 2 f 1- f 12+0.6 – 1.2f 1+f 12 )=0.5 0.4 f 12 +f 1- f 12 = 0.5 f 12 + f 1- 0.5f 12+0.3 – 0.6 f 1+0.5f 12 1.1 f 12 – 0.6 f 1+0.3=0 解方程即可得到开始聚合时的需要单体组成f 1 聚合过程中为了控制共聚物组成符合要求，须定时补加消耗得快的单体2。 r 1 f 1 2 + 2 f 1 f 2 + r 2 f 22 r 1 f 12 + f 1 f 2F 1= (4-2) 运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束 B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是 第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4 Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= + ∞ Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8. 12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥ 0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 第三章 流体静力学 【3-2】 图3-35所示为一直煤气管，为求管中静止煤气的密度，在高度差 H =20m 的两个截面装U 形管测压计，内装水。已知管外空气的密度ρa =1.28kg/m3，测压计读数h 1=100mm ，h 2=115mm 。与水相比，U 形管中气柱的影响可以忽略。求管内煤气的密度。 图3-35 习题3-2示意图 【解】 1air 1O H 1gas 2 p gh p +=ρ 2air 2O H 2gas 2 p gh p +=ρ 2gas gas 1gas p gH p +=ρ 2air air 1air p gH p +=ρ 2gas gas 1air 1O H 2 p gH p gh +=+ρρ gH gh p p air 2O H 1air 2gas 2ρρ-=- gH gh gH gh air 2O H gas 1O H 2 2 ρρρρ-+= H H h h gas air 2O H 1O H 2 2 ρρρρ=+- () 3air 21O H gas kg/m 53.028.120 115 .01.010002 =+-?=+-=ρρρH h h 【3-10】 试按复式水银测压计（图3-43）的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强p 。已知：H =3m ，h 1=1.4m ，h 2=2.5m ，h 3=1.2m ，h 4=2.3m ，水银的密度ρHg =13600kg/m 3。 图3-43 习题3-10示意图 【解】 ()p h H g p +-=1O H 12 ρ ()212Hg 1p h h g p +-=ρ ()232O H 32p h h g p +-=ρ ()a 34Hg 3p h h g p +-=ρ ()()212Hg 1O H 2 p h h g p h H g +-=+-ρρ ()()a 34Hg 232O H 2 p h h g p h h g +-=+-ρρ ()()a 3412Hg 321O H 2 p h h h h g p h h h H g +-+-=+-+-ρρ ()()()()() Pa 14.3663101013252.15.24.13807.910004.15.22.13.2807.913600a 321O H 1234Hg 2=+-+-??--+-??=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ ()()()()()Pa 366300.683 1013252.15.24.1380665.910004.15.22.13.280665.913600a 321O H 1234Hg 2=+-+-??--+-??=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ 【3-15】 图3-48所示为一等加速向下运动的盛水容器，水深h =2m ，加速度a =4.9m/s 2。试确定：（1）容器底部的流体绝对静压强；（2）加速度为何值时容器底部所受压强为大气压强？（3）加速度为何值时容器底部的绝对静压强等于零？ 图3-48 习题3-15示意图 【解】 0=x f ，0=y f ，g a f z -= 二、计算题（60分） 1、已知线性规划（20分） MaxZ=3X1+4X2 X1+X2≤5 2X1+4X2≤12 3X1+2X2≤8 X1,X2≥0 其最优解为： 基变量X1X2X3X4X5 X33/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X25/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 σj 0 0 0 -3/4 -1/2 1）写出该线性规划的对偶问题。 2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？ 3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？ 4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解： 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3 y1+4y2+2y3≥4 y1,y2≥0 2)当C2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b2的量从12上升到15 X＝9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P6’=(11/8,7/8，－1/4)T σ6=3/8>0 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）。 B1B2B3产量销地 产地 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量18 12 16 解：初始解为 计算检验数 由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为： 重新计算检验数 所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为： X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为50 4. 考虑如下线性规划问题（24分） B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 18 1 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 3 0 0 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16 1 课程：管理运筹学 管理运筹学作业 第二章线性规划的图解法 P23：Q2：（1）－（6）；Q3：(2) Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。 （1）Min f＝6X1+4X2 约束条件：2X1+X2>=1, 3X1+4X2>=3 X1, X2>=0 解题如下：如图1 Min f＝3.6 X1=0.2, X2=0.6 本题具有唯一最优解。 图1 （2）Max z＝4X1+8X2 约束条件：2X1+2X2<=10 -X1+X2>=8 X1,X2>=0 解题如下：如图2： Max Z 无可行解。 图2 1 2 2 （3） Max z ＝X1+X2 约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图3： Max Z=有无界解。 图3 （4） Max Z ＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图4： Max Z 无可行解。 图 4 3 (5)Max Z＝3X1+9X2 约束条件：X1+3X2<=22 -X1+X2<=4 X2<=6 2X1-5X2<=0 X1,X2>=0 解题如下：如图5： Max Z =66；X1=4 X2=6 本题有唯一最优解。 图5 (6)Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8 X1+2X2<=12 2X1+X2<=16 2X1-5X2<=0 X1,X2>=0 解题如下：如图6 Max Z =30.669 X1=6.667 X2=2.667 本题有唯一最优解。 3 3）若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2 由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3 若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5σ2=-4/5＜0 所以对最优解没有影响 4）c2 由 1 变为2 σ2=-1＜0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集，每弧旁的数字是（cij , fij ）。（10 分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 - 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 -3/5 VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt (7,7 6/9 V2 最大流＝11 (5,5 V4 8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单 管理运筹学 ——管理科学方法谢家平 第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待 定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制， 保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式， 有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤： 第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数 第一章质点力学 第一章习题解答 由题可知示意图如题1.1.1图: 设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为. 则有: 由以上两式得 再由此式得 证明完毕. 解由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图. 设船经过小时向东经过灯塔,则向北行驶的船经过小时经过灯塔任意时刻船的坐标 ， 船坐标， 则船间距离的平方 即 对时间求导 船相距最近，即，所以 即午后45分钟时两船相距最近最近距离 km 解如题1.3.2图 由题分析可知，点的坐标为 又由于在中，有（正弦定理）所以 联立以上各式运用 由此可得 得 得 化简整理可得 此即为点的轨道方程. （2）要求点的速度，分别求导 其中 又因为 对两边分别求导 故有． 所以 如题1.4.1图所示，解 绕点以匀角速度转动，在上滑动，因此点有一个垂直杆的速度分量点速度 又因为所以点加速度 由题可知，变加速度表示为解 由加速度的微分形式我们可知 代入得 对等式两边同时积分 ：可得（为常数） ，故代入初始条件：时， 即 又因为 所以 对等式两边同时积分，可得： 解由题可知质点的位矢速度 ① 沿垂直于位矢速度 即又因为， 即 （取位矢方向，垂直位矢方向）所以 故 即沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 对③求导 对④求导 把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得 由题可知解 ①②对①求导 ③ 对③求导 ④ 对②求导 ⑤ 对⑤求导 ⑥ 对于加速度，我们有如下关系见题1.7.1图 即 ⑦--⑧ 对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦，⑧ 即得 ⑨--⑩ ⑨+⑩得 ⑾ 把④⑥代入⑾得 同理可得 解以焦点为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]则点坐标 对两式分别求导 故 如图所示的椭圆的极坐标表示法为 (一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。 解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1 、x 2 单位 。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线， 结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线 z=2 x 1+x 2与约 束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。 （二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。 土力学 第二章 2-2、有一饱和的原状土样切满于容积为21.7cm 3的环刀，称得总质量为72.49g ，经105℃烘干至恒重为61.28g ，已知环刀质量为32.54g ，土粒比重为2.74，试求该土样的湿密度、含水量、干密度及孔隙比（要求汇出土的三相比例示意图，按三相比例指标的定义求解）。 解：3/84.17 .2154 .3249.72cm g V m =-==ρ %3954 .3228.6128 .6149.72=--== S W m m ω 3/32.17 .2154 .3228.61cm g V m S d =-== ρ 069.149 .1021.11=== S V V V e 2-3、某原状土样的密度为1.85g/cm 3，含水量为34%，土粒相对密度为2.71，试求该土样的饱和密度、有效密度和有效重度（先推导公式然后求解）。 解：（1）V V m W V s sat ρρ?+= W S m m m += S W m m = ω 设1=S m ρω +=∴1V W S S S V m d ρ= W S W S S S d d m V ρρ?=?=∴1 ()()()()()()3 W S S W S S W W sat cm /87g .1171 .20.341171.285.1d 11d 11d 111d 111 11=+?+-?=++-= +++???? ? ? - = +-++=+???? ???-++= ∴ρωρω ρωρω ρρωρρ ω ρρρωρW S d 有 （2）()3 '/87.0187.1cm g V V V V V V V m V V m W sat W V S sat W V W V W S S W S S =-=-=+-=-+-=-= ρρρρρρρρρ （3）3''/7.81087.0cm kN g =?=?=ργ 习 题 1 1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。 ??? ??≥≥+≥++=0 x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21 212121， ?? ? ??≥≥+≤++=0 x ,x 124x 3x 2 x 2x 2x 3x maxz )b (2121212 1 ?? ? ??≤≤≤≤≤++=8 x 310x 5120 10x 6x x x maxz )c (21 212 1 ?? ? ??≥≤+-≥-+=0 x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T ); (b)无可行解; (c)唯一解16*,) 6,10(*==z X T ); (d)无界解） 2 用单纯形法求解下列线性规划问题。 ?????≥ ≤+≤++=0 x ,x 82x 5x 9 4x 3x 5x 10x maxz )a (21 212121 ?????? ? ≥≤+≤+≤+=0 x , x 5x x 242x 6x 15 5x x 2x maxz )b (21212 122 1 答案： (a)唯一解5.17*,) 5.1,1(*==z X T )，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T ; (b)唯一解5.8*,) 5.1,5.3(*==z X T ） ，5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T 3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。 ???????≥≥-≥+-≥+++-=0 x x x 0x 2x 2x 2x 6 x x x 2x x 2x maxz )a (3 ,2, 132 31321 321 ?????≥≥+≥++++=0 x , x ,x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (3 21 21321321 答案： (a)无界解；(b)唯一解8*,) 0,8.1,8.0(*==z X T )，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T 4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。 表1-54 初始单纯形表 运筹学例题及解答 一、市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1-4月每月需10000件，5-9月每月需30000件,10-12月每月需100000件；产品II在3-9月每月需15000件，其它月份每月需50000件。某厂生产这两种产品成本为：产品I在1-5月内生产每件5元，6-12月内生产每件4.50元；产品II在1-5月内生产每件8元，6-12月内生产每件7元。该厂每月生产两种产品能力总和应不超过120000件。产品I容积每件0.2立方米，产品II容积每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米，要求：(a)说明上述问题无可行解；(b)若该厂仓库不足时，可从外厂借。若占用本厂每月每平方米库容需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少。 解：(a) 10-12月份需求总计：100000X3+50000X3=450000件，这三个月最多生产120000X3=360000件，所以10月初需要（450000-360000=90000件）的库存，超过该厂最大库存容量，所以无解。 ? ?（b）考虑到生产成本，库存费用和生产费用和生产能力，该厂10-12月份需求的不足只需在7-9月份生产出来库存就行， 则设xi第i个月生产的产品1的数量，yi第i个月生产的产品2 的数量，zi，wi分别为第i个月末1，2的库存数s1i，s2i分别 为用于第i+1个月库存的原有及租借的仓库容量m3，可建立模型： Lingo 程序为 MODEL: sets: row/1..16/:; !这里n 为控制参数; col/1..7/:; AZ(row,col):b,x; endsets 1211 127777778 7887898998910910109101110111110111211min (4.57)( 1.5) 30000150003000015000300001500030000150003000015000.i i i i i i z x y s s x z y w x z z y w w x z z y w w x z z y w w x z z y w w st x z ===+++-=→-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+∑∑1211121100005000 120000(712)0.20.415000(712)0i i i i i i i y w x z i z w s s s i ?????????=→+=??+≤≤≤?+=+??≤≤≤???变量都大于等于 清华第三版 运筹学 答案[键入文字] [键入文字] [键入文字] 运筹学教程 1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg 维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg 营养成分含量及单价如表1所示。 表1 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。 解：设总费用为Z 。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。i x 表示满足动物生长的营养需要时，第i 种饲料所需的数量。则有： ????? ? ?=≥≥++++≥++++≥++++++++=5,4,3,2,1,01008.022.05.0305.022.05.07008623..8.03.04.07.02.0min 54321543215432154321i x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z i 2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。每班护士值班 开始时间向病房报道，试决定： （1） 若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要； （2） 若除22:00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其他班次护士由医院 排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。 表2 6 2:00～6:00 30 解：（1）设x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6 ???????????=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=且为整数 6,5,4,3,2,1,030 2050607060..min 655443 322161 654321i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x Z i 解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。则设设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4。 ??? ????? ?? ??? ??=≥=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++++++=4 ,3,2,1,1002 1502 16021702 ,160..30 min i 444342414444433422411434 33323133 443333223113242322212244233222211214131211114413312211114321j i y x y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y t s x x x x Z ij 变量，—是，，，第四班约束，，第三班约束，，第二班约束，第一班约束 3. 要在长度为l 的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n 种，分别为j a （j=1,2，…n ）。问每种毛坯应当截取多少根，才能使圆钢残料最少，试建立本问题的数学模型。 解：设i x 表示各种毛坯的数量，i=1,2,…n 。 第3章 3-1 试用直杆公式求图示圆弧型曲梁B 点水平位移。EI 为常数。 解 由图（a ）、（b ）可知结构在单位力和荷载作用下的内力都是对称的，所以可只对一半进行积分然后乘以2来得到位移。 令内侧受拉为正，则 ()P P sin 0,21cos 2 M R F M R θ πθθ?=??? ∈???=-?? ?? 代入公式，得 ()()P P 203P P 2 d 2d 2sin 1cos d ? 22Bx MM MM s s EI EI F F R R R R EI EI π π ?θθθ==?=?-=→∑??? * 3-2 图示柱的A 端抗弯刚度为EI ，B 端为EI /2，刚度沿柱长线性变化。试求B 端水平位移。 解 以左侧受拉为正，则 []30P 0,6M x x l q x M l ?=?∈?= ?? 代入公式，得 3400P 001d d 630l l Bx q x q l MM s x x EI EI l EI ?==???=?? q 0习题3-2 图 l （b ） 3-3 试求图示结构考虑弯曲变形和剪切变形的挠度曲线方程。截面为矩形，k =。 解 令上侧受拉为正，则单位力和荷载作用下的弯矩和剪力表达式分别为 []Q 2 P QP ,10,,2 M x F x l ql M qlx F ql ?==?∈? =- =?? 代入公式，得 ()Q QP P 00242 00d d 1 1.2 1.2d 1d 212l l By l l kF F MM x x EI GA ql ql ql x qlx x ql x EI GA EI GA ?=+??=-+??=+↓ ?? ?? ??? 习题3-3 图 22 ql 22 ql （b ） （a ） 运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 min z=23 466 ..424 ,0 x x x x s t x x x x + +≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为 最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为 min 3 z=2303 2 ?+?= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 max z=10x5x 349 ..528 ,0 x x s t x x x x + +≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点， 即 1 12 122 1 349 3 528 2 x x x x x x = ? += ?? ? ?? +== ?? ? ，即最优解为* 3 1, 2 T x ?? = ? ?? 这时的最优值为 max 335 z=1015 22 ?+?= 单纯形法： 原问题化成标准型为 121231241234 max z=10x 5x 349 ..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=?? ++=??≥? j c → 10 5 B C B X b 1x 2x 3x 4x 0 3x 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 0 1 j j C Z - 10 5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x 8/5 1 2/5 0 1/5 j j C Z - 1 0 - 2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10 1x 1 1 0 -1/7 2/7 j j C Z - -5/14 -25/14 运筹学（第3版）习题答案 第1章线性规划 P36 第2章线性规划的对偶理论 P74 第3章整数规划 P88 第4章目标规划 P105 第5章运输与指派问题P142 第6章网络模型 P173 第7章网络计划 P195 第8章动态规划 P218 第9章排队论 P248 第10章存储论P277 第11章决策论P304 第12章 多属性决策品P343 第13章博弈论P371 全书420页 第1章 线性规划 1.1工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示． 310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为 1231231 23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400 150250260310120130,,0 Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤??++≤??≤≤?? ≤≤??≤≤?≥?? 1.2建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格 及数量如表1－24所示： 问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解 设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为 10 1 12342567368947910 min 2800212002600223900 0,1,2,,10 j j j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==?+++≥? +++≥?? +++≥??+++≥??≥=?∑L （2）余料最少数学模型为 2345681012342567368947910 min 0.50.50.52800 212002********* 0,1,2,,10 j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++?+++≥? +++≥?? +++≥??+++≥??≥=?L 1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。 （2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。 【解】设x j 、y j （j ＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为 材料力学答案 第二章 2-1试画图示各杆的轴力图。 题2-1图 解：各杆的轴力图如图2-1所示。 图2-1 2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。 题2-2图 (a)解：由图2-2a(1)可知， =2 ( ) F- x qx qa N 轴力图如图2-2a(2)所示， qa F 2max ,N = 图2-2a (b)解：由图2-2b(2)可知， qa F =R qa F x F ==R 1N )( 22R 2N 2)()(qx qa a x q F x F -=--= 轴力图如图2-2b(2)所示， qa F =max N, 图2-2b 2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A =500mm 2 ，载荷F =50kN 。试求图示斜截面m -m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。 题2-3图 解：该拉杆横截面上的正应力为 100MPa Pa 1000.1m 10500N 10508263=?=??==－A F σ 斜截面m -m 的方位角， 50-=α故有 MPa 3.41)50(cos MPa 100cos 22=-?== ασσα MPa 2.49)100sin(MPa 502sin 2 -=-?== αστα 杆内的最大正应力与最大切应力分别为 MPa 100max ==σσ MPa 502 max ==στ 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E 、比例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。 题2-5 解：由题图可以近似确定所求各量。 220GPa Pa 102200.001Pa 10220ΔΔ96=?=?≈=εσE MPa 220p ≈σ, MPa 240s ≈σ MPa 440b ≈σ, %7.29≈δ 该材料属于塑性材料。 2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm ，杆长 l =200mm ，杆端承受轴向拉力F = 20kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。 线性规划习 题 一 1．1试述LP 模型的要素、组成部分及特征。判断下述模型是否LP 模型并简述理由。（式中x,y 为变量；θ为参数；a,b,c,d,e 为常数。） （1）max z=2x 1-x 2-3x 3 s.t.123123123121 35824350,0 x x x x x x x x x x x ++=??-+≤??-+≥??≥≤? (2)min z= 1 n k k kx =∏ s.t. 1 ,1,2...,0,1,2...,n ik k i k k a x b i m x k m =?≥=???≥=?∑ (3)min z= 1 1 n n i i j j i j a x b y ==+∑∑ s.t. ,1,2,...,,1,2,...i i j j i i ij x c i m y d j n x y e ?≤=? ≤=?? +≥? (4)max z= 1 n j j j c x =∑ s.t. 1 ,1,2,...,0,1,2,...n ij j i i j j a x b d i m x j n θ=?≤+=???≥=?∑ 1.2试建立下列问题的数学模型： （1）设备配购问题 某农场要购买一批拖拉机以完成每年三季的工作量：春种330公顷，夏管130公顷，秋收470公顷。可供选择的拖拉机型号、单台投资额及工作能力如下表所示。 问配购哪几种拖拉机各几台，才能完成上述每年工作量且使总投资最小？ （2）物资调运问题 甲乙两煤矿供给A，B，C三个城市的用煤。各矿产量和各市需求如下表所示： 各矿与各市之间的运输价格如下表示： 问应如何调运，才能既满足城市用煤需求，又使运输的总费用最少？ （3）食谱问题 某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及这类病人每周所需各种养分的最低数量如下表所示： 另外为了口味的需求，规定一周内所用的卷心菜不多于2份，其它蔬菜不多于4份。若病人每周需14份蔬菜，问选用每种蔬菜各多少份？ （4）下料问题 某钢筋车间要用一批长度为10米的钢筋下料制作长度为三米的钢筋90根和长度为四米的钢筋60根，问怎样下料最省？ 用图解法求解下列LP问题： （1）min z=6x1+4x2 s.t. 12 12 12 21 34 1.5 0,0 x x x x x x +≥ ? ? +≥ ? ?≥≥ ? (2) max z=2.5x1+x2 s.t. 12 12 12 3515 5210 0,0 x x x x x x +≤? ? +≤? ?≥≥? 运筹学习题库 数学建模题（5） 1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示： 试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =70x 1+120x 2 s.t. ????? ??≥≤+≤ +≤+0 300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z = 4x 1+3x 2 s.t. ???????≥≤≤+≤+ ,50040005.253000222112121x x x x x x x 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示： 建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型： 设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 s.t. ???????≥≤++≤++≤++0 3006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通 信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。 解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I ?? ?==≤++++++++++++=7 ,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或 5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。 解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。 321121410x x x MaxZ ++= 250042.15.321≤++x x x 产 品 资 源运筹学试题及答案
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