第5章 习题解答
5.1 A:③; B:⑥; C:⑧; D:⑩; E:⑨
分析 S 为n 元集,那么有个元素.S 上的一个二元运算就是函数
S S ?2n .这样的函数有个.因此上的二元运算有个.
S S S f →?:2n n },{b a 162
=n n 下面说明通过运算表判别二元运算性质及求特导元素的方法.
1 °交换律 若运算表中元素关于主对角线成对称分布,则该运算满足交换律.
2 °幂等律 设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线元,,,21n x x x 素的排列也为 则该运算满足幂等律.
,,,21n x x x 其他性质,如结合律或者涉及到两个运算表的分配律和吸收律,在运算表中没有明显的特征,只能针对所有可能的元素等来验证相关的算律是否成立.
z y x ,,3 ° 幺元设运算表表头元素的排列顺序为如果元素所在的.e ,,,21n x x x i x 行和列的元素排列顺序也是则为幺元.
,,,21n x x x i x 4 ° 零元如果元素所在的行和列的元素都是,则是零元. .θi x i x i x 5 ° 幂等元.设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线上,,,21n x x x 第个元素恰 为那么是幂等元.易见幺元和零元都是幂等元.
i },,2,1{n i x i ∈i x 6 ° 可逆元素及其逆元.设为任意元素,如果所在的行和列都有幺元,并i x i x 且这两个幺元关于主对角线成对称分布,比如说第行第列和第行第列的两i j j i 个位置,那么与互为逆元.如果所在的行和列具有共同的幺元,则幺元一j x i x i x 定在主对角线上,那么的逆元就是自己.如果所在的和地或者所在的列没i x i x i x 有幺元,那么不是可逆元素.不难看出幺元一定是可逆元素,且;而零i x e e e =-1元不是可逆元素.
θ以本题为例,的运算表是对称分布的,因此,这三个运算是可交换的,
321,,f f f
而不是可交换的.再看幂等律.四个运算表表头元素排列都是,其中主对角4f b a ,线元素排列为的只有,所以, 遵从幂等律.下面考虑幺元.如果某元素所b a ,4f 4f 在的行和列元素的排列都是,该元素就是幺元.不难看出只有中的a 满足这b a ,2f 一要求,因此,a 是的幺元,其他三个运算都不存在幺元.最后考虑零元.如果a 2f 所在的行和列元素都是a,那么a 就是零元;同样的,若b 所在的行和列元素都是b,那么b 就是零元.检查这四个运算表,中的a 满足要求,是零元,其他运算都没1f 有零元.在的运算表中,尽管a 和b 的列都满足要求,但行不满足要求.因而4f 4f 中也没有零元.
5.2 A:①; B:③; C:⑤; D:⑦; E:⑩
分析 对于用解析表达式定义的二元运算 °和 *,差别它们是否满足交换律,结合律,幂等律,分配律和吸收律的方法总结如下:
任取,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成y x ,x y y =x 立 °运算就满足交换律.
2 ° °运算的地合律
任取根据°运算的解析表达式验证等式是否成立. z y x ,,)y (z y)(z x x =如果成立, °运算就是可结合的.
3 ° °运算的幂等律
任取x,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成立, °x x x = 运算满足幂等律.
4 ° °运算对*运算的分配律
任取,根据 °和*运算的解析表达式验证等式
z y x ,,和是否成立。如果成立，则°)(*)()*(z x y x z y x =)(*)()*(x z x y x z y =运算对*运算满足分配律。
5 ° °和*运算的吸收律
首先验证 °和*运算是可交换的。然后任取根据 °和 *运算的解析表达,,y x 式验证等式和是否成立。如果成立，则°和 *运算满足
x y x x =)*( x y x x =)(*
吸收律。
设°是用解析表达式定义的A 上的二元运算，求解对于该运算的特导元素可以采用下述方法：
1 ° 求幺元e 。根据幺元定义，应满足等式。将等式中的
e A x ,∈?x x e e x == 和用关于°运算的解析表达式代入并将结果化简，然后由x 的任意性
=e x x e 来确定
.e 2 °求零元根据零元定义，应该满足等式。将等.θθ,A x ∈?θθθ==x x 式中的和用关于 °运算的解析表达式代入并将结果化简，然后由x 的θ x x θ任意性确定
.θ3 ° 求幂等元. 将等式中的用关于 °运算的解析表达式代入x x x = x x 并化简单,然后求解该议程,所得到的解就是幂等元.
4 ° 求可逆元素的逆元. 任取,设x 的逆元为y,则x 与y 应该满足等A x ∈式将等式中的与用关于°运算的解析表达式代入,并将.e x y y x == y x x y e 用 °运算的幺元代入,然后化简等式.观察使得该等式成产的x 应该满足的条件,然后将y 用含有x 的公式表示出来,从而得到x 的逆元.这里特别要说明一点,如果°运算不存在幺元则所有有元素都是不可逆的.
,e 以本题为例,具体的分析过程如下: 任取,由
Q Q y x b a ?>∈<><,,, >+>=<<*>
>+>=<<*> Q Q v u y x b a ?>∈<><><,,,,, ><*>+>=<<*><*> >++= >+<*>>=<<*><*> ,,)(,>++>=<++= *设运算的幺元为则有 *,,21> 代入关于运算的解析表达式得 * ,,,21>>=<+ .,,211>>=<+ b e b e a a e b b ae a ae =+==+=21121,,,由于是任意有理数,要使得上述四个等式都成立,必有 b a , 0,121==e e 所以,运算的幺元为. *><0,1对于任意的,设的逆元为,那么有 Q Q b a ?>∈<,> * >>=<+<0,1,b ay ax >>=<+<0,1,y xb xa 从而得到 0,1,0,1=+==+=y xb xa b ay ax 解得 )0(),0(1≠-=≠= a a b y a a x 这说明对一切,只要都存在逆元. Q Q b a ?>∈<,0≠a >-< a b a ,1最后补充说明一点.不难验证, 运算没有零元.而关于运算的幂等元是 **和,其中为任意有理数. ><0,1> 分析 怎样检验运算是否为S 上的二元运算,或者说S 是否关于运算封闭? 主要是验证以下两个条件是否满足; 1°任何S 中的元素都可以作为参与运算的元素. 2° 运算的结果仍旧是S 中的元素. 如果给定了两个以上的运算,在讨论封闭性时要分别对每个运算讨论. 容易验证本题中的6个函数全是实数集R 上的二元运算.它们的可交换性,结合性, 幺元和零元的判别结果如下. 交换 结合 幺元 零元 1f 2f 3f 4f 5f 6f √ × √ √ √ √ √ × √ √ √ × 为0 × 为1 × × × × × 为0 × × × 5.4 A:②; B:⑤; C:⑦; D:⑧; E:⑧ 分析 对于给定的自然数 ,,2,1,0, =n n }|{Z k nk nZ ∈=是V 的子代数,因为有 nZ nk nk ∈?21, .)(2121nZ k k n nk nk ∈+=+ .)(2121nZ nk k n nk nk ∈=?这说明关于+和运算都是封闭的,满足子代数的定义.由于可以取任何 nZ ?n 自然数,这样的子代数有无数多个.其中当时, 是有穷集合.即有限0=n }0{=nZ 的子代数,其余都是无限的子代数. 对于来说,它是奇整数的集合.而奇数加奇数等于偶数,因而关于加法2T 2T 不封闭.类似地, 关于加法也不封闭,因为,但.因而可以判定 3T 31T ∈3211T ?=+和都不是V 的子代数,尽管和对于乘法是封闭的. 2T 3T 2T 3T 5.5 A:④; B:⑨; C:①; D:①; E:④ 分析 构成代数系统的要素有三个:集合,二元或一元运算及代数常数.如果 是代数系统和的同态,那么必须满足以下条件: ?1V 2V ?1° 即是和的函数. 21:V V →??1V 2V 2° 对和上任意对应的二元运算和有 1V 2V ' 1',),()()(V y x y x y x ∈?=??? 对和上任意对应的二元运算和有 1V 2V ?'? .),()(1'V x x x ∈??=???3° 对和上任意对应的代数常数和有 1V 2V k 'k .)('k k =?以本题为例.因为只有一个二元运算,验证时只要检验条件1°,2°即可.具体的验证过程如下:都是+R 到的映射, 且 4321,,,????+R ).()(||||||)(,,111y x y x y x y x R y x ????=?=?=?∈?+). ()()()(,,332223y x y x xy y x R y x ????=?==?∈?+ ).()(1 11)(,,444y x y x xu y x R y x ????=?== ?∈?+所以和是V 的自同态.但是和不是V 的自同态.原因如下: 31,??4?2?5? .4)2()21(22==???, 8)22).(12()2()1(22=??=??? 故,破坏了同态映射的条件2°.而对于,它将正数)2()1()21(222????≠?5?映到负数,根本不是到的函数,破坏了条件1°,当然更谈不到同态了. +R +R 通过上面的分析已经知道了判别同态及其性质的基本方法.下面补公介绍一些典型同态映射的实例,以供读者参考. 1°是整数加群.令这里的a 是>+=<,Z V ,,)(,:Z x ax x Z Z a a ∈?==→??给定的整数.那么有 Z x ∈? ).()()()(y x ay ax y x a y x a a a ???+=+=+=+是V 的自同态. 2?当时,不是单同态,也不是满同态,其同态象为. 0=a a ?>+<},0{当时, 为自同态. 1±a a ?当时,为单自同态,其同态象为,其中 1,0±≠a a ?>+<,aZ }.|{Z k ak aZ ∈=2°是模n 整数加群,其中.可以证明是V 的>⊕=<,n Z V }1,,1,0{-=n Z n p ?自同态.因为有 n Z y x ∈?, n y x p y x p mod ))(()(⊕=⊕? n py n px n py px mod )(mod )(mod )(⊕=⊕= ).()(y x p p ??⊕=由于p 有n 种取值,这里定义了n 个自同态. 例如,上有6个自同态,即.其中 >⊕=<==,}.5,1,0{,666Z V Z n 510,,??? ,,0)(60Z x x ∈?=? ,,)1(61Z x x ∈?=? ,0)3(,4)2(,2)1(222===??? .0)0(,4)5(,2)4(222===??? ,3)3(,0)2(,3)1(333===??? .0)0(,3)5(,0)4(333===??? ,0)3(,2)2(,4)1(444===??? ,0)0(,2)5(,4)4(444===??? ,3)3(,4)2(,5)1(555===??? .0)0(,1)5(,2)4(555===???这3个自同态中和是自同构,其他的既不是单同态,也不是满同态.1?5?0 ?的同态象为.和的同态象为的同态象为 >⊕<},0{2?4?3,},4,2,0{?>⊕<. >⊕<},3,0{3° 设分别为整数加群和模n 整数加群. >⊕<>+=<,,,21n Z V R V 容易证明是 满同态. n x x Z Z n mod )()(:,=→???4° 设其中和*R 分别代表实数集和非零实数 ,,,,*21>?=<>+= >?<+,R +R 5° 设 是具有一个二元运算和代数系统. 和的>=<>=<,*,,21B V A V 1V 2V 积代数为令,那么是积代数到 .,>??<→?),(,:???21V V ?1V 同态的,因为对任意有 B A b a b a ?>∈<><2211,,, )*,(),,(21212211><=> ).,(),(221121><><==b a b a a a ?? 容易看出是满同态.只有当B 为单元集时为同构. ??5.6 A:⑤; B:③; C:②; D:①; E:⑧ 5.7 (1)和(4)是代数系统. (2)不是,例如 S cm ∈=90,90)10,9(1 (3)不是,例如 .90,9010*9S ?= (5)不是,例如 .0,010*9S ?=5.8 (1)封闭,若是16的倍数,则也是16的倍数. t s y x ,t s y x ++)( (2)不封闭,例如2和5互质,3也和5互质,但2+3=5却不和5互质. (3)不封闭,3和5都是30的因子,但是3+5=8不是30的因子. (4)封闭 5.9 (1)可交换,不幂等.a 是幺元,且和c 互逆元. b a a ,1=- (2)不可交换,有幂等性,元幺元,当然不考虑逆元了. (3)可交换,有幂等性, 幺元是和c 都没有逆元. b a a a ,,1=-分析 这里补谈谈结合律的判定问题.在验证结合律是)*(**)*(z y x z y x =否成立时,等式中的可以取中的任何元素,共有27种可能的选法.这z y x ,, c b a ,,意味着必须要要验证27个等式,工作量很大.若中有幺元或零元存在,则等z y x ,,式显然成立.考虑到这个因素,在验证时可以不选取集合中的幺元和零元.下面以本题为例来判定结合律是否成立. (1)a 是幺元.只须对b 和 c 进行验证.又由于*运算的可交换性,全是b 或全是c 情况可以忽略,因而需要验证的只有下面六种情况: ),*(****)*(c b b a b b c c c b b ==== ),*(****)*(b c b a b b b a b c b ==== ),*(****)*(b b c c c c a c c b ==== ),*(****)*(b b c c c b b a b b c ==== ),*(****)*(c b c a c c c a c b c ==== ).*(****)*(b c c a c c b b b c c ====由以上验证可知*运算是可结合的. (2)通过观察发现,有每个元素都是右零元.因而必有 S y x ∈?,.*y y x =, S z y x ∈?,, .*)*(*,**)*(z z x z y x z z y z y x ====这就证明了结合律是成立的. (3)c 是零元,故只须对a 和b 验证.显然因此,只须考虑),*(**)*(a a a a a a =至少含有一个b 的等式.由可知无论b 处在哪一个位置,等b b b b a b b a ===*,**式两边都等于b,因此结合律成立. 5.10 结果如表5.2所示 表5.2 <0,0> <0,1> <1,0> <1,1> <2,0> <2.1> <0,0> <0,1> <1,0> <1,1> <2,0> <2,1> <0,0> <0,0> <1,0> <1,0> <2,0> <2,0> <0,0> <0,1> <1,0> <1,1> <2,0> <2,1> <1,0> <1,1> <2,0> <2,0> <0,0> <0,0> <1,0> <1,1> <2,0> <2,1> <0,0> <0,1> <2,0> <2,0> <0,0> <0,0> <1,0> <1,0> <2,0> <2,1> <0,0> <0,1> <1,0> <1,1> 其中<0,1>为幺元. 5.11 运算表如表5.3所示. 1 2 5 10 * 1 2 5 10 x x ?1 2 5 10 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 5 5 1 2 5 10 1 2 5 10 1 2 5 10 2 2 10 10 5 10 5 10 10 10 10 10 1 2 5 10 10 5 2 1 5.12 (1)可交换,不可结合,无幺元,无可逆元素. (2)不可交换,不可结合,无幺元,无可逆元素. (3)可交换,可结合, 幺元是1,有. *R a ∈?a a 1 1=-5.13 结果如表5.4所示. 表5.4 * 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 零元 0 幺元 1 逆元 , 44 3,32,111 1 11====----0元逆元. 5.14 其中 },,,,{4321f f f f A A = 2 )2(,2)1(; 2)2(,1)1(; 1)2(1)1(33221======f f f f f f 第五章函数Function 函数在数学、应用数学等许多领域，尤其计算机科学领域有着极其重要的作用。函数的思想、概念和应用无处不在，无时不在。 它主要是研究变量之间的关系和规律。函数的划分有很多种。有线性与非线性之分、连续与离散之分。例 如， x12345… y357911… 5.1 函数 假定A，B是两个非空集合，f : A→B，称f为A到B上的函数，对每个a∈A, 有唯一的f(a)∈B, 记做b = f(a)。 函数也叫映射mappings或变换transformations（错误） a叫做函数f的自变量argument，b被称为因变量，b=f(a)叫做函数的值value，也叫a的像。 例1. A＝{1,2,3,4}, B={a,b,c,d}, ， 则f是一个函数。 也可以简单记为， f={(1,a), (2,a), (3,d), (4,c)} 另外, g={(1,a), (1,b), (2,a), (4,c)} 因为对于1来说，1∈A, 不是唯一的f(1)∈B与之相对应,f(1)=a,并且f(1)=b, 因此g就不是一个函数。 例2． f：Z→Z， f(a)= f是函数。 例3．恒等函数1A(a)=a是函数。 正如，我们在第四章里表述的，函数f : A→B，b=f(a), 是一个特殊的二元关系，我们知道，由函数f可以确定一个关系，简单地，可以表示为(a,b)∈，或 ab。关系的特征函数为 或者简记为 因此，这样一来，我们以前所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函数来说，就可以完全适用。 例如，f：A→B, g：A→B, 函数的复合 设f：A→B，g：B→C，是函数，则g?f：A→C，是函数。 g?f（a）＝g(f(a)) 离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1?1，0∨0?0，1→0?0，11?1，00?1详见P5 3、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式：(1)双否定：??A?A。(2)交换律：A∧B?B∧A，A∨B?B∨A，A?B?B?A。3)结合律：(A∧B)∧C?A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C?A∨(B∨C)，(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律：A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律：?(A∧B)??A∨?B，?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律：A∧A?A，A∨A?A。(7) 同一律：A∧T?A，A∨F?A。(8) 零律：A∧F?F，A∨T?T。(9) 吸收律：A∧(A∨B)?A，A∨(A∧B)?A。(10) 互补律：A∧?A?F，(矛盾律)，A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律：A→B??A∨B，A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律：A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法：①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中，前件为真的行，后件也为真或者后件为假的行，前件也为假。④用定义，证A?B，即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤：①使用命题定律，消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词；②使用?(?P)?P和德·摩根律，将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前；③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤：(a)把给定公式化成析取（合取）范式；(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取（析取）式；(c)用等幂律化简简单合取（析取）式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取（析取）式中未出现的所有命题变元，如Q，则P?P∧（?Q∨Q)或P?P∨（?Q∧Q)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现，这样得到了给定公式的主析取（合取）范式。 注意：主析取范式与主合取范式之间的联系。例如：(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2，即剩下的编码就是另一个主范式的编码，因此，求主范式，哪一个简单易求，就先求哪个，然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明：重点方法：演算、演绎法（常用的格式）、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则（主要蕴含式）：(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P，(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q，(P→Q)??P拒取式(10) ?P，(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q)，(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q)，(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步：一命题符号化，二写出前提和结论，三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3．下列为两个命题变元P，Q的小项是（） A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q 4．下列语句中是真命题的是（） A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那雪是黑的 5．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q） D．?（? P∨? Q） 6．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式 7．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（） A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无 8．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（） 《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ； 离散数学(屈婉玲)答 案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r 离散数学必备知识点总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）2是无理数。 （2）5能被2整除。 （3）现在开会吗？ （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000年10月1日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4是2的倍数或是3的倍数。 （13）4是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 （1）若2+2=4，则3+3=6； （2）若2+2=4，则3+3≠6； （3）若2+2≠=4，则3+3=6； （4）若2+2≠=4，则3+3≠=6； （5）2+2=4，当且仅当3+3=6； （6）2+2=4，当且仅当3+3≠6； （7）2+2≠4，当且仅当3+3=6； （8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6； 1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号； （2）如果今天是1号，则明天是3号； 1.5将下列命题符号化。 （1）2是偶数不是素数； （2）小王不但聪明而且用功； （3）虽然天气冷。老王还是来了； （4）他一边吃饭，一边看电视； （5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8）不经一事，不长一智； 1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p∨(q∧r); 第5章作业答案 1. 用枚举法给出下列集合 解(2) {-3，2} (4) {5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15} 2. 用抽象法说明下列集合 解(6) {x|?k (k∈I∧x = 2k + 1)} 6．写出下列集合的幂集 解(2) ρ({1, ?}) = {?, {1}, {?}, {1, ?}} (4) ρ({?, {a}, {?}}) = {?, {?}, {{a}}, {{?}}, {?, {a}}, {?, {?}}, {{a}, {?}}, {?, {a}, {?}}} 9. 证明：如果B?C，则ρ(B) ?ρ(C)。 证明任取x∈ρ(B)，则x?B，又因为B?C，所以x?C，x∈ρ(C)。 10．设U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 4}，B = {1, 2, 5}和C = {2, 4}，试写出下列集合。解(8) ρ(A) -ρ(C) = {?, {1}, {4}, {1, 4}} - {?, {2}, {4}, {2, 4}} = {{1}, {1, 4}} 11．证明下列恒等式 (7) (A-B) -C = (A-C) - (B-C) 证法1 对于任意x， x∈ (A-C) - (B-C) ?x∈A-C ∧x? B-C ?x∈A∧x?C ∧?(x∈ B∧x?C) ? x∈A∧x?C ∧ ( x?B ∨ x∈C) ?( x∈A∧x?C ∧ x?B)∨( x∈A∧x?C ∧ x∈C) ? x∈A∧x?C ∧ x?B ? x∈A∧ x?B∧x?C ? x∈A-B ∧ x?C ? x∈(A-B) -C 证法2 (A-C) - (B-C) = A?~C?~( B?~C) = A?~C? (~ B? C) = ( A?~C?~ B) ?( A?~C? C) =(A?~C?~ B) ?? = A?~B?~ C = (A-B) ?~ C = (A-B) -C 12．设A, B, C是集合，下列等式成立的条件是什么？ (3) (A-B ) ? (A-C) = ? 解因为(A- B) ?( A-C) = (A?~B) ? ( A?~C) = A? (~B?~C) = A?~(B ?C) = A- (B ?C) 所以(A-B)?(A-C) = ?iff A- (B?C) = ?iff A? (B?C) 集合论部分 第四章、二元关系和函数 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作 不适合交换律A B B A (A B, A, B) 不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律 A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) 若A或B中有一个为空集，则A B就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn 证明A(B C)=(A B)(A C) 证任取 第一章 定律证明: (1) A?B=B?A (交换律) 证?x x∈A?B ? x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A ? x∈B?A 得证A?B?B?A. 同理可证B?A?A?B. (2) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (分配律) 证?x x∈A?(B?C) ? x∈A或(x∈B且x∈C ) ?(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C) ?x∈(A?B)?(A?C) 得证A?(B?C)?(A?B)?(A?C). 类似可证(A?B)?(A?C)?A?(B?C). (3) A?E=E (零律) 证根据并的定义, 有E?A?E. 根据全集的定义, 又有A? E?E. (4) A?E=A (同一律) 证根据交的定义, 有A?E?A. 又, ?x x∈A, 根据全集E的定义, x∈E, 从而x∈A且x∈E, ?x∈A?E 得证A?A?E. 例4 证明A?(A?B)=A（吸收律） 证利用例3证明的4条等式证明 A?(A?B) = (A?E)?(A?B) (同一律) = A?(E?B) (分配律) = A?(B?E) (交换律) = A?E (零律) = A (同一律) 例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证(A-C)-(B-C) = (A ?~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律) = (A ?~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律) = (A ?~C) ? (~B ? C) (双重否定律) = (A ?~C? ~B)?(A ?~C? C) (分配律) = (A ?~C? ~B)?(A ??) (矛盾律) = A ?~C? ~B (零律,同一律) = (A ?~B) ? ~C (交换律,结合律) 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快 命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误！未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误！未找到引用源。(x,y)=x错误！未找到引用源。y,x,y D ∈错误！未找到引用源。. (d) 特定谓词错误！未找到引用源。(x,y):x=y,错误！未找到引用源。(x,y):x 离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 离散数学习题解答 习题五（第五章 格与布尔代数） 1．设〈L ，?〉是半序集，?是L 上的整除关系。问当L 取下列集合时，〈L ，?〉是否是格。 a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10} [解] a) 〈L ，?〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。 b) 〈L ，?〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。 例如：8 12=LUB{8，12}不存在。 6 3 1 6 3 1 1 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 c) 〈L ，?〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。 倒例如：4⊕6=LUB{4，6}不存在。 2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。证明：〈S ，?〉是 〈2B ，?〉的子格。其中 S={y|y=f (x)，x ∈2A } [证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A ，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈ B ∧(?x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}?B 所以B 1∈2B ，故此S ?2B ；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A )，所以S 非空； 对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A ，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2) =f (A 1∪A 2) （习题三的8的1）） 由于A 1∪A 2?A ，即A 1∪A 2∈2A ，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。 对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1 (B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A ，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是 GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ?f (A 1∩A 2) （习题三的8的2）） 又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。由于y ∈B 1=f (A 1)={y|y ∈B ∧(?x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}，于是存在着x ∈A 1，使f (x)=y ，但是f 7 1 离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。 离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x≥y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x 存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中 第一章命题逻辑基本概念 课后练习题答案 1.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 2.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 4.因为p与q不能同时为真. 5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 返回 第二章命题逻辑等值演算 本章自测答案 5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11； (2)：0，矛盾式，无成真赋值； (3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值； 7.(1)：∨∨∨∨?∧∧； (2)：∨∨∨?∧∧∧； 8.(1)：1?∨∨∨,重言式； (2)：∨?∨∨∨∨∨∨； (3)：∧∧∧∧∧∧∧?0，矛盾式. 11.(1)：∨∨?∧∧∧∧； 数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明: 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P ：你努力，Q ：你失败。 2、 “除非你努力，否则你将失败”符号化为 ； “虽然你努力了，但还是失败了”符号化为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式x ??真值为 。 3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则 R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系 R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 5、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 6、4阶群必是 群或 群。 7、下面偏序格是分配格的是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 二、选择 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生 的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 则R 具有（ ）性质。 A ．自反性、对称性、传递性； B ．反自反性、反对称性； C ．反自反性、反对称性、传递性； D ．自反性 。离散数学第五章
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