一元一次方程-第8讲补充资料
1.在排成每行七天的日历表中取下一个3×3方块（如图）．若所有日期数之和为189，则n 的值为（ ）
A 、21
B 、11
C 、15
D 、9
2.如图，有9个方格，要求每个方格填入不同的数，使得每行、每列、?每条对角线上三个数的和相等，问图中的m 是多少？ m
19
13
3.若a b ，互为相反数（0a ≠），则0ax b +=的根是（ ）.
（A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）任意数
4.关于x 的方程（k-1）x-3k=0是一元一次方程，则k_______．
5.已知甲数与乙数的比是1：3，甲数与丙数的比是2：5，并且甲数、乙数和丙数的和是130.求这三个数。
6. 用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图2-1-1所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为 （ ）
A 、5个
B 、4个
C 、3个
D 、2个
第06讲 一元一次方程概念和等式性质 考点·方法·破译 1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析． 2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用． 经典·考题·赏析 【例１】 下面式子是方程的是( ) A ．x ＋3 B ． x ＋y ＜3 C ．2x 2 ＋3 ＝0 D ．3＋4 ＝2＋5 【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时 具有这两个条件的就是方程．2x 2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C ． 【变式题组】 01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－13 x ＝x ＋l ，④2x ＋y ＝3中方程的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的13 ，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是( ) A ． 272＋x ＝13 (196－x ) B ．1 3 (272－x ) ＝196 –x C ．12×272 ＋x ＝196－xD ．13 (272 ＋x ) ＝196－x 03．根据下列条件列出方程： ⑴3与x 的和的2倍是14 ⑵x 的2倍与3的差是5 ⑶x 的 15 与13的差的2倍等于1 【例２】下列方程是一元一次方程的是( ) A ．x 2－2x －3＝0 B ．2x －3y ＝4 C ．1x ＝3 D ．x ＝0 【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D ． 【变式题组】 01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy ；④x ＝2；⑤3x ＝1；⑥3x x -＝4x ；⑦（a ＋b ）c ＝ac ＋bc ；⑧ax ＋b 其中等式有___________个；一元一次方程有___________个． 02．（江油课改实验区）若（m －2）23m x -＝5是一元一次方程，则m 的值为( ) A ．±2 B ．－2 C ．2 D ．4 03．（天津）下列式子是方程的是( ) A ．3×6＝ 18 B ．3x －8 c ．5y ＋6 D ．y ÷5＝1
当前形势 本讲内容在近三年北京中考中考查5分左右 中 考 要 求 内容 A 要求 B 要求 C 要求 方程 方程是刻画数量关系 的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的 数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题 方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等方法 估计方程的解 一元一次 方程 了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程 能运用整式的加减运算对多项 式进行变形，进一步解决有关问题 一元一次方程的解法 理解一元一次方程解 法中的各个步骤 熟练掌握一元一次方程的解 法；会解含有字母系数（无需 讨论）的一元一次方程 会运用一元一次方程解决简单 的实际问题 三年中考命题 2008年 2009年 2010年 第21题（5分） 第18题（5分） 第17题（5分） 一、如何找等量关系 知识点睛 新课标剖析 基础知识过关 2010年暑期班第五讲 2010年秋季第六讲 解法大比拼 生活实际应用 2010年秋季第八讲 满分晋级阶梯 第八讲 列方程解应用题
（1）抓住数学术语找等量关系 应用题中的数量关系：一般是和差关系或倍数关系，常用“一共有”、“比……多”、“比…… 少”、“是……的几倍”等术语表示．在解题时可抓住这些术语去找等量关系，按叙述顺序来列方程. （2）根据常见的数量关系找等量关系 常见的数量关系：工作效率×工作时间＝工作总量；单价×数量＝总价；速度×时间＝路程……，在解题时，可以根据这些数量关系去找等量关系． （3）根据常用的计算公式找等量关系 常用的计算公式有：长方形面积＝长×宽等,可以根据计算公式找等量关系． （4）根据文字关系式找等量关系 例如：“学校五年级一班有36人，二班有37人；一、二、三班共有108人，那么三班有多少人？” 此题用文字表示等量关系是： 一班＋二班＋三班＝总数 一班＋二班＝总数－三班 一班＋三班＝总数－二班 二班＋三班＝总数－一班 （5）根据图形找等量关系 二、如何设元 在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有： 1．直接设元即问什么设什么 2．间接设元即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系． 3．辅助设元有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析． 4．整体设元若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数． 三、列方程解应用题的一般步骤： ⑴根据题意设未知数． ⑵列出一些有关的代数式． ⑶找出等量关系，列出方程． ⑷解方程． ⑸代入检验． ⑹写出答案． 例题精讲 ※※※※打折销售问题※※※※ 【例1】⑴（2009宁夏中考）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售
第五讲：二元一次方程组的解法 1、温故而知新 例1：已知关于x,y 的方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。 当 k=_____时，方程为一元一次方程， 当k=_____时，方程为二元一次方程。 例2、方程x+3y=10在正整数范围内的解有_____组，它们是________________。 例3、在方程25x y +=中，用x 的代数式表示y ，得_______y = 用y 的代数式表示x ，得_______x = 例4、 下列不是二元一次方程组的是（ ） A ．141 y x x y ?+=???-=? B ．43624x y x y +=??+=? C ．44 x y x y +=??-=? D ．35251025x y x y +=??+=? 2、解法 （1）代入消元法 例5、按要求填空 已知二元一次方程组 （1）将方程①的x 用含y 的代数式表示___________③ （2）将③代替②中的x ，可得___________④ （3）解④式可得y=_________ （4）将y 带入③中可得_________ （5）结论________ 步骤：
例6、解方程组 例7、已知x m-n+1y与-2x n-1y3m-2n-5是同类项，求m和n的值． 例8、二元一次方程组的解中x与y互为相反数，求a的值
（2）加减消元 解方程组?? ?16=15+66=5+3y x y x 步骤： 例9、解方程组 （1）324237s t s t +=??-=? （2）5225 3415x y x y +=??+=? （3）4(2)153(2)32x x y x +=-??+=-? （4）???=+=+;4.01.04.0,2.05.02.0y x y x
第八章 二元一次方程组 一、知识结构图 设未知数，列方程 解代入法方加减法程（消元） 组 检验 二、基本定义： 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是 1，像这样 的方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义： 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组 成了一个二元一次方程组。3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元 一次方程组的解。 三、二元一次方程的解法：1、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。（2）消元法的基本方法： 将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程， 实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 这个方法叫做代入消元法，简称代入法。（4） 代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y ）用含另一个未知数（例如x ）的代数式表示出来，即写成 y=ax+b 的形式， 即“变” 2、将y=ax+b 代入到另一个方程中， 消去y ，得到一个关于 x 的一元一次方程，即 “代”。 3、解出这个一元一次方程，求出 x 的值，即“解”。 4、把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代” 5、把x 、y 的值用｛联立起来即“联” 2、加减消元法解二元一次方程组 (1) 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分 别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做 实际问题 数学问题 （二元或三元一次方程） 实际问题的答案 数学问题的解 （二元或三元一次方程组的解）
第五章:一元一次方程 一、方程（含有未知数的等式叫做方程） 1.方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 检验一个数是不是方程的解: 将数值带入方程左右两边的代数式，比较方程左、右两边的值.若左边=右边，则此数值是方程的解；若左边≠右边，则此数值不是方程的解. 2.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 一元一次方程化简后必须满足的条件：（1）只含有一个未知数（元）；（2）方程中的代数式都是整式；（3）未知数的次数都是1.三者缺一不可.其中，“元”是指未知数，“次”是指未知数的指数. 注意：一元一次方程中分母不含有未知数，如果分母中含有未知数，那么这个方程一定不是一元一次方程. 3.等式的基本性质 ①等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。 ②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
拓展：（1）若a=b,则b=a.此性质叫做等式的对称性. （2）若a=b,b=c,则a=c.此性质叫做等式的传递性. 4.移项 ①把方程的一项从一边移动到另一边，叫做移项。 ②移项的过程要更改符号. 注意：（1）移项与加法交换律中交换加数的位置不同.移项是将方程中的某一项从方程的一边移到另一边，移项要変号；而加法交换律中交换加数的位置只改变排列的顺序，不改变加数的符号. （2）移项时，习惯上把含有未知数的项移到等号的左边，把不含未知数的项移到等号的右边. 5.解一元一次方程的一般步骤 ①去分母②去括号③移项④合并同类项 ⑤将未知数的系数化为1 6.解一元一次方程的具体做法
2020-2021学年初中数学精品课程 一元一次方程初步（上） 等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式 恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立 条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立 等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，所得结果仍是等式 等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)，结果仍是等式 方程：含有未知数的等式 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 解方程：求方程的解的过程方程中的已知数：一般是具体的数值 方程中的已知数：一般是具体的数值 方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程 最简形式：方程ax＝b(a≠0，a，b为已知数)的形式叫一元一次方程的最简形式 标准形式：方程ax＋b＝0(a≠0，a，b是已知数)的形式叫一元一次方程的标准形式 一元一次方程的判定：化简后再判断 【例1】 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型。 【例2】 根据等式的性质填空：
【例3】 已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是( ) A ．352a b -= B ．3126a b +=+ C ．325ac bc =+ D ．2533 a b =+ 【例4】 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是( ) A ．由1233 x -=，得2x = B ．由3222x x -=+，得4x = C ．由233x x -=，得3x = D ．由357x -=，得375x =- 【例5】 1．下列式子：①3251x x +=-；② 213124??-+= ??? ；③235x +≤；④212y y -=，其中方程的个数为( )个。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．①44x x +=+；②12x =；③44x x -=-；④23x =；⑤2(2)3x x x x +=++，是一元一次方程的有______。 3．下列方程中解是x ＝2 的一共有( ) ①480x -=；②480+x =；③840x -=；④240x -= A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】 1．若3223k kx k -+=是关于x 的一元一次方程，则k =_______。 2．若23(2)5m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是_______。 3．若(1)5a a x a -+=是关于x 的一元一次方程，则a 的值是_______。 4．已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m ＝_______。 5．方程||(1)2m m x m n -=+是关于x 的一元一次方程，若n 是它的解，则n m -=( )。 A ． 14 B ．54 C 34 D ．54 -
第八讲 二元一次方程组方程 班级 姓名 二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展的．“消元”是解方程组的基本思想，即通过消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解，代人法和加减法是常见的消元方法． 解未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的． 方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法，对于含有字母系数的二元一次方程组，可进一步探究解的个数、解的特征，基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论． 例题与求解 【例1】二元一次方程（组）特殊解： 1、方程2x +3y ＝17的正整数解为_____ 2、求使方程组? ??=-=+0318 3y x my x 有正整数解时自然数m 的值. 【例2】含参方程组求参(或消参） 1、若m 使方程组?? ?=+=-m y x y x 22 的解x ，y 的和为6，则m ＝______________． 2、已知关于x,y 的方程组???-=-+=+5 423 232k y x k y x 的解满足x+y=2,求k 的值. 3、已知? ??-=+=143 2m x m y ，用含x 的代数式表示y ：__________________
【例3】方程组同解、错解问题 1．已知关于x ，y 的方程组?????2x ＋4y ＝20，ax ＋by ＝1 与?????2x －y ＝5，bx ＋ay ＝6 有相同的解，则a ＋b ＝______． 2. 在解方程组134ax by cx y -=??-=?时，小明因看错了b 的符号，从而求得的解为3 2x y =??=?；小芳因看漏了c ， 求得的解为5 1x y =??=? ，则a +b +c 的值为_________. 【例4】 解方程组 利用叠加法 换元法 辅助设元法 （1）叠加（减）法解轮换对称式方程组?? ?=+=+2 1 c ay bx c by ax 1、解方程组???=+=+883.57.41127.45.3y x y x （2）? ??=+=+19811716 1514y x y x （2）换元法 阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组5()3()2 2()4()6x y x y x y x y +--=??++-=?，若设(x +y )＝m ，(x －y )＝n ，则原方程组可变形为 532246m n m n -=??+=?，用加减消元法解得11m n =??=?，所以11x y x y +=??-=?，再解这个方程组得10x y =?? =? .由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法. 问题：请你用上述方法解方程组623 2()3324 x y x y x y x y +-?+=? ??+-+=?
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 第五讲用字母表示数与一元一次方程 阅读与思考 在荷塘边，小明看到了许多青蛙，他数着：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿；……他发现青蛙的只数、嘴的张数、眼睛只数、腿的条数是有规律的，那么怎么表示出这些有规律的数量关系呢？如果用文字表述太麻烦了。 没关系，数学家早已为我们发明了用字母表示数的代数语言，如上面的数量关系可以表示为n，n，2n，4n。你知道吗？最先有意识、系统地使用符号表示数的人是16世纪末法国科学家——违达。因为他在现代代数的发展上起了决定性的作用，后世称他为“代数之父”。 用字母表示数是代数的一个重要特征，它在列式、求值、表示公式等方面有广泛的应用，用字母表示数具有以下几个特点： 1、任意性：可以表示任意的数，广泛、方便。 2、确定性：在代数式中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定。 3、抽象性：用字母表示数有更抽象的意义。 在解决问题时，如果我们将未知量用字母表示，列出的等量关系式就是方程，即方程就是含有未知数的等式。在本讲里我们重点学习一元一次方程的解法。 解一元一次方程时，我们常用下面两点将较复杂的方程转化变形为易解的方程。 1、带括号的方程，可运用乘法分配律展开，再合并化简方程。 2、两边都含有未知数的方程，可在方程两边同时加上或减去同一个数或同一个代数式，或同时乘（或除以）同一个不等于0的数或代数式，转化为一边含有未知数，另一边为常数的方程。 典型例题 |例①|观察下列算式： 3×3-1×1=8=8×1 5×5-3×3=16=8×2 7×7-5×5=24=8×3 9×9-7×7=32=8×4 … 你发现了什么规律？你能用式子表示出这一规律吗？ 分析与解 1，3，5，7，9，……是一组奇数，奇数可用（2n-1）（n取大于或等于1的自然数），两个连续奇数可用（2n-1）和（2n+1）表示，所以上面式子的规律可以表示为： （2n+1）（2n+1）-(2n-1)（2n-1）=8n 训练快餐1 观察下面等式：9×0+1=1 9×1+2=1 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 … 你发现了什么规律？你能用式子表示出第n个式子吗？ |例②|观察下图：三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱……那么n棱柱有多少个面？多少个顶点？多少条棱？ 分析与解从图中我们可以看出，n棱柱就有n个侧面，另加上上、下两个表面，所以共有（n+2）个面；棱的条数是n的3倍；顶点的个数是n的2倍，即2n个顶点。 训练快餐2 一个弹簧原长为1米，每当挂重1千克就伸长5厘米，如果用n表示弹簧挂的重量（单位：千克），
第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做 二元一次方程. 2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元 一次方程有无数个解. 4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 1．方程组23x y x y +=+=???■的解为2x y ==???■ ，则被遮盖的两个数分别是（ B ） A ．1，2 B ．5，1 C ．2，-1 D ．-1，9 解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1， 把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5， 则被遮住得两个数分别为5，1， 2．下列方程是二元一次方程的是（ D ） A ． 2132254 y y --=- B ．2x －4y=5 C.xy=x+y D.x+(3－2y )=5 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确； 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ） A ．12xy x y =??-=? B ．52313x y y x -=???-=?? C ．20132x z x y -=???-=?? D ．5723 x x y =???-=?? 解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误； B 、1x 是分式，故该选项错误； C 、含有3个未知数，故该选项错误； D 、符合二元一次方程组的定义； 4．以方程组? ??+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 解：解方程组?? ?+-=+=11x y x y 可得???==10y x ，所以以方程组???+-=+=1 1x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的坐标位于y 轴的正半轴. 5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则a = -1 . 解：把x=-2，y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5，解得a=-1.
一元一次方程知识点及题型 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、等式的性质 三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 四、去括号法则 五、解方程的一般步骤 1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 2. 去括号(按去括号法则和分配律) 3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号) 4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式) 5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a ). 六．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，写出答案 【基础与提高】 一．选择题 1．下列各式中，是方程的个数为（ ） （1）﹣4﹣3=﹣7；（2）3x ﹣5=2x+1；（3）2x+6；（4）x ﹣y=v ；（4）a+b ＞3；（5）a 2+a ﹣6=0． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列说确的是（ ） A ． 如果ac=bc ，那么a=b B ． 如果，那么a=b C ． 如果a=b ，那么 D ． 如果，那么x=﹣2y m ﹣2
第五讲：一元一次方程与实际问题（二) 1.设元方法 ①直接设元：即问什么设什么。 ②间接设元：即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找到符合题意的等量关系。 ③辅助设元（设而不求）：有些应用题隐含了一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则很难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析。 2.行程问题 基本量：速度、时间、路程。路程=速度×时间（vt s =） 3.方案选择问题 在阅读理解题意的基础上，可以借助表格分析题意，取舍题中信息。要学会从不同的思维角度提出问题、分析问题，恰当地理解与应用数学知识。 一、设元技巧之设而不求。 例1、某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的3 2 ，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的 5 3 ；零售票每张16元，共售出零售票的一半。如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？ 2 832.19变形答案详见《全效学习》，元，最后算错，六月份每张解：设总票数P x x a = 变式1、①一轮船从甲地到乙地顺流需航行4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_________小时。小时24 ②某商场的电视机按原价九折销售，要使销售总收入不变，那么销量应增加______.（填写比例）9 1 二、行程问题 例2、甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑自行车从B 到A 地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A 、B 两地 间的路程。 千米，路程为以让学生上台展示方法此题解题方法较多，可 108
人教版七年级下册数学知识点归纳 第八章二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 1.二元一次方程：含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。 2．方程组：有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。 8.2 消元——解二元一次方程组 二元一次方程组有两种解法：一种是代入消元法,一种是加减消元法. 1．代入消元法：把二元一次方程中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 2．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 8.3 实际问题与二元一次方程组 实际应用：审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。 关键：找等量关系 常见的类型有：分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题 顺流逆流公式：
8.4 三元一次方程组的解法 三元一次方程组：方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程组，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元。把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
第八讲 一元一次方程应用题-----分段计费问题 1、某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费。已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份该用户应交煤气费多少元？ 2、某学校图书馆准备向某出版社邮购x （x 是10的整数倍）本课外读物，每本书的单价为15元。出版社规定：邮购10本以下（包括10本）需加邮费6元；邮购10本以上（不包括10本）需加的邮费为书价的10%。在邮局汇款时，每100元汇款需付汇费1元，汇款额不足100元时，按100元汇款收取汇费。 （1）如果图书馆每次邮购10本，分 10 x 次邮购，那么所需的费用为790元，求x 的值； （2）在（1）问的情况下，求一次性邮购x 本课外读物的费用； （3）如果邮购60本课外读物，是比较分6次邮购和一次性邮购这两种方式中，哪种邮购方式费用小？ 3、某书城开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算。某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，
发现两次共节省了34元钱，则该学生第二次购书实际付款多少元？ 4、某商场对顾客实行优惠，规定： （1）如一次购物不超过200元，则不予折扣； （2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； （3）如一次购物超过500元的，其中500元按（2）条给予优惠，超过500元的部分则予八折优惠。 某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是多少元？ 5、民航规定：旅客可免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克) Q（单位：元） 10- =b (a b>时，所交费用为200 （1）小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？ （2）小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？ （3）若收费标准以超重部分的质量m（千克）计算，试用m表示Q。
第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组 教学目标： 1．认识二元一次方程和二元一次方程组. 2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解. 教学重点： 理解二元一次方程组的解的意义. 教学难点： 求二元一次方程的正整数解. 教学过程： 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 思考： 这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分. 这两个条件可以用方程 x＋y＝22 2x＋y＝40 表示. 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 把两个方程合在一起，写成 x＋y＝22 2x＋y＝40
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 探究： 满足方程①，且符合问题的实际意义的x 、y 的值有哪些？把它们填入表中. 上表中哪对x 、y 的值还满足方程② 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 例1 （1）方程（a ＋2）x +(b -1)y = 3是二元一次方程，试求a 、b 的取值范围. （2）方程x ∣a ∣ – 1+(a -2)y = 2是二元一次方程，试求a 的值. 例2 若方程x 2 m –1 + 5y 3n – 2 = 7是二元一次方程.求m 、n 的值 例3 已知下列三对值： x ＝－6 x ＝10 x ＝10 y ＝－9 y ＝－6 y ＝－1 （1） 哪几对数值使方程 21 x －y ＝6的左、右两边的值相等？ （2） 哪几对数值是方程组 的解？ 例4 求二元一次方程3x ＋2y ＝19的正整数解. 课堂练习： 教科书第102页练习 习题8.1 1、2题 作业： 教科书第102页3、4、5题 教学反思： 21 x －y ＝6 2x ＋31y ＝－11
第五章一元一次方程 回顾与思考 考点一、认识一元一次方程 在一个方程中，只含有__________，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是____，这样的方程叫做一元一次方程． 例1：判断下列各式哪些是方程？哪些是一元一次方程？为什么？ 21-x ）（ x x +=-51152）（ 233 >-x ）（ 0214=+x ）（ 01252=-+x x ）（ 例1关于x 的方程 0211=+-k x 是一元一次方程，则=k 变式1：关于x 的方程02121=+--k x k ）（是一元一次方程，则=k 变式2：关于x 的方程 32522=-++x x a ）（是一元一次方程，则=a 考点二、一元一次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程的解的过程叫解方程. 考点三、解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： ， ， ， ， 。 例： ()1113 1.42 3.8 1.5(15)7;5230.50.20.1x x x x x ---+=---=（1），（2） 过手练习： 341;23x x -+=（） 11(2)(1)(23);37x x +=- 212(3)1;34x x -+=- 11(4)(1)2(2)25x x -=-+
考点四：水箱变高了 例.一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米.你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？ 例.把一块长、宽、高分别为5cm 、3cm 、3cm 的长方体铁块，浸入半径为4cm 的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢） 【中考·山西】如图①是边长为30 cm 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠 成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，求它的体积是多少立方厘米. 1. 如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：乙容器中的水会不会溢出？如果水不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由.（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm ） 考点五：打折销售 与打折销售有关的基本公式： (1) 售价＝标价×折扣(打折数10 )； 售价＝成本(进价)＋利润＝成本(进价)×(1＋利润率)． (2) 利润＝售价－成本(进价)＝标价×折扣－成本(进价)． （3）利润率＝利润进价＝售价－进价进价 ；利润＝成本(进价)×利润率． 例：某家电商场将某种品牌的彩电按成本价提高了20%标价，谁知市场竞争激烈，
第八章二元一次方程组单元测试题 一、选择题（本大题共9小题，共27分） 1.方程2x-=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y-2x=0，x2-x+1=0中，二元一次方程的个数是 （） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2.如果3x m+n+5y m-n-2=0是一个关于x、y的二元一次方程，那么（） A. B. C. D. 3.下列各方程的变形，正确的是（） A. 由3+x=5，得x=5+3 B. 由7x=，得x=49 C. 由y=0，得y=2 D. 由3=x-2，得x=2+3 4.如果x=y，那么下列等式不一定成立的是（） A. x+a=y+a B. x-a=y-a C. ax=ay D. = 5.已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折， 乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为（） A. 50元、150元 B. 50元、100元 C. 100元、50元 D. 150元、50元 6.把方程x=1变形为x=2，其依据是（） A. 分数的基本性质 B. 等式的性质1 C. 等式的性质2 D. 解方程中的移项 7.用“加减法”将方程组中的x消去后得到的方程是（） A. 3y=2 B. 7y=8 C. -7y=2 D. -7y=8 8.已知2x-3y=1，用含x的代数式表示y正确的是（） A. y=x-1 B. x= C. y= D. y=--x 9.在一次野炊活动中，小明所在的班级有x人，分成y组，若每组7人，则余下3人； 若每组8人，则缺5人，求全班人数的正确的方程组是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 10.关于x、y方程（k2-1）x2+（k+1）x+2ky=k+3，当k= ______ 时，它为一元一次方程， 当k= ______ 时，它为二元一次方程． 11.若（2x-y）2与|x+2y-5|互为相反数，则（x-y）2005= ______ ． 12.二元一次方程组的解是______ ． 13.一个两位数的十位数字与个位数字之和等于5，十位数字与个位数字之差为1，设 十位数字为x，个位数字为y，则用方程组表示上述语言为______ ．
达州耀华育才学校“312”高效课堂展示 第五章一元一次方程 5.1认识一元一次方程（一） 达州耀华育才学校喻茂伦 【学习目标】 1.了解一元一次方程的概念； 2.知道方程的解。 3.能根据等量关系列出一元一次方程。 【学习方法】自主探究与合作交流相结合． 【学习重难点】 重点：一元一次方程的概念. 难点：列一元一次方程. 【学习过程】 一、学习准备 想一想 小彬的年龄乘2减5的得数是21,小彬今年几岁了?你怎么知道的? 如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”可表示为 ,所以得到等式: .像这样含有未知数的等式叫做，使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做。 认一认 判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。 (1)3χ-1=7 （） (2)χ﹥3 ( )、 （3）χ+y=8 ( ) （4）2a +b ( ) （5）2χ2－5χ+1=0( ） 二．活动探究 阅读课本130-131页的第二、第三、第四、第五个问题，根据题意可得出五个方程为： ○1 ○2 ○3 ○4 ○5 议一议 ，就下列问题小组观察上面的方程,你在小学学过的方程有 ———————-----------— 内讨论，达成共识： （1）上面的方程有什么共同点?
在一个方程中,只含有——————---------,并且未知数的指数都是——————---------，这样的方程叫做一元一次方程。 (2)你知道小彬今年几岁了？——————----. 方程的解使方程左、右两边的值 的未知数的值，叫做 。 试一试 例：x ＝13是方程2x －5＝21的解吗？ 判断x ＝5是不是下列方程的解. ①2x －5＝5 ②－x ＋6＝1 ③3x ＋8＝－24 （3）通过以上问题的解决，你能说出列方程有哪些步骤吗？ 列一列 在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中，记载着一些数学问题，其 中一个问题翻译过来是： “啊哈，它的全部，它的7 1，其和等于19” 你能求出问题中的“它”？ （只列方程）
年级： 课题：一元一次方程的应用时间：
个性化教学辅导教案学生姓名教师姓名 课题一元一次方程的应用 教学目标1、通过观察、归纳得出等数学模型。 2、通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实中的相等关系,体会代数方法的优越性。 3、能够“找出实际问题中的已知数和求知数，分析它们之间的关系，高级求知数，列出方程表示问题中的相等立关系”，体会建立一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。 教学过程 教师活动学生活动
1.利息问题：本金×利率×年数=利息，本金+利息=本息和，利息税=____×税率 2.行程问题：速度×____=路程 （1）相遇问题 （2）追击问题 （3）距中点问题 （4）环形跑道问题 3.行船问题： 船速：船在静水中的速度 水速：河流中水流动的速度 顺水船速：船在顺水航行时的速度 顺水速度=船速+____ 逆水速度：船在逆水航行时的速度 逆水速度=船速-水速 4.工程问题：工作总量=________×工作时间 5.年龄问题 6.比赛积分问题 7.和差倍分问题（生产、做工等各类问题） 8.数字问题 9.列方程解应用题的一般步骤是： （1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的____________； （2）“设”：用字母（例如x）表示问题的_______； （3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据__________列出方程； （4）“解”：解方程； （5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答 （6）“答”：答出题目中所问的问题。 参考答案 1.利息 2.时间 3.水速水速 4.工作效率 9.数量关系量等量关系 1.利息问题：本金×利率×年数=利息，本金+利息=本息和，利息税=利息×税率 【例1】王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行,年利率为5%.到期后
第8讲 一元一次方程（2） 一、基础知识 1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值. 2、讨论12=x 是不是方程14 732+=x x 的解. 3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值. 4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子m m m 122+ -的值. 5、已知方程()0243=+--a x a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值. 6、如果关于x 的方程06365=+-k x 是一元一次方程，求k 的值. 7、关于x 的方程() ()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值. 8、方程432-=+x m x 与方程62 6-=-x 的解相同，求m 的值. 9、已知：关于x 的方程 1232-=---x a x a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值. 10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值. 11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？ 12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k x k 2232 =--+的解互为倒数，求k 的值. 13、当4=x 时，式子a x ax A 642 --=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？ 14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？ 二、列方程解应用题（行程问题和工程问题） 15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分， （1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？ （2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？ （3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？ 16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？ 17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？ 18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，