2015中考专题复习——二次函数(稍难题精选)

2015中考专题复习——二次函数（稍难题精选）

考点梳理

考点一 二次函数的概念

一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．

注意：(1)二次项系数a ≠0；(2)ax 2＋bx ＋c 必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x 的取值范围是全体实数．

(a ＞0) (a ＜0)

开口向上 开口向下

直线x ＝－b 2a 直线x ＝－b

2a

????－b 2a ，4ac －b 24a ????－b 2a ，4ac －b 2

4a

考点四 二次函数图象的平移

抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2＋k 中|a |相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：

2 ()

22

) ()k

k h x x h x y ax k

y a x h y ax +=+↑=+←?????=上移后面加左移变为（ ()

2

k

k y ax k ↓=- 下移后面减上加下减

考点五 二次函数关系式的确定

设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．

考点六 二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的横坐标．

3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

各地中考精选

1、（2014?山东威海）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列说法： ①c =0；②该抛物线的对称轴是直线x =﹣1；③当x =1时，y =2a ；④am 2+bm +a ＞0（m ≠﹣1）． 其中正确的个数是（ C ）

2、（2014山东济南）二次函数的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程

02=-+t bx x （为实数）在41<<-x 的范围内有解，则的取值范围是( C )

A ．1-≥t

B ．31<≤-t

C ．81<≤-t

D ．83<

3、(2014年贵州黔东南)已知抛物线y=x 2

﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2

﹣m+2014的值为（ D ） A ． 2012 B ． 2013 C ． 2014 D ． 2015

4、（2014?山东临沂）在平面直角坐标系中，函数y=x 2

﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原

5、（2015桂花九义校模拟）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象如图，下列结论： ①abc ＞0；②3a +c>0；③当m ≠1时，a +b ＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0；⑤若ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2=2．其中正确的有（ D ）

A ．①②③

B ． ②④

C ． ②⑤

D ． ②③⑤

6、（2014?浙江杭州）设抛物线y=ax 2

+bx+c （a≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中

点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，

则抛物线的函数解析式为 y=x

2

﹣x+2或y=﹣x 2

+x+2 ． 7

、(2014年湖北咸宁15．（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：

由此可以推测最适合这种植物生长的温度为﹣1℃．

8、．(2014年四川资阳)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：

①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），

其中正确结论的个数是（B）

A．4个B．3个C．2个D．1个

9、(2014年天津市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：

①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．

其中，正确结论的个数是（D）

A．0 B．1C．2D．3

10、（2014?舟山）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（C）

或C或或﹣或

11、（2014?孝感）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：

①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．

其中正确结论的个数为（C）

12、（2014·台湾）已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？() A．1 B．3 C．5 D．7

分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．

解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，

而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，

∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．

故选D．

13、（2014?浙江宁波）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ D ）

14、（2014?菏泽）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、

BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面

积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（A）

．．．．

15、（2014?济宁）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（A）

16、2014年山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分

对应值如下表：

下列结论：

（1）ac＜0；

（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．

（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；

（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．

其中正确的个数为（B）

A．4个B．3个C．2个D．1个

17、（2014?浙江湖州）已知当x 1=a ，x 2=b ，x 3=c 时，二次函数y =x 2+mx 对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，若正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b ＜c 时，都有y 1＜y 2＜y 3，则实数m 的取值范围是 ．

分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a 最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可． 解：∵正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且a ＜b ＜c ， ∴a 最小是2，∵y 1＜y 2＜y 3，∴﹣＜2.5，解得m ＞﹣．故答案为：m ＞﹣．

18、2014?株洲）如果函数y =（a ﹣1）x 2+3x +的图象经过平面直角坐标系的四个象限，

那么a 的取值范围是 a ＜﹣5 ．

19、（2014年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：

则当y ＜5时，x 的取值范围是 0＜x ＜4 ．

20、（2014?菏泽）如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x ≥0）与y 2=（x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则= _3

﹣

_．

21、（2013年湖北荆州模拟题）二次函数2

y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程

20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）

A.-3

B.3

C.-5

D.9

答案：B

22、（2013年安徽凤阳模拟题三）.已知二次函数y=3－(x－m)(x－n),并且a,b是方程3－(x－

m)(x－n)=0的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是：（）

A、m

答案：D

23、（2013浙江锦绣·育才教育集团一模）如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线

段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）

A．5B．27C．8 D．6

第10题图

答案：B

24、(2013年江苏南京一模)把函数y＝2x2－4x的图象先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿

y轴向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数是

A．y＝2(x＋3)2－4(x＋3)－2 B．y＝2(x－3)2－4(x－3)－2

C．y＝2(x＋3)2－4(x＋3)＋2 D．y＝2(x－3)2－4(x－3)＋2

答案：B

25、（2013年杭州拱墅区一模）二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的对

称轴是直线1=x ，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①0abc >；②0<+-c b a ；③03<+c a ；④当31<<-x 时，0>y ．其中正确的是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②③④

答案：C

26、（2013年湖北荆州模拟题）.如图，把抛物线y =2

1x 2

平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y =2

1

x 2交于点Q ，

则图中阴影部分的面积为________▲________．

答案：272

27、（2013浙江义乌）如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M = y 1=y 2.例如：

＜y 2，此时M =0. 下列判断： ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ④使得M =1的x 值是 或 .

) ④ C.②③ D.③④

28、（2013呼和浩特）已知:M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1

2y x

=上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a,b ），则二次函数y = –abx 2+(a+b)x A . 有最大值，最大值为 –92

B . 有最大值，最大值为

92

C . 有最小值，最小值为

92

D . 有最小值，最小值为 –9

2

【答案】B

21-2

2

29、（2013陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线62

--=x x y 向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（B ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．6

30、 (2013山东日照)二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2

－4ac >0；② 2a +b <0；③ 4a －2b+c =0；④ a ︰b ︰c = －1︰2︰3.其中正确的是（ ）

A. ①②

B.②③

C. ③④

D.①④

解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x 轴有两个交点（-1，0）和（3，0），故b 2

－4ac >0；a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以a ︰b ︰c = -1︰2︰3.

解答：选D ．

31、(2013贵州黔西南州，10，4分)如图，抛物线y=1

2x 2＋bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与

y 轴交于C 点，且A(－1，0)，点M(m ，0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，m 的值是( )．

A ．2540

B ．2441

C ．2340

D ．2541

【解析】解把A(―1，0)代入y=12x 2＋bx ―2，求得b=―32

．

所以，y=12x 2―32x ―2=12(x ―32)2―258，所以抛物线顶点D(32，―25

8)．又求得C(0，―2)．

要x 轴上的动点M(m ，0)使MC ＋MD 最小，作C 点关于x 轴的对称点C/(0，2)，连接C/D

与x 轴的交点即为M 点．

利用相似三角形的知识求得OM=24

41；或先求直线C /D 的解析式，再求这条直线与抛物线的

交点坐标为(2441，0)．所以，n=24

41．

【答案】B ．

32、（2013甘肃兰州，14，4分）二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象所示，若∣ax 2+bx+c ∣=k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A. k<-3 B. k>-3 C. k<3 D. k>3

解析：根据题意得：y=|ax 2+bx+c|的图象如右图：

所以若|ax 2

+bx+c|=k （k≠0）有两个不相等的实数根，则k ＞3，故选D ．

33、（2013河北省12,3分）如图6，抛物线()322

1-+=x a y 与()132

1

22+-=

x y 交于点A （1,3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B 、C ，则以下结论： ①无论x 取何值，2y 总是正数； ②a=1；

③当x=0时，421=-y y ；

④2AB=3AC

其中正确的是 （ D ） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④

34、（2013湖北咸宁）对于二次函数322--=mx x y ，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点； ②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则1=m ； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1-=m ； ④如果当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等， 则当2012=x 时的函数值为3-．

第14题图

其中正确的说法是 ①④ ．（把你认为正确说法的序号都填上） 35、（2013年广西玉林市）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，则正确的结论是（ C ） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④

36、(2013年江西省)若二次涵数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 10 B ．b 2－4ac ≥0 C ．x 1

37、（2013成都市）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx （k 为常数）与抛物线2

1y 23

x =

-交于A,B 两点，且A 点在y 轴左侧，P 点坐标为（0，-4），连接PA,PB.有以下说法： ① 2

PO PA PB =?；

② 当k ＞0时，（PA ＋AO ）（PB －BO ）的值随k 的增大而增大；

③ 当k =时，2

BP BO BA =?；

④PAB 面积的最小值为其中正确的是___________.（写出所有正确说法的序号） 答案：③④

38、（2013?资阳）如图，抛物线y=ax 2

+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是（ A ）

39、（2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则

y1＞y2．其中说法正确的是（C）

40、2013聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线

y=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（B）

A．2 B．4 C．8 D．16

41、（2013?咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500． （1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300， 300×（12﹣10）=300×2=600，

即政府这个月为他承担的总差价为600元．

（2）依题意得，w=（x ﹣10）（﹣10x+500） =﹣10x2+600x ﹣5000 =﹣10（x ﹣30）2+4000 ∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w 有最大值4000．

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：﹣10x2+600x ﹣5000=3000， 解得：x 1=20，x 2=40． ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20≤x ≤40时，w ≥3000． 又∵x ≤25， ∴当20≤x ≤25时，w ≥3000．

设政府每个月为他承担的总差价为p 元， ∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500） =﹣20x+1000． ∵k=﹣20＜0． ∴p 随x 的增大而减小， ∴当x=25时，p 有最小值500．

即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元． 42、（2013年潍坊市）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的

休闲文化广场.在Rt △ABC 内修建矩形水池DEFG ，使顶点E D 、在斜边AB 上，

G F 、分别在直角边AC BC 、上；又分别以AC BC AB 、、为直径作半圆，它们交出两弯新月（图

中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中米324=AB ，

?=∠60BAC .设x EF =米，y DE =米.

（1）求y 与x 之间的函数解析式；

（2）当x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？

（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的

3

1？

答案：（1）在Rt △ABC 中，由题意得AC=312米，BC=36米，∠ABC=30°, 所以,330tan ,333

60tan x EF

BE x x DG AD =?===?=

又AD+DE+BE=AB, 所以,33

4

324333324x x x y -=--

=（0＜x ＜8）. (2)矩形DEFG 的面积

.3108)9(33

4

324334)334324(22+--=+-=-

==x x x x x xy S 所以当x=9时，矩形DEFG 的面积最大，最大面积为3108平方米.

（3）记AC 为直径的半圆\、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为S 1、S 2、S3，两弯新月面积为S ，则,8

1

,81,81232221AB S BC S AC S πππ===

由AC 2+BC 2=AB 2可知S 1+S 2=S 3，∴S 1+S 2-S=S 3-S △ABC ,故S=S △ABC

所以两弯新月的面积S=

3216363122

1

=??(平方米) 由32163

13108)9(334?=+--x ， 即27)9(2=-x ,解得339±=x ，符合题意，

所以当339±=x 米时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的3

1

.

43、(2013年武汉)科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．

（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；

（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？

（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ，那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 解析：

（1）选择二次函数，设c bx ax y ++=2，得?????=++=+-=4124492449c b a c b a c ，解得???

??=-=-=4921c b a

∴y 关于x 的函数关系式是4922+--=x x y ．

不选另外两个函数的理由：

注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以y 不是x 的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以y 不是x 的一次函数． （2）由（1），得4922+--=x x y ，∴()5012

++-=x y ，

∵01<-=a ，∴当1-=x 时，y 有最大值为50．

即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大． （3）46<<-x ． 44、（2014?黄冈）已知：如图，在四边形OABC 中，AB ∥OC ，BC ⊥x 轴于点C ，A （1，﹣1），B （3，﹣1），动点P 从点O 出发，沿着x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P 作PQ 垂直于直线OA ，垂足为点Q ，设点P 移动的时间t 秒（0＜t ＜2），△OPQ 与四边形OABC 重叠部分的面积为S ．

（1）求经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点M 的坐标； （2）用含t 的代数式表示点P 、点Q 的坐标； （3）如果将△OPQ 绕着点P 按逆时针方向旋转90°，是否存在t ，使得△OPQ 的顶点O 或顶点Q 在抛物线上？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）求出S 与t 的函数关系式．

解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2

+bx （a ≠0）， 把点A （1，﹣1），B （3，﹣1）代入得，

，

解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x，

∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，

∴顶点M的坐标为（2，﹣）；

（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，

∴OP=2t，

∴点P的坐标为（2t，0），

∵A（1，﹣1），

∴∠AOC=45°，

∴点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t，

∴点Q的坐标为（t，﹣t）；

（3）∵△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，

∴旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，﹣2t），（3t，﹣t），

若顶点O在抛物线上，则×（2t）2﹣×（2t）=﹣2t，

解得t=，

若顶点Q在抛物线上，则×（3t）2﹣×（3t）=﹣t，

解得t=1，

综上所述，存在t=或1，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上；

（4）点Q与点A重合时，OP=1×2=2，t=2÷2=1，

点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，

t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B，

所以，分三种情况讨论：

①0＜t≤1时，S=×（2t）×=t2，

②1＜t≤1.5时，S=×（2t）×﹣×（t﹣）2=2t﹣1；

③1.5＜t＜2时，S=×（2+3）×1﹣×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+；

所以，S与t的关系式为S=．

45、(2014年四川省绵阳市)如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，

将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，

解得a=﹣，

故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；

（2）∵y=﹣x2﹣x+，

∴x=0时，y=，

∴C（0，）．

y=0时，﹣x2﹣x+=0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC==2．

设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以

当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；

当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2．

综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，

所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．

连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，

∵B、B′关于直线AC对称，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

又BM=2，所以此时△QBM的周长最小．

由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．

设直线MB′的解析式为y=kx+n，

将M（﹣2，），B′（3，2）代入，

得，解得，

即直线MB′的解析式为y=x+．

同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．

由，解得，即Q（﹣，）．

所以在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．

46、（2014?湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c （c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长

线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．

（1）若点A的坐标是（﹣4，4）

①求b，c的值；

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．∴点C的坐标是（0，4）

把A、C代入y═﹣x2+bx+c得，得，解得；

②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：

由①得抛物线的解析式为y═﹣x2﹣4x+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，8），

过D点作DE⊥AB于点E，则DE=OC=4，AE=2，

∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°，

∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠BCO，∴AD∥BO，

∴四边形AOBD是平行四边形．

（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2，2）或（2，2）

要使四边形AOBD是矩形；则需∠AOB=∠BCO=90°，

最新最新中考二次函数动点问题(含答案)

二次函数的动点问题 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =o ∠的点P 有 个． （抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ??? ，．

[解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B Q ，，，， 86FB FA ∴==，． 10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=Q ，． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 35GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+Q ， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴= ??=+- ?? ?．

中考二次函数压轴题经典题型

中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

最新中考二次函数---利润问题教学提纲

中考二次函数利润问题 题型一、与一次函数结合 1、某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元). (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式. (2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150 元的销售利润,销售价应定为多少元? 2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数． (1)试求y与x之间的关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？

题型二、寻找件数之间的关系 （一）售价为未知数 1、某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元出售，那么一个星期可售出100件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即当销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？最大利润是多少？ 2、某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）。 ⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； ⑵求y与x之间的函数关系式； ⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？

精选中考二次函数压轴题[附答案解析]

精选中考二次函数压轴题（含答案） 1．如图，二次函数c x y +-=2 21的图象经过点D ??? ? ?-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EF BC ； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16 x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC =23．设直线AC (第2(图1) (图

二次函数2015中考试题集锦.

二次函数 （一）、二次函数的平移 1.（2015湖北荆州第4题3分）将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A ．y =（x ﹣1）2+4 B ．y =（x ﹣4）2+ 4 C ．y =（x +2）2+6 D ．y =（x ﹣4）2+6 2.（2015?山东临沂,第13题3分）要将抛物线平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（ ） (A ) 向左平移1个单位，再向上平移2个单位. (B ) 向左平移1个单位，再向下平移2个单位. (C ) 向右平移1个单位，再向上平移2个单位. (D ) 向右平移1个单位，再向下平移2个单位. 3.（2015上海,第12题4分）如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________． （二）、二次函数的性质 1.（2015湖南邵阳第18题3分）抛物线y =x 2+2x +3的顶点坐标是 （﹣1，2） ． 2. （2015?四川乐山,第6题3分）二次函数的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．（2015·湖南省益阳市，第8题5分）若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（ ） A ． m ＞1 B ． m ＞0 C ． m ＞﹣1 D ． ﹣1＜m ＜0 4．(2015?江苏苏州,第8题3分)若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为 A ．120,4x x == B ．121,5x x == C ．121,5x x ==- D ．121,5x x =-= 5．（2015·四川甘孜、阿坝，第9题4分）二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为（ ） A ．x =4 B ．x =﹣4 C ．x =2 D ．x =﹣2 （三）、二次函数a 、b 、c 符号的确定 1.（2015?山东莱芜,第9题3分）二次函数的图象如图所示， 则一次函数的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

《二次函数热点压轴题》

第一部分：以“增减性”为主导的综合问题 【典型例题1】 在平面直角坐标系xOy 中.已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x =1. （1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标； （2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象， 求a 的取值范围； （3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是 m ≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值 . 二次函数热点压轴题

【变式与拓展】 1.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）． （1）求抛物线顶点C 的坐标； （2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长； （3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．

2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线223 y x bx =-+-的对称轴为直线x=2． （1）求b的值； （2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2）， 其中 12 x x<． ①当 213 x x-=时，结合函数图象，求出m的值； ②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，44 y -≤≤，求m的取值范围．

广东省中考数学总复习第15讲：二次函数

2021年广东省中考数学总复习第15讲：二次函数 一．选择题（共27小题） 1．（2020?广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0， 正确的有（） A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2020?深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（） A．abc＞0 B．4ac﹣b2＜0 C．3a+c＞0 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根 3．（2020?广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（） A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 4．（2020?禅城区二模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2020的值为（） A．2018B．2019C．2020D．2021 5．（2020?深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2020?盐田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A．abc＞0B．a+b+c＝0C．4a﹣2b+c＜0D．b2﹣4ac＜0 7．（2020?南沙区一模）已知A（﹣3，y1），B（?3 2，y2），C（1，y3）为二次函数y＝﹣x 2 ﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 8．（2020?罗湖区一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（） A．b2＜4ac B．ac＞0C．a﹣b+c＝0D．2a﹣b＝0 9．（2020?福田区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x2＜1，有下列结论：①b2﹣4ac＞0； ②4a﹣2b+c＞﹣1；③﹣3＜x1＜﹣2；④当m为任意实数时，a﹣b≤am2+bm；⑤3a+c ＝0．其中，正确的结论有（）

二次函数难题压轴题中考精选(一)

二次函数压轴题精选 1．如图，二次函数c x y +- =221的图象经过点D ??? ? ? -29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．

（1）求证： AH AD ＝ EF BC ； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点 C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面 积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝1 6x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点 P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横 坐标；若不存在，请说明理由

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答：

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

2015年中考真题初中数学---二次函数

2015年中考真题初中数学---二次函数（1） 一．选择题（共30小题） 1．（2015?兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（） A ．y=3x﹣1 B ． y=ax2+bx+c C ． s=2t2﹣2t+1 D ． y=x2+ 2．（2015?宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 3．（2015?锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 4．（2015?沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 5．（2015?泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（） A ．B ． C ． D ．

6．（2015?安徽）如图，一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2 +bx+c 图象相交于P 、Q 两点，则 函数y=ax 2 +（b ﹣1）x+c 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．（2015?咸宁）如图是二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2 +bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c ＜0； ③一元二次方程ax 2 +bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0． 其中正确的个数有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 8．（2015?衢州）下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是（ ） A ． B ． C ． D ．

西安备战中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y ＝1 2 x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1， 0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝ 213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （3 2，﹣258 ）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣5 4 ）． 【解析】 【分析】 （1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案； （2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状； （3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 3 2 = 对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线 x 3 2= 交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】 （1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112 ?-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 213 22 x =-x ﹣2． y 21322x = -x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （325 2 8 ， -）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时， 213 22 x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB

2019年中考二次函数压轴题整理

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 平行四边形类 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式； （2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质． 5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标； （2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

2015年中考二次函数中含45度角题组专题

二次函数中含45度角题型 1. 如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ， 两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°， 求点P 的坐标． 2. 如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数22 53 y x b x =-++的图像与x 轴、y 轴的公共点分 别为A （5，0）、B ，点C 在这个二次函数的图像上，且横坐标为3． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求∠BAC 的正切值； （3）如果点D 在这个二次函数的图像上， 且∠DAC = 45°，求点D 的坐标． A C D O x y （第24题图） B

Q P M A B C O y x 3．如图10，已知抛物线 c bx x y ++-=2过点A （2，0），对称轴为y 轴，顶点为P . (1) 求该抛物线的表达式，写出其顶点P 的坐标，并画出其大致图像； (2) 把该抛物线先向右平移m 个单位，再向下平移m 个单位(m > 0 )，记新抛物线的顶点为B ，与y 轴的交点为C . ① 试用m 的代数式表示点B 、点C 的坐标； ② 若∠OBC =45°，试求m 的值. 4．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题9分） 如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点30,2C ? ?- ?? ?，且与x 轴交于点A 、点B ，若 2 3 tan ACO ∠= ． （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点（不与点B 重合），45MPQ ∠=，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当△MPQ 为等腰三角形时，求点P 的坐标． y A O x ( 图10 ) 1 1

中考二次函数压轴题及答案

二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围．

2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标．

全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案)

1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4， 抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于 点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于x的二次函数y=x2+b x+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点 C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 3．如图，已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2） 三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 4．如图1，已知二次函数y=ax2+b x+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．

2015年中考复习二次函数综合题精选(教师版)

中考复习《二次函数的综合》精选 1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ??? ? ? -29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 解：⑴ ∵抛物线经过点D (2 9 ,3-) ∴29)3(212=+-?-c ∴c=6. ⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ， ∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF 又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM ∴DM =BM 即AC 平分BD ∵c =6. ∵抛物线为621 2+-=x y ∴A （0,32-）、B （0,32） ∵M 是BD 的中点 ∴M （ 4 9 ,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点

∴ ? ? ? ? ? = + = + - 4 9 2 3 3 2 b k b k 解得 ? ? ? ?? ? ? = = 5 9 10 3 3 b k ∴直线AC的解析式为 5 9 10 3 3 + =x y. ⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP． 2．已知一次函数y＝1 2 1 + x的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数c bx x y+ + =2 2 1 图象与一次函数y＝1 2 1 + x的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点的坐标为)0,1(（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEF的面积S； （3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵由题意知:当x=0时,y=1, ∴B（0，1）,当y=0时,x=－2, ∴A（－2，0） ∴ ?? ? ? ? = + + = 2 1 1 c b c 解得 ?? ? ? ? - = = 2 3 1 b c ,所以1 2 3 2 1 2+ - =x x y （2）当y=0时, 0 1 2 3 2 1 2= + -x x,解得x1=1,x2=2,∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. S=S△CAE －S△ABD，S=OB AD AE? - ? 2 1 3 2 1 ，S=4.5, (3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC, 由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，

初中数学二次函数难题汇编

初中数学二次函数难题汇编 一、选择题 1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】 解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+?? =++? 解得：13 23b c ? =????=-?? ∴二次函数的解析式为：2 21212533636 ??=+-=+ ???-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为25 36 -，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意； C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1 2 01b b c ?-=???=-+? 解得：23b c =-??=-?

∴223y x x =-- 当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误； ③对称轴：直线12b x a =- =-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，故③错误； ④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确． 【详解】 解：①∵抛物线与x 轴由两个交点， ∴240b ac ->， 即24b ac >， 所以①正确； ②由二次函数图象可知， 0a <，0b <，0c >，

2015中考二次函数的综合题及应用-答案

2015湖南中考复习 二次函数的综合题及应用 考点一：确定二次函数关系式 例1 （1）如图，已知二次函数y=x 2 +bx+c 过点A （1，0），C （0，-3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标． 思路分析：（1）利用待定系数法把A （1，0），C （0，-3）代入）二次函数y=x 2 +bx+c 中，即可算出b 、c 的值，进而得到函数解析式是y=x 2 +2x-3； （2）首先求出A 、B 两点坐标，再算出AB 的长，再设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标． 解：（1）∵二次函数y=x 2 +bx+c 过点A （1，0），C （0，-3）， ∴103b c c ++=??=?，解得23 b c =??=?，∴二次函数的解析式为y=x 2+2x-3； （2）∵当y=0时，x 2 +2x-3=0， 解得：x 1=-3，x 2=1； ∴A （1，0），B （-3，0）， ∴AB=4， 设P （m ，n ）， ∵△ABP 的面积为10， ∴ 1 2 AB?|n|=10， 解得：n=±5， 当n=5时，m 2 +2m-3=5， 解得：m=-4或2， ∴P （-4，5）（2，5）； 当n=-5时，m 2 +2m-3=-5， 方程无解， 故P （-4，5）（2，5）； 点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （2）在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2 y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点C ，如图3-3，点C 的坐标为（0，－3），且BO ＝CO （1） 求这个二次函数的解析式；

二次函数与实际问题中考题

二次函数与实际问题 类型一用二次函数解决“抛物线型”问题 方法技巧：利用二次函数解决抛物线问题通常有以下几种：拱桥问题、导弹问题、投抛 球问题、喷泉喷水问题、跳台跳水问题、荡秋千问题等。解决此类问题常常要建立平面直角坐标系，通过建立图象模型，构造二次函数关系式解决实际问题。 1、如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边 AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是 11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。 (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系h=-1/128(t-19)2+8(0?t?40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行? 2、如图,庄子大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( )秒

类型二用二次函数解决方案设计中最优化的问题 方法技巧：方案最优化问题实际就是求函数的最大（小）值，如利润最大，效益最好， 材料最省，根据题意列出二次函数关系式，通过配方转化为顶点式后，求最值。 1、为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担。张刚按照相关政 策投资销售本市生产的一种新型节能灯。已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500. (1)张刚在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元? (2)设张刚获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润? (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元。如果张刚想要每月获得的利润 不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

2015年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析

2015年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析 1． 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按 照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用c bx x y ++-=261 表示，且抛物线上的 点C 到OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为2 17 m 。 （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双 向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果 灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 2． 已知如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 与 x 轴交于A ,B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，连接AC ，AO ＝2CO ，直线l 过点G （0，t ）且平行于x 轴，t ＜－1． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）①若D （－4，m ）为抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 上一定点，点D 到直线l 的 距离记为d ，当d ＝DO 时，求t 的值； ②若为抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 上一动点，点D 到①中的直线l 的距离与 OD 的长是否恒相等，说明理由； （3）如图2，若E ,F 为上述抛物线上的两个动点，且EF ＝8，线段EF 的中点 为M ，求点M 纵坐标的最小值．

图1 图2 C D B A l G O y x x y O G l A B C E F M 3.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．