2006
D （1）已知集合U ={1，2，3，4，5，6，7}，A = {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（C U A ）∪（C U B ）=
（A ）{1，6}
（B ）{4，5}
（C ）{2，3，4，5，7}
（D ）{1，2，3，6，7}
B （2）在等差数列{a n }中，若a 4+ a 6=12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为
（A ）48
（B ）54
（C ）60
（D ）66
A （3）过坐标原点且与圆02
5
2422=+
+-+y x y x 相切的直线的方程为 （A ）y =－3x 或x y 31
= （B ）y = 3x 或x y 31
-=
（C ）y =－3x 或x y 3
1
-=
（D ）y = 3x 或x y 3
1
=
C （4）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l
（A ）平行 （B ）相交
（C ）垂直
（D ）互为异面直线
A （5）若n
x x ???
? ??-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 （A ）－540 （B ）－162
（C ）162
（D ）540
C （6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg ），
得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是
（A ）20
（B ）30
（C ）40 （D ）50
（7）与向量??
? ??-=??? ??=27,21,21,27b a 的夹角相等, 且模为1的向量是
（A ）??
? ??-53,54
（B ）??? ??-53,54或 ???
?
?-
53,54
（C ）???
?
??-31,322
（D ）????
??-31,322或???
?
??-31,322
（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配 方案有 （A ）30种 （B ）90种 （C ）180种
（D ）270种
（9）如图所示, 单位圆中弧AB
的长为)(,x f x 表示弧AB 与弦AB 所围 成的弓形面积的2倍，则函数)(x f y =的图象是
（10）若a , b , c > 0且324)(-=+++bc c b a a ,则c b a ++2的最小值为
（A ）13-
（B ）13+
（C ）232+
（D ）232-
⌒ ⌒
（11）复数 的值是_______． （12）=+--+++∞
→12)
12(312
lim n n n n _______．
（13）已知=??? ?
?+=??? ??--=+???
??∈4cos ,13124sin ,53)sin(,,43,παπββαππβα则_______．
（14）在数列{}n a 中, 若32,111+==+n n a a a （n ≥1）, 则该数列的通项=n a _______． （15）设,1,0≠>a a 函数)
32lg(2)(+-=x x a
x f 有最大值, 则不等式0)75(log 2
>+-x x a 的解集为_______．
（16）已知变量y x ,满足约束条件41≤+≤y x ,22≤-≤-y x , 若目标函数y ax z +=（其中0>a ）仅在
点（3,1）处取得最大值，则a 的取值范围为_______．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17） 设函数2cos 3)(=
x f ωx + sin ωxcos ωx + a （其中ω> 0, a ∈R ）, 且)(x f 的图象在y
轴右侧的第一个最高点的横坐标为6
π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果)(x f 在区间??
?
???-
65,3ππ上的最小值为3, 求a 的值．
（18）(本小题满分13分)
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5 位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3
1
, 用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求：
（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）随机变量ξ的期望．
（19）(本小题满分13分)
如图, 在四棱锥ABCD P -中, ⊥PA 底面ABCD ,
DAB ∠为直角, ,2,//AB CD AD CD AB == E 、F 分
别为PC 、CD 的中点．
（Ⅰ）试证：⊥CD 平面BEF ；
1 + 2i 3 + i 3
（Ⅱ）设AB k PA ?=, 且二面角C BD E --的平面角大于30°, 求k 的取值范围． （20）(本小题满分13分)
已知函数x
e c bx x x
f )()(2
++=, 其中R c b ∈,为常数．
（Ⅰ）若)1(42
->c b , 讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若)1(42-≤c b , 且,4)(lim 0
=-→x
c
x f x 试证：26≤≤-b ．
（21）(本小题满分12分)
已知定义域为R 的函数)(x f 满足x x x f x x x f f +-=+-2
2
)())((． （Ⅰ）若3)2(=f , 求)1(f ； 又若)(,)0(a f a f 求=；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数0x , 使得00)(x x f =,求函数)(x f 的解析表达式．
（22）(本小题满分12分)
已知一列椭圆,1:22
2
=+n
n b y x C
10< P n , 使P n 到右准线l n 的距离d n 是| P n F n |与 | P n G n |的等差中项, 其中F n 、G n 分别是C n 的左、右焦点． （Ⅰ）试证：2 3≤ n b （n ≥1）； （Ⅱ）取2 32++=n n b n ,并用S n 表示△P n F n G n 的面积,试证：121+> 一、选择题：每小题5分，满分50分. （1）D （2）B （3）A （4）C （5）A （6）C （7）B （8）B （9）D （10）D 二、填空题：每小题4分，满分24分 . （11） i 10 7 101+ （12） 2 1 （13）65 56- （14）321-+n （15）（2，3） （16）a >1 三、解答题：满分76分. （17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）a x x x f +++= |2 3 |2sin 212cos 23)(ωω .2 3 )3 2sin(a x ++ + =π ω 依题意得 .2 3 6 2π π π ω= + ? 解得.2 1= ω （Ⅱ）由（Ⅰ）知，.2 3 )3 sin()(a x x f ++ +=π 又当]6 5,3[π π-∈x 时，]6 7, 0[3 ππ ∈+ x 故1)3 sin(21≤+≤- π x ， 从而]6 5,3[)(π π- 在x f 上取得最小值.2 3 21a ++- 因此，由题设知2 1 3 ,32321+==++-a a 故. （18分）（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5. 由等可能性事件的概率公式得 .24380 32)1(, 24332 32)0(5 41 555=?=====C P P ξξ .24340 3 2)3(,24380 32)2(5 43 55 325=?===?==C P C P ξξ .243 1 31)5(, 24310 32)4(55 45== ==?==ξξP C P 从而ξ的分布列为 （Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为 .3 5243405243 1 5243104243403243802243801243320==?+?+?+?+?+? =ξE 解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验. 故),3 1 ,5(B =ξ即 .5,4,3,2,1,0 ,)3 2 ()31()(545===-k C k P k k ξ 由此计算ξ的分布列如解法一. （Ⅱ）.3 5315=? =ξE 解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二 （Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等. 即,53=ξE 从而.3 5 = ξE （19）（本小题13分） 解法一： （Ⅰ）证：由已知AB DF = //且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而CD ⊥BF . 又P A ⊥底面ABCD , CD ⊥AD , 故由三垂线定理知CD ⊥P D . 在△P DC 中, E 、F 分 别为P C 、CD 的中点，故EF //P D ，从而CD ⊥EF ，由此得CD ⊥面BEF . （Ⅱ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，连接 EG ，则在△P AC 中易知EG //P A ，又因 P A ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD . 在底 面ABCD 中，过G 作GH ⊥BD ，垂足为H ，连接 EH ，由三垂线定理知EH ⊥BD . 从而∠EHG 为 二面角E —BD —C 的平面角. 设AB =A ，则在△P AC 中，有 ka PA BG 2 1 21== 以下计算GH ，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD ， 因DF GB GH BD S GBD ?=?= ?2 1 21 故.BD DF GB GH ?= 在△ABD 中，因AB =a ，AD =2a ，得.5a BD = 而AB DF a AD FB GB ==== ,2 1 21，从而得 a a a a BD AB GB GH 55 5=?=?= 因此.255 5 21 tan k a ka GH EG EHG === 由k >0知∠EHG 是锐角，故要使∠EHG >30°，必须 ,3 330tan 25=?>k 解之得，k 的取值范围为.15 15 2> k 解法二： （Ⅰ）如图，以A 为原点, AB 所在直线为x 轴, AD 所在直线为y 轴, A P 所在直线为z 轴建立 空间直角坐标系，设AB =a ，则易知点A ，B ，C ，D ，F 的坐标分别为 A （0，0，0），B （a ，0，0），C （2a ，2a ，0）， D （0，2a ，0），F （a ，2a ，0） 从而)0,2,0( ),0,0,2(a a ==， . ,0⊥=?故 设P A =B ，则P （0，0，b ），而E 为P C 中点，故 )2,,(b a a E . 从而).2,,0(b a = . ,0⊥=?故 由此得CD ⊥面BEF . （Ⅱ）设E 在xOy 平面上的投影为G , 过G 作为GH ⊥BD 垂足为H , 由三垂线定理知EH ⊥BD . 从而∠EHG 为二面角E —BD —C 的平面角. 由)0,,( ),2 , ,( ),,0,0(a a G ka a a E ka P AB k PA 得?=. 设)0,,(y x H ，则)0,2,(),0,,(a a a y a x -=--=， 由0)(2)(0=-+--=?a y a a x a BD GH 得，即 a y x -=-2 ① 又因)0,,(y a x -=，且与的方向相同，故 a y a a x 2= -，即 a y x 22=+ ② 由①②解得a y a x 5 4 ,53== . 从而a GH a a CH 55||),0 ,51 ,52(= --=. .25 5 52| |tan k a ka GH EHG === 由k >0知∠EHG 是锐角，由∠EHG >30°，得?>30tan tan EHG ，即.3325>k 故k 的取值范围为.15 15 2> k （20）（本小题13分） 解：（Ⅰ）求导得22])2([)(c c b x b x x f ++++=' 因0)2(0)( ),1(42 2 =++++='->c b x b x x f c b 即故方程有两根； 2 )1(422 2)1(4222221--++-=<---+-=c b b x c b b x 令21 ,0)(x x x x x f ><>'或解得； 又令21 ,0)(x x x x f <<<'解得， 故当)( ,),(1x f x x 时-∞∈是增函数；当)( ,),(2x f x x 时+∞∈是增函数；但 当)( ,),(21x f x x x 时∈是减函数. （Ⅱ）易知c b f c f +='=)0( ,)0(，因此 .)0() 0()(lim )(lim 00 c b f x f x f x c x f n n +='=-=-→→ 所以，由已知条件得 ?? ?-≤=+), 1(4,42 c b c b 因此.01242≤-+b b 解得26≤≤-b . （21）（本小题12分） 解：（Ⅰ）因为对任意x x x f x x x f f R x +-=+-∈2 2 )())(( ,有，所以 .22)2()22)2((2 2 +-=+-f f f 又由3)2(=f ，得.1)1( ,223)223(2 2 =+--+-f f 即 若.)( ,00)00( ,)0(2 2 a a f a a f a f =+-=+-=即即 （Ⅱ）因为对任意x x x f x x x f f R x +-=+-∈2 2 )())(( ,有， 又因为有且只有一个实数,)( ,000x x f x =使得 所以对任意,)( ,02 x x x x f R x =+-∈有， 在上式中令,)( ,002 000x x x x f x x =+-=有 又因为.10 ,0 ,)(002 0000===-=x x x x x x f 或故所以 若0)( ,02 0=+-=x x x f x 则，即 .)(2x x x f -= 但方程02 x x x =-有两个不同实根，与题设条件矛盾，故.00≠x 若0x =1, 则有.1)( .1)(22+-==+-x x x f x x x f 即易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为 )(1)(2 R x x x x f ∈+-= （22）（本小题12分） 证：（Ⅰ）由题设及椭圆的几何性质有 1 ,2||||2==+= n n n n n n d C P F P d 故. 设2 1n n b c -=，则右准线方程为 .1:n n c x l = 因此，由题意d n 应满足 .1111+≤≤-n n n c d c 即.121 ,1 0111 <≤?? ???<<≤-n n n c c c 解之得 即 ,112 12 <-≤n b 从而对任意.2 3 ,1≤ ≥n b n （Ⅱ）设点P n 的坐标为1 ),,(=n n n d y x 则由及椭圆方程易知 ,11-=n n c x ). 122(1))11 ( 1)(1()1(2 32 22222-++-= ---=-=n n n n n n n n n c c c c c c x b y 因n n n n n n C F P c C P ?=故 ,2||的面积为||n n n y c S =，从而 )12 1( 1222 32<<-++-=n n n n n c c c c S 令122)(2 3 -++-=c c c c f ，由 0226)(2 =++-='c c c f 得两根 .6 131± 从而易知函数)23 1 ,21()(+在c f 内是增函数，而在 )6 13 1(+内是减函数. 现在由题设取n n n n c n n n b c n n b ,211211 ,2322 +-=++=-=++= 则是增数列，又易知 325 4 613143c c =<+<= ， 故由前已证，知S 1 ≥>+n S S n n . 2007 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线1y x =+与圆2 2 1x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+ 3．282()x x +的展开式中4 x 的系数是（ ） A ．16 B ．70 C ．560 D ．1120 4．已知1,6,()2==-= a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 5．不等式2 313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞ C ．[1,2] D ．(,1][2,)-∞+∞ 6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ） A ． 891 B ．2591 C ．4891 D ．6091 7．设ABC ?的三个内角,,A B C ，向 量s i n ,s i n )A B =m ，(cos )B A =n ，若 1c o s (A B =++ m n ，则C =（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 8．已知2 2lim( )21 x x ax b x →∞--=+，其中,a b R ∈，则a b -的值为（ ） A ．-6 B ．2- C ．2 D ．6 9．已知二面角l αβ--的大小为0 50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是0 25的直线的条数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10．已知以4T = 为周期的函数(1,1] ()12,(1,3] x f x x x ?∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程3()f x x =恰有5个 实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．8,)33 B ．3 C ．48(,)33 D ．4(3 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上． 11．若{} 3A x R x =∈<，{ } 21x B x R =∈>，则A B = ． 12．若1 ()21 x f x a = +-是奇函数，则a = ． 13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）． 14．设12a =，121 n n a a += +，21n n n a b a +=-，* n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ． 15．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使 1221sin sin PF F a PF F c =，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．） 设函数2()sin( )2cos 1468 x x f x ππ π=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期． （Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3 x ∈时()y g x =的最大值． 17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和1 2 ，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分） 设函数2 ()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=． （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）若函数()() x e g x f x =，讨论()g x 的单调性． 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 如题（19）图，在四棱锥S ABCD -中，AD BC 且AD CD ⊥；平 面 CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点， CE AS == ．求： （Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离； （Ⅱ）二面角E CD A --的大小． 20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为3y = ，离心率2 e =，M 是椭圆上的动点． （Ⅰ）若,C D 的坐标分别是(0,，求M C M D 的最大值； （Ⅱ）如题（20）图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆2 2 1x y +=上的 点， c b a N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+ ，0QA BA = ．求线段QB 的中点P 的轨迹方 程； 21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 设m 个不全相等的正数12,,,(7)m a a a m ≥ 依次围成一个圆圈． （Ⅰ）若2009m =，且12105,,,a a a 是公差为d 的等差数列，而1200920081006,,,,a a a a 是公比为q d =的 等比数列；数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m ≤满足：320092007115,12S S S a ==+，求通项()n a n m ≤； （Ⅱ）若每个数()n a n m ≤是其左右相邻两数平方的等比中项，求证： 2216712m m a a a a ma a a +++++> ； (2007) （1）若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A ．3 B.4 C. 5 D. 6 【答案】：A 【分析】：由3133339S a d d =+=+=可得 2.d =21 3.a a d ∴=+= （2）命题“若12 A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12 ≥x 【答案】：D 【分析】：其逆否命题是：若1≥x 或1-≤x ，则12 ≥x 。 （3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行， 则这三个平面把空间分成（ ） A ．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 【答案】：C 【分析】：可用三线,,a b c 表示三个平面，如图，将空间分成7个部分。 （4）若n x x )1(+ 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A.10 B.20 C.30 D.120 【答案】：B 【分析】：662166264 6..n r r r r r r n T C x x C x ---+=?=?=?= 3 46620320.r r T C ?-=?=∴== （5）在ABC ?中，,75,45,300=== C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+ 【答案】：A 【分析】 ：0 45,75,AB A C === 由正弦定理得： ,sin sin sin 45sin 75a c BC AB A C =?== 3BC ∴= （6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张， 则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A ． 41 B ．12079 C ． 43 D ．24 23 【答案】：C 【分析】：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，111 5323 103 1.4 C C C P C ?=-= （7）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则 | |2||2b a ab +的最大值为（ ） A. 1552 B.42 C.55 D.2 2 【答案】：B 【分析】：a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则2 2 2 2 14414||.a b a b ab =-?+=≥ 1||.4ab ∴≤2224(||2||)4|| 1.a b a b ab +=+-= 2||2||ab a b ∴=≤=+ = = 11||4,4|| ab ab ≤ ∴≥ 4 = （8）设正数a,b 满足 4)(2 2 lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞ →n n n n n b a a b a 211 1lim （ ） A ．0 B ．41 C ．2 1 D ．1 【答案】：B 【分析】：2 2 1()44242.2lim x a x ax b a b a b b →+-=?+-=?=∴= 11 1 11 ()()122.11124()2()22 lim lim lim n n n n n n n n n n n a a a a a ab b b a a b a b a +--→∞→∞→∞++ +∴ ===+++ （9）已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数， 则（ ） A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 【答案】：D 【分析】：y=f(x+8)为偶函数，(8)(8).f x f x ?+=-+即()y f x =关于直线8x =对称。 又f(x)在),8(+∞上为减函数，故在(,8)-∞上为增函数， 检验知选D 。 （10）如图，在四边形ABCD 中，||||||4,0,AB BD DC AB BD BD DC → → → → → → → ++=?=?= →→→→=?+?4||||||||DC BD BD AB ，则→ →→?+AC DC AB )(的值为（ ） A.2 B. 22 C.4 D.24 【答案】：C 【分析】：2()()()(||||).AB DC AC AB DC AB BD DC AB DC → → → → → +?=+?++=+ ||||||4, |||| 2.||(||||)4, AB BD DC AB DC BD AB DC → →→ → →→ ?++=??+=??+=? () 4.AB DC AC → → → ∴+?= 二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）复数 3 22i i +的虚部为________. 【答案】：4 5 【分析】：3222(2)2424 .225555 i i i i i i i i +-+====-++- （12）已知x,y 满足?? ? ??≥≤+≤-1421 x y x y x ， 则函数z = x+3y 的最大值是________. 【答案】：7 【分析】：画出可行域，当直线过点（1，2）时， max 167.z =+= （13）若函数 f(x) = R ， 则a 的取值范围为_______. 【答案】：[]10-， 【分析】：2202 12x ax a --≥=恒成立，220x ax a ?--≥恒成立， 2 (2)40(1)010.a a a a a ??=+≤?+≤∴-≤≤ （14）设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程2 4830x x -+=的两根， 则=+20072006a a __________. 【答案】：18 【分析】：2004a 和2005a 是方程2 4830x x -+=的两根，故有： 200420051232a a ? =????=??或2004200532 12 a a ?=????=??（舍）。 3.q ∴= 2 22006200720053 ()(33)18.2 a a a q q +=+= ?+= （15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选， 则不同的选课方案有___________种。（以数字作答） 【答案】：25 【分析】：所有的选法数为47C ，两门都选的方法为22 25C C 。 故共有选法数为4 2 2 725351025.C C C -=-= （16）过双曲线42 2=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0105的直线，交双曲线于P 、Q 两点， 则|FP|?|FQ|的值为__________. 【答案】 【分析】 ：F tan105(2k ==- +:(2l y x ∴=-+- 代入42 2 =-y x 得：2 (6600.x x +-+++= 设11221212(,),(,).P x y Q x y x x x x ?+= ?= 又12|||FP x FQ x =-=- 21212||||(1)|)8| (88|3FP FQ k x x x x ∴?=+-++=+?= = 三、解答题：本大题共６小题，共76分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）(本小题满分13分)设f (x) = x x 2sin 3cos 62 - （1）求f(x)的最大值及最小正周期； (9分) （2）若锐角α满足323)(-=αf ，求tan α5 4 的值。(4分) 解： （Ⅰ）1cos 2()6 22 x f x x += 3cos 223x x =-+ 1cos 2sin 2322x x ?=-+?? ? 236x π??=++ ???． 故()f x 的最大值为3；最小正周期22 T π = =π． （Ⅱ）由()3f α=- 2336απ??+ +=- ???cos 216απ??+=- ??? ． 又由02απ<< 得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π． 从而4tan tan 53 απ == （18）(本小题满分13分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司 缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元 的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率 分别为111 , ,,91011 且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率；(4分) （2）获赔金额ξ的分别列与期望。(9分) 解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，，．由题意知1A ，2A ，3A 独立， 且11()9P A = ，21()10P A =，31 ()11 P A =． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 12312389103 1()1()()()19101111 P A A A P A P A P A -=-=-??=． （Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000． 12312389108 (0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====??=， 123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 19108110891910119101191011=??+??+??24211 99045== ， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 1110191811910119101191011=??+??+?? 273 990110 == ， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ=== 1111 91011990 =??= ． 综上知，ξ的分布列为 27000 求ξ的期望有两种解法： 解法一：由ξ的分布列得 81131 0900018000270001145110990 E ξ=?+?+?+? 29900 2718.1811 = ≈（元） ． 解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，123k =，，， 则1ξ有分布列 故11 900010009 E ξ=? =． 同理得21900090010E ξ=?=，31 9000818.1811 E ξ=?≈． 综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=（元）． （19）(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，12,AA = AB = 1, 090ABC ∠=；点D 、E 分别在D 、A BB 11上，且D A E B 11⊥， 四棱锥1ABDA C -与直三棱柱的体积之比为3：5。 （1）求异面直线DE 与11C B 的距离；(8分) （2）若BC =2，求二面角111B DC A --的平面角的正切值。(5分) D E 1A 1C 1B 2004年普通高等学校招生考试 数 学（文史类）（重庆卷） 本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟. 第Ⅰ部分（选择题 共60分） 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那幺n 次独立重复试验中恰好 发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数y =的定义域是：（ ） A [1,)+∞ B 23(,)+∞ C 23[,1] D 2 3(,1] 2. 函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = ( ) A 1 B -1 C 35 D 3 5 - 3.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为：（ ） A 2 B 2 C 1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是：（ ） A (1,0)(1,)-+∞U B (,1)(0,1)-∞-U C (1,0)(0,1)-U D (,1)(1,)-∞-+∞U 5．sin163sin 223sin 253sin313+=o o o o ( ) A 12- B 1 2 C 2- D 2 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为： （ ） A 2 B 4 C 6 D 12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那 么p 是q 成立的：（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ① ////m m αββα????? ② //////m n n m ββ???? ③ ,m m n n αβ??????异面 ④ //m m αββα⊥??⊥?? 其中假命题有：（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 9． 若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（ ） A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 10．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双 曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( ) A 43 B 53 C 2 D 73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为：（ ） A 2140 B 1740 C 310 D 7120 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合, , 则 A ． B ． C ． D ． 2． A ． B ． C ． D ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来, 构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼, 图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若, 则 A ． B ． C ． D ． 5．的展开式中的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线分别与轴, 轴交于, 两点, 点在圆上, 则面积的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 7．函数的图像大致为 {}|10A x x =-≥{}012B =， ，A B =I {}0{}1{}12，{}012， ，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +1 sin 3 α= cos2α=8 9 79 79 -89 -5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=x y A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26，[]48 ， ??42 2y x x =-++ 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 , 各成员的支付方式相互独立, 设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, , , 则 A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 9．的内角的对边分别为, , , 若的面积为 , 则 A ． B ． C ． D ． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 则三棱锥体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 11．设是双曲线 （）的左, 右焦点, 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线, 垂足为．若, 则的离心率为 A B ．2 C D 12．设, , 则 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。 p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224 a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，， ，ABC △D ABC -12F F ，22 221x y C a b -=：00a b >>， O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+ 历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积 2015年高考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?原题）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）（2015?原题）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（） A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）（2015?原题）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）（2015?原题）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用 哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是（） 新农村建设后，种植收入减少 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 新农村建设后，养殖收入增加一倍 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ， 直角边AB,AC 。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ， 在整个图形中随机取一点， 此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 123 ,,p p p ,则（） 历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 2020年重庆市高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合U={?2,?1,0，1，2，3}，A={?1,0，1}，B={1,2}，则?U(A∪B)=() A. {?2,3} B. {?2,2，3) C. {?2,?1,0，3} D. {?2,?1,0，2，3} 2.若α为第四象限角，则() A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大 幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者() A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名 4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有 一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环， 向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块， 向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块， 则三层共有扇面形石板(不含天心石)() A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x?y?3=0的距离为() A. √5 5B. 2√5 5 C. 3√5 5 D. 4√5 5 6.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+?+a k+10=215?25，则k=() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中 对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的 点为() A. E B. F C. G D. H 8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2 a2?y2 b2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若 △ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 9.设函数f(x)=ln|2x+1|?ln|2x?1|，则f(x)() A. 是偶函数，且在(1 2 ,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(?1 2 ,1 2 )单调递减 C. 是偶函数，且在(?∞,?1 2 )单调递增 D. 是奇函数，且在(?∞,?1 2 )单调递减 10.已知△ABC是面积为9√3 4 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为() A. √3 B. 3 2 C. 1 D. √3 2 11.若2x?2y<3?x?3?y，则() A. ln(y?x+1)>0 B. ln(y?x+1)<0 C. ln|x?y|>0 D. ln|x?y|<0 12.0?1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…a n…满足a i∈{0,1}(i=1，2，…)，且存在 正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2，…)成立，则称其为0?1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2…) 的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0?1序列a1a2…a n…，C(k)=1 m ∑a i m i=1 a i+k(k= 1,2，…，m?1)是描述其性质的重 要指标，下列周期为5的0?1序列中，满足C(k)≤1 5 (k=1,2，3，4)的序列是() A. 11010… B. 11011… C. 10001… D. 11001… 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知单位向量a?，b? 的夹角为45°，k a??b? 与a?垂直，则k=______． 14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则 不同的安排方法共有______种． 15.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1?z2|=______． 16.设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p4：若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l． 则下述命题中所有真命题的序号是______． ①p1∧p4 ②p1∧p2 ③￢p2∨p3 ④￢p3∨￢p4 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.△ABC中，sin2A?sin2B?sin2C=sinBsinC． (1)求A； (2)若BC=3，求△ABC周长的最大值． 参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3 2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满 足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3. 2015年重庆市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2015?重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（） A．A=B B．A∩B=?C． A B D． B A 考 点： 子集与真子集． 专 题： 集合． 分 析： 直接利用集合的运算法则求解即可． 解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，3}， 可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D． 点 评： 本题考查集合的基本运算，基本知识的考查． 2．（5分）（2015?重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0C．1D．6 考 点： 等差数列的性质． 专 题： 等差数列与等比数列． 分 析： 直接利用等差中项求解即可． 解 答： 解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2， 解得a6=0． 故选：B． 点 评： 本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力． 3．（5分）（2015?重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（） A．19 B．20 C．21.5 D．23 考 点： 茎叶图． 专 题： 概率与统计． 分 析： 根据中位数的定义进行求解即可． 解答：解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为， 故选：B 点 评： 本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础． 4．（5分）（2015?重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（） A．充要条件B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件 考点：充要条件． 专题：简易逻辑． 分析：解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案． 解答：解：由“（x+2）＜0” 得：x+2＞1，解得：x＞﹣1， 故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件， 故选：B． 点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题． 5．（5分）（2015?重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．B．C．D． 考 点 由三视图求面积、体积． 专 题： 空间位置关系与距离． 分 析： 判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可． 解答：解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2， 所求几何体的体积为：=． 故选：A． 点本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键． 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = 2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011?重庆）复数=（）A． B． C． D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为 a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数==== 故选C 【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题． 22．（3分）（2011?重庆）“x＜﹣1”是“x﹣1＞0”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．222【分析】由x＜﹣1，知x﹣1＞0，由x﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x﹣1＞0”的充分而不必要条件．2【解答】解：∵“x＜﹣1”?“x﹣1＞0”，2“x﹣1＞0”?“x＜﹣1或x＞1”．2∴“x＜﹣1”是“x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．3．（3分）（2011?重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6 【考点】极限及其运算．【专题】计算题．2【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x，再取极限即可． 1 【解答】解：原式= 2=（分子分母同时除以x）= ==2 ∴a=6 故选：D．【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．n564．（3分）（2011? 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 1983年全国高考数学试题及其解析 理工农医类试题 一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出 的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分 1．两条异面直线，指的是 （ ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线 （C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点 3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零 4．设,34π = α则)arccos(cos α的值是 （ ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3 π 5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log << 1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -= y x -=的图形，并写出它们交点的坐标 2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形 三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy 2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法。 四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）： 五．（本题满分15分） 1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合 ≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合 4 0π ≤ θ≤？ 六．（本题满分15分） 如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB ???β?-ββα ?+ααcos 2cos sin sin ) sin(cos cos )cos(sin 重庆市2019年高考理科数学试题及答案 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3． A ．–3 B ．–2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121223 ()()M M M R r R r r R +=++.设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中345 32 333(1) ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B C D 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a=（ ） B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量=(-4,-3)，则向量= ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数 （2011卷1）在下列区间中，函数()34-+=x e x f x 的零点所在区间为 A. ??? ??- 0,41 B .??? ??41,0 C. ??? ??21,41 D.?? ? ??43,21 （2010卷1）已知函数()? ? ?=≤<>+-100,lg 10,62 1 x x x x x f ，若啊a,b,c,互不相等，且()()()c f b f a f ==， 则abc 的取值范围是（ ） 全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ． 1 2 答案：A （2019全国2卷文）11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 答案：B （2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4 3π （2019全国1卷文）15．函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A ．－2 B ．－ C ．2 D ． 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ，4 1cos -=A ，则b c =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围． （1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2 A C B +=． 由180A B C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02 B ≠，故1 sin =22B ，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?． 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?<
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