自考真题——行列式与矩阵
一．选择题
（07）1．设行列式
2
2
11b a b a =1，
2
2
11c a c a =2，则
2
22
111c b a c b a ++=（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
（08）2．设行列式D=33
32
31
232221
131211
a a a a a a a a a =3，D 1=33
32
3131
23222121
13
121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15
（09）3．已知33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a =3，那么33
32
31
232221131211222222a a a a a a a a a ---=( )
A.-24
B.-12
C.-6
D.12
(10)4．已知2阶行列式
2
21
1b a b a =m ,
2
21
1c b c b =n ,则
2
22
111c a b c a b ++=( )
A.m-n
B.n-m
C.m+n
D.-(m+n )
(10)5．设行列式==1
1
1
1034222,11
1
1
304
z y x z
y x
则行列式( )
A.
3
2 B.1 C.2 D.3
8
(10)6．计算行列式
3
2 3 20 2 0 0 0 5 10 2
0 2 0 3 ----=( )
A.-180
B.-120
C.120
D.180
（08）7．如果方程组??
?
??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2
（08）8．若方程组1212
0x x kx x +=??-=?有非零解，则k=（ ）
A.-1
B.0
C.1
D.2
（09）9．3阶行列式j i a =0
1
1
101
1
10---中元素21a 的代数余了式21A =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1
D ．2
（09）10．行列式
1
1
1
101111011110
------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
（07）11．设A 为3阶方阵，且已知|-2A |=2，则|A |=（ ）
A ．-1
B ．-4
1 C ．
4
1 D ．1
（08）12．设A 为n 阶方阵，n ≥2，则A 5-=（ ）
A ．（-5）n A
B ．-5A
C ．5A
D ．5n A
（08）13．设A 为3阶方阵，且1133
A -
=
，则A =（ ）
A ．-9
B ．-3
C ．-1
D ．9
（09）14．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ）
A ．
2
1 B ．1 C ．
3
4 D ．2
(10)15．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为( )
A.-8
B.-2
C.2
D.8 （07）16．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ）
A ．λ|A |
B ．|λ||A |
C ．λn |A |
D ．|λ|n |A |
（08）17．设A 为三阶方阵且,2-=A 则=A A T 3（ ） A.-108 B.-12 C.12
D.108
(10)18．设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( )
A.-8
B.-2
C.2
D.8 （07）19．设A 是3阶方阵，且|A |=-2
1，则|A -1
|=（ ） A ．-2 B ．-
2
1 C ．
2
1 D ．2
（07）20．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ）
A ．-4
B ．-1
C ．1
D ．4
(10)21．若A 为3阶方阵且| A -1
|=2，则| 2A |=( )
A.
2
1 B.
2 C.4 D.8
（08）22．设A 为四阶矩阵，且,2=A 则=*A （ ）
A.2
B.4
C.8
D.12
（08）23．设A=???
?
??43
21，则*A =
（ ）
A ．-4
B ．-2
C ．2
D ．4
（08）24.设A 为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ ）
A.41
B.1
C.2
D.4
（07）25．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
A ．A ＋A T
B ．A －A T
C ．AA T
D ．A T A
(10)26．设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )
A.AB-BA
B.AB+BA
C.AB
D.BA
（07）27．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T
=（ ）
A ．A T
B T
C T
B ．
C T
B T
A T
C ．C T
A T
B T
D ．A T C T
B T
（07）28．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ ）
A ．
B T =B B ．B =2A
C ．B T =-B
D ．B =0
（08）29．设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ）
A.AB=BA
B.()111---+=+B A B A
C.B A B A +=+
D.()T
T T B A B A +=+
（08）30.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ ）
A.|AB|=|A| |B|
B. (AB)-1 =B -1A -1
C. (A+B)-1=A -1+B -1
D. (AB)T =B T A T
(10)31．设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=( )
A. A -1
B -1
C -1
B. C -1
B -1
A
-1
C. C -1
A -1
B -1
D. A -1
C -1
B -1
（09）32．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ ）
A ．A -1C -1
B ．
C -1A -1 C ．AC
D ．CA （09）33．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足
E ABC =，则=-1C （ ）
A ．A
B B ．BA
C ．11--B A
D ．11--A B
（08）34．设A 、B 为n 阶方阵，满足A 2=B 2，则必有（ ）
A ．A=
B B ．A= -B
C ．|A|=|B|
D ．|A|2=|B|2
（09）35．设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．
的是( ) A.（A +B ）T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A (B +C )=BA +CA
D.(AB )T =B T A T
（09）36．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是( )
A.A =
*1A A
B.0=A
C.2112)()(--=A A
D.1
13)3(--=A
A
（08）37．设矩阵????
?
?+d b
a 0
4=???
?
??-32c b a ，则（ ） A ．a=3,b=-1,c=1,d=3
B ．a=-1,b=3,c=1,d=3
C ．a=3,b=-1,c=0,d=3
D ．a=-1,b=3,c=0,d=3
(10)38．设矩阵A=???
?
??-11,B=(1,1),则AB=( ) A.0 B.(1,-1) C. ????
??-11 D. ?
???
??--1111
(07）39．设矩阵A ＝（1，2），B ＝????
??43
21，C ＝???
?
?
?65
4321，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A ．AC
B B ．AB
C C ．BAC
D ．CBA (10)40．设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC=（ ）
A.ACB
B.CAB
C.CBA
D.BCA （08）41．已知矩阵A=1101???
?-??，B=1
01
1??
????
，则AB-BA=（ ） A ．??
? ?
?--1201
B ．??
? ?
?-1011 C ．??
? ?
?1001
D ．??
? ?
?0000
（09）42．若A =????
??-25
121
3，B =???
?
?
?????-131224，C =??????--211230，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是( )
A.ABC
B.AC T B T
C.CBA
D.C T B T A T
（08）43．设3阶方阵A=[]123,,ααα，其中i α（i=1, 2, 3）为A 的列向量，且|A|=2，则
|B|=[]12233,,αααα+=（ ）
A.-2
B.0
C.2
D.6
(10)44．设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12 （07）45．设2阶矩阵A ＝???
?
??d c
b a ，则A ＊＝（ ）
A ．???
?
??--a c b d B ．???? ??--a b c d
C ．???? ??--a c b d
D ．???
?
??--a b c d
（07）46．矩阵A =???
?
??--11
11的伴随矩阵A *
=（ ） A ．????
??--11
11 B ．???? ?
?--1111
C ．???
?
?
?--1111
D ．???
?
??--11
11 （09）47．设矩阵A=1243??
?
???
，则矩阵A 的伴随矩阵A*=（ ） A ．??
? ??14
23 B ．??
? ??--14
23
C ．??
? ??12
43
D ．??
? ??--12
43
（07）48．矩阵???
?
??-0133的逆矩阵是（ ） A ．???? ?
?-3310 B ．????
??-31
30
C ．???
?
??-131
10
D ．????
?
??-01311
(10)49 .设矩阵A 的伴随矩阵A *
=???
?
??43
21,则A -1= ( ) A.2
1-
????
??--12
34 B. 21- ???
? ?
?--4321
C. 21- ???
?
??4321
D. 2
1-
???
?
??1324 （07）50．设A 为2阶可逆矩阵，且已知（2A ）-1=??
?
??43
21，则A =（ ） A ．2???? ??43
21
B ．???
? ?
?432121 C ．21
43
21
-???
? ??
D ．1
4321
21-???
?
??
（09）51．已知2阶矩阵???
?
?
?=d c
b a
A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．????
??----d c
b a B ．???
? ?
?--a c b d
C ．???
?
??--a c b d
D ．???
?
??d c
b a (10)52．设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( )
A.A+B 可逆
B.AB 可逆
C.A-B 可逆
D.AB+BA 可逆
（07）53．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）
A ．????
??00
01 B ．????? ?
?--10
101110
C ．????? ?
?10
1010
001 D ．????
?
?
?00
1300
010
（09）54．下列矩阵中不是．．
初等矩阵的为（ ） A ．????? ?
?10
1010
001
B ．????? ?
?-10
1010
001 C ．????? ?
?10
0020
001
D ．????
?
?
?10
1011
001
(10)55.下列矩阵中不是．．
初等矩阵的是( ) A.????? ?
?00
0010101
B. ????? ?
?00
1010
100 C. ???
?
?
?
?10
0030
001
D. ????
?
?
?10
2010
001 （09）56．设矩阵
A =????
?
??2221
1211
a a a a ，B =????
?
??++1211122211
21a a a a a a ，P 1=????
?
?
?0110
，P 2=????
?
?
?1101
，则必有（ ）
A ．P 1P 2A =
B B ．P 2P 1A =B
C ．AP 1P 2=B
D ．AP 2P 1=B
(10)57．已知A=?
?
??
?
??33
323123
222113
1211a a a a a a a a a ，B =?
??
?? ??333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =?????? ??100030001，Q =?????
? ??100013001，则B =（ ） A.PA B.AP C.QA D.AQ
（07）58．设矩阵A =???
?
?
?
?--50
04320
0101
，则A 中（ ） A ．所有2阶子式都不为零 B ．所有2阶子式都为零 C ．所有3阶子式都不为零
D ．存在一个3阶子式不为零
(10)59．已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）
A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2
B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2
C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0
D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0
（08）60．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ）
A ．????? ?
?00
0000
111
B ．????? ?
?00
0110
111 C ．????? ?
?00
0222
111
D ．????
?
?
?33
3222
111
（08）61．设A 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的矩阵是（ ）
A ．??
? ?
?0000
B ．??
? ?
?0001
C ．??
? ?
?0011
D ．??
? ?
?1011
（09）62．设A 为5×4矩阵，若秩（A ）=4，则秩（5A T ）为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（09）63．设3阶矩阵
A =???????
? ??00
10
01
0，则A 2
的秩为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二．填空题
（07）1．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式3
32
31
332221
23
1211
1b a b a b a b a b a b a b a b a b a =_____________. （08）2．行列式3
32
31
332221
23
1211
1b a b a b a b a b a b a b a b a b a =____________. （09）3．已知3阶行列式33
32
31
232221
131211
96364232a a a a a a a a a =6，则33
32
31
232221
131211a a a a a a a a a =_______________.
（09）4．已知行列式
42
22
21111-=-+-+b a b a b a b a ，则
=2
2
11b a b a ______.
（08）5．若
,0211=k 则k=___________.
（09）6．若==k k
则,01
2
131
12
_____________。 （09）7．设3阶行列式D 3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D 3=__________________.
（07）8．行列式16
9
4
43
21
1
1
中（3，2）元素的代数余子式A 32=____________. (10)9．已知A=???
?
??3221,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________. （08）10．已知行列式21
2
3001
1
1
a =-，则数a =__________.
（09）11．3阶行列式100
2
253
1
3
=_________. (10)12．行列式13
7
6
954
3
21
=_________. (10)13．行列式
2010
20082009
2007的值为_________________________.
(10)14．行列式
2
1
10的值为_________.
（08）15．设方程组1212
20
20x x x kx +=??+=?有非零解，则数k = _________。
（07）16．若齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00
3332321
31323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为
______________.
（07）17．设矩阵A =?????
?
?10
0012
021
，B =???
?
?
?
?31
0120
001
，则A+2B =_____________. （08）18．设
A=????
?????
?4110
23,B=,01
201?
????
?
则AB=___________. （09）19．设A=（3，1，0），B=214
035??
?
?
-????-??
，则AB=_________. (10)20．设A =?
???
?
??-4 21 02 3,B =???
???--0 1 01 1 2，则AB =_________________. （09）21．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C T =，则2C =______.
（09）22．设A =???
?
?
?
?-0121
，则A 2
-2A +E =____________________.
（07）23．设矩阵A =???
? ??21，B =?
??
? ??31，则A T
B =____________. （08）24．设矩阵A=2011
1
3???
?--??，B=0
423
5
7??????
，则A T
B= __________. （09）25．设A =（1，3，-1），B =（2，1），则A T B =____________________。 (10)26．设矩阵A=??
?
?
??-102311,B=???
?
??1002,则A T B=____________________________.
（07）27．设矩阵A =???
?
??4321，则行列式|A T
A |=____________. （07）28．设矩阵A =???
?
??11
21，则行列式|AA T |=____________. （08）29．设A 为三阶方阵且|A|=3，则|2A|=___________. （09）30．设A 为3阶方阵，若|A T |=2，则|-3A|=_________. (10)31．设A 为n 阶可逆矩阵，且|A |=n
1-
,则|A -1
|=___________________________.
(10)32. 设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |=______________. （08）33．已知α=（1，2，3），则T αα=___________. （08）34. 设A=1
200
300
2??
?
?
??????
，则A*=___________. （09）35.设A =???
?
?
?????31
002021，则A *=_____________。 （07）36．设3阶矩阵A =???
?
?
??333022
001
，则A *A =_____________. （07）37．设3阶矩阵A =????
?
?
?00
2520
310，则（A T ）-1
=_____________. （08）38. 设
A =????
?????
?22
0010
002,则A -1= ___________.
（08）39. 设矩阵A=????
?
?
?11
1110
100，则A -1
=____________. （09）40 .设3阶矩阵
A =???????
?
??33
3
22
10
0，则A -1=_________________.
（09）41．设矩阵????
?
?
?=333022
001A ，则=??
?
??-121A ______.
(10)42．设
A =?????
????
???11
120000120025，则A -1=_________.
（08）43．设A 满足3E+A-A 2=0，则A -1
=___________. （09）44. 已知A 2-2A -8E =0，则（A +E ）-1=_____________。 (10)45. 设方阵A 满足A 3-2A +E =0，则（A 2-2E ）-1=_________. (10)46. 设A,B 都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A -1B|=_________. （09）47．已知矩阵方程B XA =，其中???
?
?
?-=????
??=01
11
,1201
B A ，则=X ______. （09）48．设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B .若B =????
?
?
?4321
，则
A =______________. （08）49．设矩阵A=????
??43
21，P=???
? ??1011
，则AP T
=____________. (10)50．设矩阵A=????
??--42
31,P=???
? ??1011,则AP 3=_________. （07）51．设矩阵A =???
?
?
??10
0020
101
，矩阵B=A-E ，则矩阵B 的秩r(B )=______________. （07）52．设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B=AC 的秩为__________.
三．计算题
（09）1．已知3阶行列式ij a =4
15
23
1-x
x 中元素12a 的代数余子式A 12=8，求元素21a 的代数余子式
A 21的值.
（07）2．计算3阶行列式 .7
67367949249
323123
（07）3．计算行列式D=210121
012
的值. （07）4．求4阶行列式
111
1112113114111
的值.
（08）5.计算四阶行列式
1
002
210002100021
的值.
（08）6.计算行列式D=
400
1
030100211111
的值.
（08）7．计算6阶行列式
1200003
000000010020001000000100
2
1
（08）8．计算行列式D=
1234101231101
2
5
---的值.
（09）9.求行列式D =
2
2
6
7
220253040431---的值
（09）10．计算行列式D=
5333353333533
3
3
5
（09）11．计算行列式1
11
1111111111111
---+-----+=
x x x x D 的值.
(10)12．计算4阶行列式D =
8
7
6
5
765465435432
.
(10)13．计算行列式D =3
3
3
2
2
2
c
c b b a
a c
b
a c
b a +++的值。
(10)14．计算5阶行列式D =
2 0 0 1
0 2 0 0 0 0 2 0 1 0 0 2
(10)15．求行列式D=
.01
2
101221010210的值
(10)16．已知矩阵B =（2，1，3），C =（1，2，3），求（1）A =B T C ；（2）A 2。
（07）17．设A =,52
3012
101
????
?
?
?--求A -1 （08）18．设A=???
??????
?
10
1111
123
,求A 1-. (10)19．设A =????
????
??---37
5
254
132，判断A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A -1.
（08）20．设
A=????
?????
?-20
0200
011,B=????
?????
?30
0220
011
,且A,B,X 满足(E-B 1-A ).E X B =T T 求X,X .
1-
（07）21．设2阶矩阵A 可逆，且A -1=???? ??2121b b a a ，对于矩阵P 1=????
??1021
，P 2=???
?
??0110
，令B =P 1AP 2，求B -1
.
（07）22．设矩阵A =????
??35
12，B =???
?
?
?0231，求矩阵方程XA =B 的解X . （08）23．已知A=1
412???
?-??，B=2011????-??，C=3101??
??-??
，矩阵X 满足AXB=C ，求解X. （09）24．设A=1100
111002?????
?-???????
?
，B=120
11
0??
??
??????
，又AX=B ，求矩阵X. （08）25．已知A=251
3???
???，B=1
24
3????-??，C=2
15
2??
??-??
，X 满足AX+B=C ，求X. （09）26．已知矩阵
A ????
?
??--=0111
，B =????
?
?
?-2011,矩阵X 满足AX +B =X ，求X .
（09）27．已知A =??
?
???=??????-=??????---=????
??100
1
21
,012
1
10
,1213,0132D C B ,矩阵X 满足方程AX +BX =D-C ，求X 。
(10)28．设矩阵A=,000012
021B ,10
0001
010
???
?
?
??---=?????
?
?-求满足矩阵方程XA-B=2E 的矩阵X. （08）29．已知矩阵A=?????
??-21
0011
101
，B=????
?
?
?41
0011
103，（1）求A 的逆矩阵A -1；（2）解矩阵方程AX=B. (10)30．已知矩阵A =?????????
?
?
10
0210
321，B=??
?
?????
? ??--315241.（1）求A -1；（2）解矩阵方程AX =B 。
(10)31．设矩阵X 满足方程 ????? ??-2 0 00 1 00 0 2X ????? ??0 1 01 0 00 0 1=???
?
? ??---0 2 11 0 23 4 1，求X .
（09）32．设矩阵?
??
?
??-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求|B |. （07）33．设矩阵A =???
?
?
?
?---a 3
6
312484
3121，问a 为何值时，
（1）秩（A ）=1；（2）秩（A ）=2. （09）34．设矩阵A=3
582
400
1???
???????，B=1
02102590
3
0??
??
?
?????
，求矩阵AB 的秩. (10)35．设A =???
?
?
??----2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2a ，试确定a 使r (A )=2.
四．证明题
（07）1．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则A -1
也是上三角矩阵. （07）2．设A 是n 阶方阵，且（A +E ）2=0，证明A 可逆.
（08）3.设n 阶矩阵A 满足A 2=A ，证明E-2A 可逆，且(E-2A)-1=E-2A.
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数
行列式跟矩阵的关系 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。 矩阵由数组成，或更一般的，由某元素组成。就是m×n 矩阵就是mn个数排成m个横行n个竖列的阵式。n×n矩阵的行列式是通过一个定义，得到跟这个矩阵对应的一个数，具体定义可以去看书。注意，矩阵是一个阵式，方阵的行列式是跟一个方阵对应一个数。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。 也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
矩阵、行列式和算法（20131224） 成绩 一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x ”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值围是 ． 5.若方程组111 222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ，则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----， 其面积为 .
9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下 变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必 要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- =
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+， 2 π βα=-，则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2．定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4． 若行列式21 24 1 013 9x x =-，则=x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ，则 x y -=_______． 7．矩阵1141?? ???? 的特征值为 ． 8．已知变换100M b ?? =? ??? ，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618 法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知 ， ，则y= ． 11．若2211 x x x y y y =--，则______x y +=
矩阵与行列式的相似与不同 学校：长江大学 院系：信息与数学学院 专业：信息与计算科学 姓名：郑洲 辅导老师：谢老师
【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。 【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别 矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。 行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。行列式是一个函数，值是一个标量。其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。 我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。 1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和 矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从 上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。 2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。 3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。可以表示为 D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3) A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即 D1D2D3=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C (3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说 D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1 A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。 1.先从概念上可以看出:（1）n阶行列式D n是n2个数按一定顺序排列成的n行n列的方阵，其实际上是一个数，行列式在数表两端加||；而矩阵是m ×n个数按一定方式排列的m行n列数表，归根结底是一个数表，矩阵在数表两端加（）或[]。行列式是方形数表中定义，对不上方形的数表，不能讨论任何行列式的问题，而矩阵无此限制（2）行列式和矩阵行列之间存在差
目录 目录 (1) 一、行列式 (2) 见ppt。 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
【课堂例题】 例1.解关于,,x y z 的方程组：13x y mz x my z m x y z ++=?? ++=??-+=? 例2.已知行列式2 40 2 101 01 D -=--，写出第一列元素的代数余子式.
【知识再现】 1.设关于,,x y z 的三元线性方程组111122223 333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?，其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、 c 2、c 3不全为零. 若记1 11 2 223 3 3 a b c D a b c a b c =， x D = ， y D = ， z D = 当D ，方程组有唯一解：x = ，y = ，z = . 当0D =且,,x y z D D D 至少有一个不为零时，方程组 . 当0x y z D D D D ====时，方程组 . 【基础训练】 1.方程组273514223x y z x y x y -+=?? -=??-=? 的系数行列式为 ，系数行列式的值为 . 2.已知方程组10x my z x my z m mx y z ++=-?? -+=??++=? ， (1)该方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是 . (2)若0m =，则该方程组解的情况为 . 3.关于,,x y z 的方程组1111 22223 333(1)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?中，若记111 2 2233 3 a b c D a b c a b c =，则“0D =” 是“方程组(1)有无穷多组解”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 4.任写两个关于,,x y z 的线性方程组，要求满足0x y z D D D D ====，但第一个方程组要求无解，第二个方程组要求有无穷多解. ， .
第 九 章 矩阵和行列式初步 格致中学 王国伟 第一课时 9.1 矩阵的概念（1） [教学目标] 1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题； 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念； 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念； 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点] 1、与矩阵有关的概念； 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点] 学习矩阵的目的。 [教学过程] 一、情境设置、引入： 引例1：已知向量()1,3OP = ，如果把的坐标排成一列，可简记为13?? ??? ； 引例2：2008 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ? ? ??? ； 引例3：将方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为 2332441m n ?? ? - ? ? -?? ；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ?? ?- ? ?-??。 二、概念讲解：
1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ?- ? ? -? ?这样的矩形数表 叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数 组成的向量12 n b b b ?? ? ? ???? ???称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵， m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列）， 可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余 元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ? ?? 为 3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
矩阵与行列式知识梳理 一、矩阵的概念 1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)： ?? ? ? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵，用______表示. 简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素. 几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组?? ?=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵??? ? ??2211 b a b a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵??? ? ??22 2 111 c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换： (1) (2) (3) 4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解. 二、二阶行列式 1 定义：我们用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -，即 12212 2 11b a b a b a b a -=，记号 2 2 11b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式 2 2 11b a b a 的展开式，其计算结果叫做 2 2 11b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式 2 2 11b a b a 的元素. 2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积. 3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、 1b 、2b 不全为零，行列式2 2 11b a b a D = 叫做方程组①的系数行列式. 设2 2 11b c b c D x = ，
沪教版(上海) 高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行 列式初步本章复习题 一、填空题 (★) 1. 二元一次方程组的增广矩阵是___________． (★) 2. 方程的实数解是________． (★★) 3. 若的三个顶点坐标为，其面积为________． (★★) 4. 设，计算：________． (★★) 5. 若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ______ ． (★★) 6. 将表示成一个三阶行列式为________． (★★) 7. 函数的最大值是_________． (★★) 8. 计算：__________． 二、双空题 (★★) 9. 若，，，，则______，______． (★★)10. 已知矩阵，矩阵，向量经过矩阵A变换为向量_______，变换后的向量与原向量关于直线__________对称． 三、单选题 (★★★) 11. 三阶行列式的两行成比例的是这个行列式的值为零的（） A．充分条件B．充要条件C．必要条件D．非充分非必要条件(★★) 12. 若，则 x的值是（）． A．1B．C．D．
(★) 13. 已知，则（）． A．B．C．D． (★) 14. 已知是阶矩阵，，则下列结论中错误的是（）． A．B． C．D． 四、解答题 (★★) 15. 已知矩阵，，，计算： （1）； （2）； （3）． (★★★) 16. 关于的二元一次方程组有唯一一组正解，求实数 a的取值范围．(★★) 17. 用矩阵变换的方法解方程组：. (★★) 18. 已知矩阵，定义其转置矩阵．若 ，写出 A的转置矩阵，并求行列式与．说明两者有什么关系． (★★★) 19. 已知．求证：三点共线的充要条件是 ．
第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题 1．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N3=15，那么N12的值为（） A．869 B．870 C．871 D．875
第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、解答题 2．已知矩阵??????=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量?? ? ???=11e ， 求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 3．已知矩阵 10120206A B -???? ==???? ???? ，，求矩阵1.A B - 4．选修4-2：矩阵与变换 已知直线:23l x y -=，若矩阵13a A b -?? = ??? ,a b R ∈所对应的变换σ把直线l 变换为它自身。 （Ⅰ）求矩阵A ； （Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵. 5．求曲线1x y +=在矩阵M 10103?? ??=?????? 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积． 6．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知二阶矩阵M 有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量??? ? ??=321e 并有特征值 12-=λ及属于特征值－1的一个特征向量???? ??-=112e ， ??? ? ??-=11α （Ⅰ ）求矩阵M ；（Ⅱ ）求5 M αr ． 7．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵00a b ??=????M 满足：i i i l =M αα，其中(1,2)i i l =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α，是非零的平面列向量，11l =，211?? =???? α，求矩阵M . 8．变换T 1是逆时针旋转 2 π 的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝. （1）求点P （2,1）在T 1作用下的点P ′的坐标； （2）求函数y ＝x 2 的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程． 9．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－
第9章 矩阵和行列式初步 一、 矩阵 9.1 矩阵的概念 矩阵及其相关的概念 1、矩形数表叫做矩阵 矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 由个数排成的行列的数表 n m ?m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mn m m n n a a a a a a a a a 21 2222111211称为矩阵. n m ?记作?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221 11211n m ij a ?=)( 2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。? ?? ? ??-1321它是2行2列的矩阵，记为 2 2?A ，矩阵 可简记为A n m A ?注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”. 列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 。 等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ???)(,
说明： 通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有 下列三种： （1）互换矩阵的两行 （2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数 （3）某行乘以一个数加到另一行 通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
9.2 矩阵的运算 矩阵 列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ?==?) ,,2,1;,2,1( 11 12121 2221 2 .....................n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 记为列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 ,()m n m n ij A B a ??必要时可记为等，或者A=。 0m n O O ?所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一、复习 定义2若两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对 应的位置上的元素相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等。记为：A=B n m ij n m ij b B a A ??==)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,) ij ij a b i m j n ===且则A=B 。 ...)3,2,1,...;3,2,1(===j i b a ij ij 二、矩阵的运算 （一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法 3(),()ij ij m n A a B b m n A B ==定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差）。A-B A B +记为或（）。 A B ±即 ()()ij m n ij m n a b ??=±()ij ij m n a b ?=± 定义4以实数乘矩阵A 中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数与矩阵A 的乘积矩阵．记做A A α即 ()ij m n a α?=()ij m n a α?=的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与A A A 1-A -记作n m ij a A ?-=-)(即 α)(ij a =αα1A 1A A 2A B A B αααααα=+=+注意：（）矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律：（）（）（）
矩阵、行列式和算法（） 姓名 成绩 一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x >-”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值范围是 ． 5.若方程组111 222 a x b y c a x b y c +=?? +=?的解为2,1==y x ，则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----，其面积为 . 9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 .
图2 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- = 15.若,,a b c 表示ABC ?的三边长， 且满足02 22 =++++++c b a c c c b a b b c b a a a ， 则ABC ?是（ ）. A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果S =（ ） A ．20 B. 35 C. 40 D .45
行列式及矩阵的计算（课堂练习） 一、填空 1．已知三阶方阵A 的行列式为3，则 2A -= -24 2. 设12,01A -?? = ???1()32x g x x -= -+，则()g A =0800-?? ??? 3．设,,αβγ为3维列向量，记矩阵(,,),(,,)A B αβγαββγγα==+++，若 3,A B =则=,,,,6αβγ βγα+= 4.行列式1 1 111 1 11 ---x 的展开式中,x 的系数是 2 . 5．设???? ??=1201A 则=k A 1021k ?? ??? 。（k 为正整数）. 6．设321,,ααα,21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式1123,,,m αααβ=， 1232,,,n αααβ=,则12312,,,2αααββ-=16m n + 解：1 1231232 ,,,2,,,D αααβαααβ= +- 14412312322,,,(1),,,16m n αααβαααβ=+-=+ 7. 已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分 别为3，-2，1，1，则行列式D =－3 . 解：D ＝1×3＋3×（－2）＋（－2）×1＋2×1＝－3 二、判断题 1．设A 、B 均为n 阶方阵，则A B A B =. （ × ） 2．设A 、B 均为n 阶方阵，则AB A B =. （√ ）
三、行列式计算 （1）4 3 3 3 34333 3433 3 3 4 =n D 解：n D n c c c c c c +++13121 43313343133341333313 ++++n n n n 1 1312r r r r r r n --- 1 01000 0103 3313 +n =13+n （2）11111231 149118271 D --=-- 解：（范得蒙行列式）＝（－1－3）（－1＋2）（－1－1）（3＋2）（3－1）（－2－ 1）＝－240 五、a 为何值时，线性方程组：??? ??-=++=++=++a ax x x x ax x x x x a 322321 321321有唯一解？ 解：2 )1)(2(11111 1det -+==a a a a a A ，2-≠a 且1≠a 时，有唯一解.
矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ? ?????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式; 算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的 对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解
矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量t 的实函数矩阵 ()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ?????????==????????????∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质： （1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt +=+； （2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt =+； 特殊情形 （a ） 若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt =； （b ） 若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt =+； （3） () 111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－； （4） 对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt ==； （5） 若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。如果,A B 可交换，则许多三角不等 式可以推广到矩阵上。如sin(),sin(2)A b A +等。 参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。
前言： 一、线代的特点： 1、内容抽象 2、概念多 3、符号多 4、计算原理简单但计算量大 5、证明简洁但技巧性强 6、应用广泛 二、学习中要注意的问题 1、不要急于求成，不要急于做难题。要分层次，扎扎实实的学习 2、熟练掌握基本内容。 基本概念（定义、符号） 基本结论（定理、公式） 基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等） 基本证明和推理方法 3、自己动手推证书中的每个结果 尽量体会结论、证明的思想方法 用自己喜欢的方式写出简要总结 4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。 提出问题的规律（存在、个数、结构、求法） 变换和标准形式（如行列式和上三角行列式） 问题相互转化 5、要多与同学讨论，虚心向别人请教问题。要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交流 该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理 一、行列式等于零的证明方法 例题1：A^2=A,A≠E,证明|A|=0(复习全书理工类P364例1.35) 由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二 在这里有一种常见的错误解法 由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0 ∴|A|=0 其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。 例如 [1 1][ 1 1] [1 1][-1 -1]=0,但是A、B都不等于0 （KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很多人在做题过程中经常只对答案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己的解题方法与书上的不同之处。KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错） 二、矩阵等于零的证明方法 例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。证明当AB＝0时，A＝0 证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0
第一讲 矩阵和行列式初步 【知识梳理】 一、 概念 1、矩形的数表叫做矩阵； 2、矩阵中的每个数叫做矩阵的元素； 3、方程组的系数矩阵；系数矩阵的两个行向量和两个列向量（七上书P74）； 4、主对角元素为1、其余元素均为零的方矩阵叫做单位矩阵； 5、形如 叫做行列式，是表示一种特定算式的记号； a1b2-a2b1叫做行列 式的展开式，其计算结果叫做行列式的值；a1、a2、b1、b2叫做该行列式的元素； 6、D 通常叫做方程组的系数行列式；D 是方程组解的判别式； 7、二阶行列式、三阶行列式及其展开方法（对角线法则）； 8、余子式（三阶行列式中划去某元素所在的行和列）和代数余子式（带符号的余子式）； 9、行列式按行（列）的展开式数学上成为拉普拉斯展开式。 二、 考点 1、 相等矩阵、矩阵的加法、矩阵的乘法（A x B 要求A 的列数和B 的行数相等）； 2、 矩阵的初等行变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘（除）以一个数加到另一行； 3、 行列式的展开； 4、 矩阵的应用：会用矩阵表达块状数据的计算方法，能够用矩阵的变换求解线性方程 组； 5、 行列式的应用：用行列式求解线性方程组(二元一次方程组和三元一次方程组），或讨论方程组解的情况； 6、 用行列式计算已知坐标的三角形面积。 【典型例题】 例1、 矩阵的计算 (1) (2) (3) (4) a1 b1 c1 d1
(5) 例2、行列式的计算 (1) (2) 例3、按要求计算行列式D= (1)按第一行展开 (2)按第一列展开
例4、已知第一季度某小区1号楼和2号楼在1月份、2月份、3月份各幢楼的水、电、煤用量如下列各表所示： 表3（3月份） 如果每单位量的水费、电费、煤气费分别为1.03元、0.61元、1.05元，试解 决以下问题： (1)将各幢楼的水、电、煤气的各月用量分别用矩阵表示出来； (2)将各幢楼的水、电、煤气在第一季度的总用量用矩阵表示； (3)已知各幢楼的水、电、煤气在第二季度的总用量均减少10%，将各幢楼的水、 电、煤气在第二季度的总用量用矩阵表示； (4)求各幢楼的水、电、煤气在第一季度的总费用.