目录
第1讲简单的数学开放题第2讲有余数除法
第3讲观察与归纳
第4讲操作问题
第5讲数字谜
第6讲速算与巧算
第7讲逆推与假设
第8讲最大最小问题
第9讲计数问题
第10讲数学游戏
第11讲智巧问题
第12讲数字问题
第13讲等差数列
第14讲应用题（一）
第15讲应用题（二）
第16讲简单几何图形问题第17讲逻辑推理问题
第18讲训练题选
第1讲简单的数学开放题
数学开放题是指条件不完备、结论不确定的数学问题。解答开放题时，必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位寻找答案。本讲介绍一些简单的数学开放题。
例1 在□中填入一些数字，使竖式成立。
例2 你能用几种不同的方法来计算下列各题？
（1）803 – 297
（2）125 ×8 + 125 ×8
例3 按规律在□里填上数：2、3、5、□、□。
例4 王师傅要做一个正方形的小画框，可是他的细木条长短都不一样，有1，2，3，4，5，6，7，8，9厘米长的细木条各一根，他可以怎么做这个小画框呢？（要求：不能把长的木条据短；细木条连接处损耗忽略不计。）
例5 小刚的妈妈从超市买来一箱猕猴桃（如下图），小刚一天吃掉3只，剩下的每横排、每竖排都还有2只，猜猜小刚有可能吃掉哪几只？你能把它圈出来吗？
例6 有一堆苹果，总数不到50个，把这堆苹果平均分给8个人，还余下5个苹果，这堆苹果有几个？
例7 用4，5，6和“．”（小数点），能组成哪些不同的小数？
例8 如下图所示，一张硬纸板盖住了一个三角形的两个角。按角的大小
分类，你能确定这个三角形是什么三角形吗？请说出你判断的理由。
例9 星期日，小春全家去公园游玩，票价成人4元，儿童2元，买票一共花了14元。小春家可能有几个大人？几个小孩？
练习1
1．将1，2，3，5，6，7这六个数字填人下表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列中两个数的和也相等，请你填一填。
2．在被除数是两位数，除数是一位数的除法算式中，有些算式的商和余数相同(余数不为零)，例如：8÷3＝2…2。你能写出多少个这样的算式?
3．有50个同学去划船，大船每条可以坐6人，租金20元；小船每条可以坐4人，租金12元。你能想出多少个租船方案?
4．除数是40，商是5，被除数可以是哪些数?
5．明明的口袋里有一些一角、五角和一元的硬币，如果随意从口袋中拿出三个硬币，那么，明明的手中可能有多少钱?
6．有一个整数，用“四舍五入”法精确到百位，约等于300，这个数是多少?
7．三(1)班为绿化学校，班长带50元钱去花市买花。花市中出售的月季花4元一盆，茉莉花5元一盆。如果要刚好把钱用完，而且不能只买一种花，该怎么买?’
8，冬冬想要把一块由四个大小相同的正方形组成的大正方形画板涂上颜色，每个小正方形只能涂一种颜色。现在冬冬有两种不同颜色的颜料，他可以怎么涂?(经过旋转后可以使所有同色正方形重合的算同一种方法。)
9．有人民币5元一张、2元一张、1元三张、5角一张、2角三张、1角一张。要从中拿出8.6元，有多少种不同的拿法?
10．一个正方形的边长是1厘米，用36个这样的正方形拼成一个长方形（非正方形），问拼成的长方形的周长是多少?
完成时间：30分钟自测题1 成绩：
1．一个三位数，它的十位上的数是百位上的数的2倍，个位上的数是百位上的数的3倍，这个数可能是多少?
2．如下图一个正方形有四个角，剪去一个角后，剩下的图形有几个角?动手剪一
剪。(要求沿直线剪)
3．把24只兔子关到笼子里，每个笼子里兔子的只数相等，可以怎样关?
4．一个三位数，三位数字的和等于15，这个三位数是几?这样的数最多可以写几个?
5．用一根36厘米长的铁丝围成一个长、宽都是整厘米的长方形（不含正方形），长方形的面积是多少?
6．请你把24写成不大于12的三个不同的非零自然数相加的形式。共有多少种不同的写法?
7．张叔叔的生日是2月29日。请问当张叔叔49岁时，一共过了多少个生日?
8．把3张画用图钉钉在墙上，要使每张画的四个角上都钉上图钉，一共需要几颗钉?
9.把一根长度为36厘米的铁丝割断、折弯成两个边长为整厘米数的正方形。这两个正方形的边长
第2讲有余数除法
在有余数除法中，被除数、除数、商和余数有如下关系：
被除数 = 除数×商 + 余数，（余数 < 除数）
例如，27 ÷ 6 = 4 余 3，则 27 = 6 × 4 + 3
利用以上关系式，若知道被除数、除数、商及余数四个数中三个数，便很容易确定第四个数。例如，47÷6=（）余5，要在（）中填上一个数，易知，应填上7。但若只知道其中两个数，要填上另外两个数，就要想一些办法了。
例1 在下列每个算式中的两个括号内，填上所有可能的数。
（1）17÷（）=（）余2
（2）（）÷4=8余（）
（3）（）÷（）=3余5，（除数小于9）
例2 有一个数，除以7余2，除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少？
例3 582除以一个数所得的不完全商是11，并且除数与余数的差是6，除数、余数各是多少？
例4 63285与70352的积被7除，余数是多少？
例5 阳历1992年1月1日是星期三，阳历2004年1月1日是星期几？
例6 甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏，从1起按下面顺序进行：
甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、丙报5、乙报6、甲报7、乙报8、丙报9……
这样，报2003这个数的是谁？
例7 电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一
只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆
圈里。一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向
跳了1949步，落在另一个圆圈里。问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？
例8 节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共有2013盏，从第1盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏绿灯不断地排下去。问：
（1）第1982盏灯是什么颜色？（2）蓝灯共有多少盏？
例9 两个数相除商5余3。如果被除数、除数都扩大到原来的2倍，则被除数、除数、商、余数之和为101。求原来的被除数和除数。
练习2
1、在下列每个算式中的两个括号内，填上所有可能的数。
（1）62÷（）=5余（）
（2）（）÷3=6余（）
（3）38÷（）=（）余3
（4）（）÷（）=5余2，（要求：被除数小于35）
2、有一个数，除以3余1，除以5余2，除以7余3，求适合条件的最小数是多少？
3、求（7746×8859+1985）÷11的余数。
4、把自然数中的单数1、3、
5、7、9，……，如右表所示依此排成5列，把最
左边的一列叫做第1列，从左到右依此叫做第2列，……，第5列。问数“2003”
出现在第几列？
5、用一个两位数除709，余数为44，这个两位数是多少？
6、如图是一钟面共分成12格，设时针刚好对正12，若将时针按顺时针方向
向前拨动365格，再按逆时针方向向前拨动263格，再按顺时针方向向前拨动
462格，再按逆时针方向向前拨动392格，这时时针应指向多少点？
7、下面写了一组自然数：1，10，11，20，21，30，31，40，41，……如果按照这个规律写下去，那么第2003个位置的数被13除余几?
8、50以内被5除余2，被6除余5的数是什么？
完成时间：15分钟自测题2 成绩：
1．甲数除以9,商12余7；乙数除以9,商28余8；丙数除以9,商3余6。甲数、乙数、丙数之和除以9,余数是多少?
2．阳历1999年1月1日是星期五,阳历2002年6月1日是星期几?
3．有红、黄、蓝珠共298个,按着先摆红珠4个,再摆黄珠5个,后摆蓝珠6个,这样依次顺序排列。问:(1)第201珠是什么颜色? (2)蓝珠共有多少个?
4．有a、b、c、d四条射线(如右图),从射线a开始按箭头方向从1开始依
次在上a、b、c、d上写上整数1，2，3，4，5……
(1) 整数303在a、b、c、d中哪条射线上?
(2) 直线a上第99个整数是什么?
5. 某班学生列队时,排成三路纵队多1人,排成四路纵队多2人,排成五路纵队多3 人。那么这班学生至少有多少人?
第3讲观察与归纳
有些小学数学竞赛题需要细致观察，认真分析才能从中归纳出规律，然后利用这规律进行解题.
下面通过数与数，图形与图形，数与图形之间关系的分析，归纳，从中找到解题关键.
例1 观察下列各数列的排列规律，在括号内填入适当的数.
（1）1，3，5，7，9，（），（）；
（2）1，3，9，27，81，（），（）；
（3）1，2，4，7，11，（），（）；
（4）1，1，2，3，5，8，（），（）；
（5）17，2，15，3，13，4，（），（）；
例2 在横线上填上适当的数
（1）7,18,11 （2）2,4,12 （3）18,3,6
13,21,8 4,7,22 14,7,2
20,25,5 13,6,38 42,14,3
___，40,2 5,8,___ 51,___,3
例3 观察下图，找出图形的变化规律，在“？”处填上合适的图形
例4 观察下图，找出图形中数的变化规律，在“？”处填上适合的数
例5 根据右图数排列规律，在括号中填入适当的数.
例6 有一列数3，8，4，2，……从第三个数起每个数都是它前面两个数乘积的个位数数字，这列数第120个数是多少？
例7 有10个等式如下，第10个等式的左右两边的和都是多少？
例8 下图中，由数组成的三角形共有6行，第6行所有数的和是多少？
练习
1、观察下列各数的排列规律，
（1）1，4，7，10，13，（），（）；（2）1，2，4，8，16，（），（）；
（3）4，9，16，25，36，（），（）；（4）1，3，4，7，11，（），（）；
2、在横线上填上适当的数
（1）1 2 3 4 （2） 12 2 4
8 7 6 5 26 8 5
3、观察下图，找出图形中数的变化规律，在“？”处填上合适的数.
4、根据右图数排列规律，在括号内填入适当的数.（填入的数要求小于100）
5、有一列由3个数组成的数组，它们依次为（1，3，6），(2，6，12），(3，9， 18)，…第6个数组内的3个数之和是多少？
6、观察右图已有数的规律，在（）填人适当的数
7、观察下表中数的变化规律，填出所缺的数。
1 6 7 10 4
7 6 （） 2 6
4 6
5
6 5
8、观察表中数的变化规律，指出480排在第几行第几个数。
完成时间：20分钟自测题3 成绩：
1．观察下列各数的排列规律，在括号内填入适当的数
（1）1，7，13，19，25，（），（）；
（2）7，3，6，8，5，13，（），（）；
（3）1，3，3，9，27，（），（）；
2．观察下图，找出图形中数的变化规律，在“？”处填上合适的数.
3．观察下图，找出变化规律，将第3个图形补充完整。
（1）（2）（3）（4）
4．下面写了一组自然数：5，7，10，12，15，17，20，22，……如果按照这个规律写下去，第100个位置上的数除以6余数是多少？
5. 根据下面4个箅式的规律和计箅规律，计算第8个箅式的和.
第4讲 操作问题
生活中有许多问题看似非常简单,但在实际的解决中却不是你想象的那么简单,这时我们可以动脑想一想,动手做一做,在动手和动脑中你可以认识一些事物,明白一些道理。
本章涉及的内容较多,但都是通过一些操作尝试解决问题。
例1．试一试把图中的圆圈任意图上颜色红色与蓝色，问：有没有可能使得每条直线的红圈数都是奇数？
例2．两条直线最多能把一张长方形的纸分成几部分?
例3．有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶,乙桶装的酒精(未满)。现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶,然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶。这时,是甲桶中的酒精多,还是乙桶中的牛奶多?为什么?
例4．下面是一个长9厘米、宽4厘米的长方形。请你把它分成两块，随后拼成一个正方形。
例5． 只使用电子计算器的+、-、×、÷和数字5这几个键，使显示板上的结果显示出17.
例6．甲、乙两人轮流地往一张圆桌上放一枚一元硬币，规定任何硬币不能重叠，谁放完一枚之后而使得对方无法再往桌上放硬币时，谁就是胜利者。如果甲先放，甲有没有稳超胜券的策略？
4厘米
例7．下图能否用剪刀一次连续剪下三个长方形和两个三角形？
例8．在27只乒乓球中有一只是次品，次品比正品的乒乓球要轻一点。正品的乒乓球的重量都是相等的，利用天平你最少需称几次才能找出这只次品球？
例9．在黑板上写出三个自然数,然后擦去一个换成其它两数之和减1,这样继续操作下去,最后得到32,45,76。如果要求原来写的三个自然数的和尽量小, 那么它们是哪三个自然数?
例10．放旗子。如图，在6×6的棋盘上排列着8枚棋子，请你在棋盘上再放2枚棋子，使10枚棋子组成10行，每行都有3枚棋子。该怎样放？
练习4
1. 在下面15个8之间合适的地方添上＋、一、×、÷使得下面的算式成立。
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1993
2. 能否用7张1×2的长方形纸片刚好盖住下图的方格纸图形呢？
3. 黑板上有5和7两个数。现在规定操作:将黑板上的任意两个数相加的和写在黑板上。问:经过若干次操作后,黑板上能否出现23?
4. 张明在纸上画了四个点,如果把这四个点彼此连接成一个图形,这个图形中最多有几个三角形?
5.把一张长40厘米、宽20厘米的长方形纸片（如图）只剪一刀，将它分成三块，然后拼成一个正方形。
6. 有8个大小完全一样的球,其中一个是次品,已经知道次品球比其他球稍轻一些,用一架没有砝码的天平,至少称几次就可以找到这个次品球?
7. 两人轮流在图的空格内画符号,甲画√, 乙画×,每人每次至少画一格,至多画三格,空格画满后,计算一下,哪一方的总数是偶数，哪一方就获胜。问如何获胜？
完成时间：15分钟自测题4 成绩：
1．将一根线绳对折，对折，再对折，从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了几段？
2．把7个3×4的矩形不重叠地拼成一个大矩形，那么这个大矩形的周长的最小可能值是多少？
3．用许多长15厘米的线绳，接成一根长绳，每打一个结每段要用1厘米，至少用多少根这样的线绳才能接成不短于5米的长绳？
4．有A、B、C、D四种计算装置如下：
装置A：将输入的数乘以5；
装置B：将输入的数加上3；
装置C：将输入的数除以4；
装置D：将输入的数减去6；
这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A，写成B·A，输入4，结果是35。现在如果装置A·C·D连结，输入8，结果是。
第5讲数字谜
我们常常会遇到猜字谜游戏的数学问题：题目给出某个算术运算式子，可是式中缺少某些数字，要求我们确定出这些缺少的数字，把整个运算式子补充完整，这些缺掉的数字就像谜一样等待着人们把它解开，因而人们称这类问题为数字谜。通过观察、分析、判断、推理等途径和手段，这些谜是可以解开的。分析问题时，往往要把推理、“拼凑”和“尝试”等方法灵活结合起来，从而加快解题的速度。
例1、在下式的每一“□”内填入一个数字，使算式成立。
□□
（例1）（例2）
例2、将1、2、3、4、5、6、7、8八个数，分别填入上图中八个空格中，使图中四边正好组成加、减、乘、除四个算式。
例3、将1~9九个不同的数字分别填入九个方框中，使下面四个算式成立。
□－□＝1 □＋□＝9
□□÷□＝9 □×□＝9
例4、下面竖式中的△代表同一个数字：则△代表数字（）
△△△ 6□
＋△×□□□
６７２□□
□□
□□
□□□6
（例4）（例5）
例5、在上面的乘法中填上所缺的数字。
例6、式中不同汉字代表不同的数字，请解这个数字谜。
学啊学
例7、下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，“趣味数字”代表的四位数是多少？
趣 + 趣味 + 趣味数 + 趣味数学 = 4321
例8、在下面乘法竖式中，每个不同的字母代表0~9中不同的数字，乘积是多少？
A B C
×B A C
□□□□
□□A
□□□B
□□□□□□
例9、下面的乘法算式中，“素”、“质”、“高”分别代表不同的数字，你能算出“素+ 质+ 高”等于几吗？
素质高
×质素高
□□□□
□□素
□□□质
□□□□□□
例10、把1~9这九个数字填入下列三个等式的九个□中，使得三个等式都成立：
□□×7-3
□□×3+5 = □□□
□□×4+7
练习5
1、把下面算式填写完整。
2、把1、2、
3、
4、
5、
6、
7、0这八个数字填入下列方框内 4□（每个数字只用一次），使两个算式都成立。
+ □□2
□□□1
3、算式中的字母代表什么数字？
A 0 7
A 4 6
+ A 3 A
1 A 8 8
4、下面的字母，各代表什么数，算式才能成立？
B D
C E
+ A D A E
A E C
B E
5、在象棋算式里，不同的棋子代表不同的数字，请你想一想，这些棋子各代表那些数字？
6.在一个两位数的两个数字中间加一个0.那么所得的三位数比原数大八倍，求这两位数。
7、在给出的竖式中“努”、“力”各代表一个数字，请你根据竖式求出“努力”代表的两位数，并填好所有空格。
努力
×努力
３□□
□□□
□□□１
8、把下面算式填写完整
第三讲 找规律 例题1：判断推理，把边长为1cm 的正方形如图那样一层、两层、三层······通过摆放，拼成各种图形，你能发现其中的规律吗？看图找出规律并填写表格。 变式练习 1.把边长为1cm 的正方形纸片按如下规律拼搭： （1）那么第五个图形应该用几张正方形纸片拼成？ （2）第10个图形的周长是多少厘米？ 2.如图由若干个边长为5cm 的小正方形拼成，若有100层，则这个图形的周长是多少厘米？ 例题2.按规律填数：0.4,0.8,1.2,（ ），（ ），（ ） 变式练习 按规律填数：,4.0,21 （ ），145,114，（ ） 例题3.如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二正方形，再次连接第二个正方形各边中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为1，则第n 个正方形的面积（ ） ......... 变式练习： 观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在（ ）A ．第503个菱形的上方B ．第503个菱形的下 观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在（ ）
A．第503个菱形的上方 B．第503个菱形的下方 C．第504个菱形的左方 D．第504个菱形的右方 例题4.有一个数学运算符号“□”，使下列算式成立：4□8=24, 10□6=46, 6□10=34，那么：5□2=（）。 变式练习： 1.有一个数学运算符号“*”，使下列算式成立：2*4=8，4*6=14,5*3=13,8*7=23,按此规定，9*3=（） 2.有一个数学运算符号“@”，使下列算式成立：6@2=12,4@3=13,3@4=15,5@1=8，求8@4=（） 课后作业 1..把边长为1cm的正方形如图那样一层、两层、三层······一直拼下去。那么拼成的图形的周长恰为2016厘米时，这个图形共有（）层。 2.将长5厘米、宽2厘米的长方形硬纸片如图一层、二层、三层、……地排下去： （1）排到第5层，一周的长是（）厘米。 （2）当周长为280厘米时，一共有（）层。 3.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形共有______个
学生课程讲义 填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。 解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。 待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。 试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。 例1： 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。 先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。 把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。 练习： 1、把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。 2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
例2： 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。 分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。 当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。 练习： 1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 3、将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。 例3： 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
5、余数问题 知识讲解 一、消去余数 1、出示例1：把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。 蛋糕230块面包345个 蛋糕分到最后余2块，面包分到最后还多3个，这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人？ 这是一道求除数的问题，设除数a。 已知：230÷a=（） (2) 345÷a=（） (3) 如果消去余数，就转化为整除问题。 230－2=228，345－3=342。228，342分别能被a整除，a最大是几呢？ （228，342）==114，最多可以分给114位老人。 如果这个敬老院的老人在50～60人之间，你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗？ 2、写出除数和余数相同，被除数不同的出发算式。 （）÷5=4...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=7...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=12...2 （）÷8=（） (5) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （1）说说你的发现。 22÷5=4…2 22－2=5×4 37÷5=7…2 37－2=5×7 62÷5=12…2 62－2=5×12
219÷23=9…12 357－12=23×9 357÷23=15…12 357－12=23×15 被除数和余数的差是除数的倍数。 37－22=5×3 357－219=138 62－22=5×8 138÷23=6 62－37=5×5 如果两个等式除数和余数相同，被除数之间的差是除数的倍数。 （2）你能再举一些这样的例子吗？ A：被除数分别是43和75，余数都是3，除数是多少？ B：被除数分别是75、51和111，余数相同，除数是多少？ 问题A：因为被除数与余数的差是除数的倍数，因此除数必定是（43－3）和（75－3）的公因数。（40，72）=8，其他的因数还有1，2，4。1，2比余数3小，不可能是除数，因此除数是4或8。 问题B：因为被除数之间的差是除数的倍数，因此除数必定是（75－51），（111－51）的公因数。（24，36，60）=12，其他公因数还有2，3，4，6。 75÷2=37…1，51÷2=25…1，111÷2=55…1。如果除数都是2，那么余数是1。 75÷3=25，51÷3=17，111÷3=37。如果都是3，那么余数是0。 75÷4=18…3，51÷4=12…3，111÷4=27…3， 75÷6=12…3，51÷6=8…3，111÷6=18…3。 如果除数都是4或6，那么余数是3。 3、巩固练习： （1）、用一个数去除47，61，75，结果都余5。这个数是几？ （2）、用一个数去除193余4，除1087则余7。这个数是几？ （3）、69，90，125被一个数n除时，余数相同，试求n的最大值。
五年级奥数讲义：倒推法解题 在我们生活中经常会遇到“还原问题”，如把一盒包装精美的玩具打开，再把它重新包装好，重新包装的步骤与打开的步骤正好相反.其实在数学中，也有许多类似的还原问题.解决这类问题最常用的方法就是倒推法，即从结果入手，逐步向前逆推，最终找到原问题的答案. 例题选讲 例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走—半，第二只拿走余下的一半多3个，第三只拿走第二只取剩的一半少3个，第四只拿走第三只取剩的一半多3个，第五只拿走第四只取剩的一半，最后还剩3个，这堆桃原来有多少个? 【分析与艉答】l|这道题条件比较多，顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原，解决起来就轻松了.曲于第五只猴子拿走余下的一半，还剩3个，所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个)，同理，第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个)，第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个)，第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个)，第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个)，即这堆桃有132个. 例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱，此时三人都有48元钱. 问：开始时三人各有多少元钱? 【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算，根据三人最后都有48元，那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元)， 乙：48÷2—24(元)， 丙：48+24+24—96(元)； 第二次在乙给甲、丙添钱之前： 甲：24÷2—12(元)， 乙：24+12+48===84(元)， 丙：96÷2=48(元)； 第一次在甲给乙、丙添钱之前： 甲：12+42+24—78(元)， 乙：84÷2=42(元)， 丙：48÷2=24(元). 所以开始时甲有78元，乙有42元，丙有24元. 例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票，第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次
【小学五年级奥数讲义】作图法解题 一、专题简析： 用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。 在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。 二、精讲精练 例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生各多少人？ 练习一 1、两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？
2、甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？ 例题2同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花比紫花多几朵？ 练习二 1、奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸡比鹅多几只？ 2、批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐？
例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？ 图中实线表示四个小组实际植树的棵数： 练习三 1、甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。 2、甲、乙、丙三人分113个苹果，如果把甲分得的个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹果多少个？
第 25 讲最大公约数 基础卷 1．有三根钢管，分别长 200cm、 240cm、 360cm，现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？ 此题关键求200.240.360的公约数 200=2×2×2×5×5 240=2×2×2×2×3×5 360=2×2×2×3×3×5 最大公约数=2×2×2×5=40 所以可以截成200/40+240/40+360/40=5+6+9=20段 2．某苗圃的工人加工一种精巧的盆景，第一批加工 1788 个，第二批加工 1680 个，第三批加工 2098个，各批平均分给工人加工，分别剩下 7 个.3 个 5 个，问：最多有多少工人参加加工？1788-7＝1781 1680-3＝1677 2098-5＝2093 （1781,1677,2093）＝13 答：最多有13个工人参加加工. 3．一间长 5.6m、宽 3.2m 的屋子，它的水泥地在施工中要划成
正方形的格子，这种方格面积最大是多少平方米？ 实际就是求5.6和3.2的最大公约数 5.6=2*2*7*0.2 3.2=2*2*2*2*0.2 因此最大公约数是2*2*0.2=0.8 因此最大的正方形面积是0.8*0.8=0.64平方米 4．用辗转相除法求 6731 和 2809 的最大公约数。 6731和2809的最大公约数是53. 6731/2809=2---1113 2809/1113=2---583 1113/583=1---530 583/530=1---53 530/53=10---0 因此,最大公约数就是53. 5．有一个数分别去除 492， 2241， 3195 余数都是 15，求这个数最大是多少？ 492-15=477=3×159 2241-15=2226=14×159 3195-15=3180=20×159 这个数=159
五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案） 1．棋盘中的图形与面积； 2．棋盘中的覆盖问题： （1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖 问题.实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列 的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题. （2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最 多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题. （3）重要结论： ① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n 中至少有一个是偶数． ② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n． 3、棋盘中的象棋问题： 所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题.这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题.解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学.
1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题； 2、利用象棋知识寻找路线； 例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？ （A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 （D）4×5 （E）6×3 答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）． 分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题． 定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数． 例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
第3讲巧用运算定律 一、复习巩固（比一比，练一练）： 25×125×32 2.5×1.25×3.2 二、例题：29.5×47.5+62.1×52.2+47.8×32.6 三、（举一反三）： 12.5×4.8×3.2 45×2.8 35×5.6 19.6×36+19.6×46+9.8×38 85×3.4+16×3.4 5.8× 6.9+0.58×32－5.8×0.1 6.5×38－2.5×38+4×62
消去问题 在有些应用题中，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量，先把题中的条件按对应关系一一排列出来，思考时可以通过比较条件，分析对应的未知量的变化情况，设法消去一个或一些未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目，变成比较简单的题目解答出来，这种方法叫做消去法。 例：小红在商店里买了4块橡皮和3把小刀，共付0.59元。小黄买同样的2块橡皮和3把小刀，共付0.43元。问：一块橡皮和一把小刀的价钱各是多少元？ 试试看 1.买3枝钢笔，2块橡皮共付4.98元。若买5枝钢笔、2块橡皮要付7.98元。问一枝钢笔、一块橡皮各值多少元？ 2. 小卫到百货商店买了2枝圆珠笔和1枝钢笔，用去人民币5.5元。如果买一枝圆珠笔和2枝钢笔要人民币6.5元，问1枝圆珠笔和1枝钢笔价格各是多少元？ 3. 2份蛋糕和2杯饮料共用28元，1份蛋糕和3份饮料共用去18元，问一份蛋糕和一杯饮料各需多少元？
第2讲正方形队列 同学们，还记得国庆时激动人心的阅兵式吗？陆海空三军仪仗队都是方阵。方阵可以由各种不同的实物排成，既有实心方阵也有空心方阵。这一讲，我们就来一起研究这些方阵。 例题1：有一个正文形花圃，四个角各摆了1盆花。如果每边都摆了5盆花，那么四边一共摆了几盆花？ 试试看： 有一个正方形池塘，四个角各栽了1棵树，如果每边栽8棵树，那么四边一共栽了几棵树？ 例题2：80个小朋友手拉手围成一个正方形，四个角上各站着1个小朋友，则正方形的每条边上有多少个小朋友？ 试试看：在正方形围墙四周等距离地装有96盏灯，四个角上各装有1盏，这样每边有多少盏灯？ 例题3：五年级的部分同学参加运动会队列训练，排成如右图所示的正方形，最外层每边有5人。这个队列共有多少人？ 试试看：一个团体操表演队，排成一个空心方阵，共有3层，最内层有20人，这个团体操表演队共有多少人？
1 小学奥数基础教程(五年级) 2 第1讲数字迷（一）第16讲巧算24 3 第2讲数字谜(二) 第17讲位置原则 4 第3讲定义新运算(一) 第18讲最大最小 5 第4讲定义新运算(二) 第19讲图形的分割与拼接6 第5讲数的整除性(一) 第20讲多边形的面积 7 第6讲数的整除性(二) 第21讲用等量代换求面积8 第7讲奇偶性（一）第22讲用割补法求面积 9 第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题10 第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）11 第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）12 第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）13 第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）14 第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）15 第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一) 16 第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二) 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31 第1讲数字谜（一） 32 数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、33 排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。 34 这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。35 例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号36 只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。 37 分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，38 所以应首先确定“÷”的位置。 39 当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是40 13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（5÷13-7）×（17+9）。 41 当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。 42 当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。 43 例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□44 =5568。 45 解：将5568质因数分解为5568=26×3×29。由此容易知道，将 5568分解为两个两46 位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：47 12×464， 16×348， 24×232， 48 29×192， 32×174， 48×116。 49 显然，符合题意的只有下面一种填法：174×32=58×96=5568。
第1讲 巧求周长和面积 几何是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门科学，是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。几何问题非常直观、有趣，但是仍然有的同学对解几何问题的基本方法掌握不好。之前已经学习了长方形和正方形的周长和面积公式，利用公式可以解决一些简单的标准图形的周长和面积问题，对于一些复杂的不规则图形的周长和面积问题，我们可以采用平移、转化、分割、添补、合并等方法，将问题转化为我们熟悉的、简单的图形问题，从而顺利的解决。 本讲掌握长度与面积的概念和基本计算方法。学会运用平移、标方向等方法处理某些长度计算问题；运用平移、旋转、对称等方法处理某些面积计算问题。 学海导航 巧求周长（三年级秋季） 巧求周长与面积（四年级暑假） 等积变换（四年级春季） 巧求周长与面积（本讲） 直线型面积（一）（五年级秋季） 直线型面积（二）（五年级秋季） 直线型面积（三）（五年级寒假） 知识要点 周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。 长方形周长公式：()()22a b =+?=+?长方形长方形周长长宽，记作：C 正方形周长公式：44a =?=?正方形正方形周长边长，记作：C 方法：公式法、平移线段法、标向法 面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 长方形面积公式：a b =?=?长方形长方形面积长宽，记作：S 正方形面积公式：2a a a =?=?=正方形正方形面积边长边长，记作：S 三角形面积公式：11 22 a h =??=??三角形三角形面积底高，记作：S 平行四边形面积公式：a h =?=?平行四边形平行四边形面积底高，记作：S 梯形面积公式：()()11 22 a b h =??=?+?梯形梯形面积上底+下底高，记作：S 方法：公式法、割补法（将图形平移、对称、旋转）
五年级奥数讲义：作图法解题 图形具有直观性,用作图的方法可以将复杂应用题的数量关系直观地表示出来,使题目的已知条件和所求问题一目了然,并借助直观的图形进行分析、推理,进而很快找到解决问题的策略.这种方法我们称为作图法解题,特别是对解答条件复杂、数量关系不明显的应用题,能起到化难为易的作用. 例题选讲 例1:鸡与兔同笼共100只,一共有240只脚鸡与兔各多少只? 【分析与解答】这是鸡兔同笼问题,我们在前几讲已学会用其它方法解答,现在用作图法来解答,让同,学们体会一下这种方法的作用.图1中两个长方形的总面积表示的是鸡与兔脚的总个数,宽表示每只鸡与兔的脚的个数.则长就是要求的鸡与兔的只数.仔细观察图2,阴影部分的面积表示鸡与兔多出的脚,它应该等于总面积减空白面积,即240—2 x 100=40(只),那么阴影部分的长,也就是兔的只数应为40÷(4—2)=20(只),鸡的只数就是1OO-20=80(只)． 例2:甲、乙两车同时从A、B两地相向开出,第一次相遇时离A地有90千米,然后各按原速度继续行驶,到达目的地后立即沿原路返回,第二次相遇时离B地70千米处,求A、B两地的路程. 【分析与解答】求A、B两地的路程,题中既没有给出甲、乙 的速度,也没有给出相遇时间,解答比较困难.下面我们借助 线段图来帮助分析.从图上可以看出,甲、乙两车从出发到第一次相遇共行驶了一个全程,当两车共行驶1个全程时,甲车行驶了90千米.从第一次相遇到第二次相遇,甲、々两车又共行驶了2个全程.因此从出发到第l二次相遇甲、乙两车共行驶了3个全程,那么甲车就行驶了3个90千米,即90×3=270千米,而甲车比全程多行70千米.所以A、B的距离为270—70=200(千米). 练习与思考 1.有10分和20分的邮票共18张,总面值为2．80元.请问：10分和20分的邮票各有几张? 2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行,第一次两人相遇时离乙地400米.然后两人继续步行,各自到达目的地后立即返回,第二次相遇时离甲地200米,求甲、乙两地的距离.
第27讲最小公倍数（二） 一、专题简析： 最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。 二、精讲精练 例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？ 练习一 1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少多少人？ 2、一个数能被 3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？
例题2 有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？ 练习二 1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？ 2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？ 例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？
练习三 1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。 2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？ 例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？ 练习四 1、插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如 果起点一面不移动，还可以有几面不移动？
小学五年级奥数分类讲义含答案 图形问题 专题1 长方形、正方形的周长 一、专题解析 同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。 那么如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长呢？还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的图形转化为标准的图形，以便计算它们的周长。 二、精讲精练 【例题1】 有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。 【思路导航】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是18×4=72厘米。 练习1 1、右图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。 2、右图由1个正方形和2个长方形组成，下方长方形长为50cm，求这 个图形的周长。 3、有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图 形的周长。
【例题2】 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？ 【思路导航】把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。 练习2 1、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。 2、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这 个图形的周长是多少？ 3、有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？ 【例题3】 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？ 【思路导航】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2，即2a＋4b。 练习3
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象授课教师 授课时间授课题目 课型使用教具 教学目标年龄问题在应用题中的运用 教学重点和难点年龄问题中的不变量 参考教材 教学流程及授课详案 知识概括： 我们先来看一个笑话： 小华和小明在一起比年龄，小华今年七岁，小明今年九岁。小明神气的对小华说：“我比你大两岁。”小华不服气的说：“大两岁又怎么样，过两年了，我们俩不就一样大了。” 如果你看了一定会抱腹大笑，它的可笑之处在于小华没有弄明白人年龄的变化特点。 你的年龄在一岁岁的增长，你的妈妈的岁数也在增长。不知你发现没有：不管两人的年龄怎么变化，但两人的年龄差是不会变的。 年龄问题与和（差）倍问题、和差问题都有联系，你有兴趣探讨么？ 例1． 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸 爸、妈妈各多少岁？ 分析： 爸爸和妈妈的年龄差始终不变，现在爸爸比妈妈仍大6岁。问题转化为 和差问题。 解： 今年妈妈的年龄为 （82-6）÷2=38（岁） 今年爸爸的年龄为 38+6=44(岁) 答：今年爸爸和妈妈的年龄各为44岁、38岁。 练习1. 强强今年11岁，军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁时，两人各是多少岁？ 例2． 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的 3倍？ 分析 : 今年妈妈与小红年龄的差是（35-7）=28（岁），这个年龄差是不变的。 在妈妈年龄正好是小红的3倍时，年龄差仍为28岁。问题转化为差倍 问题，利用差倍公式解决问题。 解： 小红的年龄为时间分配及备注
（35-7）÷（3-1）=14 答：小红年龄为14岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍。 练习2 明明今年3岁，妈妈今年27岁。明明几岁时，妈妈的年龄正好是明明的5倍？ 例3． 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是76岁。问：母亲今年多少岁？ 分析: 六年前母子年龄和为（78-6-6）=66（岁），6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。转化为和倍问题。 解： 六年前儿子的年龄为 （78-6-6）÷（5+1）=11（岁） 六年前母亲的年龄为 11×5=55（岁） 今年母亲的年龄为 55+6=61（岁） 答：母亲今年61岁。 练习3 父子两人今年的年龄和是40岁。儿子年龄的5倍比父亲的年龄大2岁。 父子两人3年后各是多少岁？ 例4． 甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。 问：甲、乙现在各为多少岁？ 分析: “甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。”表明甲比乙大6岁。甲如果再增加三岁，那么就是乙的年龄的4倍，问题转化为差倍问题。 解： 现在乙的年龄为 （6+3）÷（4-1）=3（岁） 现在甲的年龄为 3+6=9（岁） 答：甲、乙现在各为9岁、3岁。 练习4. 甲的年龄比乙的年龄的3倍少4，甲5年前的年龄比乙3年后的年龄大2岁。问：甲、乙现在各为多少岁？ 例5． 小象对大象说：“妈妈，我到你现在这么大时，你就31岁了。”大象说“我像你这么大时，你只有1岁。”问：大、小象现在各为多少岁？ 分析: 由小象的话可知（大象的年龄）+（大、小象的年龄差）=31 有大象的话可知（小象的年龄）-（大、小象的年龄差）=1
第十二讲 图形周长 周长：封闭图形一周的长度就是图形的周长。 长方形的周长=2×（长+宽）；正方形的周长=4×边长 计算不是长方形和正方形周长时可以利用长方形、正方形的周长公式，来计算规则图形的周长。除此，通过添加辅助线，运用平移、分解等方法，将不规则图形转化成规则图形来计算。 例1：如图是一个周长为50的长方形纸片，A 、B 两点分别是长和宽的中点。将此长方形沿图中的虚线撕成甲、乙两张。如果甲的周长是48，那么乙的周长是 。 例2： 在长方形ABCD 中，AB=120厘米，截去一个正方形EBCF 后，剩下长方形AEFD 的周长是多少？（如右图） 例3：平行四边形ABCD 的一条边长为18，两条高分别为8和10，求平行四边形ABCD 的周长。（如图） 例4：10 个是相同的小长方形拼成一个大长方形，长是6厘米，宽 5厘米，求小长方形的周长。（如 图） 例5：右图中多边形每相邻两条边都互相垂直，若要计算起其周长，那么至少要知道（ ）边长。 (嘉祥外国语学校2011年5升6招生数学试题) A.6 B.5 C.4 D.3 : 例6:如图4，用四个相同的长方形拼成一个面积为100平方厘米的大正方形，每个长方形的周长是多甲 乙 A B B A C D 18 10 8
少厘米？ 例7：如图.阴影部分是一个正方形.求大长方形的周长. 图4 巩固练习： 1.6年级衔接班招生考试题)把一个边长为a的正方形，分成两个完全相等的长方形，这个两个长方形的周长之和是。 2.将长5厘米、宽2厘米的长方形硬纸片如图一层、二层、三层、……地排下去： （1）排到第5层，一周的长是（）厘米。 （2）当周长为280厘米时，一共有（）层。 3.求图2的周长 4.如图6，在长方形ABCD中,AD=120厘米，截去一个正方形EDCF后，问还剩下长方形AEFB的周长是 多少厘米？
↑↑↑↑↑优才家教 优等生同步奥数提高 五年级（下）↑↑↑↑↑ 第一讲 整数问题 第1课 数的整除 一、知识要点 1. 整除——因数、倍数 2. 相关基础知识点回顾 （1）0是任何整数的倍数。 （2）1是任何整数的因数。 3. 数整除的性质 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 例如：如果6｜36，9｜36，那么[6，9]｜36。 例如：如果2｜72，9｜72，且（2，7）=1，那么18｜72。 必要条件： （1）a 、b 、c 三个数是整数 （2）b ≠0 （3）a ÷b=c 结论：整数a 能被整数b 整除，或b 能整除a ，则a 叫做b 的倍数，b 叫做a 的因数。 记作：b ｜a
例：如果7｜14，14｜28，那么7｜28。 4.数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），那么它必能被2整除。 （2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。 （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。 （4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。 例：1864能否被4整除？ 解：1864=1800+64，因为4｜64， 4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。 （5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。 例：29375能否被125整除？ 解：29375=29000+375，因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。(奇数位指：这个数的个位、百位、万位……；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位……) 例：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。 例：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11 5，所以11 123456789。 （7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又因为7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。 例：判断3546725能否被13整除？ 解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。
6、物不知其数【精品】 知识讲解 一、两个除数 1、出示例1： 有一瓶饮料，如果一箱装12瓶，则余两瓶，如果一箱装15瓶，则余8瓶，这批饮料不超过500瓶，可能是多少瓶？ 用列表法找出至少有多少瓶？ 方法一： 方法二： 方法三： 最小的一个数是38，其他的数可以用38加上最小公倍数求得。 [12，15]=60 38+60×＜ 500 2、例2： 一个数除以7余4，除以5余2，这个数最小是多少？ 我们设法找到两个数： 一个是7的倍数并且除以5余2 （7） 另一个是5的倍数并且除以7余4 （25） 这两个数的和就是最小的数 7+25=32 3、巩固练习 （1）猴子分桃子。每只猴子分到6个，则多3个；每只猴子分到8个，则少
5个。桃子个数在40～50之间，有多少个桃子呢？ （2）一个自然数除以3余2，除以5余3，这个数最小是多少？ （3）一个自然数除以5余3，除以7余2，你能把符合条件的数表示出来吗？ 一、三个除数 1、出示例1： 古代名题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。照现在的说法：一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求合适条件的最小数。 策略一：我们知道能被5整除的数末尾一定是“5”或“0”，那么除以5余3的数的末尾一定是3或8，由此我们可以列举出满足条件“除以5余3”的自然数（见下表） 策略二：所求数除以3余2，除以7余2，可以知道某数除以3和7的余数都为2，即某数一定是3和7的公倍数多2。3和7的最小公倍数为21，所以满足条件“除以3余2”、“除以7余2”的最小数为23。23除以5的余数为3，因此满足条件的最小数为23。 策略三：我们在3和5的公倍数中找出除以7余2的数，经尝试为30；在3和7的公倍数中找出除以5余3的数，经尝试为63；在5和7的公倍数中找出除以3余2的数，经尝试为35。把这三个数的和减去3、5、7这三个数的公倍数可得所求的最小数：30+63+35－105=23。 [3，5，7]=105，128－105=23，因此符合条件的最小数是23。
专题一认识负数 知识要点 同学们已经认识了自然数，并初步认识了分数和小数，本章节中，要结合熟悉的生活情境，进一步认识负数，一方面拓宽知识面，同时激发你们的学习兴趣；另一方面也为以后进一步理解有理数的意义及有理数的运算打下基础 典例评析 例 1 一次数学测试，杨老师用下列方法统计成绩：凡是得分为100分的记作+10分，得分为87分的记作-3分，得分为93的记作+3分。李明在这次测试中得89分，应记作多少？周方在这次测试中得98分，应记作多少？ 【分析】由于题中将“100分记作+10分，87分记作-3分，93分记作+3分”所以要找出杨老师将多少分记作0分的。100-10=90（分）或87+3=90（分），93-3=90（分），可以看出杨老师是将90分记作0分的。如果高于90分的，高出部分用正数表示，低于90分的，低出部分用复数表示。 例2 一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠点，最后到达终点站。下表记录了这辆公共汽车全程载客人数的变化情况： 停靠站起点站中间 第1站中间 第2站 中间 第3站 中间 第4站 中间 第5站 中间 第6站 终点站 上下站人数+21 -3 +8 -4 +2 +4 -7 +1 -9 +6 -7 -12 （1）中间6个站一共有多少人上车？多少人下车？ （2）中间的6个站，哪站没有人上车，哪站没有人下车？ 【分析】此题中将毎站中上车的人数记作正数，下车的人数记作负数，这样的记法可以看出毎站中车上人数的增减变化情况，也可以计算出“一共有多少人上车？多少人下车？哪个站没有人上车？哪个站没有人下车？” 例3 中国最大的咸水湖----青海湖高于海平面3193米。 世界最低最咸的湖----死海低于海平面400米。 想一想青海湖与死海的海拔相差多少米呢？ 【分析】可以先用正、负数表示各自的海拔高度，然后画个数周进行比较。
5、余数问题【精品】 知识讲解 一、消去余数 1、出示例1：把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。 蛋糕230块面包345个 蛋糕分到最后余2块，面包分到最后还多3个，这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人？ 这是一道求除数的问题，设除数a。 已知：230÷a=（） (2) 345÷a=（） (3) 如果消去余数，就转化为整除问题。 230－2=228，345－3=342。228，342分别能被a整除，a最大是几呢？ （228，342）==114，最多可以分给114位老人。 如果这个敬老院的老人在50～60人之间，你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗？ 2、写出除数和余数相同，被除数不同的出发算式。 （）÷5=4...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=7...2 （）÷8=（） (5) （）÷5=12...2 （）÷8=（） (5) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12) （1）说说你的发现。 22÷5=4…2 22－2=5×4 37÷5=7…2 37－2=5×7 62÷5=12…2 62－2=5×12
219÷23=9…12 357－12=23×9 357÷23=15…12 357－12=23×15 被除数和余数的差是除数的倍数。 37－22=5×3 357－219=138 62－22=5×8 138÷23=6 62－37=5×5 如果两个等式除数和余数相同，被除数之间的差是除数的倍数。 （2）你能再举一些这样的例子吗？ A：被除数分别是43和75，余数都是3，除数是多少？ B：被除数分别是75、51和111，余数相同，除数是多少？ 问题A：因为被除数与余数的差是除数的倍数，因此除数必定是（43－3）和（75－3）的公因数。（40，72）=8，其他的因数还有1，2，4。1，2比余数3小，不可能是除数，因此除数是4或8。 问题B：因为被除数之间的差是除数的倍数，因此除数必定是（75－51），（111－51）的公因数。（24，36，60）=12，其他公因数还有2，3，4，6。 75÷2=37…1，51÷2=25…1，111÷2=55…1。如果除数都是2，那么余数是1。 75÷3=25，51÷3=17，111÷3=37。如果都是3，那么余数是0。 75÷4=18…3，51÷4=12…3，111÷4=27…3， 75÷6=12…3，51÷6=8…3，111÷6=18…3。 如果除数都是4或6，那么余数是3。 3、巩固练习： （1）、用一个数去除47，61，75，结果都余5。这个数是几？ （2）、用一个数去除193余4，除1087则余7。这个数是几？ （3）、69，90，125被一个数n除时，余数相同，试求n的最大值。 （4）59，97，135分别除以一个数所得余数都是2。这个数是几？