荆州2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（模拟一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知集合},421|{},034|{2N x x B x x x A x ∈≤<=<+-=，则A
B =
（A ）?
（B ）(]1,2
（C ）{}2
（D ）{}1,2
(2) 欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数
的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，2018
3
i e π表示的复数位于复平面中的
（A ）第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
(3) 已知双曲线22
22:1y x C a b
-=（0,0a b >>）的离心率为2，则C 的渐近线方程为
（A ）y = （B ）y = （C ）2y x =± （D ）y =
(4) 在检测一批相同规格共500kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280
片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为 （A ）2.8kg
（B ）8.9kg
（C ）10kg
（D ）28kg
(5) 要得到函数()sin 2f x x =的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象
（A ）向左平移1
2
个周期 （B ）向右平移1
2
个周期 （C ）向左平移1
4个周期 （D ）向右平移
1
4
个周期
(6) 已知11
ln8,ln5,62
a b c =
==则 （A ）a b c << （B ）a c b << （B ）c a b <<
（D ）c b a <<
(7) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，
则此几何体各面中直角三角形的个数是 （A ）2 （B ）3 （C ）4
（D ）5
(8) 执行右面的程序框图，如果输入的168,112m n ==，
则输出的,k m 的值分别为
（A ）4,7 （B ）4,56 （C ）3,7 （D ）3,56
(9) 已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC
的距离为
,AB AC BC ===，则球O 的表面积为 （A ）
163
π （B ）16π
（C ）
643
π （D ）64π
(10) 已知()()
tan tan m αβγαβγ++=
-+，若()sin 23sin 2αγβ+=，则m =
（A ）
12
（B ）34
（C ）
32
（D ）2
(11) 已知双曲线22
22:1x y E a b
-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E
右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q
．若
AQ E 的离心率是
（A
）
（B
（C
（D
(12) 设函数()(1)21x f x ae x x -=--+，其中1a <，若存在唯一负整数0x ，使得0()0,
f x >则实数a 的取值范围 （A ）253(
,)32e e
（B ）3(
,1)2e
（C ）3[
,1)2e
（D ）253[
,)32e e
本卷包括必考题和选考题两部分。第()()13~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第()()2223、题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13) 若命题“2
,0x R x x a ?∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 . (14) 平面向量()1,a m =，()4,b m =，若有()()20a b
a b -+=，则实数=m .
(15) 不等式组??
?
??≤-+≤+-≥+-04022012y x y x y x 的解集记作D ，实数,x y 满足如下两个条件：①
ax y D y x ≥∈?,),(；②a y x D y x ≤-∈?,),(.则实数a 的取值范围为 .
(16) 已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足111
2,2,2,
n n n n n n n n n n n n a a b c b a b c c a b c +++=++??
=++??=++?且18a =，14b =，10c =，则数
列{}n na 的前n 项和为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17) （本小题满分12分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c
o s 2
b A
c a =-．
（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若c =
cos A =，求△ABC 的面积．
(18) （本小题满分12分）
等边三角形ABC 的边长为6，O 为三角形ABC 的重心，EF 过点O 且与BC 平行，将AEF ?沿直线EF 折起，使得平面AEF ⊥平面.BCFE （1）求证： BE ⊥平面AOC ； （2）求点O 到平面ABC 的距离.
(19) （本小题满分12分）
某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸x （mm ）之间近似满足关系式b
y c x =?（b 、c 为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间,
97e e ??
???
内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
（Ⅰ）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，求恰好取到2件优等品的概率； （Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
（ⅰ）根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；
（ⅱ）已知优等品的收益z （单位：千元）与,x y 的关系为20.32z y x =-，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？（精确到0.1）
附：对于样本(,)i i v u (1,2,
,)i n =，其回归直线u b v a =?+的斜率和截距的最小二乘
估计公式分别为：1
12
2
21
1
()()()n
n
i
i
i i
i i n
n
i i i i v v u u v u nvu
b v v v nv
∧
====---=
=
--∑∑∑∑，a u b v ∧∧
=-， 2.7182e ≈.
(20) （本小题满分12分）
已知直线l 的方程为2y x =--，点P 是抛物线2:4C x y =上到直线l 距离最小的点. （1）求点P 的坐标；
（2）若直线m 与抛物线C 交于A 、B 两点，ABP ?的重心恰好为抛物线C 的焦点F .求ABP ?的面积.
(21) （本小题满分12分）
已知函数x x x
ae
x f x
-+=ln )(（R a ∈，且a 为常数） （Ⅰ）若函数)(x f 的极值点只有一个，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）当0=a 时，若m kx x f +≤)(（其中0>m ）恒成立，求m k )1(+的最小值)(m h 的最大值．
请考生在第()22、()23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 (22) （本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为,x m y ?=????=??（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上．
（Ⅰ）若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求||||FA FB ?的值； （Ⅱ）求椭圆C 的内接矩形周长的最大值． (23) （本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知0x ?∈R 使不等式t x x ≥---|2||1|成立. （Ⅰ）求满足条件的实数t 的集合T ；
（Ⅱ）若1,1m n >>，对t T ?∈，不等式t n m ≥?33log log 恒成立，求mn 的最小值．
文科数学参考答案
一、选择
1－5 BBABD 6-10 BCCDD 11-12 CD 二、填空
13. 1[,)4
+∞ 14. 2± 15. [2,1]- 16. 12(31)4422n n n n +-?+++ 三、解答 17. (1)4
B π
= (2) ABC ?的面积为2
18.
19.解（I ）
0.3029e ≈ 0.3887
e
≈ ∴优等品(0.302,0.388) 则6件产品有2件优等品的概率9
20
P =
II （1）由题意得b y c x =? l n l n ()l n l n
b b y
c x c x =?=+ ∴
ln ln ln y b x c
=+ ∴l n 3y =
l n 4.1x =
1
2
2
1
(ln ln )ln ln 0.5(ln )
(ln )b
i
i
i b
i
i x y n y x
b x n x ==?-=
=-∑∑
ln ln ln 1c y b x === 1l n l n 1
2
y x =+ 1
2
y e =? （2）由（1）得：12
20.32z e x x =?-
令(7,9)t = 2
()0.322
z t t e t =-+ 2
20.32()0.320.32
e e t =--+
当8.5(7,9)0.32
e
t ==
≈∈时z 取最大 72.3()x m m ∴≈时，收益z 预报值最大.
21. 解：（1）()ln x ae f x x x x =+- 2()(1)
()x ae x x f x x
--'= 由()0f x '= 则1x =或x x
a e
= 设()x x x u e
=
()1x x x
u e
-'=
当(0,1)x ∈时()x u 单调递增 当(1,)x ∈+∞时()x u 单调递减 ()x u 极大(1)1
u e
== 且0x →时，()0x u →，且()0x u >恒成立
∴①当0a ≤或1e
a >
时，方程x x
a e = 无实数根，函数()f x 只有1x =一个极值
②当1a e =
时，方程x x a e = 根1x =，此时()f x '中因式0x x
a e
-≥恒成立 ∴函数()f x 只有1x =一个极值
③当10a e
<<
时，方程x x
a e =有2个根12,x x 且12(0,1)(1,)x x ∈∈+∞∴()f x 在
1(0,)x ，2(1,)x 单调递减，1(,1)x ，2(,)x +∞单调递增，∴()f x 有12,1,x x 三个极值点，
综合当0a ≤或1
a e
≥
时，函数只有一个极值点. （2）0a =即ln x x kx m -≤+令()ln ln (1)x x x kx m x k x m ?=---=-+- 则对(0,)x ?∈+∞都有()0x ?≤成立1
()(1)x k x
?'∴=-+
当10k +≤时，()x ?在(0,)+∞单调递增 取,()m m m m x e e m e ke m ?==---
(1)0m e k =-+≥
(,)m x e ∴∈+∞时，()0x ?>这与()0x ?≤矛盾
②当10k +>时，
()x ?在(0,)+∞单调递减
1
(
)01
k ?'=+， ()x ?∴在1(0,)1k +单调递增在1(,)1k +∞+单调递减
11
()(
)lg 111
x m k k ??∴≤=--++ 若对(0,)x ?∈+∞都有()0x ?≤成立，则只需1
ln 101
m k --≤+ 即ln(1)1k m +≤-- 11m
k e --∴+≥.
22. （1）由
可得曲线的直角坐标系方程为，左焦点
，代入直线
的参数方程得
。
直线的参数方程是
（为参数），代入椭圆方程得，
所以
。
（2）设椭圆的内接矩形的顶点为
，，
，
（
）。
所以椭圆的内接矩形的周长为。
当
时，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值为。
23. 1），所以，所以的取值范围为，
（2）由（1）知，对，不等式恒成立，只需，
所以，又因为，，所以，。
又（时，取等号，此时
），所以。
所以，，所以，即的最小值为（此时）。