关于同济版高等数学下册练习题附答案

第八章 测 验 题

一、选择题：

1、若a →

，b →

为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→

?= ( ).

(A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→

.

向量a b →

→

?与二向量a →

及b →

的位置关系是( ). 共面； (B)共线；

(C) 垂直； (D)斜交 .

3、设向量Q →

与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当

cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→

±=( )

(A)2

2

αβ→→±； (B)2

2

2ααββ→→→

→±+； (C)2

2

ααββ→→→

→±+； (D)2

2

2ααββ→→→

→±+.

6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ).

(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220

A x

B y

C z

D B y D +++=??

+=?且

111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ).

(A) 过原点； (B)x 平行于轴；

(C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线

5

13

x y -=

- 10

7

z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--

9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周

2216

0x y z ?+=?=?

，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=；

(C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=.

10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是

( ).

(A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=；

(C)22

2

14y x z -+=； (D)

2221916

x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3

π，且2,5a b →→==，

求(2)(3)a b a b →→→→

-?+ .

三、求向量{4,3,4}a →

=-在向量{2,2,1}b →

=上的投影 .

四、设平行四边形二边为向量

{1,3,1};{2,1,3}a b →

→

=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .

五、已知,,a b →→

为两非零不共线向量，求证：

()()a b a b →→→→-?+2()a b →→

=?.

六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .

七、求直线L ：31258x t

y t z t =-??

=-+??=+?

在三个坐标面上及

平面π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线

122

232

x y z -+-==

-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 . 九、求点(1,4,3)--并与下面两直线

1L ：24135x y z x y -+=??+=-?，2:L 24132x t

y t z t =+??=--??=-+?

都垂直的直线方程 .

十、求通过三平面：220x y z +--=，

310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于平面20x y z ++=的平面方程 . 十一、在平面10x y z +++=内，求作一直线，使它通过直线10

20

y z x z ++=??

+=?与平面的交点，且与已知直线垂直 .

十二、判断下列两直线 111

:112

x y z L +-==, 212:134

x y z L +-==,是否在同一平面上，在同

一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .

第九章 测 验 题

一、选择题:

1

、二元函数22

1

arcsin

z x y =++的定义域是( ).

(A)2214x y ≤+≤； (B)2214x y <+≤； (C)2214x y ≤+<； (D)2214x y <+<. 2、设2(,)()x f xy x y y

=+,则(,)f x y =( ).

(A)221()x y y

+； (B) 2(1)x y y

+； (C) 221

()y x x

+； (D) 2(1)y y x

+.

3、222200

lim()x y x y x y →→+=( ).

(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .

4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导

数

0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).

(A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件；

(C)充分必要条件；

(D)既不是充分条件,也不是必要条件.

5、设(,)f x y 22

2222

221()sin ,00,0x y x y x y x y ?++≠?+=??+=?

则在原点(0,0)处(,)f x y ( ). (A)偏导数不存在； (B)不可微； (C)偏导数存在且连续； (D)可微 . 6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连

续偏导数.则

2

2z

y

?=?( ). (A)222f v f v v y y v y ?????+?

?????； (B)22f v v y

?????； (C)

22

22

2()f v f v

y

v v y ????+?????；

(D)2222f v f v

y v v y

?????+?????.

7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面

所围

成的四面体的体积V=( ).

(A) 332a ； (B) 33a ； (C) 3

92

a ； (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ).

(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D)

(-1,-1).

9、函数sin sin sin u x y z =满足 (0,0,0)2

x y z x y z π

++=>>>的条件极值是

( ).

(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 16 ； (D) 1

8 .

10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻

域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ). 二、讨论函数33

x y

z x y

+=+的连续性，并指出间断点类型.

三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln y z x = ；

2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；

3、22222

220(,)00

x y x y f x y x y x y ?+≠?

=+??+=?

.

四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()

z x y z φ=+所 确的函数,求du .

五、设(,,),y z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶

偏导 数,求2z

x y ???. 六、设cos ,sin ,u u x e v y e v z uv ===,试求z x

??和z

y

?? . 七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数

22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导

数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)

最小值；(3)等于零 . 八、求平面13

45

x

y z

+

+=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .

九、在第一卦限内作椭球面222

2221x y z a b c

++=的切

平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最

小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .

第十章 测 验 题

一、选择题:

1、1

100(,)x

dx f x y dy -??=( )

(A)11

00(,)x

dy f x y dx -??； (B)1

100(,)x

dy f x y dx -??； (C)1

1

00(,)dy f x y dx ??； (D)1

100

(,)y

dy f x y dx -??.

2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,

D

π=.

(A) 1 ；

；

；

3、当D 是( )围成的区域时二重积分1.D

dxdy =??

4、xy D xe dxdy ??的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤

(A) 1;e

(B) e ; (C) 1

;e

- (D) 1.

5、设22()D

I x y dxdy =+??,其中D 由222x y a +=所

围成,则I =( ). (A)2240

a

d a rdr a π

θπ=??;

(B)22400

1

2

a

d r rdr a πθπ?=??;

(C)2230

23

a

d r dr a πθπ=??;

(D)224002a

d a adr a πθπ?=??. 6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的

空间区域,则xdxdydz Ω

???=( ).

(A)

148 ； (B) 148- ； (C) 124 ； (D) 124

- . 7、设Ω是锥面222

222(0,z x y a c a b

=+>0,0)b c >>与

平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,

则dxdydz Ω

???

=( ).

(A)

2136a b ；

(B) 21

36a b

(C) 2136b c ；

(D) 1

36.

8、计算I zdv Ω

=???,其222,1z x y z Ω=+=中为围成

的 立体,则正确的解法为( )和( ).

(A)21

1

000I d rdr zdz π

θ=???；

(B)211

00r I d rdr zdz πθ=???；

(C)21

1

00r

I d dz rdr π

θ=???； (D)12000z

I dz d zrdr πθ=???.

9、

曲面z =222x y x +=内部

的那 部分面积s =( ).

；

；

；

(D) .

10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀

(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量 x I =( ).

(A) 3μ； (B) 5μ； (C) 4μ； (D) 6μ. 二、计算下列二重积分:

1、22()D

x y d σ-??,其中D 是闭区域:

2、D

y

arctg d x

σ??,其中D 是由直线0y =及圆周

22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象

限内的闭区域 .

3、2(369)D

y x y d σ+-+??,其中D 是闭区

域:222

x y R +≤

4、222D

x y d σ+-??,其中D :223x y +≤.

三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:

1、1

23

30010(,)(,)y

y

dy f x y dx dy f x y dx -+????；

2

、1

10(,)dx f x y dy ?；

3、00(cos ,sin )a d f r r rdr θ

θθθ??.

四、将三次积分1

1

0(,,)y

x x dx dy f x y z dz ???改换积分次序为 x y z →→.

五、计算下列三重积分:

1、cos(),y x z dxdydz Ω

+Ω???:

抛物柱面y =

,,2

y o z o x z π

==+=

及平面所围成的区域 .

2、22(),y z dv Ω

+???其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围

成的闭区域 .

3、222222

ln(1)

,1z x y z dv x y z Ω

++++++???其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 .

六、求平面1x y z

a

b c

++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .

七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111

30

1()()()[()]6y

x x

f x f y f z dxdydz f x dx =?

??

? .

第十一章 测 验 题

一、选择题: 设L 为03

,02

x x y =≤≤

,则4L ds ?的值为( ).

(A)04x ， (B)6, (C)06x .

设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2L

dy ?=( ).

(A)6; (B) 06y ; (C)0. 若L 是上半椭圆cos ,

sin ,

x a t y b t =??

=?取顺时针方向,则

L

ydx xdy -?的值为( ).

(A)0; (B)2

ab π

; (C)ab π.

4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续

偏导数,则在D 内与L

Pdx Qdy +?路径无关的

条件

,(,)Q P

x y D x y

??=∈??是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则

( )式正确. (A)1

2zds zds ∑

∑=????;

(B)1

2zdxdy zdxdy ∑

∑=????;

(C)1

222z dxdy z dxdy ∑

∑=????.

6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的

曲面 ,

则ds ∑

??等于( ).

(A)

20

r

d rdr π

θ?

?

;(B)

20

0d rdr π

θ?

?

;

(C)20d rdr π

θ?.

7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则 2

2

x y zdxdy ∑

??等于( ).

(A) 2xy

D x y ??;

(B) 22xy

D x y ??

; (C) 0 .

8、曲面积分2z dxdy ∑

??在数值上等于( ).

向量2

z i r

穿过曲面∑的流量；

面密度为2z 的曲面∑的质量；

向量2

z k r

穿过曲面∑的流量 .

9、设∑是球面2222

x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy

面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).

(A)2222xy

D x y zds x y ∑

=????；

(B)2222()()xy

D x y dxdy x y dxdy ∑

+=+????；

(C) 2xy

D zdxdy ∑

=????.

10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运

用奥-高

公式正确的是( ).

(A)2

(2)x dydz z y dxdy ∑++??ò外侧

=(22)x dxdydz Ω

+???；

(B)32

()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+??

ò外侧

=22(321)x x dxdydz -+???；

(C)2

(2)x dydz z y dxdy ∑++??ò内侧

=(21)x dxdydz Ω

+???.

二、计算下列各题:

1、求

zds Γ

?

,其中Γ为曲线

cos ,sin ,,x t t y t t z t =??

=??=?

0(0)t t ≤≤； 2、求(sin 2)(cos 2)x x L e y y dx e y dy -+-?,其中L 为上

半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .

三、计算下列各题: 1、求

222ds

x y z

∑++??其中∑是界于平面0z z H ==及

之间的圆柱面222x y R +=；

2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-??，

其中∑

为锥面(0)z z h =≤≤的外侧；

∑

其中∑为曲面22

(2)(1)15169z x y ---=+(0)z ≥的上侧 . 四、证明:22

xdx ydy x y

++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及

原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .

五、求均匀曲面z =的重心的坐标 .

六、求向量A xi yj zk =++r r r r

通过区域:Ω01,x ≤≤

01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .

七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),

已知流速函数222V xz i yx j zy k =++r

r

r

r

,求流体在单

位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流

向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .

第十二章 测 验 题

一、选择题: 1、下列级数中,收敛的是( ).

(A)11n n ∞

=∑；

(B)1n ∞

=；

(C)n ∞

=； (D)1

(1)n n ∞

=-∑.

2、下列级数中,收敛的是( ).

(A) 115()4n n ∞

-=∑； (B)114

()5

n n ∞

-=∑；

(C)1

11

5(1)

()4n n n ∞

--=-∑； (D)1154

()4

5n n ∞

-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )

(A)221(!)2n n n ∞

=∑； (B)13!

n n n n n

∞

=∑；

(C) 2

2

1

sin

n n

π

π∞

=∑

； (D)1

1

(2)n n n n ∞

=++∑

.

4、部分和数列{}n s 有界是正项级数1

n n u ∞

=∑收敛的

( )

(A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1

n

n a r ∞

=∑收敛 .

(A)1r <； (B)1r ≤； (C)r a <； (D)1r >. 6、幂级数1

1(1)(1)

n

n n x n

∞

-=--∑的收敛区间是( ). (A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].

7、若幂级0

n n n a x ∞

=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;

0n

n n b x ∞

=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数

0()n n n n a b x ∞

=+∑的收敛半径至少为( )

(A)12R R +； (B)12R R ?；

(C){}12max ,R R ； (D){}12min ,R R . 8、当0R >时,级数2

1(1)n

n k n

n

∞

=+-∑是( ) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞

=是级数1n n u ∞

=∑收敛的( )

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .

10、幂级数1

(1)n n n n x ∞=+∑

的收敛区间是( )

(A) (1,1]-； (B) (1,1]-； (C) (1,1]-； (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:

1、2

21(!)

2n n n ∞

=∑； 2、2

1

cos 32n

n n n π∞

=∑

.

三、判别级数1

1

(1)ln

n n n n

∞

=+-∑的敛散性 . 四、求极限 1

11139

27

3lim[248(2)]n

n n →∞

????L .

五、求下列幂级数的收敛区间:

1、135n n n n x n ∞

=+∑； 2、212

n n n n

x ∞

=∑.

六、求幂级数1

(1)n

n x n n ∞

=+∑的和函数 .

七、求数项级数2

1!

n n n ∞

=∑的和 .

八、试将函数

2

1

(2)

x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的

表达式为 0,[,0)

(),[0,)

x x f x e x ππ∈-?=?∈?将()f x 展开成傅

立叶级数 . 十、将函数1,0()0,x h

f x h x π

≤≤?=?<≤?分别展开成正弦级

数

和余弦级数 . 十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期,

则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0

(1,2,)k k a b k ===L .

第八章 测 验 题 答 案

一、1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、B ；

6、B ；

7、C ；

8、A ；

9、D ； 10、D. 二、-103. 三、2.

四、六、22

1330y z x ?+

=???=?

.

七、3120x t y t z =??=-+??=?, 3058x t y z t =-??=??=+?, 01258x y t z t =??=-+??=+?

,

1411260

380

x y z x y z +--=??-++=?. 八、81390x y z --+=.

九、1124463x t

y t z t =--??

=-+??=+?

.

十、240x y z ++-=. 十一、210

10x y z x y z +-+=??

+++=?

.

十二、直线12L L 与为异面直线

,d =

. 第九章 测 验 题 答 案

一、1、A ； 2、B ； 3、B ； 4、B ； 5、D ；

6、C ；

7、A ；

8、A ；

9、D ； 10、B.

二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续； (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时, 则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点. 三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln y

y x z x y

=

； 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++

23()y y u xf xz xyz f =++.

3、322

222

222,0()

(,),0,0x xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 2222

2222

22(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ?-+≠?+=??+=?

.

四、221()

()()1()1

f f z f dx dy y z y z φφφ-

-''--.

五、2y y y y uu

uy xu xy u xe f e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),

(cos sin ).u u z z

v v u v e u v v v e x y

--??=-=+?? 七、

cos sin ,f

l

φφ?=+? 八、4335(,,).5512

九、切点min V =

. 第十章 测 验 题 答 案

1、D ；

2、C ；

3、A ；

4、A ；

5、B ；

6、A ；

7、A ；

8、B,D ；

9、B ； 10、C.

二、1、2409π-

；2、23

64

π； 3、4294R R ππ+；4、5.2

π

三、1、230

2

(,)x

x dx f x y dy -??；

2

、2

1

2

1

(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +???；

3、0(cos ,sin )a

a

r rdr f r r d θθθ??. 四、1

1

00(,,)z

z dz dy f x y z dx ???.

五、1、2

1162π-； 2、250

3

π； 3、0.

. 七、提示：

第十一章 测 验 题 答 案

一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、C ； 9、C ； 10、B.

二、1

、

3220

(2)3t +-； 2、2a π.

三、1、2H arctg R π； 2、44h π

-； 3、0.

四、221

(,)ln()2u x y x y =+.

五、(0,0,)2a

. 六、3.

七、32

,015

π.

第十二章 测 验 题 答 案

一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、B ； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.

提示:化成212333

2

n n ++++L L )

五、1、11

[,)55

-； 2

、(.

六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x x

x ?+--∈-??

=??=?

. 七、2e .

八、1

21

11,(2,2)(2)2

n n n n x x x ∞-+==∈--∑

九、2

111(1)1

()[cos 21n n e e f x nx n

ππππ∞=---=++∑ 12

((1)1)

sin ]1

n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±L 且).

十、1

2

1cos ()sin ,(0,)(,)n nh

f x nx x h h n ππ∞

=-=

∈?∑

同济大学高等数学1期末试题(含答案)

1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解

同济大学2009高数B期末考试题

同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=) 1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二． 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e = +在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20 () (0)0,lim 2x f x f x →==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

同济大学高等数学2

同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

同济大学2015-2016学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。 同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限1 2 02lim( )23h h h e h -→-=+. 2. 积分(12sin ) cos '(12sin )2 f x x f x dx C --?-=+? . 3. 函数2 20 ()sin(1)x F x t dt = +? 的导函数4'()2sin(1)F x x x =+. 4. 曲线3 22 (1)1(12)3 y x x =++-≤≤的弧长14 3 s = . 5. 极限0 lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】 () 0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; () 0,0B εδ?>?>, 当x δ>时, 有()f x ε>; () 0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; () 0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()( )A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223 ()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223 ()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()( )D C y x C y x C y x ++ , 其中任意常数1231C C C ++=.

(完整版)高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)

高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→? y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（ ）

高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题：求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程

解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=??

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点

．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?

2-5高等数学同济大学第六版本

2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

同济大学高等数学期末考试题

《高数》试卷7（上） 一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）. A []1,2- B [)1,2- C (]1,2- D ()1,2- 2、极限x x e ∞→lim 的值是（ ）. A 、 ∞+ B 、 0 C 、∞- D 、 不存在 3、=--→211) 1sin(lim x x x （ ）. A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）. A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设 ?+=C x dx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、?=+dx x x ln 2（ ）. A 、C x x ++-22ln 212 B 、 C x ++2 )ln 2(21 C 、 C x ++ln 2ln D 、 C x x ++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、?104dx x π B 、?1 0ydy π C 、?-1 0)1(dy y π D 、?-104)1(dx x π

9、?=+1 01dx e e x x （ ）. A 、21ln e + B 、2 2ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）. A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 27 2=* 二、填空题（每小题4分） 1、设函数x xe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m . 3、=?-1 13cos xdx x ； 4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 . 5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ； 三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0 ； 2、求x x y sin ln cot 2 12+= 的导数； 3、求函数 1133+-=x x y 的微分； 4、求不定积分?++1 1x dx ； 5、求定积分 ?e e dx x 1 ln ； 6、解方程 2 1x y x dx dy -= ； 四、应用题（每小题10分） 1、 求抛物线2x y = 与 2 2x y -=所围成的平面图形的面积. 2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1 (上) (A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1 x -1 ( D ) y = x 4?设函数f x =|x|，则函数在点x=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - C I X 丿 I X 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 1.下列各组函数中 ，是相同的函数的是 ( ). (A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=J? (C ) f (X )=X 和 g (x ) = (T X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsinx+4 -2 x 式0 2.函数 f (X )= * In (1 +x ) 在X = 0处连续，则 a =( ) a x = 0 (A ) 0 ( B 1 - (C ) 1 (D ) 2 4 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( ) (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 「?选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共30分)

高数答案(下)习题册答案-第六版--下册-同济大学数学系-编

第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

最新同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试

同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷 一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案） 1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】 :A '1yy =； :B 'e 1y y +=； :C 2 'y y y +=； :D 2 'y y x =+。 2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且() 0a b c ??=，则k = 【 B 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。 3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。 4、设e cos x x z x y y =+ -，则z y ?=? 【 A 】 :A 2e sin x x y y - +； :B 21e sin x x y y -+； :C 21e sin x y y -+； :D 2e sin x x y y -。 5、交换二次积分的次序：()2 220d ,d y y y f x y x =?? 【 A 】 ()4 2 : d ,d x A x f x y y ? ?； ()4 :d ,d x B x f x y y ?； ()2220 :d ,d x x C x f x y y ??； ()2 :d ,d x D x f x y y ?。 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =() 12e cos sin x c x c x +. 7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。则向量x =()3,2,6±。 8、空间直线240 329x y z x y z -+=?? --=?在xoy 面上的投影直线方程为： 7990x y z -=?? =? 。 9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则 2z x y ?=??() 2"2f x y --。