中世纪的东西方数学 从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。 中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。 1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成 秦汉时期形成中国传统数学体系。 《算数书》：中国现存最早的数学专著。 《周髀算经》：编纂于西汉末年，天文学著作。两项重要数学成就：勾股定理的普遍形式，数学在天文测量中的应用。 《九章算术》：中国传统数学最重要的著作，全书246个问题，分成九章。它完整地叙述了当时已有的数学成就，在长达一千多年间，一直作为中国的数学教科书，并被公认为世界数学古典名著之一。 《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。 2、中算发展的第二次高峰：数学稳步发展 从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。数学上以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现。这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。 《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。 2.1 刘徽（公元3世纪） 公元263年撰《九章算术注》，系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。 刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”，求出圆周率为3927/1250（=3．1416），主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=3．14）作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，享有国际声誉。 2.2 祖冲之（429－500年） 著作《缀术》取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之算出圆周率在3．1415926与3．1415927之间，并以355/113（=3．1415929…）为密率，22/7（=3．1428…）为约率。 《缀术》的另一贡献是祖氏原理：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理。
对于“体现数学的文化价值”的几点教学建议 课堂是学生学习数学知识的主要途径，在高中数学中融入数学史的教育体现了课程标准理念中的”体现数学的文化价值”。以下是我对融入数学史教学的几点建议。 【建议 1】复数概念学习中介绍复数的发展史 复数的学习是数的概念的又一次扩充，因为刚刚接触复数，很多学生感觉不易理解、无法接受，这时他们往往把原因归咎于自身的智力，甚至对自己的学习水平产生怀疑。如果能让学生了解他们遇到的困难也正是在 18 世纪困扰着当时的数学界的难题，他们遇到的困惑也以前同样困扰着很多伟大的数学家，那么通过还原历史的原貌，就能够使他们更加亲近数学，增强学习数学的信心。 在复数的教学中，老师能够指导学生利用图书馆、互联网搜集信息，了解数的发展历史，如：数学史上的三次危机、数的发展、数学家的故事等，在课外查找资料的过程本身就是学生的一个学习的过程，在课堂教学中能够先让学生用一、两分钟来讲历史上关于复数故事。下面是具体的设计内容： 把 10 分成两部分，使其乘积为 40 的问题，方程是 X (10-X) = 40 ，他求得根为5-15-和5＋15-，然后说，“不管会受到多大的良心责备”，把5-15-和5＋ 15-相乘得乘积为25-(-15)，即 40。卡尔丹在解三次方程时，又一次使用了负数的平方根。卡尔丹肯定了负数的平方根的用处。数学家为此创造了“虚数”，以符号i 表示，并规定2 1i =-，－1 的平方根当然就是i ± 了。这样一来，负数开平方的难题就迎刃而解。这就是科学的创新精神。不过，用i 表示虚数的单位，却是直到 18 世纪著名的数学家欧拉提出的，这看似简单的符号却经历了两百多年才出现，这就是数学发展的艰辛历程。“实数”、“虚数”这两个词是由法国数学家笛卡尔在 1637 年率先提出来的。后人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记为a +b i 表的形式，称为复数。 在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处一无所知。实际生活中也没有用复数来表示的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和不接受的态度。18 世纪对于“虚数”的争论让很多数学家非常困惑，到 19 世纪仍然对此争论不休。对于 1-，柯西说：“我们能够毫无遗憾地完全否定和抛弃一个我们不知道它表示什么，也不知道应该让它表示什么的数”;哈密尔顿也置疑“在这样一种基础上，哪里有什么科学可言”;大数学家欧拉对于虚数概念也是不甚了了。在《代数学引论》中，他写道：“因为所有能够想象的数要么大于零，要么小于零，要么等于零，所以负数的平方根显然是不能包含在这些数之中的 ，所以我们必须说 ,它们是不可能的数……它们通常被称为想象的数，因为它们只存有于想象之中。有趣的是，对此抱否定态度的爱因斯坦，却恰恰是他先把复数使用到了物理学领域。 让学生了解这些史实，能够增进他们学习数学的兴趣与信心。 【建议2】古题新用，培养创新意识
东西方数学文化比较 【摘要】教育的宗旨与全球化趋势的冲击使得对不同文化传统中的数学教育进行比较研究 成为必然，然而由于东西方文化传统的差异，以及一些社会现状烦人观念的差异导致了数学文化的发展走个不同的道路。现在为了数学教育的全球化以及中西方数学文化的结合，了解双方的传统文化以及发展史是必须要做的。 【关键词】传统文化、数学发展 数学科学是以人们的社会生活需要及客观现象为研究对象。它作为人类文明的一个组成部分，和一定的社会历史发展水平相适应；它作为一种文化现象，又受到整个文化结构的影响。东西方传统文化的不同，对数学的影响也存在着差异。 文化结构由物质文化和精神文化组成。由于一定的社会制度是一定的物质基础上产生的，要受到一定的精神文化制约，因而可将文化结构分成三个层面：“这就是物质文化，制度文化和精神文化”。数学在建立发展过程中，受到了物质文化、制度文化、精神文化的影响及制约。 东方中国的古代文化的经济基础基本上是农业经济，这种情况决定古代中国的物质文化是农业文化，中国古代数学也与农业经济有着密切的关系。例如中国最古老的经典著作《九章算术》，书有九章，九章分别是方田（土地测量）、粟米（百分法和比例）、衰分（比例分配）、少广（减少宽度）、商功（工程审议）、均输（征税）、盈不足（过剩与不足）、方程（列表计算的方法）、勾股（直角三角形）包含246个问题，都与农业生产有关；后来又有了《五曹算经》，是一本写给地方行政人员的应用算术之书；再到后来，祖冲之研究出圆周率和圆面积解决农业问题；还有后来《皇极历》的出现。我国古代的数学文化发展都是为了解决生活中一些实际问题，含有较高的实际运用价值。 在西方，小亚西亚海岸新兴的商业城市、希腊本土、西西里岛和意大利海滨，由于海上贸易和战争的刺激使得人们的思想活跃，商品贸易发达，对计算要求的提高，财富的增加使人们有更多的时间从事“非实用”的理论研究。例如欧几里德的《几何原本》，他的几何和东方几何的不同之处是，不仅从应用的角度来谈，而是就几何而几何的角度加以研究，运用逻辑推理来证明命题的真伪，而且用几何的方法来解决代数方程。他的著作中的许多公理、定理和定义除了适应当时的经验外，还具有普遍的意义。阿基米得也是当时伟大的数学家，他采用穷竭法来求圆的周长和直径的比值，其指导思想和我国刘徽的计算圆周率的思想是一致的，但不同之点是“刘徽是从圆内接正多边形着手，而阿基米得不仅从圆内接正多边形着手、还从外切正多边形这个角度进行计算”。这就体现出西方数学家多方位的思维方式。 古代东方数学的发展主要是应为农业经济，而西方则是因为商品贸易。东方是为了解决生活中的实际问题，而西方则是纯粹的研究，东方是知其然不知其所以然，而西方则是知其然亦知其所以然。这样，古代东方的以实践和经验为基础发展的数学就显得有点“无能为力”和“后劲不足”了。 【参考文献】 1.《数学文化小丛书》（齐明友高等教育出版社2008年6月1日） 2.《数学思想史》（王树禾国防工业出版社 2003） 3.《古今数学思想（一）（二）（三）（四）》（作者：(美)M·克莱因译者：张理京上海科学技术出版社 2009年10月）
基于数学史研究的课题 数学史研究的背景 研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它与通常历史科学研究的对象又不相同。具体地说，它所研究的内容是： %1数学史研究方法论问题；②总的学科发展史——数学史通史；③数学各分支的分科史（包括细小分支的历史）；④不同国家、民族、地区的数学史及其比较;⑤不 同时期的断代数学史;⑥数学家传记;⑦数学思想、数学概念、数学方法发展的历史； ⑧数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；⑨数学教育史；⑩ 数学史文献学；等等。按其研究的范围又可分为内史和外史。 内史从数学内在的原因（包括和其他自然科学之间的关系）来研究数学发展的历史； 外史从外在的社会原因（包括政治、经济、哲学思潮等原因）来研究数学发展与其他社会因素间的关系。数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。学术界通常将数学发展划分为以下五个时期：数学萌芽期（公元前600年以前）；初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；现代数学时期（20世纪40年代以来）。 数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 人们研究数学史的历史，由来甚早。古希腊时就曾有人写过一部《几何学史》, 可惜未能流传下来，但在5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一?卷的注文中还保留有一部分资料。中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，曾讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。12世纪时，大量的古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是当时的数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。 近代西欧各国的数学史研究，是从18世纪，由J. É.蒙蒂克拉、C. 博絮埃、A. C.克斯特纳同时?开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799?
西南大学 专业学位研究生 课程作业 课程名称数学文化与数学史 培养单位数学与统计学院 级别2017 姓名李楠馨 学号112017314221204 类别免师教育硕士 领域学科教学(数学) 2017年7月22 日 研究生院制
教材中数学史呈现方式的研究现状与趋势 西南大学数学与统计学院 李楠馨 【摘要】本文通过检索分析近十年来国内主要数学教育期刊及硕博士论文中关于“教材中数学史呈现方式的研究”的相关文献，通过文献分析法和对应维度的分类统计，对这一主题内的研究现状和趋势加以梳理和归纳，期望能对数学史与数学文化素材在教材中的融入提供思路和内容参考。 一、研究背景与问题 数学史具有重要的数学价值，已得到理论与实践两个层面的普遍认同。然而在实践教学中，却出现了史料及意识的“无米之炊”以及对数学史“高评价，低利用”的现象。教材中运用数学史可直接为教学提供史料素材，改变“无米之炊”的现状；而以何种方式呈现将决定教学史的使用水平，这对数学教育目标的达成具有重要影响。[1]数学史进入数学课程有显性和隐形两种形式，显性融入虽能起到一定的作用，但并没有深层次的挖掘其中蕴含的数学思维和方法，属于表面性的融入。融入数学史目标和瓶颈在于如何隐形融入，使之在潜移默化中对学生的理解和认知数学以更好的辅助。 一些学者认为，我国教材对数学史的处理方式，因存在简单化倾向，即对数学史料理解单一、内容选择单一、史料编排形式单一等不足，使得数学史内容未能真正融入教材，数学史料和教学主题与内容之间在形式和本质上仍处于分离状态。另外，因受教师认识水平等因素影响，数学史在教学中常处于低水平使用甚至被忽略的状态。数学史激发学生学习兴趣、帮助学生深入理解数学本质等多重资源价值与教学功能未能得到充分发挥。新课程的深入实施，使得数学史融入数学教材成为一个备受关注、颇有争议并富于挑战意义的课题。 数学史融入数学教材的“正文”的各个环节已成为理论研究与实践需要的共同呼声。如今，新课程实施已逾十年，我国教材亦几经改进，教材中的数学史使用情况如何？研究者们在关注数学史融入教材的研究时，尤其以数学史在教材中的呈现方式进行的比较研究已经进行到了怎样的程度？它们的研究成果中有哪些是共性的结果？它们比较的维度和框架都是怎样的？研究这些问题的数学教育工作者主要是高校教师还是一线教师？ 本文通过检索分析近十年来国内主要数学教育期刊上关于“数学史在教材中的呈现方式”的相关文献，通过文献分析法和对应维度的分类统计，
数学史与数学教育绪言（一） 1 【单选题】（A）于1758年出版的著作《数学史》是世界上第一部数学史经典著作。 ?A、蒙蒂克拉 ?B、阿尔弗斯 ?C、爱尔特希 ?D、傅立叶 2 【单选题】首次使用幂的人是（C）。 ?A、欧拉 ?B、费马 ?C、笛卡尔 ?D、莱布尼兹 3 【单选题】康托于（B）年起开始出版的《数学史讲义》标志着数学史成了一门独立的学科。?A、1870 ?B、1880 ?C、1890 ?D、1900 4 【判断题】历史上最早的数学史专业刊物是1755年起开始出版的《数学历史、传记与文献通报》。错误 5 【判断题】公元前5世纪的《希腊选集》中记载了关于丢番图年龄的诗文。（错误） 数学史与数学教育绪言（二） 1 【单选题】卡约黎的著作《数学的历史》出版于（B）年。 ?A、1890
?C、1898 ?D、1902 2 【单选题】史密斯的著作《初等数学的教学》出版于（A）。 ?A、1900 ?B、1906 ?C、1911 ?D、1913 3 【单选题】（D）数学史教授卡约黎倡导为教育而研究数学史。 ?A、德国 ?B、法国 ?C、英国 ?D、美国 4 【判断题】四等分角以及倍立方问题同属于三大几何难题，是被证明无法用尺规做出的。（错误） 5 【判断题】史密斯倡导建立了ICMI。（正确） 数学史与数学教育绪言（三） 1 【单选题】Haeckel的生物发生定律应用于数学史中即为（C）。 ?A、基础重复原理 ?B、往复创新原理 ?C、历史发生原理 ?D、重构升华原理 2 【单选题】史密斯的数学史课程最早开设于（C）年。
?B、1890 ?C、1891 ?D、1892 3 【单选题】《如何解题》、《数学发现》的作者是（C）。 ?A、庞加莱 ?B、弗赖登塔尔 ?C、波利亚 ?D、克莱因 4 【判断题】M.克莱因认为学生学习中遇到的困难也是数学家历史上遇到的困难，数学史可以作为数学教育的指南。（正确） 5 【判断题】18世纪欧洲主流学术观点不承认负数为数。（正确） 数学史与数学教育绪言（四） 1 【单选题】HPM的研究内容不包括（D）。 ?A、数学教育取向的数学史研究 ?B、基于数学史的教学设计 ?C、历史相似性研究 ?D、数学史融入数学科研的行动研究 2 【单选题】HPM的主要目标是促进三方面的国际交流与合作，其中不包括。D ?A、大中学校数学史课程 ?B、数学史在数学教学上的运用 ?C、各层次数学史与数学教育关系的观点 ?D、数学史对数学发展的推动作用 3
东西方文化对数学发展的影响 摘要 本文以欧洲中世纪、文艺复兴及我国明清时期为时间节点，分析了造成东西方数学发展速度此消彼长的文化领域原因。提出文化的发展繁荣一定伴随着数学的发展繁荣，文化思想的解放一定预示着数学重大成就的来临。相反，对于思想的束缚，对于知识分子个性的压制一定会导致数学发展的受挫。 第一章：概述 说到东西方数学发展，我们自然会联想到课本中一个又一个西方人的面孔，作为东方文明代表的中国，难道在数学发展上毫无建树吗？下面是一组数据： 公元前6世纪以前：数学重大成就，世界5项．中国2项。 公元前600公元1年：数学重大成就，世界15项，中国3项。 公元1—400年：教学重大成就，世界10项，中国4项， 公元400一1000年：数学重大成就．世界9项．中国6项， 公元1000一1500年：数学重大成就．世界15项，中国9项。 公元1501—1900年：数学重大成就．世界100项．中国0项。[1] 从以上数据表明在1500年以前．中国数学在世界占据重要地位．在整体上处于领先水平。特别是在公元401～1000年和公元1000～1500年期间．中国数学重大成就占世界数学重大成就的50％以上。但在1500～1900年期间，中国数学则一落千丈。在400年中竟没有一项数学重大成就。 那么究竟是什么原因造成了这样的不同呢？我认为正是东西方经济文化的发展改变了这一切。值得的注意两个重要的时间节点，第一：中世纪（Middle Ages）始于约公元476年西罗马帝国灭亡。第二：文艺复兴，始于14世纪中叶。第三：明朝建立公元1368，推行八股文，科举只考四书五经。 综上，提出以下观点，文化的发展繁荣一定伴随着数学的发展繁荣，文化思想的解放一定预示着数学重大成就的来临。相反对于思想的束缚，对于知识分子个性的压制一定会导致数学发展的受挫。 第二章：中世纪对欧洲数学发展的影响 中世纪（Middle Ages）（约公元476年~公元1453年），是欧洲历史上的一个时代（主要是西欧），自西罗马帝国灭亡（公元476年）到东罗马帝国灭亡（公元1453年）的这段时期。这个时期的欧洲没有一个强有力的政权来统治。封建割据带来频繁的战争，造成科技和生产力发展停滞，人民生活在毫无希望的痛苦中，所以中世纪或者中世纪早期在欧美普遍被称作“黑暗时代”，传统上认为这是欧洲文明史上发展比较缓慢的时期。 这一时期欧洲社会受到教廷的控制，普通市民识字率极低，哥白尼的日心学说从提出开始就受到教廷的迫害，直到哥白尼去世才肯将他的著作公诸于众，而这还是发生在14世纪末文艺复兴已经兴起的时代，试想如果哥白尼早出生几百年，他甚至可能都不识字。我们认
中西古代数学发展之异同 当前，世界已进入电脑和信息时代，作为一切科学技术基础的数学，更显示出它无穷的威力。数学是人类智慧的结晶，是全世界人民宝贵的精神财富。数学作为一门重要的工具性学科,是人类长期实践,思考的凝结。今天数学的繁荣昌盛，实得力于千百年来数学工作者的辛勤劳动。但是由于受不同社会政治、经济、思想、文化背景、地域的强烈影响，中国古代数学与西方数学存在着巨大的差别。 一、中国古代数学 黄河的沃土造就了华夏文化，使得中国成为世界四大文明古国之一，数学是其文明的重要组成部分；数学是中国古代科学中一门重要的学科，它的历史悠久，成就辉煌，它以自己的算法化和实用性为特征，形成了完整的理论体系，走在世界古代数学发展的最前列。根据它本身发展的特点，可以分为五个时期：中国古代数学的萌芽，中国古代数学体系的形成，中国古代数学的发展，中国古代数学的繁荣，中西方数学的融合。 中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展。从出土的文物，可以证实早在新石器时代，古老的中国人民已有数的概念。例如在半坡村遗址出土的五、六千年前的陶器，上面的小孔个数按自然数的顺序排列，并有规则的几何图案。仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家——夏朝,然而早在夏代之前很久，我国在几何学方面已展露端倪，对几何工具也有深刻认识。《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具。在公元前2500年，我国已有圆、方、平、直的概念。商代中期，商代的甲骨文上出现了完整的十进制，据《易·系辞》记载：“伏羲作结绳”，“上古结绳而治”，“后世圣人易之以书契”。其中有十进制的记数法，出现最大的数字为三万。这是位值制的最早使用。公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法；并举出勾股形的勾三、股四、弦五这个勾股定理。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成
基于数学史的高中概率与统计的教学案例综述 G633.6 一、数学史融于数学教学的相关研究综述 张国定（2007）设计了海伦公式，正弦定理，勾股定理，二次方程求解问题，“数学归纳法”五个结合数学史的教学案例。以课前三分钟“数学史话”的方式教学，将案例进行课堂教学检验。发现这种方式提高了学生学数学的兴趣，成绩也有显著变化。由此得出了提出问题-引导阅读（课外）-讨论交流-教师的概括与提升-进一步的阅读的教学模式。 雷晓莉（2008）设计了变量与函数，平面向量的数量积及运算；正弦定理；两角和与差的三角函数；等差数列前n项和；图形的初步认识；一次不定方程、方程组的解决；一元二次方程组的解法（配方法）八个结合数学史的案例。并将案例在课堂进行检验。研究结果表明，结合数学史的课堂教学，加深了教师对教学内容的理解和研究，提高了教师对教育理念的应用。 刘兴华（2009）从教学实践出发，结合问卷调查中发现的普遍问题，选定“无理数”、“勾股定理”、“相似三角形”三部分内容，给出不同教学内容的数学史料开发形式；根据教材中数学知识的教学结构体系，给出了数学史与教材内容重新整合的不同方式；在不同教学目标下，针对问卷中出现的数学史渗入教学的难点问题，结合不同授课类型，开发出三个数学史融入课堂教从页展示数学史视角下的体现数学思想方法的教学的教学设计。．
学设计。在三个数学史融入课堂教学的设计中，给出数学史料在数学课堂中三个渗入形式。由此，体现一定的课堂标准的教学理念，实现教材设置的教学目标。 朱凤琴，徐伯华（2010）在数学教育的整体框架下，综合考虑数学史与教学要素的关系，建构了许多融入模式，如诠释学模式、资源联络模式、历史―心理的认识论模式、三面向模式、“为何―如何”模式.这些模式对于我国的 HPM 本土化建设有以下多方面的启示：教师是数学史融入的主体；课程目标是数学史融入的方向；多角度分析是数学史融入的关键；数学史资源急待开发；HPM 应成为教师教育的重要内容。 崔海燕（2011）在“数学史选讲”部分设计了两个案例，分别是周髀算进与勾股定理，欧拉与高斯，在数学必修内容中对函数概念，等比数列求和，平面直角坐标系中的基本公式进行了数学史的案例设计。这都为结合数学史的课堂教学提供可用的案例。曹丽莉（2011）细致研究了数学史在中学数学课程中的渗透方法，该方法分为二个阶段，第一阶段：将历史直接附加于教学过程，第二阶段：融入式应用。并为数学史融于数学教学提供了一般的模式。 苗蓉（2012）针对目前缺乏数学史的教学案例和教师不知道如何应用数学史编写教学案例这一问题，开发了对数及运算，椭圆教学两个完整的案例。并将开发的案例应用于数学课堂教学实得到用数学史编写的教案可以提高学生学通过调查访谈法，践，
地中海的灿烂阳光希腊数学 “科学之祖”泰勒斯 泰勒斯(公元前625年？～公元前547年？)是古希腊第一个自然科学家和哲学家,希腊最早的哲学学派——爱奥尼亚学派的创始人。 爱奥尼亚包括小亚细亚(今属土耳其)西岸中部和爱琴海中部诸岛,公元前1200年到1000年间，希腊部落爱奥尼亚人迁移到此，因此而得名。在那里，商人的统治代替了氏族贵族政治。而商人所具有的强烈活动性，为思想的自由发展创造了有利条件。希腊既没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵循的教条，这非常有助于科学和哲学与宗教分离开来。 米利都是地中海东岸小亚细亚地区的希腊城邦，位于门德雷斯河口，地居东西方往来的交通要冲，是手工业、航海业和文化的中心。它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等东方古国累积下来的经验和文化。 泰勒斯生于米利都，他的家庭属于奴隶主贵族阶级，所以他从小就受到了良好的教育。泰勒斯是古希腊的著名哲学家，天文学家，数学家和科学家。他招收学生，建立了学园，创立了米利都学派。他不仅是当时自发唯物主义的代表，同时也是较早的科学启蒙者。 他生活的那个时代，整个社会还处于愚昧落后的状态，人们对许多自然现象是理解不了的。但是，泰勒斯却总想着探讨自然中的真理。因为他懂得天文和数学，又是人类历史上比较早的科学家，所以，人们称他为“科学之祖”。 泰勒斯早年是一个的商人，曾到过不少东方国家，学习了古巴比仑观测日食月食和测算海上船只距离等知识，了解到腓尼基人英赫·希敦斯基探讨万物组成的原始思想，知道了埃及土地丈量的方法和规则等。他还到美索不达米亚平原，在那里学习了数学和天文学知识。以后，他从事政治和工程活动，并研究数学和天文学，晚年转向哲学，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，获得崇高的声誉，被尊为“希腊七贤之首”，实际上七贤之中，只有他够得上是一个渊博的学者，其余的都是政治家。 三角学的发明 早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（menelanso of alexandria,公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（ptolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ryabhatal）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（varahamihira，约505～587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（nasired-dinal tusi，1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（j·regiomontanus，1436～1476）。 雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文
基于数学史的平均数、中位数和众数的理解① 吴 骏 黄青云 （曲靖师范学院数学与信息科学学院 ６５５０１１）（云南省曲靖市麒麟区第一中学 ６５５０００） 平均数是统计学中的重要概念．陈希孺指出，如果我们从理论的角度走一点极端，则可以说，一部数理统计学的历史，就是从纵横两个方向对算术平均数进行不断深入研究的历史［１］．实际上，描述一组数据的平均水平，除了应用较为广泛的平均数外，还有中位数和众数，这三个概念各有优缺点，存在不同的适用范围．对于统计概念的学习而言，重要的不是统计量的计算，而是对其意义的理解．那么，统计概念的理解到底体现在哪些方面呢？纵观这三个概念的历史起源，这无疑为我们开启了一扇新的窗口．本文从数学史视角来探讨对平均数、中位数和众数的理解，以期能对中学统计教学有所裨益． １ 利用平均数估计大数 在历史上，平均数最早是用来估计大数的．公元４世纪，在古印度有一个估计果树上树叶和果实数目的故事： 一棵枝叶茂盛的大树长有两条大的树枝，Ｒｔｕｐａｒｎａ需要估计这两条树枝上树叶和果实的数目．他首先估计了根部的一条细枝上树叶和果实的数目，然后乘以树枝上所有细枝的数目，得到估计值为２０９５．经过一夜的计数，证明Ｒｔｕｐａｒｎａ的估计十分接近实际的数目［２－３］． 在这个例子中，尽管我们不能确定Ｒｔｕｐａｒｎａ如何选择细枝，但可以猜想他可能选择了一条平均大小的细枝，由此得到了恰当的估计．平均大小的细枝具有代表性，这可能是算术平均数的直觉使用，因为所选的细枝代表了其余的所有细枝，其数量处于“中间”位置，应该不是太多，也不可能太少，否则所得总数将会变得太大或太小．用现代术语来说，选择枝条的一个代表值ａ，再乘以枝条的数目ｎ，得到总数ｎ×ａ＝∑ｘｉ，其中ｘｉ是枝条上的树叶和果实数． 这个例子启发我们，在教学设计时，应该把大数估计问题作为学生的认知起点，通过教学活动让学生再现这种方法，以培养他们对平均数的直觉能力．教师只有在学生已经发展了代表性的思想之后，才教给他们平均数的计算方法，而不是让学生掌握了平均数的计算公式以后，再来理解平均数的代表性． ２ 中点值是算术平均数的前概念 算术平均数的前概念可能是中点值，即两个极端值的算术平均数．中点值在９世纪至１１世纪阿拉伯人的天文、冶金和航海中有广泛的应用．托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ，１００－１７０）在《天文学大成》中指出：取最大值和最小值的平均数是一条法则［４］．这样做的目的是为了降低观察值的误差，使所得的结果介于最大值和最小值之间．一个雅典指挥官Ｔｈｕｃｙｄｉｄｅｓ，在《伯罗奔尼撒人战争的历史》一书讲述了利用中点值估计船员人数的问题：Ｈｏｍｅｒ给出了船的数目是１２００条，并指出，两种不同的船分别有１２０名和５０名船员．我猜想，他的意思是表明了各种船中容纳船员的最大数目是１２０人，最小数目是５０人，因此可以取最大和最小数目的平均数，作为每条船上船员的平均人数，再乘以船只的数量，以此估算出全体船员的人数［５］． ①基金项目：云南省教育厅科学研究基金“数学史融入中学统计概念教学的理论与实践”（编号：２０１２Ｙ４１１）
中西方古代数学发展之异同 数学是人类长期实践与思考的智慧结晶，作为一门工具性学科,在我们的生活中起着至关重要的作用。长期以来由于受不同文化传统的强烈影响，所以中西方古代数学存在很大的差异。 每一种文化系统都有其独特的数学发展模式与构造模式。因此可以说，中西文化传统的差异造成了中西方古代数学思想以及数学结构形式的差异，也就是说文化传统往往规定了数学发展的必然取向。 中西方古代数学是两个完全不同体系，中国古代数学偏向构造性与机械性的算法体系，而以古希腊为代表的西方数学则侧重于逻辑演绎体系。 古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300年。前期始于公元前600年，终于公元前336年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近；后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚；公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，古希腊文明时代宣告终结。 而中国数学起源于遥远的石器时代，经历了先秦萌芽时期（从远古到公元前200年）；汉唐始创时期（公元前200年到公元1000年），元宋鼎盛时期（公元1000年到14世纪初），明清西学输入时期（十四世纪初到1919年）。 一、最早的有关数学的记载的比较 最早的希腊数学记载是拜占庭的希腊文的手抄本（可能做了若干修改），是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写的。其原因是希腊的原文手稿没有保存下来。而成书最早的是帕普斯公元三世纪撰写的《数学汇编》和普罗克拉斯（公元5世纪）的《欧德姆斯概要》。《欧德姆斯概要》一书是以欧德姆斯写的一部著作（一部相当完整的包括公元前335年之前的希腊几何学历史概略，但已经丢失）为基础的。 中国最早的数学专著有《杜忠算术》和《许商算术》（由《汉书·艺文志》记载可知），但这两部著作都已失传。《算术书》是目前可以见到的中国最早的，也是一部比较完整的数学专著。这部著作于1984年1月，在湖北江陵张家山出土大批竹简中发现的，据有关专家认定《算术书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成书时间应该更早，大约在战国时期。《算术书》采用问题集形式，共有60多个小标题，90多个题目，包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等。 结论：中国是四大文明古国之一，所有的文化创造，均源自华夏大地。一般来讲，中国的数学成果较古希腊为迟。 二、经典之作的比较 古希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。亚历山大前期大数学家欧几里得完成了具有划时代意义工作——把以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中，欧几里得在《几何原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化，
第八讲：19世纪的代数 19世纪的代数称之“代数学的新生“。 1、代数方程根式解 高斯（德，1777－1855年），11岁发现了二项式定理，1795年进入哥廷根大学学习，1796年发现了正17边形的尺规作图法，1799年证明了代数基本定理。 高斯，“数学王子”，18－19世纪之交的中坚人物，欧拉以后最重要的数学家，数学研究几乎遍及所有领域，发表论文155篇。 1770年拉格朗日（法，1736－1813年）发表《关于代数方程解的思考》，认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。1799年鲁菲尼（意，1765－1822年）明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。 1824年阿贝尔（挪，1802－1829年）出版《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，证明了阿贝尔定理。 阿贝尔简介及数学奖：阿贝尔奖（2003－）。 1829－1831年，伽罗瓦（法，1811－1832年）建立了判别方程根式解的充分必要条件，宣告了方程根式解难题的彻底解决。 伽罗瓦简介。 伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端，现代数学酝酿的标志之一。 2、数系扩张 1873年埃尔米特（法，1822－1901年）和1882年林德曼（德，1852－1939年）分别证明了e和π是超越数。虚数（即复数）的出现，承认与反承认一直在欧洲徘徊。19世纪复数在数学中起着举足轻重的作用。1811年高斯（德，1777－1855年）讨论了复数几何表示。 对复数推广的重要贡献是哈密顿（爱尔兰，1805－1865年），1843年定义了四元数。 哈密顿简介。 1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《线性扩张性》引进了n个分量的超复数，1847年凯莱（英，1821－1895年）定义了八元数。 3、行列式与矩阵 关于线性方程组解的发展，形成了行列式和矩阵的理论。
简论中国古代数学中的“黄金分割率” 黄金分割,被誉为数学上的“黄金”与“宝石”。 古代希腊毕达哥拉斯学派以及大几何学家欧几里德 等都曾深入研究过黄金分割问题。中世纪时,这一 数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而 获得许多新的性质。在西方数学传入中国之前,中 国人不曾直接论述黄金分割问题。但是,中国古代 数学中实际上也蕴含着黄金分割问题,只是其表达 方式有所不同。中国古代数学中的黄金分割率不像 欧几里德几何那样演绎得清楚明白,需要我们去发现。我们无法确证中国古代数学家是否明确意识到“黄金分割率”,但仍可以从许多中国古代数学问题 中推导和演绎出“黄金分割率”,这有助于充分认识 中国古代数学的价值。 1 勾股术与黄金分割率 明末清初西方数学传入中国,中国数学家知道 了黄金分割率,开始有人试图论证黄金分割率在中 国是“古已有之”。例如,清代数学家梅文鼎(公元 1633 - 1721 年) 曾在《几何通解》自序中说:“惟理分中末线(即黄金分割率———引者注) 似与勾股异源,. . . . . . 而仍出于勾股。信古九章之义包举无方。”他是这样推导的:假如一直角三角形的股长是 其勾长的二倍,则这个直角三角形的勾弦之和等于 勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股 分成中末比。他还说:“《几何原本》理分中末线,但 求作之法而莫知所用。今依法求得十二等面体及二 十等面体之体积,因得其各体中棱线及轴心、对角诸线之比例,又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相容各比例, 并以理分中末为法, 乃知此线原非徒设。”〔1〕 按照梅文鼎的观点,中西数学虽然形式上有所 不同,理论上是可以会通的;西方的几何学,无非是 中国的勾股术,中末线也可以从勾股术中导出。应 当说,梅文鼎在中西数学比较中看出了两者的异中 之同,以及黄金分割率与勾股术的联系(现在中学教 科书通常用代数法解作图题,其中运用勾股定理) , 但中国古代数学毕竟没有明确作出“中末线”,梅文 鼎还是夸大了中西数学的异中之同,他没有看到欧 几里德给黄金分割率严格而清晰的证明的独特价 值。欧几里德在其《几何原本》卷Ⅱ第11 题中表述: “分已知线段为两部分,使全线段与一小线段构成的
数学与西方神秘学 工科试验班（工学）1102 沈正阳 3110103281 摘要：神秘学（Occultism,Mysticism）:指超自然的形而上学，亦即有关神秘力量的学问。也指研究“秘密知识”或是“隐瞒起来的知识”的学问。对于大多数神秘学家来说，神秘学则指的是形而上学，无法使用正常传统的科学观念所能理解，逻辑推理或现有物质科学来理解的知识，也就是超自然的能力。但是神秘学也与古代的科学技术密切相关，比如神秘学中的炼金术和现代科学中的化学。而数学，也是东西方神秘学的一个重要组成部分。本文主要讲的是西方神秘学与数学之间的关系。 关键词：西方神秘学数学毕达哥拉斯卡巴拉塔罗牌 一、起源 人类使用数字的历史非常久远。早在公元前3500年，古埃及人就用数字来记录战俘的数量；巴比伦人使用过十进制的数字体系，也用过六十进制。他们同样还为数字与行星建立了关联。不过就目前所知，巴比伦人并没有将数字与神秘学联系在一起。 巴比伦人可能是数字0这个概念的发明者，年代可能在公元前2000年到1200年间。印度人应该就是从巴比伦人这里学到了数字0的概念。不过0的概念应该算比较原型化，玛雅文化和奥尔麦克文化中也都有0这个符号。 对数字在神学和神秘主义上的发展贡献最大的要数古希腊人，这里不得不提毕达哥拉斯和柏拉图。公元前6、7世纪的泰利斯和毕达哥拉斯时代，数字就已经成为了当时天文学、文化、甚至是西方魔法理论的基本法则。 毕达哥拉斯认为，数字存在于世间万物。所有的数字和创造都离不开1和2。1和2是产生3以及后续数字的法则，正所谓有一生二，二生三，三生万物。其“天球谐合论”中的基础思想成为了后来新柏拉图派哲学的重要部分。中世纪和文艺复兴时期，许多与数学相关领域的作者都与毕达哥拉斯与新柏拉图主义紧密相联。 荣格心理学将数字视作一种“原初”，这种描述与毕达哥拉斯及新柏拉图派哲学的观念很像，毕竟有时候一些哲学上的观点也可以在神秘学及神学上看到。这里数字的意义与内涵看起来似乎很深奥，不过在塔罗牌被设计出来的那段时间，也就是14－15世纪的文艺复兴时期，数字的意义则非常普及。 二、毕达哥拉斯学派 从笛卡尔开始，人类认识自然界的视角，由过去主要以直接感知到的特征为基础的定性描述、转向了通过确定数量为主的定量分析。笛卡尔力图通过使用数学语言从事物基础的微观层面给出科学的解释，这种方式取代了过去大多以触觉、嗅觉、色彩、感觉为要素来表述事物特征的方法。 两千多年前，神秘的毕达哥拉斯就认为，当进行纯理论数学研究时，人类的灵魂沉浸“在音乐中”。他是科学家和宗教思想家的统一。事实上，有人认为是毕达哥拉斯创造了“哲学（philology）”和“数学（mathematics）”这两个词。其中，“哲学”的字面意思是智慧之爱，而“数学”的字面意思是学习的科学。
第十讲：19世纪的分析 1、分析的严格化 经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。 1.1 分析的算术化 所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。 1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。 魏尔斯特拉斯简介。 1.2 实数理论 19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。 1.3 集合论 康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。 康托简介。 2、分析的拓展 2.1 复变函数论 在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。 柯西建立了复变函数的微分和积分理论。1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。 柯西简介。
背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。 黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。 魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。 魏尔斯特拉斯的方法与柯西－黎曼的观点相互统一。 2.2 解析数论 1737年欧拉（瑞，1707－1783年）在数论的研究中引进了分析方法：解析数论。1837年狄里克雷（德，1805－1859年）用分析方法证明了欧拉－勒让德提出的素数问题，1863年出版《数论讲义》，是解析数论的经典文献。 1859年黎曼《论不超过一个给定值的素数个数》，开创了解析数论的新时期，提出了著名的黎曼猜想，使复分析成为这一领域的重要工具。1896年阿达玛（法，1865－1963年）和瓦莱?普桑（比利时，1866－1962年）证明了素数定理。 2.3 偏微分方程 19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。 弦振动方程。1747年达朗贝尔（法，1717－1783年）发表《弦振动研究》和1749年欧拉导出了弦振动方程并求出解，是偏微分方程研究的开端。 位势方程。1752年欧拉提出，拉普拉斯（法，1749－1827年）1785年用球调和函数求解，称为拉普拉斯方程。格林（英，1793－1841年），1828年完成成名之作（1850年发表）《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》提出位势方程的求解方法。 拉普拉斯简介。格林简介。 热传导方程。傅里叶（法，1768－1830年）1807年就写成关于热传导的基本论文，1822年出版了《热的解析理论》，对19 世纪的理论物理学的发展产生深远影响。 傅里叶简介。 背景：巴黎科学院。 2.4 常微分方程
《数学史》习题 总体要求 每一讲写一600字左右的读书笔记，30% 记录学期总成绩。 第一讲数学的起源与早期发展 1、您对《数学史》课程的期望。 2、谈谈您的理解：数学是什么? 3、数学崇拜与数学忌讳。 4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。 5、数的概念的发展给我们的启示。 6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。 第二讲古代希腊数学 1、试分析芝诺悖论：飞矢不动。 2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？ 3、简述欧几里得《原本》的现代意义？ 4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。 5、体验阿基米德方法：通过计算半径为1的圆内接和外切正96边形的周长，计算圆周率的近似值，计算到小数点后3位数。 6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？ 第三讲：中世纪的东西方数学I 1、简述刘徽的数学贡献。 2、用数列极限证明：圆内椄正6?2^{n}边形的周长的极限是圆周长。 3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？ 4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。
5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。 6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。 第四讲：中世纪的东西方数学II 1、印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学发展有何重要贡献？ 2、有关零号“0”的历史。 3、简述阿尔·花拉子米的数学贡献。 4、论述阿拉伯数学对保存希腊数学、传播东方数学的作用。 5、试说明：古代东方数学的特点之一是以计算为中心的实用化数学。 6、求斐波那契数列的通项公式。 第五讲：文艺复兴时期的数学 1、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。 2、简述符号“＋”、“－”的历史。 3、通过具体例子说明16世纪的意大利数学家是如何求解三、四方程的。 4、学习珠算有现实作用吗？ 5、简述欧几里得《原本》在中国出版的历史意义。 6、试分析中国传统数学自元末以后逐渐衰微的原因。 第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立 1、析几何产生的时代背景是什么？ 2、平面解析几何的产生与形数结合的思想。 3、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。 4、17世纪对哪些问题的研究导致了微积分的诞生？ 5、关于牛顿“站在巨人们肩膀上”的启示。 6、简述莱布尼茨关于微积分的工作。 第七讲：18世纪的数学：分析时代