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初中数学将军饮马问题的六种常见模型
将军饮马问题——线段和最短
一．六大模型
1.
如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。
2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。
3.如图，点P 是∠
MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小
4.如图，点P ，
Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。
5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小
第 6 页 共
10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小
二、常见题目
【1】、三角形
1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值
解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ，
∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小，
过点B 作BH ⊥AC 于点H ，
则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，
BH =22BC CH -=2263-=33
在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27
2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____．
解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4
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3．如图，△ABC 中，AB =2，∠BAC =30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM +MN 的值最小，则这个最小值
解：作AB 关于AC 的对称线段AB '，过点B '作B 'N ⊥AB ，垂足为N ，交AC 于点M ， 则B 'N = MB '+MN = MB +MN . B 'N 的长就是MB +MN 的最小值，则∠B 'AN = 2∠BAC = 60°，AB ' = AB = 2， ∠ANB '= 90°，∠B ' = 30°。
∴AN = 1 ，在直角△AB 'N 中，根据勾股定理 B 'N =3
【2】正方形
1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。
即在直线AC 上求一点N ，使DN +MN 最小 。
解：故作点D 关于AC 的对称点B ，连接BM ，交AC 于点N 。则DN ＋MN ＝BN ＋MN ＝BM 。线段BM 的长就是DN ＋MN 的最小值。在直角△BCM 中，CM ＝6，BC ＝8， 则BM ＝10。故DN ＋ＭＮ的最小值是10
2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A ．23
B ．26
C ．3
D ．6