常用回归模型简介
2、针对删截数据（censoring），可采用Tobit模型（Tobin’s probit model）；针对截除数据（truncation）与内生生性（endogenous）样本选择问题，可采用Heckman 选择模型（Heckman selection model: Heckit model）、内生性变换模型（endogenous switching regression）或倾向分分析法（propensity score matching analysis）。
1. 表1列出了某地区家庭人均鸡肉年消费量Y 与家庭月平均收入X ，鸡肉价格P 1，猪肉价格P 2与牛肉价格P 3的相关数据。 年份 Y/千 克 X/ 元 P 1/(元/千克) P 2/(元/千克) P 3/(元/千克) 年份 Y/千克 X/元 P 1/(元/ 千克) P 2/(元/ 千克) P 3/(元/千克) 1980 2.78 397 4.22 5.07 7.83 1992 4.18 911 3.97 7.91 11.40 1981 2.99 413 3.81 5.20 7.92 1993 4.04 931 5.21 9.54 12.41 1982 2.98 439 4.03 5.40 7.92 1994 4.07 1021 4.89 9.42 12.76 1983 3.08 459 3.95 5.53 7.92 1995 4.01 1165 5.83 12.35 14.29 1984 3.12 492 3.73 5.47 7.74 1996 4.27 1349 5.79 12.99 14.36 1985 3.33 528 3.81 6.37 8.02 1997 4.41 1449 5.67 11.76 13.92 1986 3.56 560 3.93 6.98 8.04 1998 4.67 1575 6.37 13.09 16.55 1987 3.64 624 3.78 6.59 8.39 1999 5.06 1759 6.16 12.98 20.33 1988 3.67 666 3.84 6.45 8.55 2000 5.01 1994 5.89 12.80 21.96 1989 3.84 717 4.01 7.00 9.37 2001 5.17 2258 6.64 14.10 22.16 1990 4.04 768 3.86 7.32 10.61 2002 5.29 2478 7.04 16.82 23.26 1991 4.03 843 3.98 6.78 10.48 （1） 求出该地区关于家庭鸡肉消费需求的如下模型： 01213243ln ln ln ln ln Y X P P P u βββββ=+++++ （2） 请分析，鸡肉的家庭消费需求是否受猪肉及牛肉价格的影响。 先做回归分析，过程如下： 输出结果如下：
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型 第一节 非参数回归与权函数法 一、非参数回归概念 前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。 设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称 g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1） 为Y 对X 的回归函数。我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即 22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L -=- （7.1.2） 这里L 是关于X 的一切函数类。当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。 细心的读者会在这里立即提出一个问题。既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。 所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。 二、权函数方法 非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式： ∑==n i i i n Y X W X g 1 )()( （7.1.3）
新疆财经大学 实验报告 课程名称：统计学 实验项目名称：回归模型分析 姓名： lili 学号： 20000000 班级：工商2011-2班 指导教师： 2014 年5 月
新疆财经大学实验报告
附:实验数据。
1、作散点图,加趋势线， 2、建立回归模型（用公式编辑器写），对模型进行统计检验。解释模型意义SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R 0.974111881 R Square 0.948893956 Adjusted R Square 0.947131679 标准误差527.4648386 观测值31 方差分析 df SS MS F Significance F 回归分析 1 149806425.5 149806426 538.4476 2.82E-20 残差29 8068355.522 278219.156 总计30 157874781.1 Coefficients 标准误差t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 121.5246471 365.0193913 0.33292655 0.741585 -625.024 X Variable 1 1.270433698 0.054749518 23.2044728 2.82E-20 1.158458
RESIDUAL OUTPUT 观测值预测 Y 残差标准残差 1 14252.56 -369.959 -0.71338 2 10116.66 196.2382 0.378401 3 7032.43 206.6701 0.398516 4 6607.597 412.4032 0.795225 5 7006.005 6.895144 0.013296 6 7843.094 -602.494 -1.16177 7 7098.874 -93.6736 -0.18063 8 6493.004 185.8963 0.358458 9 14147.49 720.0062 1.388367 10 8644.356 618.1438 1.191949 11 12461.12 717.8799 1.384267 12 6555.382 244.618 0.47169 13 9467.216 532.2839 1.026388 14 6365.198 536.2019 1.033943 15 7832.295 567.6051 1.094497 16 6399.5 526.5002 1.015235 17 7697.502 -375.502 -0.72407 18 7871.17 -171.17 -0.33006 19 12363.8 16.59511 0.032 20 7443.669 341.3307 0.658178 21 7111.959 147.341 0.284113 22 9164.599 -1070.9 -2.06498 23 7490.04 -448.14 -0.86414 24 6408.901 160.099 0.308714 25 7774.109 -130.509 -0.25166 26 10342.54 -1577.04 -3.04097 27 7362.997 -462.997 -0.89278 28 6852.282 -195.082 -0.37617 29 6982.121 -236.821 -0.45665 30 6893.317 -362.817 -0.69961 31 7260.6 -39.5998 -0.07636 y=β0+β1x y=121.225+1.27X 3、求相关系数与方向说明数意 根据以上的结果，0《r≤1,这表明x与y之间正线性相关，因为r=0.9741可视为高度相关；
SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析 2011-11-16 10:56 由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！ 非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型 还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？ 答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究： 第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？” 1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型 点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：
点击确定按钮，得到如下结果：
放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！ 点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面
在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S" 两个模型，点击确定，得到如下结果： 通过“二次”和“S “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于
多元线性回归模型 一、单选题 1.可决定系数2R 是指（ ） A 、剩余平方和占总离差平方和的比重 B 、总离差平方和占回归平方和的比重 C 、回归平方和占总离差平方和的比重 D 、回归平方和占剩余平方和的比重 2.调整的多重可决定系数2R 和2R 多重可决定系数之间的关系是（ ） A 、22 11n R R n k -=-- B 、22111 n R R n k -=--- C 、2211(1)1n R R n k -=-+-- D 、2211(1)1n R R n k -=---- 3.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算的多重可决定系数为0.8500，则调整后的可决定系数为（ ） A 、0.8603 B 、0.8389 C 、0.8655 D 、0.8327 4.设k 为模型中参数的个数，则回归平方和为（ ） A 、2 1 ()n i i Y Y =-∑ B 、21?()n i i i Y Y =-∑ C 、21?()n i i Y Y =-∑ D 、21 ()n i i Y Y =-∑ 5.最常用的统计检验准则包括拟合优度检验、变量的显著性检验和（ ） A 、方程的显著性检验 B 、多重共线性检验 C 、异方差检验 D 、预测检验 6.设k 为回归模型中参数的个数（不含截距项），n 为样本容量，RSS 为残差平方和，ESS 为回归平方和，则对总体回归模型进行显著性检验时构造的F 统计量为（ ） A 、ESS F TSS = B 、//(1) ESS k F RSS n k =-- C 、/1/(1)ESS k F TSS n k =- -- D 、RSS F TSS =
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型 第一节 非参数回归与权函数法 一、非参数回归概念 前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。 设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称 g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1） 为Y 对X 的回归函数。我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即 22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L -=- （7.1.2） 这里L 是关于X 的一切函数类。当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。 细心的读者会在这里立即提出一个问题。既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。 所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。 二、权函数方法 非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式： ∑==n i i i n Y X W X g 1 )()( （7.1.3）
案例分析报告（2014——2015学年第一学期） 课程名称：预测与决策 专业班级：电子商务1202 学号： 2204120202 学生姓名：陈维维 2014 年 11月
案例分析（一元线性回归模型） 我国城镇居民家庭人均消费支出预测 一、研究目的与要求 居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用，居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。从理论角度讲，消费需求的具体内容主要体现在消费结构上，要增加居民消费，就要从研究居民消费结构入手，只有了解居民消费结构变化的趋势和规律，掌握消费需求的热点和发展方向，才能为消费者提供良好的政策环境，引导消费者合理扩大消费，才能促进产业结构调整与消费结构优化升级相协调，才能推动国民经济平稳、健康发展。例如，2008年全国城镇居民家庭平均每人每年消费支出为11242.85元，最低的青海省仅为人均8192.56元，最高的上海市达人均19397.89元，上海是黑龙江的2.37倍。为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。 二、模型设定 我研究的对象是各地区居民消费的差异。居民消费可分为城镇居民消费和农村居民消费，由于各地区的城镇与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城镇居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。 所以模型的被解释变量Y选定为“城镇居民每人每年的平均消费支出”。 因为研究的目的是各地区城镇居民消费的差异，并不是城镇居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城镇居民的消费支出来建立模
第八章 回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MATLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 8.1.1 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。 假设对于x 的n 个值i x ，得到 y 的n 个相应的值i y ，确定01ββ，的方法是根据最小二乘准则，要使 取最小值。利用极值必要条件令 01 0,0Q Q ββ??==??，求01ββ，的估计值01??ββ，，从而得到回归直线01 ??y x ββ=+。只不过这个过程可以由软件通过直线拟合完成，而无须进行繁杂的运算。
线性回归模型的研究毕业论文 1 引言 回归分析最早是由19世纪末期高尔顿（Sir Francis Galton）发展的。1855年，他发表了一篇文章名为“遗传的身高向平均数方向的回归”，分析父母与其孩子之间身高的关系，发现父母的身高越高或的其孩子也越高，反之则越矮。他把儿子跟父母身高这种现象拟合成一种线性关系。但是他还发现了个有趣的现象，高个子的人生出来的儿子往往比他父亲矮一点更趋向于平均身高，矮个子的人生出来的儿子通常比他父亲高一点也趋向于平均身高。高尔顿选用“回归”一词，把这一现象叫做“向平均数方向的回归”。于是“线形回归”的术语被沿用下来了。 回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。按照参数估计方法可以分为主成分回归、偏最小二乘回归、和岭回归。 一般采用线性回归分析，由自变量和规定因变量来确定变量之间的因果关系，从而建立线性回归模型。模型的各个参数可以根据实测数据解。接着评价回归模型能否够很好的拟合实际数据；如果不能够很好的拟合，则重新拟合；如果能很好的拟合，就可以根据自变量进行下一步推测。 回归分析是重要的统计推断方法。在实际应用中，医学、农业、生物、林业、金融、管理、经济、社会等诸多方面随着科学的发展都需要运用到这个方法。从而推动了回归分析的快速发展。 2 回归分析的概述 2.1 回归分析的定义 回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之一。回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。 2.2 回归分析的主要容
数学建模第二次作业 例一：（线性模型） 针叶松数据该数据包含70棵针叶松的测量数据，其中y 表示体积（单位立方英尺），x 1为树的直径（单位：英寸），x 2为树的高度（单位：英尺）。 x 1 4.6 4.4 5.0 5.1 5.1 … 19.4 23.4 x 2 33 38 40 49 37 … 94 104 解答： （1）问题分析： 首先根据这组数据做自变量与因变量之间的关系图，如图1.1 。由图可知y 随x 1、x 2的增加而增加，从而可大致判断y 与x 1，x 2呈线性关系。判断是线性回归模型后进行细节的量纲分析，得出具体模型，从而利用已知的线性模型，借助R 软件求解出估计量0β，1β，β2的值得出最终结果。 图1.1 （2）模型基础 设变量Y 与变量X 1,X 2,…,XP 间有线性关系 Y=εββββ+++++P P X X X (22110) 其中N ~ε(0,2σ),P βββ,...,,10和2σ是未知参数，p ≥2，称上述模型为多元线性回归模型，则模型可以表示为： n i x x y i ip p i i ,...,2,1,...110=++++=εβββ 其中() 2,0σεN i ∈，且独立分布 即令
? ???????????=n y y y y 21，??????????????=p ββββ 10，??? ? ? ? ? ???? ???=np n n p p x x x x x x x x x X ...1...1 (12) 1 222 21 11211 ，? ???????????=n εεεε 21 则多元线性回归模型可表示为 εβ+=X Y , 其中Y 是由响应变量构成的n 维向量，X 是n ?（p+1）阶设计矩阵，β是p+1维 向量，并且满足 E （ε）=0，Var （ε）=2σI n 与一元线性回归类似，求参数β的估计值β ?，就是求最小二乘函数 Q （β）= ()()ββX y X y T -- 达到最小的β的值。 β的最小二乘估计 () y X X X T T 1 ?-=β 从而得到经验回归方程 P P X X Y βββ????11+++= （3）问题求解： 由于体积与长度的量纲不一致，为了使等式两边量纲统一，首先利用excel 软件对数据进行预处理，即对y 进行三次开方的处理。 其中，选择线的性模型为：i i i i x x y εβββ+++=221103，i=1,…,70 3 y 计算结果如下表1.1 0β=0.0329 1β=0.1745 2β=0.0142
多元线性回归模型案例分析 ——中国人口自然增长分析一·研究目的要求 中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。 影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。 二·模型设定 为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。 从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）： 表1 中国人口增长率及相关数据
设定的线性回归模型为： 1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++ 三、估计参数 利用EViews 估计模型的参数，方法是： 1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对 话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。 年份 人口自然增长率 （%。） 国民总收入（亿元） 居民消费价格指数增长 率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006 5.38 213132 1.5 16024
对多元线性回归模型的各种检验方法 对于形如 u X X X Y k k +++++=ββββΛΛ22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验： 一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验 在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具 有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。特别是，当j a =0时，称为参 数的（狭义意义上的）显著性检验。如果拒绝 0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性 影响，估计值j β?才敢使用；反之，说明解释变量 j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j β?对我们就没有意义。具体检验方法如下： （1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β； （2） 计算统计量 )?(?)?()(?j j j j j j Se a Se E t βββββ-= -= 的数值； （3） 在给定的显著水平α 下（ α 不能大于 1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ； （4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )?(?j j j Se t βββ-= 必须服从已知的 t 分布函数。什么情况或条件下才会这 样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）： （1） 随机抽样性。我们有一个含n 次观测的随 机样 (){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21ΛΛ=。这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性， 0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。 （2） 条件期望值为0。给定解释变量的任何值，误差 u 的期望值为零。即有 这也保证了误差u 独立于解释变量 X X X ,,,21Λ，即模型中的解释变量是外生性的，也使得 0)(=u E 。 (3） 不存在完全共线性。在样本因而在总体中，没有一个解释变量是常数，解释变量之间也不存在严格的线性关系。 （4） 同方差性。常数==2 21),,,(σk X X X u Var Λ。 （5） 正态性。误差u 满足 ),0(~2 σNormal u 。 在以上5个前提下，才可以推导出： 由此可见， t 检验方法所要求的条件是极为苛刻的。 二、 对参数的一个线性组合的假设的检验 需要检验的虚拟假设为 0H ：21j j ββ=。比如21ββ=无 法直接检验。设立新参数 211ββθ-=。
常见非线性回归模型 1.简非线性模型简介 非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通 过直接代换或间接代换转化为线性回归模型,但也有一些非线性回归模型却无 法通过代换转化为线性回归模型。 柯布—道格拉斯生产函数模型 y AKL 其中L和K分别是劳力投入和资金投入, y是产出。由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。 对于联立方程模型,只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性,那么这个联立方程模型就是非线性的。 单方程非线性回归模型的一般形式为 y f(x1,x2, ,xk; 1, 2, , p) 2.可化为线性回归的曲线回归 在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y与解释变量x之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为
线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如下列模型。 （1）y 0 1e x （2）y 0 1x2x2p x p （3）y ae bx (4)y=alnx+b 对于（1）式，只需令x e x即可化为y对x是线性的形式y01x，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。 对于（2）式，可以令x1=x,x2=x2,?,x p=x p,于是得到y关于x1,x2,?, x p 的线性表达式y 0 1x12x2 pxp 对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得lnylnabx ,令 y lny, 0 lna, 1 b，于是得到y关于x的一元线性回归模型： y 0 1x。 乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为yt本身是异方差的，而lnyt是等方差的。加性误差项模型认为yt是等 方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了y t值大的项（近期数据）的作用， 强化了y t值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则 对近期数据拟合得效果较好。 影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。 异方差可以同构选择乘性误差项模型和加性误差项模型解决，必要时还可以使用 加权最小二乘。
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多元线性回归模型练习 一、单项选择题 1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得可决系数为0.8500，则调整后的可决系数为（ D ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.8327 2.用一组有30个观测值的样本估计模型 01122t t t t y b b x b x u =+++后，在0.05的 显著性水平上对1b 的显著性作t 检验，则1b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ C ） A. ) 30(05.0t B. ) 28(025.0t C. ) 27(025.0t D. ) 28,1(025.0F 3.线性回归模型 01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验 0:0(0,1,2,...) t H b i k ==时，所用的统计量 服从( C ) A.t(n-k+1) B.t(n-k-2) C.t(n-k-1) D.t(n-k+2) 4. 调整的可决系数 与多元样本判定系数 之间有如下关系( D ) A. 2211n R R n k -= -- B. 22 1 11n R R n k -=--- C. 2211(1)1n R R n k -=- +-- D. 221 1(1) 1n R R n k -=---- 5.对模型Y i =β0+β1X 1i +β2X 2i +μi 进行总体显著性F 检验，检验的零假设是( A ) A. β1=β2=0 B. β1=0 C. β2=0 D. β0=0或β1=0 6．设k 为回归模型中的参数个数，n 为样本容量。则对多元线性回归方程进行 显著性检验时，所用的F 统计量可表示为（ B ） A. )1() (--k RSS k n ESS B ． C ． )1()1()(2 2---k R k n R D ．)() 1/(k n TSS k ESS -- 7．多元线性回归分析中（回归模型中的参数个数为k ），调整后的可决系数2 R 与可决系数2 R 之间的关系（ A ） ) 1 ( ) 1 ( 2 2 - - k R k R - n
摘要 回归分析和方差分析是探究和处理相关关系的两个重要的分支,其中回归分析方法是预测方面最常用的数学方法,它是利用统计数据来确定变量之间的关系,并且依据这种关系来预测未来的发展趋势。本文主要介绍了一元线性回归分析方法和多元线性回归分析方法的一般思想方法和一般步骤,并且用它们来研究和分析我们在生活中常遇到的一些难以用函数形式确定的变量之间的关系。在解决的过程中,建立回归方程,再通过该回归方程进行预测。 关键词:多元线性回归分析;参数估计;F检验
回归分析在数学建模中的应用 Abstract Regression analysis and analysis of variance is the inquiry and processing of the correlation between two important branches, wherein the regression analysis method is the most commonly used mathematical prediction method, it is the use of statistical data to determine the relationship between the variables, and based on this relationship predict future trends. introduces a linear regression analysis and multiple linear regression analysis method general way of thinking and the general steps, and use them to research and analysis that we encounter in our life, are difficult to determine as a function relationship between the variables in the solving process, the regression equation is established by the regression equation to predict. Keywords:Multiple linear regression analysis; parameter estimation;inspection II
线性回归模型 1.回归分析 回归分析研究的主要对象是客观事物变量之间的统计关系，它是建立在对客观事物进行大量试验和观察的基础上，用来寻找隐藏在那些看上去是不确定的现象中的统计规律性的方法。回归分析方法是通过建立模型研究变量间相互关系的密切程度、结构状态及进行模型预测的一种有效工具。 2.回归模型的一般形式 如果变量x_1,x_2,…,x_p与随机变量y之间存在着相关关系，通常就意味着每当x_1,x_2,…,x_p取定值后，y便有相应的概率分布与之对应。随机变量y与相关变量x_1,x_2,…,x_p之间的概率模型为 y = f(x_1, x_2,…,x_p) + ε（1） f(x_1, x_2,…,x_p)为变量x_1,x_2,…,x_p的确定性关系，ε为随机误差项。由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。 当概率模型（1）式中回归函数为线性函数时，即有 y = beta_0 + beta_1*x_1 + beta_2*x_2 + …+ beta_p*x_p +ε (2) 其中，beta_0，…,beta_p为未知参数，常称它们为回归系数。当变量x个数为1时，为简单线性回归模型，当变量x个数大于1时，为多元线性回归模型。 3.回归建模的过程 在实际问题的回归分析中，模型的建立和分析有几个重要的阶段，以经济模型的建立为例：
（1）根据研究的目的设置指标变量 回归分析模型主要是揭示事物间相关变量的数量关系。首先要根据所研究问题的目的设置因变量y，然后再选取与y有关的一些变量作为自变量。通常情况下，我们希望因变量与自变量之间具有因果关系。尤其是在研究某种经济活动或经济现象时，必须根据具体的经济现象的研究目的，利用经济学理论，从定性角度来确定某种经济问题中各因素之间的因果关系。（2）收集、整理统计数据 回归模型的建立是基于回归变量的样本统计数据。当确定好回归模型的变量之后，就要对这些变量收集、整理统计数据。数据的收集是建立经济问题回归模型的重要一环，是一项基础性工作，样本数据的质量如何，对回归模型的水平有至关重要的影响。 （3）确定理论回归模型的数学形式 当收集到所设置的变量的数据之后，就要确定适当的数学形式来描述这些变量之间的关系。绘制变量y_i与x_i（i = 1,2,…,n）的样本散点图是选择数学模型形式的重要手段。一般我们把（x_i,y_i）所对应的点在坐标系上画出来，观察散点图的分布状况。如果n个样本点大致分布在一条直线的周围，可考虑用线性回归模型去拟合这条直线。 （4）模型参数的估计 回归理论模型确定之后，利用收集、整理的样本数据对模型的未知参数给出估计是回归分析的重要内容。未知参数的估计方法最常用的是普通最小二乘法。普通最小二乘法通过最小化模型的残差平方和而得到参数的估计值。即 Min RSS = ∑（y_i – hat(y_i）)^2 = 其中，hat(y_i)为因变量估计值，hat(beta_i)为参数估计值。 （5）模型的检验与修改 当模型的未知参数估计出来后，就初步建立了一个回归模型。建立回归模型的目的是应用它来研究经济问题，但如果直接用这个模型去做预测、控制和分析，是不够慎重的。因为这个模型是否真正揭示了被解释变量与解释变量之间的关系，必须通过对模型的检验才能决定。统计检验通常是对回归方程的显著性检验，以及回归系数的显著性检验，还有拟合优度的检验，随机误差项的序列相关检验，异方差性检验，解释变量的多重共线性检验等。 如果一个回归模型没有通过某种统计检验，或者通过了统计检验而没有合理的经济意义，就需要对回归模型进行修改。 （6）回归模型的运用 当一个经济问题的回归模型通过了各种统计检验，且具有合理的经济意义时，就可以运用这个模型来进一步研究经济问题。例如，经济变量的因素分析。应用回归模型对经济变量之间的关系作出了度量，从模型的回归系数可发现经济变量的结构性关系，给出相关评价的一些量化依据。 在回归模型的运用中，应将定性分析和定量分析有机结合。这是因为数理统计方法只是从事物的数量表面去研究问题，不涉及事物的规定性。单纯的表面上的数量关系是否反映事物的本质这本质究竟如何必须依靠专门学科的研究才能下定论。 Lasso 在多元线性回归中，当变量x_1,x_2,…,x_3之间有较强的线性相关性，即解释变量间出现严重的多重共线性。这种情况下，用普通最小二乘法估计模型参数，往往参数估计方差太大，使普通最小二乘的效果变得很不理想。为了解决这一问题，可以采用子集选择、压缩估计或降维法，Lasso即为压缩估计的一种。Lasso可以将一些增加了模型复杂性但与模型无关的