《平行四边形和梯形》重难点突破
本单元的教学重点是正确理解平行与垂直的概念；掌握平行四边形和梯形的特征。教学难点是画已知直线的垂线，画平行四边形和梯形的高；理解平行四边形、梯形、正方形、长方形之间的关系。
突破建议：
1．充分重视学生已有知识基础和生活经验
学生在进行学习前往往已经具备了相关知识与技能，以及相关的能力、态度等，这是影响学生学习新知识的重要因素。这一单元中涉及的知识点包括平行与垂直、平行四边形和梯形等，这些几何图形在日常生活中应用广泛，学生头脑中已经积累了许多表象，如:学生数学书封面的对边平行、相邻的两条边互相垂直等，教师在教学中要尽可能从学生的生活经验和已有知识出发，以学生有所体验的和容易理解的现实问题为素材，让学生在熟悉的事物和具体情境中理解平行与垂直的概念。再如：学生经过了三年的数学学习，已具备了一定的知识基础。在前面的学习中已经认识了长方形和正方形，初步认识了平行四边形，学生已经能够从具体的实物或图形中识别出平行四边形，这些知识基础对于学生自主研究平行四边形的特征是一个很重要的认知起点。如何去调整学生已有的数学经验是影响学习新知的最重要因素，教师在设计教学过程时就应该充分考虑这些。还有垂线的画法这一部分教学内容，教材中增加了先让学生自己画的过程，虽然他们的画法不一定规范，但可以反映出他们对垂直概念的理解。在此基础上，介绍规范的画法，可以使学生对方法知其然还知其所以然。
利用学生已有的知识基础和生活经验进行教学，不仅可以帮助学生有效的加强新旧知识之间的联系，更全面、深刻地认识概念，同时也可以很好地调动学生的学习积极性，使学生感受到数学与生活的联系。
2．重视操作实践，突出学法指导
数学活动指观察、实验、猜测、验证、推理与交流等富有“数学味”的活动，含有较高数学思维成分在里面，而非一般意义上的肢体活动或单纯的动手操作活动。它的价值取向有两点：一是让学生亲历知识的形成过程，获得习得方法，丰富体验；二是在活动中培养自主、合作、探究的学习能力，并使之成为一种习惯。这一单元涉及许多作图的内容，如画垂线、画平行线、画长方形和正方形、画平行四边形和梯形的高等，对于四年级学生来说，这些都会有一定的难度，是本单元教学的难点之一。教学时要加强作图的训练和指导，重视作图能力的指导，这也是学生后续学习几何的一项重要技能。而教材涉及作图的内容很少呈现文字的作图步骤与方法，许多学生学习时还是有一定的困难，教师需要作具体的指导。例如用三角尺过直线上一点画已知直线的垂线的步骤是：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合；从直角的顶点起，沿着另一条直角边画出的一条直线，就是已知直线的垂线（直角顶点是垂足）。而过直线外一点画已知直线的垂线，则可在前面的基础上，引导学生进行迁移类推，让他们自主去尝试画，并用自己的语言尝试概括画图的步骤和方法，使学生在学习过程中，获得成功的体验。又如，在“做一做”中画已知直线的垂线的练习，教学时，要呈现不同位置的直线，让学生自己尝试去画，提高学生作图的灵活性。
操作实践的过程是学生动脑与动手相结合、观察与推理相结合的学习过程，结合教师的有效指导促进学生不断加深对概念的认识和理解。
3．沟通知识之间的内在联系，突出图形本质特征
由于数学知识的系统性和严密的逻辑性，决定了旧知识中孕育着新内容，新知识又是原有知识的扩展和延续。教学时，要善于理清知识间的联系，在知识的辨析对比中沟通知识之间的内在联系，突出图形本质特征。如“平行与垂直”这一内容，它的学习基础是直线和角，同时它又是认识平行四边形和梯形的基础；在教学“垂直与平行”时，就要从整体着眼，注意沟通知识之间的联系。教材一开始就让每个学生自主在白纸上画两条直线，在小组里说一说它们的位置关系，接着要求学生根据两条直线是否相交把这些作品分类 (这里特别需要注意的是两条直线延长后才相交的情况)，然后引导学生对相交和不相交的情况进行观察
初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----“等边对等角”与“等角对等边”在同一三角形中：“欲证边相等，先证角相等”，“欲证角相等，先证边相等” 例1．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD=BE，AE=DE，求∠A的度数。 例2．如图，AB=AD=AC，∠CAD=36°，求∠DBC的度数。 例3．如图，DE∥BC，BG=CG，∠1=∠2。求证：ΔDGE是等腰三角形。 【 例4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 连结EF。求证：AD垂直平分EF
1．如图，已知AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。 2．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE =CD。求证：BD =DE。 | 3.如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O。试判断△OEF的形状，并说明理 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。求证：AB=AC。
5．如图，△ACB和ΔECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。 求证：△ACE≌△BCD。 初二数学重难点专题突破-等腰三角形 ----等腰三角形中常用解题方法、 求角的方法，求边的方法，利用角平分线与平行线的关系，构造倍半关系角 例1．如图，在ΔABC中，AB=AC，D在BC上，且AD=BD，AC=CD，求∠B。 例2．等腰三角形的周长为30cm，一边长是12cm，求另两边的长。
例3．如图，在ΔABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，DE∥BC，求证：DE=BD+CE。 * 例4．如图，已知∠B=2∠C，∠CAD=∠BAD。求证：AC=AB+BD。 1．如图，已知BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=30o，DE=，求AB的长。 2．求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 3．如图，在△ABC中BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC。求证：∠ABC=∠ACB。
教学中如何突破重点解决难点 每节课我们都要围绕一个知识点进行教学，并进行有效的挖掘与延伸，针对学生的实际情况，对知识中难以理解接受的知识进行有效的突破。衡量数学教学是否有效的基本标准之一，就是看教师在教学中能否突出重点，根据学生实际，突破难点。本文提出了确定教学重点和难点应注意的几个要点，并尝试找出突出重点、突破难点的实践策略。我以苏教版小学数学教材中“解决问题的策略”为例，就教学中如何突出重点、突破难点谈一些体悟 一、确定教学重点和难点应注意的几个要点 1．根据教材的知识结构，从知识点中梳理出重点 理解知识点，首先是要理解这部分内容整体的知识结构和内容间的逻辑关系，再把相应的教学内容放到知识的结构链中去理解。其次是理解整个单元的知识点，特别是要详细地知道每节课的知识点，在教学中做到不遗漏、不添加。如果知识点是某单元或某内容的核心，是后继学习的基石或有广泛应用等，那么它就是教学重点。教学重点一般由教材决定，对每个学生是一致的。一节课的知识点可能有多个，但重点一般只有一两个。以六年级上册“解决问题的策略——替换”为例，本课的知识点有：(1)掌握解决问题的一般步骤，能按步骤解决问题；(2)会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系；(3)学会检验，掌握检验的方法；(4)明白替换问题的特点：在和一定的数量关系下，将一种数量替换成另一种数量；(5)理解用“替换”策略解决倍数关系和相差关系问题的同和异；(6)感受“替换”策略解决特定问题
的价值。梳理这些知识点后，本课的教学重点有两个：一是让学生学会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系，二是让学生明白替换问题的特点：在和一定的数量关系下，将一种数量替换成另一种数量。 2．根据学生的认知水平，从重点中确定好难点。 数学教学重点和难点与学生的认知结构有关，是由于学生原有数学认知结构与学习新内容之间的矛盾而产生的。把新知识纳入原有的数学认知结构，从而扩大原有数学认知结构的过程是同化。当新知识不能同化于原有的数学认知结构，要改造数学认知结构，使新知识能适应这种结构的过程是顺应。从学生的认知水平来分析，通过同化掌握的知识点是教学重点，通过顺应掌握的知识点既是教学重点，又是教学难点。当然，在实际教学中，由于学生个体认知水平的差异，同化的知识对有的学生而言，也是学习难点，顺应的知识对有的学生而言，不一定是学习难点。总之，要根据学生实际，在把握重点的基础上，确定好难点。仍以六年级上册“解决问题的策略——替换”为例，“替换”是一种应用于特定问题情境下的解题策略，从学生的认知结构上看，掌握这一解题策略的过程是顺应的过程。因此，这节课的教学重点就是教学难点，即会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系。除此以外，这节课的另一个教学难点是在用“替换”的策略解决相差关系的问题时，要找准总数与份数的对应数量，理解总数的变化。 3．把握教材与学生的实际，区分教学重点和难点。 分析教材，我们认为教学重点指的是“在整个知识体系中处于重要地位或发挥突出作用的内容”。因此，教学重点是基于数学知识的
人教版第二章《整式的加减》 单元教学设计 以PowerPoint软件为制作平台，运用多媒体手段，以问题为主线，活动为载体，依据课标要求，从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动进行学习。力求体现“设计问题化，问题活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。 二、知识背景分析： 整式的加减这一章内容，隶属《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。是在学生学习了有理数的基础上，结合初一学生已有的生活经验，引入了用字母表示有理数，实现了从具体的数到比较抽象的整式的过渡。使学生的思维品质提升到了一个较高的层面，实现了学生思维活动的一个质的飞跃。然后再引出单项式、多项式和整式及相关概念，在此基础上通过以“所含字母及相同字母指数”是否相同为标准建构同类项的概念，类比小学已有的“同单位量相加减单位不变”和前一章学习“相反数的概念”知识经验探究合并同类项、、去括号法则等。最后将这些知识应用于本章的重点——整式的加减，知识体系井然有序、层层深入、结构分明、重点突出。新教材把整式的乘除运算，后移到八年纪的上册的第15章中去阐述，这样处理比较符合初一学生的年龄特征和心理特点，达到了有效地降低教学难度这一目的，这样既有利于学生接受和掌握知识，又不失整个知识结构体系的完整性。本章是代数运算的基础，是进一步学习代数运算和研究方程、不等式的重要工具。此外，加减运算中所蕴含的化归思想，也是后继代数学习的重要思想。因此，本章无论是知识传承，还是数学思想方法的渗透、对学生数学素养的培养，都有着重要作用。 三、学情背景分析： 教学对象是七年级学生，在学习本章知识前，学生在小学已经学习了加法交换律、结合律，乘法分配律，简单的方程思想，巧用类比方法，全程经历有理数概念及运算的学习运用，这是顺利进行本章学习的重要资源，在建构本章知识体系时较为容易，但对于七年级的学生来说，容易受经验影响，理性思维尚处于发展阶段。因此，在概念建构上容易以偏概全，对诸如“单独一个数或表示数的字母是单项式、单项式系数和次数的区别、多项式的项数次数及按序排列、去添带有负号的括号”等容易含混出错，因此，依据《课标》要求、学生实际和教材特点，本章的教学目标、重难点与关键如下： （一）本章学习目标： １．知识与技能 （1）了解单项式、多项式整式等概念，弄清它们之间的联系和区别． （2）掌握单项式系数、次数和多项式的次数、项与项数的概念，?明确它们之间的关系．（3）理解同类项的概念，能熟练地合并同类项． （4）掌握去括号法则，能准确地去括号． （5）熟练地进行整式的加减运算． ２．过程与方法 通过丰富的实例、经历观察、分析、交流、概括出单项式、多项式、整式等有关概念；经历类比有理数的运算律，探索整式的加减运算法则．发展有条理的思考及语言表达能力和用数学知识解决实际问题的能力． ３．情感态度与价值观 培养学生主动探究，合作交流的意识．通过将数的运算推广到整式的运算，在整式的运算中又不断地运用数的运算，使学生感受到认识事物是一个由特殊到一般，由一般到特殊的
12.3.1 等腰三角形 学习目标:1.理解并掌握等腰三角形的概念、性质、及判定。 2.运用性质及判定进行证明和计算。 重点:等腰三角形性质和判定的运用。 难点:等腰三角形性质、判定的证明和灵活运用。 学习过程： 一、知识频道（交流与发现） 1、 想一想： ①重合图形的边是什么关系？ ②如图：把一张长方形的纸对折，沿虚线剪开，再把它展开，得到的ΔABC 有 什么特点？ 2、 总一总： 上述过程中，剪过的两边是相等的，即AB=AC 。像这样有_______的三角形，叫等腰三角形。相等的两边叫____，如上图中的边___和____,另一边叫____,如边____,两腰所夹的角叫______,如_____,底边与腰所夹的角叫_____,如____和_____. 3、思考？ 上面剪出的等腰ΔABC 是轴对称图形吗？图形中重合的线段和重合的角分别是哪些？ 3、 等腰三角形的性质： 性质1 _________________________可以简写成______________. 性质2 __________________________________________________. 可以理解为“三线合一”。 4、验证一下吧！ ①如图：在ΔABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD. 在ΔABD 和ΔACD 中 ∵ AB=_____ BD=_____ AD=_____ ∴_____≌_______(_____) ∴ ∠B=∠C 如果把作中线该为作底边的高线可以吗？作顶角的平分线呢？ ②自己证明性质2 （相信你一定行） 6、ΔABC 中 ∠B=∠C,作AD ⊥BC ∵AD ⊥BC ∴_____=_____=90o 在ΔABD 和ΔACD 中 ____=_____ ____=_____ ____=_____ ∴_____≌______ (_____) ∴AB=AC 7、新发现！ 经过上面的推证，我们得到等腰三角形的判定方法_____________________可以简写为________. 二、知识频道：（由解题理解知识） 1、例题在ΔABC 中AB=AC, ∠B=80°，∠C=____. （根据等边对等角得∠C= 80°） 试一试： 在ΔABC 中，AB=AC ∠A=50°则∠B=____,∠C=____. 2、例题 在ΔABC 中，AB=AC ，周长为30，AB=12，求BC 的长。 解：∵AB=AC AB=12∴AC=12 ∵周长为30∴BC=30-12-12=6 试一试： 等腰三角形的周长为30，一边长是12，求另两边的长。 A C D C D C D
浅谈如何有效突破语文教学中的重难点向四十分钟要质量，这句话体现出了人们对课堂教学效率的高度重视，的确，就学校而言，课堂是教学的主阵地，提高课堂教学效率是关键。一个教师的教学效果的好坏很大程度上取决于课堂教学效率的高低。而课堂教学要完成认知目标，就需要解决好突出重点和突破难点这两个常规问题。所以我们必须优化教学过程，提高教学效率。已下是本人在阅读教学中有效突破重难点的一点体会： 样教学设计的有效性，主要是使学生有了读书、思维的自由和空间，便于长文短教，中心突出，避免平推式和繁琐的分析，更避免牵着学生，使之完全没有了学习的自主性。在学生初读课文，了解大意以后，引导学生直奔重点，明确主旨，牵一发而动全身。由整体感知出发，再联系上下文读书。培养学生养成读书时善于抓住重点词句的良好习惯，掌握阅读方法。如《匆匆》一文的教学，在学生从整体上了解了课文内容，并质疑问难以后，我引导学生抓住文章的重点句子：我不禁头涔涔而泪潸潸了。至于为了时间的流逝而满脸是汗，满眼是泪么？由这一个句子出发，辐射全文，联系上下文去读书，去品味，正所谓一句引动全文。所以，我们可以得出这样的结论：抓住重点，辐射全文，整体升华是变填鸭式，灌输式，注入式为启发式，探究式，发现式的有效的教学设计。 二．多媒体教学有利于语文课堂教学中重难点的解决随着信息时代的到来，语文教学需要更有效的教学方法和更丰富的教学内容，
或者说需要更丰富的学习资源。在传统的的教学中，教师往往通过口授来反复说明阐述文章的重难点，但常常起到事倍功半的效果。而多媒体课件比语言更有说明力和真切感，它能化静为动，化大为小，化难为易，化抽象为直观，将事物很形象的表现出来。因此，运用恰当就可以轻而易举地突破教学的重难点，优化教学过程，使课堂气氛轻松愉快、生动活泼，从而提高教学效果。例如在《火烧云》一课的教学中，如何让学生体会火烧云颜色、形状变化的快、奇，感受大自然之美是本课的重难点。但是，学生在生活中并不能仔细地观察，所以无从领略到火烧云的神奇的美。那么，如何突破这一重难点呢？我事先请美术老师画出各种颜色的火烧云，然后用电脑把二者合而为一，并制成动画效果，让学生在多次朗读的基础上通过电脑屏幕观看火烧云的颜色变化：由红通通到金灿灿，到半紫半黄，再到半灰半百合色而其形状也在悄悄变化着：开始像马，接着变成了狗，狗又变成了狮子这样，把呆板的课文内容变成了颜色绚丽、充满童趣的动画效果，使学生在朗读欣赏之余体会了火烧云变化之快之美之神奇，感受到大自然的美丽。又如在《圆明园的毁灭》这篇课文中，对于课文所描绘的圆明园这一园林瑰宝、建筑精华，学生较难体会，对于英、法联军毁灭圆明园的罪行，也难以理解和想像。如何解决这二方面的问题呢？教学时，我借助图片、录音、影视等合而为一的多媒体课件，让学生张开想像的翅膀，强化了学生对圆明园毁灭前所产生的一美一惨、一爱一恨这两种截然不同的感情，从而突破了本课的难点。首先，借图画想像。我先出示画好的由星星、月亮组成的彩色简笔画图片，
整式的加减教案 【篇一：2.2 整式的加减教学设计教案】 教学准备 1.教学目标 1.知识目标: （1）理解同类项的概念。 （2）掌握合并同类项法则，能正确合并同类项。 （3）学会利用合并同类项法则来化简整式。 2.能力目标： （1）通过具体情境的观察、思考、类比、探索、交流和反思等数学活动培养学生创新意识和分类思想，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习。 （2）通过具体情境让学生在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化。 （3）通过知识梳理，培养学生的概括能力、表达能力和逻辑思维能力。 3.情感目标： （1）在整式的加减运算中体会数学的简洁美。 （2）在探索规律的过程中，激发学生的求知欲，培养独立思考和合作交流的能力，让他们享受到成功的喜悦，增强学数学的信心。 2.教学重点/难点 教学重点、难点： 重点：同类项的概念、合并同类项的法则及应用。 难点：正确判断同类项；准确合并同类项。 教学方法：我在教学中利用引导发现法、讨论法，营造自主探索与合作交流的氛围，共同在演示、操作、观察、练习等活动中，验证结论；运用多媒体来激发学生的求知欲，激活学生思维，从而突破教学重点和难点，提高课堂教学效益，培养学生探索能力和创新意识。 3.教学用具 4.标签 教学过程 （一）创设情景，导入新课 问题一：暑假里，小明到妈妈的水果店帮忙，妈妈叫他将下面的水果归类上柜。你认为小明该如何做？
（答：我们可以按水果的种类将这些水果分为五类：两个苹果、两个草莓、两串葡萄、三个橙子、三串香蕉。） 问题二：如果将这些水果换成我们前面学过的单项式，你将如何分类？ 这节课我们就来共同研究：整式的加减——合并同类项 （二）探究新知 1 在学生交流汇报后，分析分类后的每一组单项式有什么共同特征。学生可能在语言表达上有困难，教师适时的点拨，帮助学生表达以总结每一组单项式的共同点。随即引出同类项的概念。 1.所含字母相同。 2.相同的字母的指数也相同。 几个常数项也是同类项。 为方便学生记忆，我将同类项的概念概括为“两相同”。 设计说明：得出了同类项的概念后，我设计了两个同类项的练习，巩固同类项的概念，培养学生的发散思维能力。 2．你能写出两个项是同类项的例子吗？ 探究新知 2 我们认识了同类项，那么如何合并同类项呢？ 合并同类项的法则： 系数——相加 字母——字母和字母指数不变 我们可以将合并同类项的法则概括成：一变两不变，即一变，指系数变； 两不变：指字母和字母指数不变。 （三）巩固新知 1.填空 设计说明：通过具体练习，帮助学生进一步巩固同类项的概念，熟悉合并同类项的法则，例 4 先让学生直接代入求值，然后采用先化简后代入的方法。在比较两种方法的过程中，体会合并同类项对运算的简化作用； (四)典型例题 1.合并下列各式的同类项: 课堂小结 在学生谈收获的基础上，我出示如下课堂小结以帮助学生梳理、巩固知识。
在课堂教学中突破重难 点的有效策略 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
在课堂教学中突破重难点的有效策略教学中的重点与难点，一般来说是依据教学中的某个知识点或者教学环节比较抽象，不易理解，使知识面广而深的问题；有的则是知识内容相近、相似而容易引起学生学习过程中容易混淆的问题，或者是由于学生年龄、生活阅历、思维能力与模式、知识水平等内外因素的局限，以及客观事物的发展尚不充分而导致使所学内容难以理解的问题。 在这里，我以郭文姬老师讲授七年级语文上册中的散文《济南的冬天》一文的教学为例，就这篇文章的重难点的突破策略，谈谈我认识到的几点看法： 一、一课一难点，重难点能否突破，即在于重难点的确立 一堂课重难点明确了，突破也就有了方向，方法也就会应运而生，围绕重难点在教学环节中设计好突破的策略，才会让学生学得懂，弄得明白。 本节课中引导学生把握阅读写景抒情散文的方法,特别是比喻、拟人手法的运用，体会作者表达的思想感情是重难点。这个难点确立好了，那么在教学时方向就很明确。 二、注意教学中重点、难点的充分性与延展性 充分性是对教学中的重点内容作必要的充分适度的展开与延伸，但绝不仅仅是对教材内容的简单的同义反复，教学中既要教师发挥其主导作用，又要学生发挥主动性，并把两者结合起来。教师发挥主导作用，是指教学的方向、内容、方法和组织都要由教师来设计和决定；教师不仅要指导学生自学，而且在大多数情况下要向学生直接传授知识，施行言传身教；学生主动积极性的发挥也要依靠教师引导，教师要对教学的效果和质量做出全面的调控。学生作为认识和发展的主体，要主动积极地参与到教学中来，而不是消极被动地学习；对所学的知识要真正理解和善于运用，而不是生吞活剥、呆读死记。没有教师的主导作用或没有学生的主动性，教学就不会有良好的效果。 本节课郭老师让学生默读课文，圈点自己喜欢的写景词语或者句子，并作批注。然后，四人小组交流，分享自己的发现。接下来，由各小组中心发言人向全体学生展示自己小组的交流成果。教师反馈，及时点拨引导。课堂取得了良好的效果，重难点就在这个过程中一点一点地被分解并消化了。 三、课堂深刻性：即一课一得 课堂深刻性是教师和学生共同作用的结果。教师精心备课，用心上课，扮演好课堂的主导角色，学生学习积极主动，自主、合作、探究，主体作用得到充分的发挥，这样的课堂岂能不深刻？ 然而，语文课堂是否深刻，不能简单的以完成了多少教学任务，解决了多少问题或是学生的活跃度、参与面来衡量。语文的人文性决定了它不像非文字学科那样，用单位时间内知识点掌握的多和少来判断教学效果。语文偏于感性，更注重读和悟。可以说，语文课堂深刻性就是能调动学生感性思维的课堂，就是能激起学生情感共鸣的课堂。 因此，语文课堂应给学生更多的思考和感悟空间！教师应多方式、多途径，创设多种情境来激发学生的情感。在课堂教学中，我认为重要的一点就是
等腰三角形 本周重点、难点分析： 一、等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又重要的三角形。它的边、角的特殊性在处理许多几何问题中起着关键作用，因为等腰三角形的特殊性。我们在处理问题时很多时候需要分类讨论。（1）由于题目条件的不确定性导致结果的不唯一 1．已知等腰三角形的一个角为75度，则其顶角为_____________。 分析：等腰三角形的一个角是750这个角可能是顶角，也可能是底角。因此需要分类讨论 当等腰三角形的底角是750时，则顶角为300 当等腰三角形的顶角是750 时，也符合题意。 评点对于等腰三角形，若条件中没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,再用三角形内角和定理求解。 2．已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_____________。 分析：等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，没有指明哪个是腰长，哪个是底边的长， 因此要分类讨论 当5是等腰三角形的腰长时那么底边长就是6 则它的周长等于16 当6是等腰三角形的腰长时那么底边长就是5 则它的周长等于17 这个等腰三角形的周长等于16 或17. 评点对于底和腰不等的等腰三角形若条件中没有明确底和腰时应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论 3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 分析：如图，由于中线分周长为两部分并没有指明哪一部分是9cm 哪一部分是12cm 因此应有两种情形 设这个等腰三角形的腰长为x cm底边长为y cm 当腰长是6cm时底边长是9cm 当腰长是8cm时底边长是5cm 评点求出来的长不一定能构成三角形三条边应满足三角形三边关系定理 （2）由于题目条件的画出图形的不确定性导致结果的不唯一
教学中如何突破重难点 我们都知道，评价一节课优劣的一个重要指标，就在于看本节课的重难点是否被突破。如何把握重点、突破课堂教学中的难点，是教学活动中永恒的主体，教师只有把握重点、突破教学上的难点，才会扫除学生学习上的障碍，解除学生心理上的困惑，增强学生学好数学的坚定信念，从而达到提高教学质量的目的。那么，如何能把握教材中的重难点，又怎样才能在教学中突破重难点呢？ 一．课前研讨，分析教材，初步确定重难点。 教师在教学中能抓住重点并突破的解决好重点，是教好课的基本条件。教材的重点，是指教材中最基本、最主要的内容，它在整个教材中有重要的地位和作用，在大量知识的相互关系中它是主要矛盾，处于主导地位，起着主要的支配作用。确定教材重点，首先要认真研究教材，掌握教材具有关键性的知识内容，然后再考虑学生的实际情况。 课堂教学中突出重点有那些方法？ 1、明确重点问题，引起学生重视。 2、讲解重点问题，要做好充分准备。 3、巩固重点问题，做必要的练习。 4、处理好重点问题和非重点问题的关系。
教材的难点是学生不易理解的知识或不易掌握的技能技巧。教师所教的内容，有难有易，如果教师不把难点加以解决，不但影响当前学生的学习，还会为理解以后的新知识和掌握新技能造成困难。根据各种难点的具体特点，有以下解决方法： 1、缺乏基础知识造成的难点 学生新知识的获得是由浅入深，由近及远，由已知到未知，循序渐进。这就是温故而知新的方法。 2、由于知识抽象造成的难点 解决的办法有：讲解时多联系学生所熟悉的实际，用生活中的具体实例讲解抽象的东西。 3、对新知识过于生疏造成的难点 对于一些新知识，运用原有的思维很难理解，需要在认识上有个新飞跃，这就要求教师采取演示、实验的方法帮助学生理解。 4、其他情况造成的难点 有的问题涉及面广，需要同时综合的运用多种理论知识去分析解决。对这类问题，切勿急躁，要仔细分析问题的复杂因素，逐个解决，然后综合的运用所掌握的现有知识，灵活的解决新课题。 综上所述，对待各类问题，要具体分析，区别对待，切不可千篇一律的用一种方法解决。
初一数学整式的加减能力提升专题突破练习题5（探索规律附答案） 1．如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题． （1）在第n个图中，第一横行共_____________块瓷砖，第一竖列共有____________块瓷砖；（均用含n的代数式表示） （2）在第n个图中，铺设地面所用黑瓷砖的总块数为______________； （3）某商店黑瓷砖原价每块4元，则铺设第n个图的矩形地面，共需花多少元购买黑瓷砖？现在该商店举行“双11”促销活动，活动一：凡参加买黑瓷砖活动者赠送2块黑瓷砖；活动二：不赠送瓷砖，每块黑瓷砖打9折．现在小明需要购买黑瓷砖，铺设n=6时矩形地面，小明参加哪个活动合算？ 2．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；② ﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…．③ （1）第①行的第7个数是． （2）如果第①行的数字为a，那么第②行的数字可表示为． （3）第③行的第n个数是． （4）第②行的第8个数与第③行的第8个数的和为．
3．图中的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的. （1）观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 图形的周长 （2）推测第n 个图形中正方形的个数为______（用含n 的代数式表示）. （3）在这些图形中，任意一个图形周长y 与它所含正方形个数x 之间的函数关系式为______. 4．观察下列等式： 第1个等式：a 1＝114?＝13×（11﹣14 ）； 第2个等式：a 2＝1 47?＝13×（14﹣17 ）； 第3个等式：a 3＝1710?＝13×（11 710 -）； 第4个等式：a 4＝1 1013?＝13×（111013 -）； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a 5＝ ＝ ；第n （n 为正整数）个等式：a n ＝ ＝ ； （2）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值； （3）数学符号1 n x =∑ f （x ）＝f （1）+f （2）+f （3）+…+f （n ），试求 10 x=13 (3) x x +∑ 的值．
语文教学中教学重难点的突破方法 课堂是教师教学的主阵地，要想提高课堂教学质量，优化教学过程，就要想办法突出重点和突破难点。 教学中的重点与难点，一般是因为教学中的某个知识点比较抽象，不易理解，使知识面广而深的问题；有的则是知识内容相近、相似而容易引起学生学习过程中出现混淆的问题；或者是由于学生年龄、生活阅历、思维能力与模式、知识水平等内外因素的局限，以及客观事物的发展尚不充分而导致使所学内容难以理解的问题。在这里，我以四年级语文上册中的一篇精读课文《倔强的小红军》一文的教学为例，将我认识到的关于突破语文教学中重难点的策略在这里浅谈几点：一、直奔重点，辐射全文，整体升华。 直奔重点，辐射全文这样教学设计的有效性，主要是使学生有了读书、思维的自由和空间，便于长文短教，中心突出。在学生初读课文，了解大意以后，就要引导学生直奔重点，明确主旨，牵一发而动全身，由整体感知出发，再联系上下文读书。培养学生养成读书时善于抓住重点词句的良好习惯，掌握阅读方法。 《倔强的小红军》这篇课文记叙了陈赓同志回忆的一件往事：在二万五千里长征过草地时，一位掉队的小红军倔强地拒绝陈赓同志的帮助，最后牺牲的故事。本课的教学重难点是：通过理解小红军和陈赓的动作、神情、语言的描写，了解小红军和陈赓的品质及其情感。教学时，我在学生从整体上了解了课文内容,并质疑问难以后，引导学生由“从哪里可以看出小红军倔强？小红军为何如此倔强?”这两个问题出发，辐射全文，联系上下文去读书，去品味，成功地变填鸭式、灌输式、注入式为启发式、探究式、发现式的有效的教学设计。 二、合理利用多媒体教学，高效解决重难点 随着信息时代的到来，语文教学需要更更丰富的学习资源。在传统的的教学中，教师往往通过口授来反复说明文章的重难点，但常常事倍功半。而多媒体课件比语言更有说明力和真切感，它能将事物很形象地表现出来。因此，运用恰当就可以轻而易举地突破教学的重难点，优化教学过程，提高教学效果。 《倔强的小红军》这篇课文所讲述的故事发生在红军两万五千里长征时期，距离学生的现实生活比较遥远，学生缺乏直观感受。于是，我通过多媒体出示长征相关的资料，播放红军过草地的视频，让学生通过真切的画面感受长征的艰险
北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 等腰三角形（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C；
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝 角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形.
教学中如何突破重点解决难点教学案例 每节课我们都要围绕一个知识点进行教学，并进行有效的挖掘与延伸，针对学生的实际情况，对知识中难以理解接受的知识进行有效的突破。衡量数学教学是否有效的基本标准之一，就是看教师在教学中能否突出重点，根据学生实际，突破难点。本文提出了确定教学重点和难点应注意的几个要点，并尝试找出突出重点、突破难点的实践策略。我以苏教版小学数学教材中“解决问题的策略”为例，就教学中如何突出重点、突破难点谈一些体悟： 一、确定教学重点和难点应注意的几个要点： 1.根据教材的知识结构，从知识点中梳理出重点理解知识点，首先是要理解这部分内容整体的知识结构和内容间的逻辑关系，再把相应的教学内容放到知识的结构链中去理解。其次是理解整个单元的知识点，特别是要详细地知道每节课的知识点，在教学中做到不遗漏、不添加。如果知识点是某单元或某内容的核心，是后继学习的基石或有广泛应用等，那么它就是教学重点。教学重点一般由教材决定，对每个学生是一致的。一节课的知识点可能有多个，但重点一般只有一两个。以六年级上册“解决问题的策略——替换”为例，本课的知识点有：(1)掌握解决问题的一般步骤，能按步骤解决问题；(2)会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系；(3)学会检验，掌握检验的方法； (4)明白替换问题的特点：在和一定的数量关系下，将一种数量替换成另一种数量；(5)理解用“替换”策略解决倍数关系和相差关系问题的同和异；(6)感受“替换”策略解决特定问题的价值。梳理这些知识点
后，本课的教学重点有两个：一是让学生学会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系，二是让学生明白替换问题的特点：在和一定的数量关系下，将一种数量替换成另一种数量。 2．根据学生的认知水平，从重点中确定好难点。 数学教学重点和难点与学生的认知结构有关，是由于学生原有数学认知结构与学习新内容之间的矛盾而产生的。把新知识纳入原有的数学认知结构，从而扩大原有数学认知结构的过程是同化。当新知识不能同化于原有的数学认知结构，要改造数学认知结构，使新知识能适应这种结构的过程是顺应。从学生的认知水平来分析，通过同化掌握的知识点是教学重点，通过顺应掌握的知识点既是教学重点，又是教学难点。当然，在实际教学中，由于学生个体认知水平的差异，同化的知识对有的学生而言，也是学习难点，顺应的知识对有的学生而言，不一定是学习难点。总之，要根据学生实际，在把握重点的基础上，确定好难点。仍以六年级上册“解决问题的策略——替换”为例，“替换”是一种应用于特定问题情境下的解题策略，从学生的认知结构上看，掌握这一解题策略的过程是顺应的过程。因此，这节课的教学重点就是教学难点，即会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系。除此以外，这节课的另一个教学难点是在用“替换”的策略解决相差关系的问题时，要找准总数与份数的对应数量，理解总数的变化。 3．把握教材与学生的实际，区分教学重点和难点。 分析教材，我们认为教学重点指的是“在整个知识体系中处于重
一、选择题 1、整式---[()]a b c 去括号为（） A. --+a b c B. -+-a b c C. -++a b c D. ---a b c 2、在()()[( )][()]a b c a b c a a -++-=+-的括号内填入的代数式分别（） A. c b c b --， B. b c b c ++， C. b c b c +-， D. c b c b -+， 3、当k 取（）时，多项式83 13322-+--xy y kxy x 中不含xy 项。 A. 0 B. 13 C. 19 D. -19 4、如果多项式（a+1）x 4- x b -3x-5是关于x 的四次三项式，则ab 的值是（ ） A 、4 B 、-4 C 、5 D 、-5 已知a+b=-c ，则代数式（a+b ）（b+c ）（c+a ）+abc 的值为（ ） A 、-1 B 、1 C 、0 D 、2 5、若|a|=2，|b|=3，且a ＞b ，则|a-b|的值是（ ） A 、-5或-1 B 、1或-1 C 、5或3 D 、5或1 6、若|m|=3，|n|=7。且m-n ＞0，则m+n 的值（ ） A 、10 B 、4 C 、-10或-4 D 、4或-4 7、若M=3x 2-5x-2，N=3x 2-4x-2，则M ，N 的大小关系（ ） A 、M ＞N B 、M=N C 、M ＜N D 、以上都有可能 8、设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c ，d 分别是单项式-x y 2的系数和次数，则a ，b ，c ，d 四个数的和是（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、3 9、若多项式y 2+（m-3）xy+2x ∣m ∣是三次三项式，则m 的值为（ ） A 、-3 B 、3 C 、3或-3 D 、2 10、如果a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的数，c 与a 2互为相反数，那么(a +b)2009-c 2009=________________ 11、当a ＜3时，|a-3|+a=_______________ 12、有理数a ，b 满足a ＜0＜b ，且|a|＞|b|，则代数式|a+b|+|2a-b|化简后结果为___________- 13、去括号)()(d c b a ----＝__________ )()(d c b a -+--=________________ 14、化简)3()2(232x x x --+＝__________ )9()6(4333x x x -+--＝______ 15、化简=+---)3(4532 2x x x x ________________ 16、当的值为＋时，－ab ab ab b a 87631,9-==_____________ 17、计算m+n-（m-n ）的结果为_________________________ 18、有一道题目是一个多项式减去x 2+14x-6，小强误当成了加法计算，结果得到2x 2-x+3，则原来的多项式是________________________________ ．
如何突破小学英语教学中的重难点 教学重难点是学生在学习过程中，难以理解或难以掌握的知识、技能。在课堂教学中，学生对教学重难点的掌握情况，往往是衡量教学效果的重要依据。作为一位年轻教师，如何突破小学英语教学的重难点,是我很多时间都在思考的一个问题。那么怎样确定教学中的重难点呢、结合自己的课堂教学，阅读资料，我认为应从以下几点入手： 1、关注学生差异，调整教学难点。 学生是具有独立人格和个性差异的个体，其学习方式各不相同，学习进度有快有慢，学习程度有深有浅。相同的知识点在某个班是教学难点，而在另一个班也许就不是难点。因此，要上好英语课，教师就必须了解每个班学生的学习情况，然后根据各班学生的实际水平，适时调整教学难点。 2、分析教学重点，发现教学难点。 在教学过程中，教学难点有时会与教学重点完全一致或包含在教学重点中。有些需要学生重点掌握的知识点，教师认为不难，但学生接受困难较大或与以前所学知识有混淆，那么这些内容也应该确定为教学难点。教师在分析教学重点的时候，应该把教材内容与学生实际的认知水平相联系，以确定该教学重点是否也是教学难点。 3、根据教学经验，确定教学难点。 教师要求成课后反思的习惯，反思自己的教学行为，总结教学的得失与成败。其中很重要的一个方面就是反思教学难点是否把握准确，这样在下一次教学前，教师就可以根据以往的教学经验或教训，确定教学难点，从而调整教学方式和思路，准确地将知识传授给学生在确定了教学重难点之后，教师组织课堂教学一定要注重方法的实用性、巧妙性，良好的方法能使学生尽快有效地理解、掌握所学的知识，让其更好地发挥。以下是我从一些教学资料中获得的几种突出教学重难点的常用方法: 一．比喻说明法 比喻就是通常说的打比方。就是运用人们熟知的、形象的具体的事物来比喻生疏的、抽象的事物。用浅显的道理来比喻深奥的道理，把抽象的道理具体化，枯燥的知识生动化。在教学过程中，有时一个巧妙的比喻，可以很快帮助学生理解一些难懂的概念、规律和方法。所以说比喻是一种艺术，也是一种机智，难怪有人说比喻是语言艺术中的艺术。例如在英语学习中，难点与要点之一是动词的时态与语态。因为中文无时态的概念。尽管教师不厌其烦，以期引起学生的高度重视。但学生往往只是在语言文字层面上记住教师所讲的，但实质上并未真正理解其内涵，其结果还是需要教师一遍遍的“回炉”。因为在学生的眼里，这些概念既看不见，也摸不着，只是海市蜃楼般虚无缥缈的东西，一遇到具体的、实际的问题，就感到无从下手。又如我们换一个角度，借用比喻的修辞手法，抓住难点中的关键，利用形象化的语言载体，借助贴近生活的日常事物，学生在心理上或许更容易接受一些，在讲解时态等概念时笔者做了一些尝试；再如现在进行时态中有两个缺一不可的条件be动词和动词加ing 形式，学生总是不是少be动词，就是动词不记得加ing。笔者巧妙地将这两个条件比喻做我们穿的两只鞋，简称“左鞋”、“右鞋”，而忘加ing，就是鞋底掉了。用如此生动形象、贴近学生生活实际的比喻来纠错，学生学得愉快，记忆深刻，很快地就化解了这一教学难点二．练习法 练习是增强对知识点理解、掌握的一种主要方法，做练习最关键的是讲究选题的针对性，不然，不但不能提高学习效率，而且还影响对知识的理解和深化。选题很重要，我们认为应带着问题去找习题、编习题。只要从每一个练习中得到一点收获，一点启发，对初学的学生来说都是一个促进，一个鼓舞，对培养兴趣，打好基础有很好的作用。有时几个练习能全面
“12.3等腰三角形”重难点剖析 丁浩勇（安徽省无为县刘渡中心学校 238341） 等腰三角形有着广泛的应用，一定要熟练掌握它的相关知识． 知识点一：等腰三角形的性质 【例1】如图1，已知AB AC AD AE ==，．求证：BD CE =． 分析：由于△ABC 和△ADC 是等腰三角形，且它们底边上的高重合，添加辅助线根据“三线合一”容易得出BD CE =． 证明：过点A 作BC AM ⊥，垂足为M ． ∵AB AC AD AE ==，，BC AM ⊥，∴EM DM CM BM ==,（三线合一）．∴BD CE =． 点拨：等腰三角形的“三线合一”性质是证明线段（或角）相等的一种容易被忽视的方法．本题也可以根据全等三角形来证，但用“三线合一”要简便． 知识点二：等腰三角形的判定 【例2】如图2，在△ABC 中，AC AB =，BC AD ⊥于点D ，DE ∥AB ． 求证：△EAD 是等腰三角形． 分析：由等腰三角形的性质可知21∠=∠，又由DE ∥AB 得32∠=∠，所以31∠=∠，由“等角对等边”得△EAD 是等腰三角形． 证明：∵AC AB =，BC AD ⊥，∴21∠=∠（三线合一）． ∵DE ∥AB ，∴32∠=∠．∴31∠=∠． ∴ED EA =，即△EAD 是等腰三角形． 点拨：判定一个三角形是等腰三角形的方法有 （1）等腰三角形的定义； （2）等腰三角形的判定定理； （3）在一个三角形中，如果①一边上的高、②一边上的中线、③一边所对的角平分线，这三个条件中的任意两条线段重合，就可以推出此三角形是等腰三角形． 知识点三：等边三角形的性质 【例3】已知：如图3，△ABC 是等边三角形，过顶点B 作边AC 的垂线，垂足为D ，E 是BC 延长线上一点，且CDE E ∠=∠．求证： DE DB =． 分析：要证DE DB =，只要E DBC ∠=∠即可． 证明：∵△ABC 是等边三角形，且BD ⊥AC ， ∴?=∠?=∠30,60DBC ACB ． 又∵CDE E ∠=∠，∴?=∠=∠=∠302 1ACB CDE E ．∴E DBC ∠=∠．∴DE DB =． M B D C E A 图1 图2 B C A D E 2 3 1 A B C D 图3 E