二次函数的应用
【第一课时】
【教学目标】
1．经历数学建模的基本过程。
2．会运用二次函数求实际生活中的最值问题。
3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
【教学重点】
二次函数在最优化问题中的应用。
【教学难点】
从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课。
由课文中的问题1引入。
例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？
问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。
二、讲授新课。
在前面的学习中我们已经知道S=-x2+20x，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式。通过配方，得到S=-（x-10）2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是（10，100）。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。
所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m2。
总结得出解这类题的一般步骤：
（一）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（二）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
通过图形之间的关系列出函数解析式。
【教学过程】
（一）创设情景。
欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。（挂图展示） （二）新课教学。 例题讲解：
1．例2：如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若两端主塔之间水平距离为900m ，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m ，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m 。
（1）若以桥面所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；
（2）计算距离桥两端主塔分别为100m 、50m 处垂直钢索的长。（精确到0.1m ）
分析：第（1）题的关键是设立合适的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为（0，0.5），且关于y 轴对称，则可以设函数关系式为y=ax 2+0.5，再将（450，81.5）带入解析式中，即可求出a 的值。第（2）题要注意不能直接将100、50当作横坐标代入。
解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax 2+0.5，将（450，81.5）代入，得 81.5=a·4502+0.5 解方程，得
2
250145281a =
=
因而，所求抛物线的函数关系式为（-450≤x ≤450）。
（2）当x=450-100=350（m ）时，得
；
当x=450-50=400（m ）时，得
。
因而，距离桥两端主塔分别为100m 、50m 处垂直钢索的长分别约为49.5m 、64.5m 。 2．例：卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分。在大桥截面1:11000的比例图上，
跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB。如图（一）在比例图上，以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系：如图（二）。
（1）求出图（一）上的这一部分抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长。
（备用数据：2≈1.4，结果精确到1米）
解：（1）由图（二）建立坐标系，可知C（0，0.9），A （ 2.5，0），B（2.5，0）。
设函数表达式为y＝a（x 2.5）（x＋2.5），将（0，
0.9）代入，得
0.9＝ 6.25a
a ＝125
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因而，所求函数关系式为y ＝（x －2.5）（x ＋2.5）＝－x 2＋（－2.5≤x ≤2.5）
（2）∵D 、E 的纵坐标为0.45=， ∴
＝－
x 2＋
得x ＝±
。
∴点D 的坐标为（－，），点E 的坐标为（，
）。
∴DE ＝
－（－
）＝
。
因此卢浦大桥拱内实际桥长为×11000×0.01＝275
≈385（米）。
（三）课堂练习。 课本练习1的1、2。 （四）课堂小结。
本节课我们学习了通过图形之间的关系列出函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题。
【第三课时】 【教学目标】
学会利用二次函数解决实际问题。
【教学重难点】
利用二次函数解决实际问题。
【教学过程】
一、创设情境，引入新课。
上节课我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题。二、例题讲解。
例4：行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
制动时车速/km·h-10 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？
分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。
解：以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图：
观察图中描点处的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此y（制动距离）与x （制动时车速）的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设：
y=ax2+bx+c
在已知数据中，任选三组，如取（0，0）、（10，0.3）、（20，1.0）分别代入所设函数关系式，得，解方程组，得
因而，所求函数关系式为y=0.002x2+0.01x。
把y=46.5m代入函数关系式，得：
46.5=0.002x2+0.01x。
解方程，得x1=150（km/h），x2=155（km/h）
（舍去）。
因而，制动时车速为150km/h（>110km/h），即在事故发生时，该车属超速行驶。
三、课堂练习。
习题21.4的3、4、5。
四、课堂小结。
二次函数与实际问题联系紧密，这就要求我们在解决实际问题时，善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去分析，用数学的方法去解决，运用函数知识去解决实际问题是十分普遍和重要的。