函数的表示方法与分段函数
一、选择题
1.已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的个数是()
A．2 B．3 C．4 D．5
2.函数()
y f x
=的图象与直线1
x=的公共点数目是（）
A．1B．0C．0或1D．1或2
3.如图所示，能表示“y是x的函数”的有( )．
①
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.下列对应中有几个是映射？（）
①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个
5.已知集合{}
04
A x x
=≤≤，{}
02
B y y
=≤≤，下列从A到B的对应f不是映射的是A．
1
:
2
f x y x
→=B．
1
:
3
f x y x
→=C．
2
:
3
f x y x
→=D．2
1
:
8
f x y x
→=
6.
函数y=+)
2
ln(x
-的自变量x的取值范围是（）
A．)
,0[+∞B．)2,
(-∞C．)2,0[D．)2,1(
)1,0[
7.下列各组函数中，表示同一个函数的是()
A．y＝x－1和y＝
x2－1
x＋1
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝
x 2
x和g(x)＝
x
x 2
8设()12
32,
2()log 1,2
x e x f x x x -?
A.[2,5] C ．(0,20]
D ．{2,3,4,5}
10.设函数???<+≥+-=0
,60
,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A.),3()1,3(+∞?-
B.),2()1,3(+∞?-
C.),3()1,1(+∞?-
D.)3,1()3,(?--∞ 11.函数y ＝
2
x －1
的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪????
12，2 B ．(－∞，2] C.?
???－∞，1
2∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 12.函数f (x )＝????
?
sin (πx 2)，－1 满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所有可能的值为( ) A ．1或－22 B ．－ 22 C ．1 D ．1或 22 13.已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( ) A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1 D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1 14.设函数f (x )＝? ???? 1＋log 2(2－x )，x ＜1， 2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 二、填空题（每题8分，共24分） 15.函数f (x )x x x ++-=-02)1(的定义域是________. 16.下列结论中所有不．正确．． 的序号是 . (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数． (3)映射是特殊的函数．(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射． 17.已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是 设函数3,(10) ()((5)),(10) x x f x f f x x -≥?=? + 18.设函数31 ()1 x f x x -= +，则该函数的值域为________________． 19.已知实数a ≠0，函数f (x )＝? ???? 2x ＋a ，x <1， －x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 ___________． 三、解答题 20.求下列函数的定义域. （1 ）()f x = （2 ）()f x = （3 ）0 y = 21、(1)已知函数f (x )的定义域为[3,6] ，求函数y = . （2）若函数y ＝mx －1 mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，求实数m 的取值范围. 22、求下列函数的解析式： （1）已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，求f (x )； （2）已知12)1(-=+x x f 的定义域是]1,1[-，求)(x f ； （3）已知x x x f +=+)2(，求f (x )； （4）已知x x f x f =-)1(2)(，求)(x f . 23.已知f (x )＝???? ? f (x ＋1)，－2 x 2－1，x ≥2. (1)求f (－3 2 )的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值． 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常 见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 分段函数在分段点处的导数的求法 摘要： 分段函数又是函数中的一个难点。利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。必须用导数的定义来判断该点的可导性。分段点，分段函数在分段点处的导数的求法。 关键词：分段函数，分段点，导数 高等数学研究的对象是函数，分段函数又是函数中的一个难点。一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并没有对分段函数进行严格地定义。对其特征、性质等都没有作出具体说明并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。 分段函数是指在自变量变化的不同区间上，它有不同的表达式，而在整个自变量的变化区间上，它是一个函数。分段函数的分段点是指函数自变量的某一取值，函数在该点与在其它部分有不同的表达式。分段函数有多种形式，但对每一个分段点而言，最常见的分段函数可归结为以下两种形式： ，， 其中为函数的分段点。 在高等数学教学中，分段函数求导是学生学习的一个难点。对于分段函数的求导，关键在于分段点处导数的计算。一般高等数学教材在给出导数的定义后，都会给出可导的必要条件，;;可导必连续;;，这一必要条件的另一种说法：不连续一定不可导.利用这一必要条件，往往极易判断出函数在分段点的可导性。 1．若分段函数在分段点处不连续，则在分段点处必不可导。 例1 设，讨论在处是否可导？ 解：，，由于，可得在处不连续，则在处不可导。 以下讨论，我们总假定分段函数在分段点处是连续的。 2．利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。 分段函数在分段点处的导数一般通过定义来求解，即讨论在分段点处的左、右导数来获得。在处可导的充要条件是左导数和右导数均存在且相等，即（为常数）。 例2 设，讨论在处是否可导？ 解：，， 由，可得在处可导，且。论文发表，分段点。 例3 设，讨论在处是否可导？ 解：，， 因为，所以在处不可导。 3．利用导数极限定理求导 例4 设，讨论在处是否可导？ 解法一：利用导数的定义， ， 。论文发表，分段点。由，得到在处可导。 在教学过程中，我们常会发现一些学生是按照以下方式来做的。 解法二： 当时，，；当时，，。 于是，因此且有。论文发表，分段点。 分析: 解法一是正确的，解法二虽然得到了和解法一相同的结论，但是在最后一步，由，推出，学生是将分段连续函数在分段点的导数看作导函数在该点的极限值，这样是否成立呢？我们看下面这个例子。 函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像 考研数学：分段函数求导两种技巧 从上面的例题中，可以看出，方法二在处理分段函数求导问题上，明显更简便一些。具体的方法选用，要具体的分析对应的题目。同学们可以做一些这一类的题目，进行巩固练习，加 深对两种方法的掌握。 考研数学高分规划 近几年的考研数学大纲基本没有变化。对于选择题仍然考查考生的基本计算能力、基本逻辑推导能力等;填空题考查基本计算能力;而计算题考查基本计算能力、简单的应用能力和证明能力等。我们考生在复习时，一定要以国家考试中心的考试大纲为标准，严格按照规定的考点及层次去复习，至今命题的核心是考察两个层次的问题，一个是基本概念、基本理论、基本方法，也就是“三基”，这些题目占到80%以上;再一个就是知识的运用能力，所以凯程教育数学辅导专家提醒考生考研数学复习的准备也应该从这样两个方面去针对性的复习。 第一个层次——扎实的基础知识。对于考试大纲中规定的所有考点，一定要系统、完备的理解和掌握，特别要注意课本外的理解和延展，结合一些基础题目去真正理解这些知识点以及了解这些知识点的使用条件等。 第二个层次——知识的灵活运用。如果仅是依靠教材，很难把这种考试命题的特点归纳总结出来，因此要了解考试必须熟悉历年考试真题，通过真题的分析帮助自己真正的归纳总结一些题型，再针对每一类问题去分析。根据真题，总结常考的题型及每种题型相应的解决方法有哪些，去总结和归纳，借助于题型再进一步完善知识点的理解和掌握。 不管进行哪个层次的复习，都必须保证一定的题量。不通过一定的题量练习稳固知识基础，也很难把握知识的灵活运用，所以建议大家找一些典型的题做一些训练，通过这种练习来反馈我们知识的把握情况，同时还能更好的掌握这些相关的知识。 根据命题考核层次及学习的科学规律，我们总的来说把复习规划可以分为三个阶段： 第一个阶段是基础阶段。这个阶段的长短应该根据自己的情况来实施，基础好一点的同学，这个时间可以短一点，基础差一点的同学，这个阶段可以长一点。但是要提醒大家，这个基础阶段的时间不能太长，不能到了十月、十一月份还在打基础，那这样的话，复习的效率就太低了，我们建议基础再差的同学也要尽量在五、六月份把这个教材的打基础复习的阶段做完。 第二个阶段是强化阶段。看一些提高类的辅导书和针对考研的这种考试参考书，按照题型分类。教材和参考书在复习上是有差异的，教材是不跨章节的，也就是你在看第六章的时候，例题也好，习题也好，不可能用到第六章以后的知识，考研的题是同学们上完全部课程，都学完了才来考试的，所以仅看教材的话就有些不足，难以提高自己的水平。而参考书已经将所有知识进行了综合整理，对于考研这个层次的数学知识来说哪些是重点、哪些是难点它都做了归纳总结，同学们要多花时间充分利用参考书复习透彻。 第三个阶段是冲刺阶段。通过强化阶段的复习，考生已经达到了一定的水平，那么怎么样保持这个水平呢?通过做适当的题，比如历年真题或是做模拟题，这个叫做总复习，或者说是冲刺的阶段。这个阶段什么时候开始是同学们关心的，一般来说，考生可以在十月份中旬以 全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课： 分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13 【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1 精心整理 2015-2016学年度???学校9月月考卷 分段函数、抽象函数与复合函数 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 5．已知函数 3,0, () ln(1),>0. x x f x x x ?≤ =? + ? ,若2 (2)() f x f x ->，则实数x的取值范围是（） A．(,1)(2,) -∞-?+∞B．(,2)(1,) -∞-?+∞C．(1,2) - D．(2,1) - 6．定义一种运算? ??>≤=?b a b b a a b a ,,，令()()t x x x x f -?-+=224（t 为常数），且[]3,3-∈x ， 则使函数()x f 最大值为4的t 值是（） A ．2-或6B ．4或6C ．2-或4D ．4-或4 7．已知? ???+∈+=R x x i R x x x f ,)1(,1)(，则=-))1((i f f （） A.2i - B.1 C.3 D.3i + 8 34x x <，且(f A ．9A ．1 10a 的取A ．(C ．[11．若() 2 2,,0()21,[0,) x x f x x x x ?--∈-∞=?--∈+∞?，x 1＜x 2＜x 3，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的值的范围是（） A ．[1,2) B ．(1,2] C ．(0,1] D ．[2,3) 12．已知函数()2 3,2 x f x x x ≥=- 13．已知函数()() ()?????≤?? ? ??>=0340sin x x x x f x π，则()()1-f f 的值为（） A. 4 3π B.1sin - C.22 D.1- 14．设函数???><=0 ,log 0 ,2)(2x x x x f x ，若存在唯一的x ，满足a a x f f 28))((2+=，则正实数．．． a 的最小值是（） （A 15A.(16a 的个A ．17A ．918A.(191)]1([=g f A.1B.2C.3D.1- 20．已知函数2|log |,02 ()sin(),2104 x x f x x x π < 函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y = 解析式、分段函数、函数图像作业 题型一分段函数1．已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ??≤≤?=<?(1)画函数图像(2)求((1))f f -；(3)若0()2f x >,求0x 的取值范围. 题型二解析式 1.求下列函数的解析式 （1）已知2()f x x x =+，求(1)f x -的解析式 （2）若1)f x +=+ ()f x 的解析式（3）如果1f x ?? ???＝1x x -，则当x ≠0，1时，求()f x 的解析式（4）已知2112f x x x x ? ?+=+ ?? ?，求()f x 的解析式2.求下列函数的解析式 （1）已知函数()f x 是一次函数，若()48f f x x =+????，求()f x 的解析式； （2）已知 ()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式 （3）已知函数f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x，求()f x 的解析式． （4）已知函数()f x 的定义域是一切非零实数，且满足13()24f x f x x ??+= ??? ．求()f x 的解析式． 3.已知函数()21f x x =-，2,0,(){1,0,x x g x x ≥=-<求()f g x ????和()g f x ????的解析式．题型三函数图像 1.画出函数2)(x x f =的图像，并用变换的方法画出以下函数的图像。 （1）2)(2+=x x f （2）2)1()(-=x x f （3）2)2()(2 +-=x x f （4）32)(2+-=x x x f （5）542)(2 -+=x x x f 2.画出下列函数函数的图像。（1）11 )(-=x x f （2）21)(+=x x f （3）32 1)(+-=x x f （4）3241)(--=x x f （5）231)(+-=x x f 3.画函数12 x y x -=-的图像4.画下列函数的图像 （1）()3f x x =-（2）f（x）=|x 2﹣6x+8|（3）2 x y x =+（4）223y x x =-++（5）1 2|| y x =- 周期函数 通俗定义 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT （k∈Z且k≠0）都是它的周期。 严格定义 设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f （x+T）=f（x）； 则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。 由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 正弦函数图象 编辑本段周期函数性质 ⑴若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。 ⑵若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。 ⑶若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。 ⑷若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 ⑸若T1、T2是f(X）的两个周期，且是无理数，则f(X）不存在最小正周期 ⑹若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。 ⑺周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。 编辑本段判定 定理1 若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。[1] 证： ∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， ∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0 题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+ 【知识要点】 分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题. 1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为： 11 2 2() ()()() n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈??∈?=? ∈??∈?K K ，不要写成11 22 ()()()()n n n y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈??=∈?=?∈? ?=∈?K K .注意分段函数的每一段的自变量的取值范 围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面. 2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并. 4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合. 5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合. 6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性. 7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. 虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】 题型一 分段函数的解析式问题 解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总. 2018年高考数学复合函数定义域及常见函数解析式的求法总结 （1）定义域一定是x的范围,注意力应放在x上,不管已知定义域,还是求定义域,都是指x范围.如f(3x+1)的定义域为[1,2]是指括号内3x+1中的x的范围是[1,2] （2）求定义域的方法是：凡是f后面括号内的范围是相同的,不管括号内是什么,通过这个求x范围 如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(x)定义域 由条件可得整个括号内的范围为[4,7] 而f(x)中,括号内只有x,故定义域即为[4,7] 再如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(1-2x)定义域 由上可知括号内范围[4,7] 故1-2x的范围也是[4,7] 解不等式4≤1-2x≤7得出的x范围即为所求的定义域 函数解析式的七种求法 一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f （x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集； 函数定义域与值域 1.函数的概念 本节我们将学习一种特殊的对应—映射。 看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集 求平方 B B 说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是： 映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f : 映射与函数的区别： 3.函数的三种表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式 （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系 （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 4.求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 5 区间的表示： ],[}|{b a b x a x =≤≤ ),[}|{b a b x a x =<≤ ],(}|{b a b x a x =≤< ),(}|{b a b x a x =<< ],(}|{b b x x -∞=≤ ),[}|{+∞=≤a x a x 6 如果A ，B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C （C ?B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数f(x). 明确函数的三要素：定义域、值域、解析式 二 典型例题 例1．若函数y ＝f(x)的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是 ( ) 变式：设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示： 分段函数及函数的单调性奇偶性 一、分段函数 基础测试 1、已知函数2311()4615x x f x x x x -≤≤?=?-+<?=?-+-≤?在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是 。 （2）、若函数f(x)=|2x+a|的单调区间是[3,+∞)，则a 的值为 。 二、复合函数的单调性 例：（1）求下列函数的单调区间 y ＝1(x ＋1)2 13y ?= ??? （2）、已知函数log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围为 。 三、函数的单调性的应用 1、（比较大小）若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，则f (－1)，f (2)，f (4)的大小关系为 。 2、（解不等式）已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1) 分段函数 1.已知函数f （x ）＝232,1, ,1,x x x ax x +?=?≤?，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294 f f f -=-==， 所以B 正确. 3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ???>---≤-0 ),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈， ()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??-?+∞???? 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难 题。 依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??， 222,12()2,12 x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或 5.若函数f(x)=212 log ,0,log (),0x x x x >???-f(-a),则实数a 的取值范围是 函数的定义及其表示 一、选择题（共16小题；共80分） 1. 设集合 M ={x ∣0≤x ≤2}，N ={y ∣0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是 ( ) A. B. C. D. 2. 设函数 f (x )={x 2+1,x ≤1 2x ,x >1，则 f(f (3))= ( ) A. 1 5 B. 3 C. 2 3 D. 13 9 3. 设集合 M ={x ∣(x +3)(x ?2)<0}，N ={x ∣1≤x ≤3}，则 M ∩N = ( ) A. [1,2) B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3] 4. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x,y ∈R )，f (1)=2，则 f (?3) 等 于 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. 已知函数 f (x )={2x +1,x <1 x 2+ax,x ≥1 ，若 f(f (0))=4a ，则实数 a 等于 ( ) A. 1 2 B. 4 5 C. 2 D. 9 6. 下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A. y =x +1 与 y = x 2+x x B. f (x )= 2(√x) 2 与 g (x )=x C. f (x )=∣x ∣ 与 g (x )=√x n n D. f (x )=x 与 g (t )=log a a t 7. 下列各组函数中，表示同一个函数的是 ( ) A. y = x 2?1x?1 与 y =x +1 B. y =x 与 y =∣x∣ C. y =∣x∣ 与 y =2 D. y =2?1 与 y =x ?1 8. 已知函数 f (x )={2x +1,x <1 x 2+ax,x ≥1 ，若 f(f (0))=4a ，则实数 a 等于 ( ) A. 1 2 B. 4 5 C. 2 D. 9 9. 若 f (x )=ax(a ＞0且a ≠1) 对于任意实数 x ，y 都有 ( ) 分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 2 22(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） A C D 6．求分段函数得反函数 例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设 ()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式. 7．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数22(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+
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