第十一讲三角函数
直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这佯便定义了直角三角形中锐角的三角函数(如图3－14)，常用的有：
利用比例的变形并且结合勾股定理，可以从三角函数定义中推出同角三角函数间的关系式：
(1)倒数关系
tgα·ctgα=1；
(2)商的关系
(3)平方关系
sin2α+cos2α=1．
这些同角三角函数关系式对任意锐角都成立，它们在求值、化简以及三角式的变形中有着重要的应用．
如图3-15所示，在直角三角形ABC中，∠A与∠B互为余角，根据三角函数定义不难得到互为余角的三角函数之间的关系：
sinB=sin(90°-A)=cosA，
cosB=cos(90°-A)=sinA，
tgB=tg(90°-A)=ctgA，
ctgB=ctg(90°-A)=tgA．
上述四个公式可以概括为：一个锐角的余角的三角函数值，等于该锐角相应的余函数的函数值
由图3－16可以看到，在直角三角形ABC中，如果斜边长度不变，当锐角A增大时，sinA与tgA的值也随之增大，而cosA与ctgA的值随之减小．特别地，当A=0时，sin0=0，tg0=0，cos0=1，ctg0值不存在；当A=90°时，sin90°=1，tg90°值不存在，cos90°=0，ctg90°=0．
由于一个角的正弦或余弦值等于直角边与斜边的比，而直角三角形的斜边总是大于直角边，所以，当α为锐角时，总有
0＜sinα＜1，0＜cosα＜1．
我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题．
例1 不查表，求15°的四种三角函数值．
分析 30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15°角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．
解如图3－17所示．在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB 到D，使BD=BA，则
所以
所以
说明将15°角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30°角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75°角的四种三角函数值．
例2 比较下列各组三角函数值的大小：
(1)sin19°与cos70°；
(2)ctg65°与cos40°；
(3)cos1°，tg46°，sin88°和ctg38°．
分析 (1)利用互余角的三角函数关系式，将cos70°化为sin20°，再与sin19°比大小．
(2)余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊
再将ctg65°，cos40°分别与ctg60°，cos45°比大小．
(3)tg45°=1，显然cos1°，sin88°均小于1，而tg46°，ctg38°均大于1．再分别比较cos1°与sin88°，以及tg46°与ctg38°的大小即可．
解 (1)因为cos70°=cos(90°-20°)=sin20°，而
sin19°＜sin20°，
所以sin19°＜cos70°．
(2)因为
所以 ctg60°＜cos45°，
所以 ctg65°＜cos40°．
(3)因为ctg38°=ctg(90°-52°)=tg52°，所以
tg52°＞tg46°＞tg45°=1．
因为
cos1°=cos(90°-89°)=sin89°，
所以sin88°＜sin89°＜1，
所以ctg38°＞tg46°＞cos1°＞sin88°．
说明比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：
(1)同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．
(2)互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．
(3)不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30°，45°，60°的三角函数值．
例3 化简求值：
(1)tg1°·tg2°·tg3°·…·tg89°；
分析 (1)因为tg89°=tg(90°-1°)=ctg1°，而tg1°·ctg1°=1，所以，可将连乘积中的第一个因式与倒数第一个因式相乘，结果为1．同样方法，将第二个因式与倒数第二个因式相乘，其积也是1．依次类推．
(3)利用同角三角函数关系将正切函数化为正弦函数与余弦函数，再进一步化简求值．
(4)将被开方式化为完全平方的形式，即
1-2sin11°·cos11°=sin211°-2sin11°·cos11°+cos211°
=(sin11°-cos11°)2．
因为sin1l°＜cos11°，所以根式化简后得cos11°-sin11°．
(5)根据tgα=3，求出sinα与cosα的值．也可以将所求分式的分子、分母同除以cos2α，将其化为用tgα表示的分式．
解 (1)原式=tg1°·tg2°·tg3°·…·tg44°·tg45°
·ctg44°·ctg43°·…·ctg3°·ctg2°·ctg1°
=(tg1°·ctg1°)·(tg2°·ctg2°)·…·(
tg44°·ctg44°)·tg45°
=1·1·…·1=1．
说明同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．
例4 设α是锐角，若
求以tgα，ctgα为两根的一元二次方程．
分析根据韦达定理，以tgα，ctgα为两根的一元二次方程是
x2-(tgα+ctgα)x+tgα·ctgα=0，
因此，解决问题的关键是求出tgα+ctgα的值．
解由已知条件
可得
所以
(1)当sinα=cosα时，tgα=ctgα=1，所求方程为
x2-2x+1=0，
所求方程为
即4x2-9x+4=0．
说明这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径．
例5 设x2+y2=1，且x≠-1，y≠-2，求证：
分析本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂．根据已知条件x2+y2=1，联想到sin2α+cos2α=1，因此可设x=sin α，y=cosα，则将代数式转化为三角式，利用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些．
证设x=sinα，y=cosα，则
说明在一些代数等式的证明中，如果已知条件
x2+y2=1或x2+y2=a(a＞0)，
则可设
从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多，因此化为三角式后，运算化简常比较方便．
练习十一
3．求值：sin6α+cos6α+3sin2α·cos2α+4．4．求证：
(1)sin(90°-A)ctg(90°-A)=sinA；
(2)sinAcos(90°-A)+cosAsin(90°-A)=1；
5．化简下列各式，并求出它们的值：
(1)(sinA+cosA)2+(sinA-cosA)2；
6．证明：
sin2A·tgA+cos2A·ctgA+2sinA·cosA=tgA+ctgA．
初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）
第一讲走进追问求根公式 第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理 第四讲明快简捷—构造方程的妙用 第五讲一元二次方程的整数整数解 第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想 第八讲由常量数学到变量数学 第九讲坐标平面上的直线 第十讲抛物线 第十一讲双曲线 第十二讲方程与函数 第十三讲怎样求最值 第十四讲图表信息问题 第十五讲统计的思想方法 第十六讲锐角三角函数 第十七讲解直角三角形 第十八讲圆的基本性质 第十九讲转化灵活的圆中角
第二十讲直线与圆 第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理 第二十三讲圆与圆 第二十四讲几何的定值与最值 第二十五讲辅助圆 第二十六讲开放性问题评说 第二十七讲动态几何问题透视 第二十八讲避免漏解的奥秘 第二十九讲由正难则反切入 第三十讲从创新构造入手
第一讲 走进追问求根公式 形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了 一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。 【例题求解】 【例1】满足的整数n 有 个。 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。 【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。 【例3】 解关于的方程。 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。 【例4】 设方程，求满足该方程的所有根之和。 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。 【例5】 已知实数、、、互不相等，且， 试求的值。 思路点拨：运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值。 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程（）直接作零值多项式代换； (2)把方程（）变形为，代换后降次； (3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去。 02=++c bx ax 0≠a a ac b b x 2422 ,1-±-=1)1(22=--+n n n 1x 2x 032=-+x x 1942231+-x x 1x 2x 1213x x -=2223x x -=x 02)1(2=+--a ax x a 01=-a 01≠-a 04122=---x x a b c d x a d d c c b b a =+=+ =+=+1 111x b c d a x 02=++c bx ax 0≠a 02=++c bx ax 0≠a c bx ax --=202=++c bx ax 0≠a c bx ax -=+2bx c ax -=+2x
全国高中数学竞赛专题三角函数精编W O R D 版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重 合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原 点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余 切函数cot α= y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α= α sec 1 ； 商数关系：tan α= α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法． 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根． 解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得 由于x1，x2是正整数，所以 m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2．这时x1=6，x2=4． 解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知 所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即 m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73， 只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5． 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根． 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是
这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法． 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值． 分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来． 解因为a≠0，所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5． 例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值． 解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令 Δ=(m-1)2-4m＝n2， 其中n是非负整数，于是 m2-6m+1=n2，
因式分解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)
初中数学教研组新学期工作计划 初中数学教研组工作计划 一、指导思想： 认真贯彻校教务处工作计划。 初中数学教研组工作计划。以组风建设为主线，以新课程标准为指导，以教法探索为重点，以构建“自主学习”课堂教学模式为主题，以提高队伍素质，提高课堂效率，提高教学质量为目的。深化课堂教学改革，努力改善教与学的方式，使我校数学教学、教研质量进一步提高。 二、工作目标 1、加强组风建设，狠抓教学常规，更新教学观念，提高教师实践能力。 2、构建“自主学习”课堂教学模式，努力改善教与学的方式。 3、进一步提高教师的信息技术与数学教学整合能力。 XX 4、抓好培优补差工作，努力解决厌学问题。 5、继续抓好培养青年教师工作。 6、进一步加强科研力度，树立科研兴教思想。 三、重点及主要措施 1、加强组风建设，把数学组建设成师徳形象好，教研
风气浓，协作意识和团体凝聚力强，特别是对学生、对学校发展有强烈责任感和使命感的教研组。主要通过组内讨论，与领导交流，师生沟通及自修师德，听专家讲座等形式，增强教师的责任感和使命感，同时教研组长配合教导处承担对数学教学的指导和管理，以抓"课堂常规"为突破口，抓好各项常规管理。严格执行教导处的各项计划。 2、更新教学观念，构建“自主学习”课堂教学模式 ⑴、用新课程改革的理念来转变和更新教学观念，武装自己，指导平常的教学工作，提高课堂教学效率。 XX ⑵、强调智力因素和非智力因素的结合，创造愉快振奋的学习情绪，调动学生智力活动的积极性，积极实行启发式和讨论式教学，培养学生自主学习。激发学生独立思考和创新意识，切实提高教学质量。废除"注入式"、"满堂灌"，挣脱阻碍学生主动发展的束缚，构建充满生命活力的“主动发展型”新模式，还学生主体参与的权力，实现学生主体、主动，创新可持续发展。 ⑶、继续树立学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者、引导者、合作者和促进者的思想观念，以平等、宽容的态度对待学生，在沟通和“对话”中实现师生的共同发展，努力建立互动的师生关系。。 ⑷、强化基础学科和学科基础知识，在注重基础知识和
初中数学竞赛专题：三角函数 §7．1锐角三角函数 7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小： （1）sin19?与cos70?； （2）cot65?与cos40?； （3）cos1?,tan46?,sin88?和cot38?． 解析（1）利用互余角的三角函数关系式,将cos70?化sin20?,再与sin19?比大小． 因为() ?=?-?=?,而 cos70cos9020sin20 ??>, ??>?=． tan52tan46tan451 因为() ?=?-?=?, cos1cos9089sin89 所以sin88sin891 ??>?>?． 评注比较三角函数值的大小,一般分为三种类型： （1）同名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角的大小来确定三角函数值的大小． （2）互为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数,比较
初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除，那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3 整除的数共有几个？为什么？
初中数学竞赛专题选讲 函数的图象 一、内容提要 1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵 坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线 ① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如： 二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y= x k (k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如： ① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； ② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)； ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应 的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解. ④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公 共解.等等 4. 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题 例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)， 试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0. ∵对称轴在原点右边，∴x=－ a b 2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. 例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5. 试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：
很快又开学了，培优补差工作是一个学校教学工作的重中之重，接下来为你带来2020初中数学培优补差范文，希望对你有帮助。 2020初中数学培优补差工作计划范文篇一 新世纪呼唤新课改，当前，小学数学教学正处在一个大的变革之中，作为教师，我们要努力探讨如何在数学教学中进行素质教育和培养学生的创新精神，如何为学生的终身发展打好基础。为了全面提高本班学生学习的主动性和积极性,实行以点带面,全面提高、通过培优补差使学生转变观念,认真对待学习,发展智力,陶冶情操,真正做到教师动起来,学生活跃起来、并且长期坚持下去,真正让学生树立起学习的信心和勇气、克服自卑的心里、在学生中形成“赶、帮、超”浓厚的学习兴趣,使每个学生学有所长,学有所用、因此,特制订本班2020初中数学培优补差工作计划范文。 一、工作目标 1、加强对培优补差工作的常规管理和检查。 2、通过培优补差,使学生能充分认识到学习的重要性。 3、认真挑选好培优补差的对象。
4、认真做好学生的辅导工作,每周至少2次的辅导,辅导要有针对性和可行性。 二、具体内容 1、培优内容思维能力方面的训练。 2、补差内容义务教育课程标准试验教科书三年级上册。 三、培优补差对象和形式 对象本班优等生和后进生 形式1、利用课堂时间相机辅导2、利用学校午休时间3、老师、家长相配合 四、具体措施 1、利用课堂时间相机辅导 在课堂上多提问他们，对优等生，多提问一些有针对性、启发性的问题;对后进生多提问一些基础知识，促使他们不断进步。当后进生作业出现较多错误时，教师要当面批改，指出错误，耐心指导。当少数后进生因基础差而难以跟班听课
时，我们应采取系统辅导的方法，以新带旧，以旧促新，帮助后进生弥补知识上的缺陷，发展他们的智力，增强他们学好语文的信心。另外，在课堂上对后进生多提问，发现他们的优点和成绩就及时表扬，以此来提高他们的学习成绩。 2、课余时间个别辅导 在限定的课堂教学时间内，是很难满足和适应不同学生的需要的。因此，组织课外辅导，作为课堂教学的补充是很有必要的。对于优等生，我打算制定课外资料让他们阅读，布置要求较高的作业让他们独立思考，指定他们对其他学生进行辅导，使他们的知识扩大到更大的领域，技能、技巧达到更高的水平，使他们永远好学上进，聪明才智得到更好地发挥。同时，在每周的星期二、四午休活动定期对后进生进行辅导，对当天所学的基础知识进行巩固，对掌握特别差的`学生，进行个别辅导。平时，在后进生之间让他们开展一些比赛，比如看谁进步快、看谁作业得满分多、看谁成绩好等。 3、家长和老师相配合 我打算布置适当、适量的学习内容，让家长在家里对后进生进行协助辅导，老师定期到优等生和后进生家里进行家访，摸清他们在家的学习情况和作业情况。定期让优等生介绍他们的学习经验，让后进生总结自己的进步。 五、在培优补差中注意几点
锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=α αsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2 1sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第二十一讲分类与讨论 分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始． 有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？ 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论． 任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个． 上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论． 分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论． 例1求方程 x2-│2x-1│-4=0 的实根． x2+2x-1-4=0，
x 2-2x ＋1-4=0， x 1＝3，x 2=-1． 说明 在去绝对值时，常常要分类讨论． 例2 解方程x 2-[x]=2，其中[x]是不超过x 的最大整数． 解 由[x]的定义，可得 x ≥[x]=x 2-2， 所以 x 2-x -2≤0， 解此不等式得 -1≤x ≤2． 现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解． (1)当-1≤x ≤0时，原方程为 x 2-(-1)=2， 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x ＜0)． (2)当0≤x ＜1时，原方程为 x 2=2． (3)当1≤x ＜2时，原方程为 x 2-1=2， 所以 (4)当x=2时，满足原方程．
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 全国初中数学知识竞赛辅导方案 王选民 为了在全国数学知识竞赛中取得优异成绩，将对学生辅导方案总结如下： 一、了解掌握优生的特点 一般我们选择参加竞赛的学生都是学优生，当我们与“优生”进行面谈时，应该清醒地认识到，他们能成为“优生”，是学生家长和老师共同教育的结果。尤其要看到这些“优生”的两重性：一方面，他们的行为习惯、学习习惯、学习成绩以及各种能力比一般学生在这个年龄容易出现的毛病外，也存在着他们作为老师的“好学生”、家长的“好孩子”所特有的一些毛病。 具体说来，“优生”一般具有以下特点： 1、思想比较纯正，行为举止较文明，自我控制的能力比较强，一般没有重大的违纪现象。 2、求知欲较旺盛，知识接受能力也较强，学习态度较端正，学习方法较科学，成绩较好。 3、长期担任学生干部，表达能力、组织能力以及其它工作能力都较强，在同学中容易形成威信。 4、课外涉及比较广泛，爱好全面，知识面较广。 5、由于智力状况比较好，课内学习较为轻松，因而容易自满，不求上进。 6、长期处于学生尖子的位置，比较骄傲自负，容易产生虚心。 7、有的“优生”之间容易产生互相嫉妒、勾心斗角的狭隘情绪和学习上的
不正当竞争。 8、从小就处在受表扬、获荣誉、被羡慕的顺境之中，因而他们对挫折的心理承受能力远不及一般普通学生。 以上几点，只是就一般“优生”的共性而，当然不一定每一个“优生”都是如此。 辅导优生的具体措施 1、创设能引导学优生主动参与的教育环境。 2、了解学生在兴趣、学习偏好、学习速度、学习准备以及动机等方面的情况。这些资料为教师制定活动和计划时的依据，也是“促进学生主动地、富有个性地学习的需要”。 3、为尖子设计学习方案。学优生学习新知识时，比其他学生花的时间少，他不需要很多的练习就已经理解新知识，因此，做的练习也少。让他们做那些已经理解的题目就很多难让学生体会到智力活动的乐趣。长此以往，反而可能在一定程度上降低学生对于智力生活的敏感性。教师应该备有不同层次介绍同一主题的资料，采用向学生布置分组作业的方法，从众多的方案和活动中选取与他们的知识、技能水平相当的项目，指定他们完成。 4、解决学优生心理问题：学优生在心理状态上，易产生骄气，居高临下，听不进半点批评，心理脆弱。在价值取向上，易产生唯我独尊，以自我为中心的个性倾向和价值取向，不把其他同学的感觉、好恶、需要放在一定的位置；在行为方式上，由于始终把自己当学优生，与一般同学不一样，束缚了自己，娱乐活动不愿参加，集体劳动怕吃苦。 针对这种状况，教学中应注意： 学优生学习成绩优异，但不能“一俊遮百丑”。在鼓励保持学习上的竞争姿态和上进好胜的同时，要创造条件和环境，磨练他们的意志，培养他们的创造能力，规范他们的行为意识。
初一数学辅导计划 一、指导思想： 在新课程改革背景指导下，坚持学习先进的教育教学理念，坚持教为主导，学为主体，坚持学生为中心地位不动摇，使人人学会能用得上的数学，切实提高学生的成绩。 二、主要措施： 1、摸清学生底子，深入学生，深入教学，通过作业、课堂、试卷等切实摸清学生的 功底，并能将学生进行分类，分组，做到有的放矢。 2、改革课堂教学模式，提高学生的参与性，提高学生学习数学的兴趣，构建高效课堂。 3、充分利用小组，采取合作学习的方式，消除学生心中的疑惑和自卑心理。 4、认真批改学生作业，及时纠正学生作业中出现的错误，尽量做到面批。 5、利用自习辅导时间，老师争取集中抽查的方式，发现学生的不足，及时辅导纠正。 6、采用定时间：每天下午自习，集中进行差生辅导。 7、注重学习后的抽查，给差生吃“小灶”，对出现的错误及时纠正辅导。 8、建立错题集，提高学生的警惕性，避免犯同样的错误。 9、定时召开学习经验交流会，让他们谈感想、体会、学习心得，畅所欲言，相互学习，取长补短。 10、教师要立足于实际，多表扬学生，注意发现学生的闪光点，采用多表扬、少批评 或不批评的措施，来提高学生学习的自信心和兴趣。 11、在辅导过程中，要根据成绩、基础、学习态度和其他非智力因素，将学生分为上、中、下三等，予以区别对待，采取相应的措施力促他们得以相应提高。 三、主要时间安排： 1、第一周：结合上学期期末考试成绩，给学生分类，制定本学期辅导计划。 2、第二——八周，日常活动。 3、第九、十周，期中考试专题辅导及试卷分析讲评。 4、第十一——十八周，调整辅导策略。
5、第十九、二十周，总结辅导实施情况，学生学习经验交流。 一、学情分析 七年级是初中学习过程中基础和入门，学好七年级数学能为以后的学习做铺垫。现在班上的学生基础较差，但也有优秀的学生。他们都很热爱学习，只要端正学生们的学习态度，大家共同努力，让学生掌握学习数学的方法和技巧，激发学生学习数学的兴趣，这样才能极大提高学生的学习成绩。 二、教学辅导内容和目标 七年级数学辅导内容和目标 第五章、相交线与平行线 本章主要在第四章“图形认识初步”的基础上，探索在同一平面内两条直线的位置关系：①、相交②、平行。本章重点：垂线的概念和平行线的判定与性质。本章难点：证明的思路、步骤、格式，以及平行线性质与判定的应用。第六章、平面直角坐标系 本章主要内容是平面直角坐标系及其简单的应用。本章重点：平面直角坐标系的理解与建立及点的坐标的确定。本章难点：平面直角坐标系中坐标及点的位置的确定。 第七章、三角形 本章主要学习与三角形有关的线段、角及多边形的内角和等内容。本章重点：三角形有关线段、角及多边形的内角和的性质与应用。本章难点：正确理解三角形的高、中线及角平分线的性质并能作图，及三角形内角和的证明与多边形内角和的探究。 第八章、二元一次方程组 本章主要学习二元一次议程组及其解的概念和解法与应用。本章重点：二元一次方程组的解法及实际应用。本章难点：列二元一次方程组解决实际问题第九章、不等式与不等式组 本章主要内容是一元一次不等式组的解法及简单应用。本章重点：不等式的基本性质与一元一次不等式组的解法与简单应用。本章难点：不等式基本性质的理解与应用、列一元一次不等式组解决简单的实际问题。 第十章、实数 本章主要内容是学习了平方根、立方根及实数的相关概念。本章重难点：是会运用平方根立方根进行简单化简计算。 三、辅导教学的具体措施
三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan = 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ +2、απ -2、απ+23、απ-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
全国初中数学竞赛辅导（初三分册）全套
第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例1 解方程 解令y=x2＋2x-8，那么原方程为 去分母得 y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， y2-4xy-45x2=0， (y+5x)(y-9x)=0， 所以 y=9x或y=-5x．
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1． 经检验，它们都是原方程的根． 例2 解方程 y2-18y+72=0， 所以 y1=6或y2=12． x2-2x＋6=0．此方程无实数根． x2-8x+12=0，
所以 x1=2或x2=6． 经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根． 例3 解方程 分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x＋9=0，x=-9． 经检验知，x=-9是原方程的根． 例4 解方程
分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
九年级数学辅导计划 付连敏 一、特长生辅导计划： （一）、学生情况分析 每个班中有部分学生对数学科比较感兴趣，学习成绩也较为突出，除了掌握课本的内容外，有着进一步学习其他数学知识的愿望。他们的手中虽然有一些相关的数学材料，但不会灵活加以运用，发挥不出其应有的功效。 （二）、辅导对象 每个班中数学成绩前十名的学生。 （三）、主要辅导内容 1．课本中知识的拓宽、推广和应用。 2．学习方法、技巧、规律归纳。 3．数学竞赛相关内容的辅导与讲解。 4．数学参考资料的选择与使用。 5．探究、操作性问题的解答方法介绍。 （四）、辅导措施 1．认真备课，准备好每次辅导时所需要的相关内容材料。 2．对参加辅导的学生严格要求，发现问题，及时解决。 3．保证做到时间、地点、人员、内容四落实。 4．每次辅导都保证活动的实效，不搞形式主义。 （五）、辅导目标 1．发挥数学特长，培养数学兴趣。 2．增强应用数学意识，提高综合运用数学知识能力。 3．中考尽可能在各科中排在前列。
二、临线生辅导计划 一、学生情况分析 在班级中，有部分学生学习成绩徘徊在及格线和优秀线左右，对数学学习兴趣不高，成绩忽上忽下，又有可能努努力就达到及格线和优秀线，是提高成绩的关键所在。 二、辅导对象 班级中成绩后处在及格线和优秀线左右的学生。 三、主要辅导内容 1．进行学习方法介绍。 2．课本知识的复习与归纳。 3．疑难问题解答、点拨。 4、课上、课下的重点关注。 四、辅导措施 1．辅导内容人人过关，过完关后还要进行及时的再回顾。 2．对学生严格要求，辅导中发现问题要及时解决。 3．每次辅导都认真组织，做到时间、地点、人员、内容四落实，保证活动的实效。 五、辅导目标 1．提高学生的思想觉悟，培养数学兴趣，养成良好的学习习惯。 2．学好数学基础知识，并能够不断取得进步，缩短与优生的差距。 3、争取在中考中取得好成绩。 三、学困生辅导计划 一、学生情况分析 在班级中，有少数学生学习成绩较差，对数学不感兴趣，不求
三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ±