1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时

[ 分析]
[ 解析] ＝75° . sin75° ＝sin(45° ＋30° ) ＝sin45° cos30° ＋cos45° sin30°
已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已
在△ABC 中， C＝180° －(A＋B)＝180° －(60° ＋45° )
知一边可由正弦定理求其它两边．
2 3＋1 2 3 2 1 ＝ × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4 csinA 2sin60° 根据正弦定理，得 a＝ ＝ sinC sin75° 3 2× 2 ＝ ＝ 6( 3－1)， 2 3＋1 4 2 2× 2 csinB 2sin45° b＝ ＝ ＝ ＝2( 3－1)． sinC sin75° 2 3＋1 4
对角解三角形
∴本题有两解， bsinA 3 ∵sinB＝ ＝ ， a 2
∴B＝60° 或 120° ， asinC 2 3sin90° 当 B＝60° 时，C＝90° ，c＝ ＝ ＝4 3； sinA sin30° asinC 2 3sin30° 当 B＝120° 时，C＝30° ，c＝ ＝ ＝2 3； sinA sin30° 综上，B＝60° ，C＝90° ，c＝4 3或 B＝120° ，C＝30° ，c ＝2 3.
在△ABC 中， B＝30° ， C＝45° ， c＝1， 求边 b 的长及△ABC 外接圆的半径 R.
[ 解析]
已知 B＝30° ，C＝45° ，c＝1.
b c 由正弦定理，得 ＝ ＝2R， sinB sinC csinB 1×sin30° 2 所以 b＝ ＝ ＝ ， sinC sin45° 2 c 1 2 2R＝ ＝ ＝ 2，得 R＝ . sinC sin45° 2 2 2 所以，b＝ ，△ABC 外接圆的半径 R＝ . 2 2
[ 方法总结]
已知三角形两边及一边对角解三角形时利用
正弦定理求解，但要注意判定解的情况．在利用定理过程中， bsinC 要注意灵活使用三角公式及正弦定理的变形，如：c＝ ＝ sinB asinC 等． sinA
已知△ABC 中， a＝4， b＝4 3， ∠A＝30° ， 则∠B 等于( A．30° C．60° B．30° 或 150° D．60° 或 120°
结论：
a b c 2R sin A sin B sin C
这就是正弦定理
证明正弦定理
证明：(向量法) （1）当△ABC 是锐角三角形时，如图(1)所示， 过点 A 作单位向量 i 垂直于 AB，因为 → → → → → → AC＝AB＋BC，所以 i· AC＝i· AB＋i· BC， 所以 b· cos(90° －A)＝c· cos90° ＋a· cos(90° －B)， a b 即 bsinA＝asinB，得sinA＝sinB. a c a b c 同理可得sinA＝sinC，所以sinA＝sinB＝sinC.
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a
为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点
的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：
A 为钝角 A 为直角 a>b a＝b a<b 一解 无解 无解 一解 无解 无解 A 为锐角 一解 一解 a>bsinA a<bsinA 两解 无解 a＝bsinA 一解
∴a2＝b2，∴a＝b，故△ABC 是等腰三角形． π π 解法二：∵acos( －A)＝bcos( －B)， 2 2 ∴asinA＝bsinB.由正弦定理，得 2Rsin2A＝2Rsin2B， 即 sinA＝sinB，∴A＝B(A＋B＝π 不合题意，舍去)， 故△ABC 是等腰三角形.
运用正弦定理求有关三角形的面
再在△ABC的外接圆中证得比值为2R(外接圆直径)
(2)当△ABC是钝角三角形时， 如图(2)所示，也可类似证明． 综上可得:
a b c 2R sin A sin B sin C
图(2)
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相 应边所对角的正弦的连等式，且比值等于外接 圆直径． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条 边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述 了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三 角形中边角关系的转化．
[ 方法总结]
三角形的面积公式在求解与三角形面积有关
的问题中的作用是非常突出的，要熟练掌握．
在△ABC 中，B＝30° ，AB＝2 3，AC＝2，求△ABC 的面 积． [ 解析]
ABsinB 3 由正弦定理，得 sinC＝ ＝ . AC 2
又∵AB>AC，∴C＝60° 或 120° . 当 C＝60° 时，A＝90° ， 1 ∴S△ABC＝ AB· AC· sinA＝2 3； 2 当 C＝120° 时，A＝30° ， 1 ∴S△ABC＝ AB· AC· sinA＝ 3. 2 ∴△ABC 的面积为 2 3或 3.
π 已知在△ABC 中， c＝2 2， a>b， C＝ ， tanA· tanB 4 ＝6，试求三角形的面积．
积问题
[ 分析]
本题可先求 tanA， tanB 的值， 由此求出 sinA 及 sinB，
再利用正弦定理求出 a，b 及三角形的面积．
[ 解析]
π 3π 因为 tanA· tanB＝6，又 C＝ ，所以 A＋B＝ . 4 4
3 10 2 2× 10 csinA 6 10 由正弦定理，得 a＝ ＝ ＝ ， sinC 5 2 2 2 5 2 2× 5 csinB 8 5 b＝ ＝ ＝ . sinC 5 2 2 1 1 6 10 8 5 2 24 所以 S△ABC＝ absinC＝ × × × ＝ . 2 2 5 5 2 5
导入问题2：如图△ABC中，∠A＝ 63.75 ，∠B＝63.33 ，BC＝9.67厘 米。如何求出其它的边和角？
○ ○
问题2暂时不能直接解答，那么我们还是先 回到问题1看看三边和对角正弦比值的关系：
a b c 5 sin A sin B sin C
任意三角形三边与对角正弦的比值关系
几何画板
[ 分析] 由正弦定理，得 a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已
知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ ABC 的形状．
[ 解析]
a2sinB b2sinA ∵ ＝ ，a＝2RsinA，b＝2RsinB， cosB cosA
4R2sin2AsinB 4R2sin2BsinA ∴ ＝ . cosB cosA 又∵sinAsinB≠0， ∴sinAcosA＝sinBcosB， 即 sin2A＝sin2B， ∴2A＝2B，或 2A＋2B＝π， π 即 A＝B，或 A＋B＝ . 2 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
图示已知a、b、A，△ABC解的情况． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：
(ii)角A是锐角时
不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120° ； (2)a＝7，b＝14，A＝150° ； (3)a＝9，b＝10，A＝60° .
已知两角和一边解三角形
在△ABC 中，已知 A＝60° ，B＝45° ，c＝2，解 三角形．
)
[ 答案]
[ 解析]
D
a b 由正弦定理，得 ＝ ， sinA sinB
bsinA 4 3×sin30° 3 ∴sinB＝ ＝ ＝ ， a 4 2 又∵b>a，∴B>A，∴B＝60° 或 120° .
三角形形状的判断
a2sinB b2sinA 在△ABC 中， 已知 ＝ ， 试判断△ABC cosB cosA 的形状．
必修5
第一章
解三角形
阅读本章引言思考下列问题：
引言所提出的问题都归结为什么数学模型？
这就是我们这一章要研究的任意 三角形中边与角关系的有关知识
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
导入问题1：如图在Rt△ABC中，∠C是 直角，∠A、∠B、∠C所对边分别 4 是a、b、c；且a＝4，sinA= 5 。 能否求出此三角形其它的边和角？
[方法总结]
利用正弦定理判断三角形形状的
方法： (1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正 弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知 识得到三个内角的关系，进而确定三角形的 形状． (2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用 正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得 到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定 三角形的形状．
)
[ 答案]
A
[ 解析]
AB BC 由 ＝ 得，BC＝3－ 3. sinC sinA
已知三角形的两边和其中一边的
已知在△ABC 中，a＝2 3，b＝6，A＝30° ，解 这个三角形．
[ 分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可运 用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
[ 解析] ∵A 为锐角，bsinA＝6sin30° ＝3<a<b，
[方法总结]
(1)已知任意两角和一边，解三 角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项： 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦 值，再根据以上步骤求解．
在△ABC 中， AB＝ 3， A＝45° ， C＝75° ， 则 BC 等于( A．3－ 3 C．2 B． 2 D．3＋ 3
所以 tanA＋tanB＝tan(A＋B)· (1－tanA· tanB) π ＝－tanC· (1－6)＝－tan ×(－5)＝5. 4 所以 tanA>0, tanB>0 ，即 A ， B 皆为锐角，且 a>b ，则 tanA>tanB， 所以 tanA＝3，tanB＝2. 3 10 2 5 所以 sinA＝ ，sinB＝ . 10 5