1 不等式的解法
一、 选择题:
1、下列语句中正确的是
( )
A 、若b a >,b c >,则c a >
B 、若b a >,则22bc ac >
C 、若b a >,则c b c a ->-
D 、若b a >,d c >,则bd ac >
2、不等式62<≤-x 用区间表示为 ( )
A 、]6,2[-
B 、]6,2(-
C 、)6,2[-
D 、)6,2(-
3、不等式362≤x 的解集是 ( )
A 、}6{±≤x x
B 、}66{≤≤-x x
C 、}66{<<-x x
D 、}6{-≤x x
4、不等式0542>+-x x 的解集是 ( )
A 、),(+∞-∞
B 、),5()1,(+∞--∞
C 、?
D 、),1()5,(+∞--∞
5、不等式032≤-x x 的解集是 ( )
A 、]0,3(-
B 、)3,0[
C 、]3,3(-
D 、)3,3[-
6、不等式0)2)(1)(2(<--+x x x 的解集是 ( )
A 、)2,1()2,( --∞
B 、),2()1,2(+∞-
C 、)2,(--∞
D 、)2,1(
7、不等式35>+x 的解集是
( )
A 、}88{<<-x x
B 、}22{<<-x x
C 、}22{>- D 、}28{->- 8、若不等式02<++q px x 的解集是}23{<<-x x ,则p ,q 的值分别是( ) A 、2-,3 B 、1,6- C 、1-,6- D 、1-,6 二、填空题: 1、若))((232b x a x x x --=+-,则=+b a 2、关于x 的方程1)(32+-=-k x k x 的解是负数,则k 的取值范围是 一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念: 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集: 一般地,几个不等式的解集的 公共部分 ,叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表: 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式组的概念 1. (2017春雁塔区校级月考)下列不等式组:①???<->32x x ,②???>+>420 x x ,③???>+<+4 2122x x x , ④???-<>+703x x ,⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 题型2:考察一元一次不等式组的解法 2.(2018春天心区校级期末)不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是( ) 3.解下列不等式组,并在数轴上表示解集: ! (1)?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x (2)?????≥-+->-154245 3312x x x x (3)?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x (4)?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x — (5)?????-<+-<-2322125.05.7x x x x (6)?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ! 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \ 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式) 典题精讲 例1(1)已知0<x <3 1,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x >0,因而不能直接使用基本不等式,需分x >0与x <0讨论. (1)解法一:∵0<x <3 1,∴1-3x >0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1[ 2) 31(3x x -+]2= 12 1,当且仅当3x=1-3x ,即x= 6 1时,等号成 立.∴x= 6 1时,函数取得最大值 12 1 . 解法二:∵0<x <3 1,∴ 3 1-x >0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3[ 23 1x x -+ ]2= 12 1,当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时,等号成立. ∴x= 6 1时,函数取得最大值12 1. (2)解:当x >0时,由基本不等式,得y=x+x 1≥2x x 1? =2,当且仅当x=1时,等号成立. 当x <0时,y=x+ x 1=-[(-x)+ ) (1x -]. ∵-x >0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时,等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析:x >-1?x+1>0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数. 常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<,2210x x -->,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元) 如1392x x +->,令3x t =,原不等式就变为2320t t -+<,再算出t 的范围,进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ,令2t x =,再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结: 如不等式210x ax ++>,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ?? ? ?=∈≠-?? ???>-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->,所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞? 第三章不等式 定义:用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性:如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y; ②传递性:如果x>y,y>z;那么x>z; ③加法性质;如果x>y,而z为任意实数,那么x+z>y +z; ④乘法性质:如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(符号法则) 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。 ②如果不等式F (x ) < G (x )的定义域被解析式H ( x )的定义域所包含,那么不等式 F (x )<G (x )与不等式F (x )+H (x )<G (x )+H (x )同解。 ③如果不等式F (x )<G (x ) 的定义域被解析式H (x )的定义域所包含,并且H (x )>0,那么不等式F(x)<G (x )与不等式H (x )F (x )<H ( x )G (x ) 同解;如果H (x )<0,那么不等式F (x )<G (x )与不等式H (x)F (x )>H (x )G (x )同解。 ④不等式F (x )G (x )>0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数: )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数: n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数: n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数: n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +,当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ,有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念: 只含有一个未知数,且未知数的次数是1且系数不为0的不等式,称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项: ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数,去分母后分子是多项式时,分子要加括号。 ②系数化为1时,注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式的概念 1. (2017春昭通期末)下列各式:①5≥-x ;②03<-x y ;③05<+πx ;④ 32≠+x x ; ⑤x x 333≤+;⑥02<+x 是一元一次不等式的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.(2017春启东市校级月考)下列不等式是一元一次不等式的是( ) A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.(2017春寿光市期中)若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则m 的值为( ) A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2:考察一元一次不等式的解法 4. (2016秋太仓市校级期末)解不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1))21(3)35(2x x x --≤+ (2)2 2531-->+ x x 5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.(2016秋相城区期末)若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时,求x 的取值范围。 7. (2017春开江县期末)请阅读求绝对值不等式3 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2+1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . . 基本不等式 一. 基本不等式 ①公式:(0,0)2 a b a b +≥≥≥,常用a b +≥ ②升级版:22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序:考试中,优先选择原公式,其次是升级版 二.考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则:一正 二定 三相等 一正: 指的是注意,a b 范围为正数。 二定: 指的是ab 是定值为常数 三相等:指的是取到最值时a b = 典型例题: 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析:x 范围为负,提负号(或使用对钩函数图像处理) 解:1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞ 例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解:123 y x x =+- (“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值) 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥, 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析:sin x 的范围是(0,1),不能用基本不等式,当y 取到最小值时,sin x 不在范围内 解:令sin (0,1)t x t =∈, 2y t t =+ 是对钩函数,利用图像可知: 在(0,1)上是单减函数,所以23t t + >,(注:3是将1t =代入得到) (3,)y ∴∈+∞ 注意:使用基本不等式时,注意y 取到最值,x 有没有在范围内, 如果不在,就不能用基本不等式,要借助对钩函数图像来求值域。 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新???? 4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法:数轴标根法(奇穿偶切) 典型例题 例 1 解下列不等式 x - 3 2 (1) x + 7 <0 (2)3+ x <0 3) x -3 2-x > 3-x -3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式: (1)2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 (1) 2 (2) 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 (-2,3), 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时,不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立? 典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法:标根法: 其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意 奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。 如(1)解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。(答:{}|12x x x ≥=-或); (2)不等式(0x -的解集是____(答:{}|31x x x ≥=-或); (3)设函数()()f x x ,g 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<, ()0g x ≥的解集为?,则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ (答:()[),12,-∞+∞U ; (4)要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值范围是______. (答:81[7,)8 ) 二、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子 分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式 不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如(1)解不等式25123 x x x -<---(答:()()1,12,3-U ); (2)关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞,则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________(答:()(),12,-∞-+∞U ). 三、绝对值不等式的解法: (1)零点分段讨论法(最后结果应取各段的并集): 如解不等式312242 x x -++≥(答:x R ∈); (2)利用绝对值的定义;(3)数形结合; 如解不等式13x x +->(答:()(),12,-∞-+∞U ) (4)两边平方:如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围 均值不等式应用(技巧)技巧一:凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 (x > 3)的最小值 2、已知x > 3 2 ,求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ,求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二:凑系数 4、当0 < x < 4时,求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时,求y = 4x(3 - 2x)的最大值,并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时,求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时,求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三:分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 (x > -1)的值域; 9、求y = x2 + 3x + 1 x (x > 0) 的值域 10、已知x > 2,求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c,求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1,求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四:应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2,则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2,求1 x + 1 y 的最小值,并求x、y的值。 技巧六:整体代换 16、已知x > 0,y > 0,且1 x + 9 y = 1,求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1,求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a,b,x,y∈R+ 且a x + b y = 1,求x + y的最小值。 19、已知正实数x,y满足2x + y = 1,求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x,y,z满足x + y + z = 1,求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七:取平方 21、已知x,y为正实数,且x2 + y2 2 = 1,求x 1 + y2的最大值。 22、已知x,y为正实数,3x + 2y = 10,求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x(1 2 < x < 5 2 )的最大值。 技巧八:已知条件既有和又有积,放缩后解不等式 24、已知a,b为正实数,2b + ab + a = 30,求函数y = 1 ab 的最小值。 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【例2】?解下列不等式: 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式: 【例5】?|x 2-4|<x+2. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“区间法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ∴原不等式解集为{x|x <-5或-5<x <-4或x >2}. 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意: ①各一次项中x 的系数必为正; ②但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2). 【例2】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞,-2)∪〔-1,2)∪〔6,+∞). (2) 【例3】?解下列不等式 解:(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为{x|x ≥5}. (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,两边同时平方后不等号方向才不变. 【例4】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 令2x =t(t >0),则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1,2〕∪〔3,6). 【例5】?|x 2-4|<x+2. 解:原不等式等价于-(x+2)<x 2-4<x+2. 故原不等式解集为(1,3). 这是解含绝对值不等式常用方法. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 解:原不等式等价于 (1)当a >1时,①式等价于 ② (2)当0<a <1时,②等价于 ③ 基本不等式专题 知识点: 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当 b a =时取“=”) 2. (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 5.若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 (1)两个正数的和为常数时,它们的积有 ; 若0,0,a b a b M >>+=,M 为常数,则ab ≤ ;当且仅当 ,等号成立.简述为,当0,0,a b a b M >>+= ,M 为常数,max ()ab = . (2)两个正数的积为常数时,它们的和有 ; 若0,0,a b ab P >>=,P 为常数,则a b +≥ ;当且仅当 ,等号成立.简述为,当0,0,a b ab P >>= ,M 为常数,min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈,求最值时应注意以下三个条件: 应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、(1)若0,0,4a b a b >>+=,则下列不等式恒成立的是( ) A .1 1 2ab > B .1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ (2)不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立,则实数x 的取值范围是( ) A .(2,0)? B .(,2)(0,)?∞?+∞ C .(4,2)? D .(,4)(2,)?∞?+∞ (3)设,,1,1x y R a b ∈>>,若3,x y a b a b +,则11 x y +的最大值为 ( ) A .2 B .32 C .1 D .12 方法二:凑项(增减项)与凑系数(利用均值不等式做题时,条件不满足时关键在于构造条件,通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造) 例2、(1)已知54x <,求函数1 445y x x =+?的最大值; (2)已知,则的取值范围是( ) A . B . C . D . 方法三:“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、(1)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是( ) A .245 B .285 C .5 D .6 (2)已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞? 基础不等式的解法及应用 一、一元二次不等式的解法 例1、解下列不等式 2230x x --> 23520x x -+-> 24410x x -+> 2230x x -+-> 结论: 二、分式不等式的解法 例2、解下列不等式 3 07x x -<+ 20x x +< 42333x x x ->--- (高次不等式)1 x x > 结论: 三、简单的绝对值不等式 例3、解下列不等式 3x ≥ 13x -≤ 3235x <-< 练习 1、(2010,山东)已知全体U R =,集合{} 240M x x =-≤,则U C M =( ) A 、{}22x x -<< B 、{}22x x -≤≤ C 、{}22x x x <->或 D 、{}22x x x ≤-≥或 2、(2009,安徽)若集合()(){}2130A x x x =+->,{}*5B x N x =∈≤,则A B 是( ) A 、{}1,2,3 B 、{}1,2 C 、{}4,5 D 、{}1,2,3,4,5 3、(2010,全国)已知集合{}2,A x x x R =≤∈,{} 4,B x Z =≤∈,则A B =( ) A 、()0,2 B 、[]0,2 C 、{}0,2 D 、{}0,1,2 4、(2009,安徽)若集合{}213A x x =-<,2103x B x x ?+?=?-?? ,则A B 是( ) A 、11232x x x ? ?-<<-<???或 B 、{}23x x << C 、122x x ??-<??? D 、112x x ??-<<-??? ? 5、(09,陕西)若不等式20x x -≤的解集为M ,函数()()ln 1f x x =-的定义域为N ,则M N 为( ) A 、[)0,1 B 、()0,1 C 、[]0,1 D 、(]1,0- 6、已知全集全体U R =,且{}12A x x =->,{}2680B x x x =-+<,则() U C A B 等于( ) A 、[)1,4- B 、()2,3 C 、(]2,3 D 、()1,4- 7、设集合{}2230A x x x =--≤,21x B x x ??=>??+?? ,则R A C B =( ) A 、{}13x x -<≤ B 、{}13x x -≤≤ C 、{}23x x -<≤ D 、{}21x x -≤≤- 8、函数()f x = ) A 、(),1-∞ B 、()(),00,1-∞? C 、()1,+∞ D 、()[),01,-∞?+∞ 9、(2010,天津)设集合{}1,A x x a x R =-<∈,{}15,B x x x R =<<∈,若A B =?,则实数a 的取值范围是( ) A 、{}06a a ≤≤ B 、{}24a a a ≤≥或 C 、{}06a a a ≤≥或 D 、{}24a a ≤≤ 10、(08,天津)设集合{}23S x x =->,{}8T x a x a =<<+,S T R =,则a 的取值范围是( ) A 、31a -<<- B 、31a -≤≤- C 、31a a ≤-≥-或 D 、31a a <->-或 专题:基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式: ①,、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③, 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链: b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞ ;单调递减区间:(0, ,[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=, 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是52。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:① 3 0,3202 x x <<->∴, ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=, 当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立,故 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ,求4 ()f x x x =+ )10(≤ 基本不等式 知识点: 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11 1 22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2 a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 ( 当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2)2(2 2 2b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+1 2x 2 (2)y =x +1 x 技巧一:凑项 例 已知5 4x <,求函数1 4245y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例: 当时,求(82)y x x =-的最大值。 变式:设23 0< 全方位教学辅导教案 例1:(2)1 2,33 y x x x =+>-。 变式:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值 。 技巧二:凑系数 例1.当 时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此 题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将 (82)y x x =-凑上一个系数即可。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:1、设2 3 0< 一元一次不等式组的解法常考题型讲解
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