11.导数的综合应用（含答案）（高二）
1.（15理科）已知函数()1ln 1x
f x x
+=-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，
时，()323x f x x ??
>+ ??
?； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ??
>+ ???
对()01x ∈，
恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，
（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.
试题解析：（Ⅰ）
2
12
()ln
,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x
+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -
=；
（Ⅱ）当()01x ∈，
时，()323x f x x ??
>+ ???
，即不等式3
()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ?∈成立，设
33
1()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则
4
2
2()1x F x x
'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ?∈，
3
()2()3
x f x x >+
成立；
（Ⅲ）使()33x f x k x ??
>+ ???
成立，()01x ∈，
，等价于3
1()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，
； 42
22
22()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，
当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；
当2k >时，令4
02
()0,(0,1)k F x x k -'
==
∈，
()(0)F x F <，显然不成立，
综上所述可知：k 的最大值为2.
考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.
2．（15年理科）设函数2
()f x x ax b =-+.
（1）讨论函数(sin )22
f x ππ
在(-,)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）记2
0000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22
ππ
(-,)上的最大值D ； （3）在（2）中，取2
000,D 14
a a
b z b ===-
≤求满足时的最大值。
【答案】（Ⅰ）极小值为2
4
a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-；（Ⅲ）1.
试题解析：（Ⅰ）2
(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，2
2
x π
π
-
<<
.
[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-，2
2
x π
π
-
<<
.
考点：1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.
3.（15年理科）已知函数f()ln(1)x x ，(),(k
),g x kx R
(Ⅰ)证明：当0x
x x 时，f()；
(Ⅱ)证明：当1k 时，存在00x ,使得对0(0),x x 任意，恒有f()()x g x ；
(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t
，对任意的(0),x ，t 恒有2|f()()|x g x x ．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)=1k ． 【解析】
试题分析：(Ⅰ)构造函数()f()ln(1),(0,),F x x x x x x 只需求值域的右端点并
和0比较即可；(Ⅱ)构造函数G()f()()ln(1),(0,
),x x g x x kx x 即()0G x >，
求导得1
()
1+G x k x
(1k)
1+kx x
，利用导数研究函数()G x 的形状和最值，证明当1k 时，存在0
0x ，使
得()0G x >即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当1k 时，对于
(0,),x +()f()g x x x ，
故()f()g x x ，则不等式2|f()()|x g x x 变形为2k ln(1)x x x ，构造函数
2M()k ln(1),[0)x x x x x ，+
，只需说明()0M x <，易发现函数()M x 在
22
(k 2)8(k 1)
0)k x （，
递增，而(0)0M =，故不存在；当1k 时，由(Ⅱ)知，
存在0
0x ,使得对任意的任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ，此时不等式变形为
2ln(1)k x x
x ，
构
造
2N()ln(1)k ,[0)
x x x x x ，+
，
易
发
现
函
数
()N x 在
2(+2(k +2)8(1k)
0)k x ）（，递增，而(0)0N =，不满足题意；当=1k 时，代入证
明即可．
试题解析：解法一：(1)令()
f()ln(1),(0,),F x x x x x x 则有
1
()
11+1+x F x x x
当(0,
),x
()0F x ,所以()F x 在(0,
)上单调递减；
故当0x 时，()(0)0,F x F 即当0x 时，x x f()．
(2)令G()f()()ln(1),(0,
),x x g x x kx x 则有1
(1k)
()
1+1+kx G x k x x
当0k
G ()0x ,所以G()x 在[0,)上单调递增,G()(0)0x G
故对任意正实数0x 均满足题意. 当0
1k 时，令()0,x G 得11
=
10k x k k
．
取01
=
1x k
，对任意0(0,),x x 恒有G ()0x ,所以G()x 在0[0,x )上单调递增,G()(0)
0x G ,即
f()()x g x .
综上，当1k 时，总存在0
0x ,使得对任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ．
(3)当1k 时，由（1）知，对于
(0,),x +
()f()g x x x ，
故()f()g x x ， |f()()|()
()k ln(1)x g x g x f x x x ，
令2M()
k ln(1),[0)x x x x x ，+
，
则有21
-2+(k-2)1
M ()k
2=,11x x k x x x x
故当22
(k 2)8(k 1)
0)k x （，时，M ()0x ,
M()x 在22
(k 2)8(k 1)
[0)k ，
上单调递增，故M()M(0)0x ,
即2|f()
()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.
当1k 时，由（2）知存在00x ,使得对任意的任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ．
此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x ,
令2N()
ln(1)k ,[0)x x x x x ，+
，
则有2'
1
-2-(k+2)1
()
2=,11x x k N x k x x x
故当2(+2(k +2)8(1k)
0)k x ）（，时，N ()0x ,
M()x 在2(2)
(k 2)8(1k)
[0)k ，
上单调递增，故N()(0)0x N ,
即2
f()()x g x x ,记0x 与
2(2)
(k 2)8(1k)
k 中较小的为1x ，
则当21(0)|f()()|x
x x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.
当=1k ，由（1）知，(0,),x
当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，
令2
H()ln(1),[0)x x x x x ，+
，则有21
-2H ()12=,11x x
x x x x
当0x 时，H ()0x ,所以H()x 在[0+，）
上单调递减，故H()(0)0x H , 故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意.
综上，=1k .
解法二：（1）（2）同解法一. （3）当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，
， 故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x ，
令2(k 1),01x
x x k 解得，
从而得到当1k 时，(0,1)x k 对于恒有2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.
当1k 时，取11k+1
=12
k k k ，从而
由（2）知存在00x ,使得0(0),x x 任意，恒有1f()()x k x kx
g x .
此时11|f()()|f()()(k)2
k
x g x x g x k x
x , 令
21k 1k ,022x x x
解得，此时2
f()()x g x x , 记0x 与1-k 2
中较小的为1x ，则当2
1(0)|f()()|x x x g x x ，时，恒有，
故满足题意的t 不存在. 当=1k ，由（1）知，(0,),x
当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，
令2
M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有212M ()12,11x x x x x x
--'=--=++ 当0x 时，M ()
0x ,所以M()x 在[0+∞，）
上单调递减，故M()M(0)0x , 故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意
综上，=1k .
考点：导数的综合应用．
4.（15年新课标2理科）设函数2()mx f x e x mx =+-。
（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值围。