【椭圆】
一、椭圆的定义
1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121
F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两
个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；
若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程
1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）
（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122
22=+b
y a x )0(>>b a ，其
中222b a c -=；
（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122
22=+b
x a y )0(>>b a ，其
中222b a c -=；
2、两种标准方程可用一般形式表示：22
1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1
三、椭圆的性质（以122
22=+b
y a x )0(>>b a 为例）
1、对称性：
对于椭圆标准方程122
22=+b
y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴
对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围：
椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 3、顶点：
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶
点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，
b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：
① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作
a
c
a c e ==
22。 ② 因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅 当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+22。 ③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 注意：椭圆122 22=+b y a x 的图像中线段的几何特征（如下图）： e PM PF PM PF ==2 21 1 )2(21a PF PF =+ )2(22 1c a PM PM =+ 5、椭圆的第二定义： 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆（ e d PF =| |） 。 即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有 e PM PF PM PF ==2 21 1。 ①焦点在x 轴上：122 22 =+b y a x （a ＞b ＞0）准线方程：c a x 2±= ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2 ± = 6、椭圆的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ?+> 四、椭圆的两个标准方程的区别和联系 标准方程 12 2 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 离心率 )10(<<= e a c e 准线方程 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 焦半径 01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -= 五、其他结论 1、若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b += 2、若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b += 3、椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆 上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?= 4、椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ) 5、设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF 。 6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。 7、AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点， 则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 8、若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+ 9、若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+ 10、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角 11、PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 12、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 13、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切
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