数列单元测试题
命 人： 光
一、 ( 本大 共
10 个小 ，每小
5 分，共 50 分，在每小 出的四个 中，只有一 是符
号 目要求的。 )
1．已知等差数列
n
}
n ，且 足
S 3
－
S 2
＝ 1， 数列 { a n
} 的公差是 (
)
{ a
的前 n 和 S
3
2
1
B ． 1
C ． 2
D ． 3 A. 2
2． 等比数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若
8a 2＋ a 5＝ 0， 下列式子中数 不能确定的是
(
)
a 5
5
a n ＋
1
S n
＋
1
S
C.
a n
D.
S n
A.
a 3
B.
S 3
3． 数列 { a n } 足 a 1 ＝ 0， a n ＋ a n ＋ 1＝ 2， a 2011 的 (
)
A ． 2
B ． 1
C ． 0
D ．－ 2
4．已知数列 { a n } 足 log 3 a n ＋1＝ log 3a n ＋ 1(n ∈ N * )且 a 2 ＋ a 4 ＋a 6 ＝ 9， log 1(a 5 ＋ a 7 ＋ a 9 )的 是 (
)
3
1
1 A ．－ 5
B ．－ 5
C ． 5
D.5
5．已知两个等差数列
{ a n } 和 { b n } 的前 n 和分
A n 和
B n ，且
A n
＝
7n ＋
45
， 使得 a
n 正偶数 ， n 的
B n
n ＋ 3
b n
可以是 ( )
A ． 1
B ． 2
C ． 5
D ．3 或 11
6．各 都是正数的等比数列
{ a n } 的公比 q ≠ 1，且 a 2， 1
a 3 ， a 1 成等差数列，
a 3
＋
a
4
的 (
)
2
a 4＋ a 5
A.1－ 5
B.
5＋ 1 C. 5－1
D. 5＋1或 5－1
2
2
2
2 2
7．已知数列 { a n } 等差数列， 若
a 11
<－ 1，且它 的前 n 和 S n 有最大 ， 使得 S n >0 的最大 n (
)
a 10
A ．11
B ．19
C ．20
D ．21
8．等比数列 { a n } 中， a 1 ＝ 512，公比 q ＝－ 1
，用 Πn 表示它的前 n 之 ： Πn ＝a 1·a 2 ·? ·a n ，
2
Πn 中最大的是 ( ) A ．Π11 B ． Π10 C ． Π9 D ．Π8 9．已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 1 ＝1， S 3＝ a 5， a m ＝ 2011 ， m ＝ ( )
A ． 1004
B ． 1005
C ． 1006
D ． 1007
10．已知数列 { a n } 的通 公式 a n ＝ 6n － 4，数列 { b n } 的通 公式
b n ＝ 2n ， 在数列 { a n } 的前 100 中
与数列 { b n } 中相同的 有 (
) A ． 50
B ． 34
C ． 6
D ． 5
二、填空 ( 本大 共
5 个小 ，每小
5 分，共 25 分，把正确答案填在 中横 上 )
11．已知数列 { a n } 足： a n ＋ 1＝ 1－ 1
， a 1 ＝ 2， 数列 { a n } 的前 n 之 P n ， P 2011 ＝________.
a n
12．秋末冬初，流感盛行， 市某医院近
30 天每天入院治 流感的人数依次构成数列 { a n } ，已知 a 1
＝ 1，a 2＝2，且 a n ＋2 － a n ＝1＋ (－ 1) n (n ∈ N * )， 医院
30 天入院治 流感的人数共有
________ 人．
13．已知等比数列 { a n } 中，各 都是正数，且
a 1， 1
a 3, 2a 2 成等差数列，
a 3＋ a 10
＝ ________.
2 a 1＋ a 8
14．在如 的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一 列成等比数列，且从上到
下所有公比相等， a ＋ b ＋ c 的 ________ ．
a
c
b 6
1
2
15．数列 { a n } 中， a 1＝ 1， a n 、 a n ＋1 是方程 x 2
－ (2n ＋ 1)x ＋ 1
＝ 0 的两个根， 数列 { b n } 的前
b n
n 和 S n ＝________ ． 三、解答 ( 本大 共 6 个小 ，共 75 分，解答 写出文字 明， 明 程或演算步
)
16． (本小 分 12 分) 已知等差数列
{ a n } 的前 n 和 S n ＝ pn 2－2n ＋ q(p ， q ∈ R)， n ∈ N * .
(1) 求 q 的 ；
(2) 若 a 3＝ 8，数列 { b n } 足 a n ＝ 4log 2b n ，求数列 { b n } 的前 n 和． 17．(本小 分 12 分 )等差数列 { a n } 的各 均 正数， a 1＝ 3，前 n 和 S n ，{ b n } 等比数列，
b 1 ＝ 1，
且 b 2S 2＝ 64， b 3S 3＝960.
(1) 求 a n 与 b n ；
(2) 求1＋1＋?＋ 1
的 ．
S 1 S 2S n
18． (本小 分
1 1
2 分) 已知数列 { b n } 前 n 和 S n ，且 b 1＝ 1， b n ＋1＝ S n .
3
(1) 求 b 2， b 3， b 4 的 ； (2) 求 { b n } 的通 公式；
(3) 求 b 2＋ b 4＋ b 6＋?＋ b 2n 的 ．
19．(本小 分 12 分 )已知 f(x)＝ m x (m 常数， m>0 且 m ≠ 1) ． f(a 1 )，f (a 2 )，?， f(a n )? (n ∈ N )是首 m 2，公比 m 的
等比数列．
(1) 求 ：数列 { a n } 是等差数列；
(2) 若 b n ＝ a n f(a n )，且数列 { b n } 的前 n 和 S n ，当 m ＝ 2 ，求 S n ；
(3) 若 c n ＝ f(a n )lgf(a n )， 是否存在 m ，使得数列 { c n } 中每一 恒小于它后面的 ？若存在，
求出 m 的
取 范 ；若不存在， 明理由．
1 1 1
20．(本小 分 13 分 )将函数 f(x)＝ sin 4x ·sin 4(x ＋ 2π) ·sin 2 (x ＋ 3π)在区 (0，＋∞ )内的全部最 点按从小
到大的 序排成数列 { a n }( n ∈ N * )．
(1) 求数列 { a n } 的通 公式；
(2) b n ＝ 2n a n ，数列 { b n } 的前 n 和 T n ，求 T n 的表达式．
21． (本小 分 14 分) 数列 { a n } 的前 n 和
n ，且 S n ＝ n(n ＋ 1)(n ∈ N *
S
)．
(1) 求数列 { a n } 的通 公式；
(2) 若数列 { b n } 足： a n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋?＋ b n
，求数列 { b n } 的通 公式；
2 ＋ 1
3 ＋ n ＋ 1
3＋1 3 3 1 3
(3)
令 c n ＝ a n b n
(n ∈ N * )，求数列 { c n } 的前 n 和 T n .
4
数列单元测试题
命 人： 光
一、 ( 本大 共
10 个小 ，每小
5 分，共 50 分，在每小 出的四个 中，只有一 是符
号 目要求的。 )
1．已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且 足
S 3
－
S 2
＝ 1， 数列 { a n } 的公差是 (
)
3 2
1 B ． 1
C ． 2
D ． 3
A. 2
[答案 ] C[解析 ]
n
n ＝ na 1＋ n n － 1
d ，
{ a } 的公差 d ， S
2
∴{ S n
} 是首 a 1 ，公差 d
的等差数列，∵ S 3 － S 2
＝ 1，∴d
＝ 1，∴d ＝ 2.
n 2 3 2 2
2． 等比数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若
8a 2＋ a 5＝ 0， 下列式子中数 不能确定的是 (
)
a 5
S 5
a
n ＋
1
S
n ＋
1
A.
a 3
B.
S 3
C.
a n
D.
S n
[答案 ] D[解析 ]
等比数列 { a n } 足
3
)＝ 0
a 5
2
＝ 4，
a n ＋ 1
＝ q ＝
8a 2＋ a 5＝ 0，即 a 2(8 ＋ q
，∴q ＝－ 2，∴ ＝ q
a n
a 3
a 1 1－ q 5
1－ q 1－ q
5
n ＋ 1 1－ q n ＋ 1
－ 2，S 5＝ ＝ 11 S 的 随 n 的 化而 化，故
D.
3 ＝ ，都是确定的数 ，但
S n ＝ n S 3 a 1 1－ q 1－ q 3 3 1－ q
1－ q
3． 数列 { a n } 足 a 1 ＝ 0， a n ＋ a n ＋ 1＝ 2， a 2011 的 (
)
A ． 2
B ． 1
C ． 0
D ．－ 2
[答案 ]
C[解析 ] ∵a 1＝ 0，a n ＋ a n ＋ 1＝ 2，∴a 2＝ 2， a 3 ＝0， a 4＝ 2，a 5＝ 0， ? ，即 a 2k － 1 ＝ 0， a 2k ＝ 2，∴
a 2011＝ 0.
4．已知数列 { a n } 足 log 3 a n ＋1＝ log 3a n ＋ 1(n ∈ N *
)且 a 2 ＋ a 4 ＋a 6 ＝ 9， log 1
(a 5＋ a 7＋ a 9)的 是 (
)
3
1 1
A ．－ 5
B ．－ 5
C ． 5
D. 5
[答案 ] A[分析 ] 根据数列 足 log 3 a n ＋1＝ log 3
a n ＋ 1 (n ∈N * )．由 数的运算法 ，
得出 a n ＋ 1 与 a n 的关
系，判断数列的 型，再 合
a 2＋ a 4＋ a 6＝ 9 得出 a 5＋ a 7＋ a 9 的 ．
[解析 ] 由 log 3 a n ＋ 1＝ log 3a n ＋ 1(n ∈N *
)得， a n ＋ 1＝ 3a n ，∴数列 { a n } 是公比等于 3 的等比数列，
∴a 5＋ a 7＋ a 9＝ (a 2 ＋ a 4＋ a 6 3＝ 35，∴log 1 5 ＋ a 7＋ a 9 3 5
＝－ 5.
)× 3
3(a
)＝－ log 3
5．已知两个等差数列
{ a n } 和 { b n } 的前 n 和分
A n 和
B n ，且 A n ＝ 7n ＋ 45， 使得 a n
正偶数 ， n 的
B n n ＋ 3 b n 可以是 (
)
A ． 1
B ． 2
C ． 5
D ．3 或 11
a n
2a n a
1＋ a 2n －1
A 14n ＋ 38 7n ＋ 19
[答案 ]
D[解析 ] ∵{ a n } 与 { b n } 等差数列，∴ b n ＝ 2b n ＝ ＝ 2n － 1
＝
＝ ，将
b 1＋ b 2n － 1 2n － 1 2n ＋ 2
B n ＋ 1 代入 知 D.
6．各 都是正数的等比数列
{ a n } 的公比 q ≠ 1，且 a 2， 1
a 3 ， a 1 成等差数列，
a 3
＋
a
4
的 (
)
2
a 4＋ a 5
A.1－ 5
B. 5＋ 1
C. 5－ 1
D. 5＋1或 5－1
2
2 2 2 2
1
[答案 ] C[解析 ]
∵a 2， 2a 3， a 1 成等差数列，∴ a 3＝ a 2＋ a 1，
5＋ 1
∵{ a n } 是公比 q 的等比数列，∴ a 1 q 2 ＝ a 1 q ＋a 1，∴q 2 － q － 1＝ 0，∵q>0，∴q ＝
2 .
a 3＋ a 4 ＝ 1 ＝ 5－ 1
∴ ，故 C.
a 4＋ a 5 q 2
7．已知数列 { a n } 等差数列， 若 a 11
n 和 S n 有最大 ， 使得 S n >0 的最大 n () <－ 1，且它 的前 a 10
A ．11
B ．19
C ．20
D ．21
[答案 ] B[解析 ] a 11
∵S n 有最大 ，∴ a 1>0， d<0 ，∵ <－ 1，
a 10
20 a 1＋ a 20 ∴a 11
<0 10
>0，∴a 10
＋a 11 <0 20 ＝ ＝ 10( a 10 ＋ a 11
，
， a
，∴S
2
)<0
19 a 1＋ a 19
又 S 19＝＝ 19a 10>0，故 B. 2
8．等比数列 { a n } 中， a 1 ＝ 512，公比 q ＝－
1
，用 Πn 表示它的前
n 之 ： Πn ＝a 1·a 2 ·? ·a n ，
2
Πn 中最大的是 ( )
A ．Π11
B ． Π10
C ． Π9
D ．Π8
n 1 2 ? n 1 ＝ 2 9n
－ 1 n － 1 n n n － 1 － n 2
＋ 19n
解析： Πn ＝ a 1 a 2? a n ＝a 1 ·q ＋ ＋ ＋ － 2 2 ＝(－1) 2 2 2
，∴当
n ＝ 9 ， Πn 最大．故 C
9．已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 1 ＝1， S 3＝ a 5， a m ＝ 2011 ， m ＝ ()
A ． 1004
B ． 1005
C ． 1006
D ． 1007
a 1 ＝ 1
a 1＝ 1
[答案 ] C[解析 ]
由条件知 3× 2 ，∴
，
3a 1＋ 2 d ＝ a 1＋ 4d
d ＝ 2
∵a m ＝ a 1＋(m － 1)d ＝ 1＋ 2(m － 1) ＝ 2m － 1＝ 2011 ，∴m ＝ 1006，故 C.
10．已知数列 { a n } 的通 公式 a n ＝ 6n － 4，数列 { b n } 的通 公式
b n ＝ 2n ， 在数列 { a n } 的前 100 中
与数列 { b n } 中相同的 有 ( )
A ． 50
B ． 34
C ． 6
D ． 5
[答案 ]
D[解析]
a 1＝ 2＝
b 1，a 2 ＝ 8＝ b 3，a 3 ＝ 14，a 4＝ 20 ，a 5＝ 26，a 6＝ 32＝ b 5，又 b 10＝ 210＝ 1024> a 100，
b 9＝ 512 ，令 6n － 4＝ 512， n ＝ 86，∴a 86＝ b 9 ， b 8 ＝ 256，令 6n － 4＝ 256，∵n ∈Z ，∴无解， b 7 ＝ 128 ，令
22 ＝ b 7，b 6＝ 64＝ 6n － 4 无解， 上知，数列 { a n } 的前 100 中与 n
6n － 4＝ 128， n ＝ 22，∴a { b } 相同的 有 5 ．
二、填空 ( 本大 共 5 个小 ，每小
5 分，共 25 分，把正确答案填在 中横 上 )
11．已知数列 { a n } 足： a n ＋ 1＝ 1－ 1
， a 1 ＝ 2， 数列 { a n } 的前 n 之 P n ， P 2011 ＝________. a n
[答案 ] 2 1 1
1 2 3＝－ 1， [解析 ] a 1 ＝2，a ＝1－＝ ，a ＝1－2＝－1，a ＝1－－1)＝2，∴{ a
} 的周期 2 2
3，且 a a a
∴P 2011＝ (a 1 a 2a 3)670 ·a 2011＝ (－ 1) 670·a 1＝ 2.
12．秋末冬初，流感盛行， 市某医院近
30 天每天入院治 流感的人数依次构成数列
{ a n } ，已知 a 1
＝ 1，a 2＝2，且 a n ＋2 － a n ＝1＋ (－ 1) n
(n ∈ N * )， 医院 30 天入院治 流感的人数共有
________ 人．
[答案 ] 255
[解析 ]
∵a n ＋ 2－ a n ＝ 1＋(－1) n
(n ∈N *)，∴n 奇数 ， a n ＋ 2 ＝ a n ，n 偶数 ， a n ＋ 2 － a n ＝ 2，即数列
{ a n } 的奇数 常数列，偶数 构成以2
首 ， 2
公差的等差数列．
故 30
天入院治 流感人数共有 15＋ (15× 2＋
15× 14
× 2)＝ 255 人．
2
13．已知等比数列 n
} 中，各 都是正数，且 a 1，
1
3,
2 成等差数列，
{ a
2a
2a
[答案 ] 3－ 2 2
[解析 ]
∵a 1， 1
a 3,2a 2 成等差数列，∴ a 3＝ a 1 ＋ 2a 2， 数列 { a n } 公比
2
∴q 2－ 2q － 1＝ 0，∴q ＝－ 1± 2，∵a n >0，∴q ＝ 2－ 1，
a 3＋ a 10
＝ q 2 ＝ 3－ 2 2.
∴
a 1＋ a 8
a 3＋ a 10
a 1＋ a 8 ＝ ________.
q ， a 1q 2 ＝ a 1 ＋ 2a 1q ，∵a 1 ≠ 0，
14．在如 的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一 列成等比数列，且从上到下所有
公比相等， a ＋ b ＋ c 的 ________ ．
a
c
b
6
1
2
[答案 ]
22
[解析 ]
由横行成等差数列知，
6 下 3，从 列成等比数列及所有公比相等知，公比 q ＝ 2，∴b
4＋ 6
2 知 a ＝ 1× 2
3 ＝ 8，∴a ＋ b ＋ c
＝ 2×2＝ 4 由横行等差知 c 下 2 ＝ 5，故 c ＝ 5× 2＝ 10 ，由 列公比
＝ 22.
15．数列 { a n } 中， a 1＝ 1， a n 、 a n ＋1 是方程 x 2－ (2n ＋ 1)x ＋ 1
＝ 0 的两个根， 数列 { b n } 的前
b n
n 和 S n ＝________ ．
[答案 ]
n
[ 解析 ]由 意得 a n ＋ a n ＋ 1＝ 2n ＋ 1，又∵a n － n ＝－ [ a n ＋ 1 － (n ＋ 1)] ， a 1＝ 1
n ＋ 1
∴a n ＝ n ，又 a n 1 1 n ＝ b 1＋ b 2＋? ＋ b n ＝ 1－ 1
·a n ＋ 1＝，∴b n ＝ ＝ .
b n n n ＋ 1 .∴S n ＋ 1
三、解答 ( 本大 共 6 个小 ，共 75 分，解答 写出文字 明， 明 程或演算步 )
16． (本小 分 12 分)(2011 甘· 天水期末 )已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝ pn 2
－ 2n ＋ q(p ，q ∈ R)，
n ∈ N *.
(1) 求 q 的 ；
(2) 若 a 3＝ 8，数列 { b n n ＝ 4log 2 n ，求数列 { b n
} 的前 n 和． } 足 a b
[解析 ] (1) 当 n ＝ 1 ， a 1＝S 1＝ p － 2＋ q ，
当 n ≥ 2 ， a n ＝ S n － S n －1 ＝ pn 2－ 2n ＋ q － p(n － 1)2＋ 2(n － 1) － q ＝ 2pn － p － 2
∵{ a n } 是等差数列，∴ p － 2＋ q ＝ 2p － q － 2，∴q ＝ 0.
(2) ∵a 3 ＝ 8， a 3＝ 6p － p － 2，∴6p － p － 2＝ 8，∴p ＝
2，∴a n ＝ 4n － 4，
又 a n ＝ 4log 2b n ，得 b n ＝ 2n －
1 ，故 { b n } 是以 1 首 ，
2 公比的等比数列．
1 － 2
n
所以数列 { b n } 的前 n 和 T n ＝
＝ 2n
－ 1.
1－ 2
17．(本小 分 n
} 的各 均 正数， a 1＝ 3，前 n 和 S n ，{ b n
} 等比数列，
1＝ 1，
12 分 )等差数列 { a
b
且 b 2S 2＝ 64， b 3S 3＝960. (1) 求 a n 与 b n ；
1 1 1
(2) 求 S 1 ＋ S 2
＋?＋
S n 的 ．
解： (1)
{ a n } 的公差 d ， { b n } 的公比 q ， d 正数， a n ＝ 3＋ (n － 1)d ， b n ＝ q n － 1，
依 意有 S 2 b 2 ＝ 6＋ d q ＝ 64
，
3 3 ＝ 9＋ 3d q
2
＝ 960
S b
6
d ＝ 2
d ＝－ 5
解得
或
(舍去 )，
q ＝ 8
40
q ＝ 3
故 a n ＝ 3＋ 2(n － 1)＝ 2n ＋ 1， b n ＝ 8n － 1.
(2) 由 (1) 知 S n ＝ 3＋ 5＋?＋ (2n ＋ 1)＝ n(n ＋ 2) ，所以
1
＋
1
＋?＋ 1 ＝ 1 ＋ 1
＋
1
＋?＋
S 1 S 2
S n 1×3 2× 4 3×5
1
n n ＋ 2
＝ 1 1－ 1＋ 1－ 1＋ 1－
1
＋?＋
1－ 1
2
3 2
4 3
5 n n ＋ 2
1
1 1 1 3
2n ＋ 3
＝ 2 1＋ 2－ n ＋ 1
－
n ＋ 2
＝ 4
－
2 n ＋ 1 n ＋ 2
.
18． (本小 分
1
12 分) 已知数列 { b n } 前 n 和 S n ，且 b 1＝ 1， b n ＋1＝ S n .
3
(1) 求 b 2， b 3， b 4 的 ；
(2) 求 { b n } 的通 公式；
(3) 求 b 2＋ b 4＋ b 6＋?＋ b 2n 的 ．
[解析 ] 1 1 1 ， b 3 1 1 (b 1＋ b 2)＝
4
1 S 3 1 (b 1 ＋ b 2＋ b 3 )＝
16
. (1) b 2＝ S 1＝ b 1＝ ＝ S 2＝ ， b 4＝ 3＝ 27 3 3 3 3 3 9 3
(2)
1
b n ＋
1＝ 3S n
①
1
b n ＝ 3S n － 1 ②
①－②解 b n ＋ 1－ b n ＝ 1 b n ，∴b n ＋
1 4 3 ＝ b n ，
3 1 1
4 n － 2
∵b 2＝ 3，∴b n ＝ 3·
3
(n ≥ 2)
1
n ＝ 1
∴b n ＝ 1 4
n 2
n ≥ 2 .
· －
3 3
1
4 2
(3) b 2， b 4，b 6? b 2n 是首 3，公比 3 的等比数列，
13[1－ 43 2n ]
∴b 2＋ b 4＋ b 6＋ ? ＋ b 2n ＝
4 2
1－ 3
＝ 3[( 4)2n
－ 1] ．
7 3
19．(本小 分 12 分 )已知 f(x)＝ m x (m 常数， m>0 且 m ≠ 1) ． f(a 1 )，f (a 2 )，?， f(a n )? (n ∈ N )是首 m 2，公比 m 的
等比数列．
(1) 求 ：数列 { a n } 是等差数列；
(2) 若 b n ＝ a n f(a n )，且数列 { b n } 的前 n 和 S n ，当 m ＝ 2 ，求 S n ；
(3) 若 c n ＝ f(a n )lgf(a n )， 是否存在 m ，使得数列 { c n } 中每一 恒小于它后面的 ？若存在，
求出 m 的
取 范 ；若不存在， 明理由．
2 n 1 n 1 [解析 ] (1) 由 意 f(a n )＝ m ·m － ，即 ma n ＝ m ＋
.
∴数列{ a n } 是以 2 首 ， 1 公差的等差数列．
(2) 由 意 b n ＝ a n f(a n )＝ (n ＋ 1) ·m n ＋
1，
当 m ＝ 2 ， b n ＝ (n ＋ 1) ·2
n ＋ 1
，
∴S n ＝ 2·22＋ 3·23＋ 4·24＋ ? ＋ (n ＋ 1) ·2n ＋
1①
①式两端同乘以 2 得，
2S n ＝ 2·23＋ 3·24＋ 4·25＋ ? ＋ n ·2n ＋ 1＋ (n ＋ 1) ·2n ＋
2②
②－①并整理得，
2
3
4
5
n 1
n
2
S n ＝－ 2·2 － 2 － 2 － 2 －? － 2 ＋
＋(n ＋ 1) ·2
＋
22 1－ 2n
＝－ 22－
＋ (n ＋ 1) ·2n ＋
2
1－ 2
＝－ 22
＋ 22 (1－ 2n )＋ (n ＋ 1) ·2
n ＋ 2
＝ 2
n ＋ 2
·n.
(3) 由 意 c n ＝ f(a n ) ·lg f(a n )＝ m n ＋ 1 ·lgm n ＋ 1＝ (n ＋ 1) ·m n ＋
1 ·lg m ，
要使 c n < c n ＋ 1 一切 n ∈N * 成立，
即 (n ＋ 1) ·m n ＋ 1·lgm<(n ＋ 2) ·m n ＋
2·lgm ， 一切 n ∈N * 成立，
①当 m>1 ， lgm>0，所以
n ＋ 1 ②当 0 n ＋ 1 >m 一切 n ∈N * 成立， n ＋ 2 n ＋ 1 1 2 2 因 ＝ 1－ 的最小 3，所以 0 n ＋ 2 n ＋ 2 上，当 0< m< 2 或 m>1 ，数列 { c n } 中每一 恒小于它后面的 ． 3 1 1 1 20．(本小 分 13 分 )将函数 f(x)＝ sin 4x ·sin 4(x ＋ 2π) ·sin 2(x ＋ 3π)在区 (0，＋∞ )内的全部极 点按从小 到大的 序排成数列 { a n }( n ∈ N * )． (1) 求数列 { a n } 的通 公式； (2) b n ＝ 2n a n ，数列 { b n } 的前 n 和 T n ，求 T n 的表达式． 1 1 1 [解析 ] (1) 化 f (x)＝ sin 4x ·sin 4(x ＋ 2π) ·sin 2(x ＋ 3π) x x x 1 ＝ sin 4cos 4·－ cos 2 ＝－ 4sinx x ＝ k π＋ π 其极 点 2(k ∈Z )， 它在 (0 ，＋ ∞ )内的全部极 点构成以 π 2 首 ， π 公差的等差数列， π 2n － 1 a n ＝ ＋ (n － 1)·π＝ 2 π(n ∈N * )． 2 (2) b n ＝ 2 n π n a n ＝ (2n － 1) ·2 2 π ∴T n ＝ 2[1 ·＋2 3·22＋ ? ＋ (2n － 3) ·2n － 1 ＋ (2n － 1) ·2n ] π 2 3 n n 1 2T n ＝ 2[1 ·2＋ 3·2 ＋ ? ＋ (2n － 3) ·2 ＋ (2n － 1) ·2 ＋ ] 相减得，－ π T n ＝ [1 ·2＋ 2·22 ＋ 2·23＋ ? ＋ 2·2n － (2n － 1) ·2n ＋ 1] 2 ∴T n ＝ π[(2 n － 3) ·2n ＋ 3] ． 21． (本小 分 14 分) 数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且 S n ＝ n(n ＋ 1)(n ∈ N * )． (1) 求数列 { a n } 的通 公式； (2) 若数列 { b n } 足： a n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋?＋ b n ，求数列 { b n } 的通 公式； 3＋1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 n ＋ 1 3 3 3 (3) 令 c n ＝ a n b n (n ∈ N * )，求数列 { c n } 的前 n 和 T n . 4 [解析 ] (1) 当 n ＝ 1 ， a 1＝S 1＝ 2， 当 n ≥ 2 ， a n ＝ S n － S n －1 ＝ n(n ＋ 1)－ (n － 1)n ＝ 2n ，知 a 1＝ 2 足 式 ∴数列{ a n } 的通 公式 a n ＝2n. (2) a n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ ? ＋ b n (n ≥ 1) ① 3＋ 1 32＋1 33 ＋ 1 3n ＋ 1 ∴a n ＋ 1＝ b 1 b 2 b 3 b n b n ＋ 1 ＋ ＋ ＋? ＋ ＋ n 1 ② 3＋ 1 2 3 ＋ 1 n ＋ 1 ＋ 1 3 ＋ 1 3 3 3 ＋ b n ＋ 1 ②－①得， 3n ＋ 1＋ 1＝ a n ＋ 1 － a n ＝ 2， b n ＋ 1＝ 2(3 n ＋ 1 ＋ 1) ， 故 b n ＝ 2(3n ＋ 1)( n ∈N * )． n ＝ a n b n ＝ n(3 n ＋ 1) ＝ n ·3n ＋ n ， (3) c 4 ∴T n＝ c1＋ c2＋ c3＋?＋ c n＝ (1 ×3＋ 2×32＋ 3× 33＋?＋ n× 3n)＋ (1＋ 2＋?＋ n)令 H n＝ 1× 3＋ 2× 32＋ 3× 33＋?＋ n× 3n，① 3H n ＝ 1×32＋ 2× 33＋ 3× 34＋?＋ n× 3n＋1② n ①－②得，－2H n＝ 3＋ 32＋33＋?＋3n－n×3n＋1＝3 1－3－n×3n＋1 1－ 3 ∴H n＝2n－ 1 × 3n＋1＋ 3 4， ∴数列{ c n } 的前 n 和 T n＝2n－ 1 × 3n＋1＋ 3 ＋ n n＋1 . 42
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