西安电子科技大学
硕士学位论文
轴对称柱坐标FDTD网格剖分技术及其在天线辐射中的应用
姓名：朱湘琴
申请学位级别：硕士
专业：无线电物理
指导教师：葛德彪
20021201
摘要１
摘要
时域有限差分（ＦＤＴＤ）方法是计算天线辐射的一种有效方法。为了提高二维轴对称柱坐标系中ＦＤＴＤ方法的有效性和准确性，本文在网格剖分方面研究了亚网格技术和曲面共形技术。给出了粗细网格尺寸比为２、３的两种亚网格技术的理论分析，完成了相应程序并给出相应算例。为了更糖确的模拟二维轴对称柱坐标系中的曲面导体，本文研究了二维轴对称柱坐标系中的曲面共形技术并计算了球底面和平底面的圆锥天线的辐射特性。实际应用中等离子体和吸波材料等都具有色散介质特性。本文还应用移位算子方法研究二维柱坐标系中等离子体覆盖的单极子天线的辐射特性。
关键词：时域有限差分方法轴对称亚网格技术曲面共形技术等离子体
摘要
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ＴｈｅＦｉｎｉｔｅ．－ＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅ－?Ｄｏｍｍｎ（ＦＤＴＤ）ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｈａｓｂｅｅｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｒａｄｉａｔｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ．ＩｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙａｎｄｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆＦＤＴＤｍｅｔｈｏｄｉｎｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｗｉｔｈｒｏｔａｔｉｏｎａｌｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｓｕｂｇｒｉｄｄｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｗｉｔｈｍｅｓｈｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔｂｙａｆａｃｔｏｒｏｆｔｗｏａｎｄｔｈｒｅｅａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｓｕｂｇｒｉｄｄｉｎｇｔｈｅｏｒｉｅｓａｒｅｇｉｖｅｎａｎｄｔｈｅｐｒｏ酽ａｍｓａｒｅｓｅｔｕｐ．Ｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｃｕｒｖｅｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇｏｂｊｅｃｔｉｎｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｗｉｔｈｒｏｔａｔｉｏｎａｌｓｙｍｍｅｔｒｙｍｏｒｅｐｒｅｃｉｓｅｌｙ，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔａｓｉｍｐｌｅｙｅｔａｃｃｕｒａｔｅｃｏｎｆｏｒｍａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅＦＤＴＤａｎａｌｙｓｉｓｏｆａｎｔｅｎｎａｒａｄｉａｔｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄｂｙｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｄｅｒｉｖｅｄｆｒｏｍｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｒａｄｉａｎｔｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｏｆｍｏｎｏｐｏｌｅｃｏｖｅｒｅｄｗｉｔｈｐｌａｓｍａ，ｗｈｉｃｈｉｓａｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅｍｅｄｉｕｍ，ｉｓｄｉｓｐｏｓｅｄｂｙａｓｈｉｆｔｏｐｅｒａｔｏｒｍｅｔｈｏｄ．
ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｆｉｎｉｔｅ－ＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅ—Ｄｏｍａｉｎ（ＦＤＴＤ）ｍｅｔｈｏｄＡｘｉａｌｓｙｍｍｅｔｒｙ
ＳｕｂｇｒｉｄｄｉｎｇｍｅｔｈｏｄＣｏｎｆｏｒｍａｌｔｅｃｈｎｉｑｕｅＰｌａｓｍａ
创新性声明
本文声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及所取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究或成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。
申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。
本人签名：善豳，荔日期：２竺！：！！：耳
关于论文使用授权的说明
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本学位论文属于保密，在——年解密后适用本授权书
本人签名：塞捆差
翩虢觐鲤日期：２１１２１丛１２
日期：羔！！ｚ：ｆｚ！丑
第一章前言！
第一章前言
１．１时域有限差分方法发展和现状
１９６６年Ｋ．Ｓ．Ｙｅｅ首次提出了一种电磁场数值计算的新方法——时域有限差分方法ｆＦｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＴｉｍｅＤｏｍａｉｎ，简称ＦＤＴＤ）。在其著名论文“ＮｕｍｅｒｉｃａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆＩｎｉｔｉａｌＢｏｕｎｄａｒｙＶａｌｕｅＰｒｏｂｌｅｍｓＩｎｖｏｌｖｉｎｇＭａｘｗｅｌｌ’ＳＥｑｕａｔｉｏｎｉｎＩｓｏｔｒｏｐｉｃＭｅｄｉａ”…中提出对Ｅ、Ｈ场分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，应用这种离散方式将带时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。Ｙｅｅ提出的这种抽样方式后来被称为Ｙｅｅ氏网格。
ＦＤＴＤ方法经过三十多年的发展已成为一种成熟的数值方法【２¨”。近十几年来，随着计算机性能的提高和价格的下降，使ＦＤＴＤ方法更具吸引力，应用范围也越来越广，如计算天线辐射、分析周期性结构、研究微波器件和导行波结构的问题等。三十多年来国内、国际刊物上发表的论文数目可以充分说明这一点口ｌ。前十年中，每年仅有几篇和ＦＤＴＤ有关的论文发表，此后十年中，每年都有十几篇相关的研究论文见诸各种刊物。近十几年来，每年发表的论文几乎按指数增长。
随着ＦＤＴＤ被人们广泛接受和应用，ＦＤＴＤ方法本身也在不断完善和发展，主要表现为：
——ＦＤＴＤ区。对于散射问题，通常在ＦＤＴＤ计算区域中引入总场边界（即连接边界），如图１．１所示。ＦＤＴＤ计算区域划分为总场区和散射场区。这样做的好处是：一、应用惠更斯（Ｈｕｙｇｅｎｓ）原理，可以在连接边界处设置入射波，使入射波的加入变得简单易行；二、可以在截断边界（即吸收边界）处设置吸收边界条件，利用有限计算区域就能够模拟开域的电磁过程；三、根据等效原理，应用数据存储边界（即输出边界）处的近区场便可以实现远场的外推计算。对于辐射问题，激励源直接加到辐射天线上，整个ＦＤＴＤ计算区域为辐射场，如图１．２所示，不再区分总场区和散射场区。
——吸收边界条件（截断边界条件）吸收效果提高。为了在有限的计算区域模拟自由空间中的电磁问题，必须在计算区域的边界上设置吸收边界条件，将计算区域截断。吸收边界从开始简单的插值边界，到后来广泛采用的Ｍｕｒ吸收边界，以至近几年发展起来的完全匹配层（ＰＭＬ）吸收边界，其吸收效果越来越好。
凿１ｔ散射计算时ＦＤＴＤ区域的划分
图１２辐射计算时ＦＤＴＤ区域的划分
——近一远场变换。ＦＤＴＤ的模拟只能限于有限空间，为了获得计算域以外熬教鬈场，必须詹助等效琢理应翔诗算嚣域疆肉豹遥场散射数据实现诗舞区蠛以外远场的外推。
——潮格削分。在网格剖分方面新技术髂殿用提高了ＦＤＴＤ方法的肖效性和准确性。这些新技术包括：直角坐标系中的亚嘲格技术［８卜［１２１；直角坐标系中的姻面共形技术…３＾［“ｊ，广义正交坐标系中的差分格式和非正交变形网格技术等。这些薪技术匏应震大大辐宽了ＦＤＴＤ方法翁应鼹慈罄。
时域有限差分（ＦＤＴＤ）方法是计算天线辐射的一种有效方法。决定ＦＤＴＤ方法精发斡一个因素是掰取溺格豹尺寸。通常情况下，离散两格尺度矗鞭决于入射波长，即满足ｄｓⅣ１０。但在很多情况下。需疆对于感兴趣的部分进行细分，如染采弼均匀两格，列需要对整个计算区域都采用小尺寸网格，这样嚣受到计算机内存及运行时间的限制。鉴于这荦申情况，在直角坐标系孛，我嬲应用妻楚坐撂系中的亚嘲格技术｛８ｊ．ｆ１“。即对于感兴趣的部分再进行细分，应用亚网格，而其它区域仍采腰粗网按：丽在二维辅霹称柱坐黎系中，与直焦坐标系中相似，巍可采用楗坐标系中的溉网格技术。这样既能保诞计算的精度，又节约内存及运行时间。键统ＦＩ）ＴＤ建模在应用台阶近儆模拟簸瑟时会葶ｉ入误差，在煮焦坐标系中，出现
第一章裁富！
ｔｔ！ｌｔⅫ目＿目＿目目＿ｓ——一Ｉｕｔｕｍｔ
术邮哪’来减少误差，其中有：非正交坐标系ＦＤＴＤ法，曲线坐标系法，回路积分法等。在二维轴对称柱坐标系中，也可以采用＝维轴对称柱嫩标系中的曲丽共形技术来减少误差。色散分质是一类复杂介痰，等离子体、生物体、土壤等都具有色敖特性。在直角嫩标系中，色散介质时域递推方法已经商时域卷积方法ｍ】，时域微分方程方法∽｛僻｝，Ｚ变换方法ｆ２ｊ｝ｆ。２｝。在二维辘对称柱坐标系中，当西与盖的频瑶本构关系可以表示为有理分式函数时，将该本构关系首先过渡刘时域，再转换到时域的离散形式，进而导出从西到五的递推计算公式，即可实现色散介质在二维轴对称犍坐撼系中的时域遴接。褥该方法建来毳｝｝究等离予体覆盖熬单极子天线豹辗慰特性。
１．２论文的安排及主要贡献
本论文共分先五章。
第二章研究粗细网格尺寸比为２的二维轴对称柱坐标系中的ＦＤＴＤ娅网格技术。绘爨了二维辘对称壤况下耀缨网格尺寸比必２的溅网格技术蛉理论分析，完成了相应程序并进行了天线辐射的计算。本章所介绍的皿网格技术，是通过仿照直角攫檬系中耍隧捂技术靛捶擅方法愀”１来楚理耀缎露格速器。该方法密予特殊的阐捺排布，可以应用于亚网格边界穿越介质的情况。
第三章讨论粗细网格尺寸眈为３的二维辅对称聿主艇标系中的ＦＤＴＤ腰网格技术。给如了二维轴对称情况下粗细网格尺寸比为３的弧网格技术的理论分毫厅，完成了相应程序并进行了天线辐射的计算。本章所介绍的溉网格技术，是通过与直角坐振系中瓣插值方法ｍ瓷织豹方法采处瑗耀细网格边界兹。该方法不需要特殊的耀格排布，但可以应用于粗细网格边界穿越金属介质的情况。
第疆牵ＦＤＴＤ曲蟊共形按术。本章绘出了＝维轴对称坐标系中的萄面共形技术的理论分析，完成相应程序并计算了平底圆饿天线和球底两圆锥天线的反射电压。该筵形技术（ＭＣＦＤＴＤ方法）参照直角坐标系中采用局部紧缩交形网格的共形技术肿州７ｌ，也采用局部紧缩变形阙格。农这些变形网接中，从积分形式麦克颠奄方程出发得到修改后的ＦＤＴＤ递推公式，丽在非变形网格中仍使用一般的递摧公式。越乡｝，还讨论了变形瘸格癍当满跫静筵形条穆。该技术操作琵较篱荜，计算稳定。该算法可用于模拟二维轴对称柱坐标系中的任意曲面形状的导体，第五章醑究了等离予俸覆盖酌筚极予天线的辐射祷往。本牵先介绍了二维轴对称柱坐标系中常用的一类色散介质的ＦＤＴＤ计算方法。该方法具有可行性。应耀此方法分析了等离子体覆盖的单极子天线的辐射特性。
。，一耋三坠翟些盐些蝥盥譬尘型型鏊尘—Ｉ—一Ｔ！＿＿目目＿目Ｅ｜自＿＿｜ｓ＿＿＿Ｅ目＿＿ｇＥ＿＿＿Ｉ●●＿＿Ｅｊ＿＿＿＿１５５——
场重合。为了确保由粗网格到细网格的平稳过渡，应用了对时间外插值以及对时间和空间的内插值方法，这两种插值都具有二阶近似。
图２．２亚网格排布及粗细网格边界
图中灰色区域表示粗细网格的过渡区。对柱坐标中二维ＴＭ（ＴＥ），图
中＋表示磁场（电场），既是粗网格的磁场（电场）又是亚网格的磁场
（电场），?表示粗网格的电场（磁场），０表示贬网格的电场（磁场）。２．１．３亚网格算法
亚网格算法的重点应该放在以下两个方面：
?保证整个亚网格区域的计算稳定性；
?将来自于亚网格边界的反射率减小到最低。在网格布局上应用一个过渡区域，细网格相对粗网格移动１／４个粗网格的大小。
研究轴对称柱坐标系中二维ＴＭ情形。记粗网格大小为占，：△，：位，时间步为Ａｔ。：亚网格边长乃是粗网格的ｌ／一，，时间步为△，ｒ＝Ａｔ。肛ｒ。用以”Ｇ，），Ｂ””２（ｆ＇／＋１／２），丘”Ｖ２（ｆ＋ｌ／２，，）表示粗网格的场值，用ⅣⅣ”０，ｇ），勖ｍ＋ＷＤ，ｇ＋］／２），Ｅ矿ｍ＋Ｗ０＋Ｖ２，９）表示亚网格的场值。各场分量之间关系如下：
．一。。Ｉ耋三茎』墅坠垦堡垒兰些望耋』型鐾璧毛２２二窑窑垒耋奎。，一：（ｂ）在时间上用Ⅳ耐一＋％和Ⅳ∥”＋％的插值，然后用空间插值来替换亚网格区域内相应的粗网格点的值Ⅳ。”＋％，即
％“，４（ｉ＋１／２，Ｊ＋１／２）＝ｊｌｌＨ∥“只（ｆ＋１，２，，＋１／２）＋％“％４（ｉ＋１／２，川／２）］（２－４）ｆｃ）为了获得粗细网格边界（图２．２中，＝‘，。一１／２行）上格点处因缩进亚网格而未计算的磁场值，先用ⅣⅣ“％和Ｈ，“＋％的外插来获得Ｎ＋３／４的场值，然后用空间内插来获得丢失的Ⅳｄ”＋％。即对，＝Ｊ。一１／２行上粗、细网格磁场重合的点，用时间外插值求得
％吲（ｆ＋Ｉ／ｚＪｏ—Ｉ，２）＝强弼“＋Ｉ／２，．：ｏ一１／２）一％喇（ｆ＋ｌ／２，Ｊｏ一１／２）（２—５）
然后对不重合的点用空间内插值求得
ｑｒＮ十必（ｆ＇矗－１／２）＝弓ＩＩｔｔ一”＋％ｕ－１／２，Ｊｏ－１／２）＋Ｈ矿”＋％（ｉ＋Ｕ２，矗－１／２）１（２—６）这样，＝．，。一１／２行上小网格的磁场值均已求得。
５）ｔ＝Ｎ＋４／４时，用ＦＤＴＤ来获得Ｅｒｔｉ＊ｌ＇Ｅ：“１和亚网格的Ｅ矿“’，Ｅ矿“１
６）回到第～步，循环。
在此方法中插值扮演了一个非常重要的角色，在各种插值中选用了最简单的一种方式，即线性插值。
２．２粗细网格区域边界的非物理反射分析
在粗细网格边界，由于处理方法的不连续性，不可避免地要带来非物理性反射，这种反射是影响亚网格技术稳定性和精度的主要因素之一。一种好的亚网格技术应当使粗细网格边界的非物理反射尽量小。上节所描述的亚网格方法的这种反射非常小。
２．２．１计算区域的设置
为测试粗细网格边界的反射率，如图２ｆ３所示，设计算区域为Ｑ（含１５０ｘ３００个网格），四个角点为（０，一１５０）、（０，】５０）、（１５０，１５０）、（１５０，一１５０）。作两次计算：第～次取亚网格区蜴，（含４０×１６０个网格）的四个顶点坐标为（３０，一８０）、（３０，８０）、（７０，８０）、（７０，一８０）：第二次取亚网格区Ｑ２，（含９０ｘ１６０个网格）的四个顶点坐标为００，一８０）、００，８０）、０２０，８０）、０２０，一８０）。激励源设在原点。至少在某个时间步
８轴对称柱坐标ＦＤＴＤ网格割分技术及其在天线辐射中的应悄
内，当９Ｉ，右边界的反射波到达接收点Ｐ（６８，ｏ）时，绕，边界的反射波还未达到接收点。于是用两次计算得到的Ｐ点的场值相减，就可得到襁细网格边界的反射波。
图２．３计算襁细网格边界反射时的区域设爱
２．２．２粗细网格边界反射波的提取
对辐对称柱坐标系中豹ＴＭ波，高新脉冲没饕覆互：和，ｏ）点，蕤形式为
Ｅ：陋“‘”％㈤
：ｅ）＝Ｐ／。２挖一７１其中入射波上限频率为１．５ｘ１０”Ｈ：，上式中气＝４０Ａｔ，Ａｔ：３．３３×１０“ｓｅｃ，ｆｏ。０．８ｔｍ，如图２．４所示。图２．５中两条曲线分别怒亚网格区为奶，和Ｑ２，时接收点Ｐ处的波形Ｅ，ｌ（ｐ）窝ｔ２（Ｐ）。圈２．６曲线为
Ｄ（Ｐ）＝疋。（Ｐ卜古：２（Ｐ）ｆ２．８１代表Ｐ点所接收蜀的边界的反射波。
对图２．６曲线备段进纷分析：
ａ）由Ｏ到Ａ点（Ｔｉｍｅｓｔｅｐ。１４４）是高斯脉冲由辐射源点到Ｑ，右边界，及在该边赛产生黪反射波到达接收点Ｐ所零要的惑孵闯步；
ｂ）由Ａ点到Ｂ点（Ｔｉｍｅｓｔｅｐ＝２２４）是鸟，右边界的反射波：
ｃ）垂ｃ点（Ｔｉｍｅｓｔｅｐ２３４４）到Ｄ点（Ｔｉｍｅｓｔｅｐ：４６４）是ｇ，右边界反射波及Ｑ右边界反射波的迭加。
第二章粗细网格尺寸比为２的轴对称ＦＤＴＤ亚网格技术！
蔷—ｊｅ
山“∑ｅ
山”
１０
０８
Ｏ２
００
Ｔｉｍｅｓｔｅｐ
ａ）入射高斯脉冲时域波形
ｆ（ＧＨｚ）
ｂ）入射高斯脉冲频域特性
图２．４入射波的波形６
４
０
０
一ｏ．。一时
塑轴对称柱坐标ＦＤＴＤ网格割分技术及其在天线辐射中的应用
ｏ
ｏ
—
Ｑ－
ｏ
．｛５
—２０
ｔｉｍｅｓｔｅｐ
图２．５接收点Ｐ的场值
Ｔｉｍｅｓｔｅｐ
圈２．６租细网格边界的反射波
婴上各时间段的划分与实际分析相一致，如Ａ点（Ｔｉｍｅｓｔｅｐ＝１４４），经计算
可知该点是Ｑ－，的右边界的反射波到达接收点的时间步：对于Ｃ点，可以用妥写
原理计算出Ｑ２，右边界的反射波到达接收点的最短时间步是３４４。
在（２－８）式基础上，现在可通过时间加窗法提取０点到Ｆ点（Ｔｉｍｅｓｔｅｐ＝３００）
的时域反射波，仅是９，右边界的反射波。
０
５
０５
０
们¨∞
¨仙，。１．一ｄ）“
第二章粗细网格尺寸比为２的轴对称ＦＤＴＤ亚网格技术旦
区场Ｅ。的时域分布。作为比较，图中也给出了采用均匀细网格占＝ｌｍｍ计算所得的结果。由图可见，二者符合很好。
图２．１０球底面圆锥天线极化模型
Ｏ，Ｏ＇ｌＯ
０００５
时
０．０００
—０，００５
．Ｏ０１０
图２．１Ｉ接收角ｔｈｅｔａ＝６０。时球底面圆锥天线的远区辐射分布图
２．４本章小结
本章介绍了一种既高效，反射系数又非常低的亚网格技术。数值计算测试结果表明，粗细网格界面反射系数可以达到（－９０ｄＢ）以下。该方法可以用于亚网
格边界穿越介质界面的情形。采用本文的方法既可以获得精确的场分布，又节约
计算机内存和计算时间。
１４
轴对称柱坐标ＦＤＴＤ网格剖分技术及其在天线辐射中的应用
第三章粗细网格尺寸比为３的轴对称ＦＤＴＤ亚网格技术
３．１亚网格技术原理
３．１．１亚网格布局
令粗细网格尺寸比值∥＝３。网格布局如图３．１所示。由于粗细网格的尺寸比
是奇数，所以在细网格区的粗网格点均有对应的细网格重合点【１２】。
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图３．１亚网格排布及租细网格边界
对二维柱坐标系中的ＴＭ（ＴＥ），Ｅ表示粗网格的电（磁）场，或者表示既是粗网格的电
（磁）场又是亚网格的电（磁）场；Ⅳ表示粗网格的磁（电）场，或者表示既是粗网格的磁
（电）场又是亚网格的磁（电）场；ｅ表示亚网格的电（磁）场；一～表示粗细网格边界
在该种布局中，粗细网格在空间无须有一定的偏移，对于柱坐标系中的ＴＭ极化，粗网格的磁场和相应的细网格磁场自然重合。同样对于ＴＥ极化，粗细网格的电场重合。为了确保由粗网格到细网格的平稳过渡，应用了加权、对对阔外插值及对时间和空间的内插值方法，其中两种内插都具有＝阶近似。
第三章粗细网格尺寸比为３的轴对称ＦＤＴＤ亚网格技术竺３．１．２亚网格算法
亚网格算法的重点应该放在以下两个方面：
?保证整个亚网格区域的计算稳定性，次夕卜层的电场进行加权处理。
●将来自于粗细网格边界的反射率（主要是低频部分的）减小到最低。对细网
格区外层的磁场进行加权处理。计算证明这是一个很好的方法。
研究柱坐标系中二维ＴＭ情形。记粗网格大小为疋＝Ａｒ＝△ｚ，时间步为△ｆ“亚网格边长Ｄ是粗网格的Ｉ／．，（”，＝３），时间步为△‘，＝△，。加ｒ。用Ⅳｐ”Ｏ＋１／２，，＋１／２）、Ｅｒｎ＋ｌ／２０＋１／２，，）、Ｅｚｎ＋９２（ｆ，Ｓ＋１／２）来表示粗网格的场值，用＾ｐ”（ｐ＋１／２，ｑ＋１／２）、ｅｒｍ＋ｌ／２０＋１／２，ｑ）、ｅｚｒａ＋ｌ／２（ｐ，ｑ＋ｌ／２）表示亚网格的场值。各场分量之间关系如下
Ｊ孽ｐｎ＋ｌ／２０＋１／２，，＋ｌ／２）＝百ｒｎ＋ｌ／２０＋１／２，Ｊ＋１／２）
＋ＦＡＩ陋：”Ｏ＋１，，＋１／２）一Ｅ；”Ｏ，』＋ｌ／２）Ｊ
＋ＦＡ２?ｐ，”Ｏ＋１／２，，）一Ｅ，”（ｆ＋１／２，Ｊ＋１）Ｊ
Ｅｒ”＋１冬＋ｉ／２，，）＝Ｅｒ“＋１（ｆ十ｉ／２，，）ｆ３－１）
＋ＦＡ２?睁∥Ｏ＋１／２，，一１／２）一拂…Ｉ／Ｏ＋ｌ／２，，＋ｌ／２）ｌ
Ｅｚｎ＋｜（ｆ，，＋１／２）＝Ｅｚ”１ｅ，，＋ｌ／２）
＋ＦＡｌｈ拂＋ｉ１２０＋１／２，，＋ｌ／２）一‘一｛口”２０一１／２，，＋ｌ／２）Ｉ
其中
耻繁‘掰雌鳓姗抛删ｌ－警ｐ：，ＦＡ２：坐”…
ＦＡｌ，ＦＡ２与离散网格尺寸有关。式（３－１）、（３－２）不仅适用于粗网格，同样适用于亚网格。当用于亚网格时，相应的匕，Ｅ，，Ｅｚ对应于＾，，ｑ，巳，瞑对应于拶，，Ａｔ。对应于Ａｔｒ。由上式可知，Ｈ，的计算需要邻近四个Ｅ，和Ｅｚ的格点值，而Ｅ，，Ｅ．的计算则需要邻近的二个爿０格点值。对于粗网格和亚网格我们可以用通常的ＦＤＴＤ递推公式进行计算。而在粗细网格边界上的电场无法计算。
对于柱坐标系中ＴＭ波，已知Ｅ”，∥－１和Ⅳ”％，亚网格方法的具体计算步骤如下：
（１）计算整个计算区域（包含粗网格区和细网格区）的Ⅳ”必和Ｅ“。
（２）用普通ＦＤＴＤ迭代来计算”＋ｌ／６时刻的细网格区内的磁场＾。一＋％。
（３）计算”＋２／６时刻细网格区内的电场，即
（ａ）使用普通的ＦＤＴＤ迭代来计算亚网格区内部的。，一＋％，ｅ一＋％：ｚ
嘞唰哥粗纽网格边界士与粗丹椿电场榀垂会自争点冉争晦％‘坶酾钥掘崮涝。
Ｉ＿＿—＿——?＿——＿１６轴对称柱坐标ＦＤＴＤ网格剖分技术及其在天线辐射中的应用
ｉｉ——＿————●—●—●■＿——＿＿－—＿———＿ＩＩＩＩ——
（ｂ）对于粗细网格边界上与粗网格电场相重合的点的电场，计算所用公式为
Ｅ…＝Ｅ“＋Ａｖ＋Ｂｖ２／２（３－３）式中
４＝ｋ“一Ｅ．－Ｉ／２，Ｂ：Ｅ““‘Ｅ“～一２Ｅ”（３—４）其中ｖ＝２／６：
（ｃ）对于粗细网格边界上与粗网格的电场不相重合的点的郎“～，ｅ：”％，使用线性内插来求出，如图３．１所示，具体公式为
％２；鲁＋÷０（３－５）
…７
ｑｚ＝号蜀＋｛也
式中的用到的Ｅ。、Ｅ。、Ｅ：均由（ｂ）经时间内插得到。粗细网格边界上其它的与粗网格电场不重合的其它点的电场值可类推；
（ｄ）对于细网格次外层上的电场值作加权处理，在图３．１中具体为
％＝ｏ．９５ｅ埘＋０．０５＋兰≤鱼（３．６）
‘
其中次外层的岛，，及内层的Ｐ３２由（ａ）步计算得，外层的岛由（ａ）或（ｂ）步得到。细网格次外层的其它电场值可类似乎导到。
（４）计算”＋３／６时刻细网格区内部的磁场，按照以下步骤：
（ａ）用普通ＦＤＴＤ迭代来计算细网格区的＾。“邶；
（ｂ）对细网格区磁场的最外层进行加权处理，如图３．１所示对粗细网格的磁场日Ｉ、ｈ。计算公式分别为
Ⅳｌ２ｏ?８蜀ｃ＋Ｏ?２啊７
ｎ一∞
、～，
ｈｌ＝０．２Ｈｌｆ＋Ｏ．８ｈｌ，
其中Ｈｋ表示由第（１）步所算出的ｎ＋ｌ／２时刻的该点的粗网格场值，岛，表示由第（４）步所算出的该点的亚网格场值，啊及ｈ。分别表示权重后的该点的粗、细网格场值。
（５）使用由（４）得到的加权后的粗网格磁场值日，“Ｖ２及历史上的粗网格电场值Ｅ一来重新计算粗细网格边界上的粗网格的电场值点”－。
（６）计算一＋４／６时刻细网格区的电场。与第（３）步所述步骤相似。注意这里取（３ｂ）步中ｖ＝４／６。
（７）用普通ＦＤＴＤ迭代来计算细网格区的ｈｎ＋Ｓ］６。
（８）计算”＋１时刻的细网格区的电场ｅｒｎ＋ｌ，％”１。重复第（３）步的步骤。注意这里取（３ｂ）步中ｖ＝Ｉ。
回到第（１）步进行下一个循环。