加权最小二乘法(WLS)
如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。下面先看一个例子。
原模型：
Λ
+++=i i i x x y 22110βββ，
i ki k u x ++β
n i ,,2,1Λ=
如果在检验过程中已经知道：
2
222
)()()(u i i i i x f u E u D σσ=== , n i ,,2,1
Λ= 即随机误差项的方差与解释变量2x 之间存在相关性，模型存在异方差。那么可以用)
(2x f 去除原模型，使之变成如下形式的新模型：
Λ+++=i i i i i i i x x f x x f x f y x f 222
121
20
2)
(1)
(1)
(1)
(1βββ
i i ki i k u x f x x f )
(1)
(122+
+β
n i ,,2,1Λ=
在该模型中，存在
2
22222)()(1))
(1())(1(
u i i i i i i u E x f u x f E u x f D σ=== (4.2.1)
即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数βββ01,,,Λk 的无偏的、有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是)
(1
2i x f 。
一般情况下，对于模型
Y X =+B N (4.2.2)
若存在：
W
2)(),(0
)(u
E Cov E σ=N 'N =N N =N ?
W =???
?
????
?
???w w w n 12
O
(4.2.3) 则原模型存在异方差性。设
T
DD
W =
??????????
???
?=n w w w D O
2
1, ??????
?
??
??
??
?=----11
2
1
11n w w w D O
用D 1-左乘(4.2.2)两边，得到一个新的模型：
D Y D X D ---=+111B N (4.2.4) 即
Y X ***
=+B N
该模型具有同方差性。因为
)()(),(11****T
T
E E N N Cov --N 'N =N N =D D
I
D D D D WD D D D 21
2
11211
1)(u T u T
u T E σσσ='=='
NN =------
于是，可以用普通最小二乘法估计模型(4.2.4)，得到参数估计量为：
**1**)(?Y X X X T T WLS -=B
Y
W X X W X Y
D D X X D D X 1
1111111)()(--------==T T T
T T T (4.2.5)
这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。
如何得到权矩阵W ？仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即
?????
?
???????
?=22
2
21?n e e e O
W
(4.2.6) 当我们应用计量经济学软件包时，只要选择加权最小二乘法，将上述权矩阵输入，估
计过程即告完成。这样，就引出了人们通常采用的经验方法，即并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差性，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。
在利用Eviews 计量经济学软件时，加权最小二乘法具体步骤是：
⑴ 选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项的近似估计量i e ；
⑵ 建立i e 1的数据序列；
⑶ 选择加权最小二乘法，以i e 1序列作为权，进行估计得到参数估计量。实际上是以
i e 1乘原模型的两边，得到一个新模型，采用普通最小二乘法估计新模型。
(步骤见PPT 文件)