数学小知识
阿拉伯数字在生活中，我们经常会用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数字。那么你知道
这些数字是谁发明的吗？
这些数字符号原来是古代印度人发明的，后来传到阿拉伯，又从阿拉伯传到欧洲，欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，就把它们叫做“阿拉伯数字”，因为流传了许多年，人们叫得顺口，所以至今人们仍然将错就错，把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字。
现在，阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符号。
九九歌
九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。
远在公元前的春秋战国时代，九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多著作中，都有关于九九歌的记载。最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四”止，共36句。因为是从“九九八十一”开始，所以取名九九歌。大约在公元五至十世纪间，九九歌才扩充到“一一如一”。大约在公元十三、十四世纪，九九歌的顺序才变成和现在所用的一样，从
“一一如一”起到“九九八十一”止。
现在我国使用的乘法口诀有两种，一种是45句的，通常称为“小九九”；还有一种
是81句的，通常称为“大九九”。
音乐与数学
动人的音乐常给人以美妙的感受。古人云：余音绕梁，三日不绝，这说的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成调，这就是唱得不好了。同样是唱歌，甚至是唱同样的歌，给人的感觉却是迥然不同。其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同。
人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受，但对谐和音的比较深入的了解只是在弦乐器出现以后，这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系。近代数学已经得出弦振动的频率公式是 W = ，这里，P是弦的材料的线密度；T是弦的张力，也就是张紧程度；
L是弦长；W是频率，通常以每秒一次即赫兹为单位。
那么，决定音乐和谐的因素又是什么呢？人类经过长期的研究，发现它决定于两音的频率之比。两音频率之比越简单，两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。
首先，最简单之比是２：１。例如，一个音的频率是160、7赫兹，那么，与它相邻的协和音的频率应该是2×260、7赫兹，这就是高八度音。而与频率为2×260、7赫兹的音和谐的次一个音是4×260、7赫兹。这样推导下去，我们可以得到下面一列和谐的音乐：
260、7，2×260、7，22×260、7……
我们把它简记为C0，C1，C2，……，称为音名。
由于我们讨论的是音的比较，可暂时不管音的绝对高度（频率），因此又可将音乐简写为：
C0C1C2C3……
20212223……
需要说明的是，在上面的音列中，不仅相邻的音是和谐的，而且C与C2，C与C3等等也都是和谐的。一般说来这些协和音频率之比是2M。（其中M是自然数）
等号与不等号Ec
等号与不等号的发明权属于英国人。
１５５７年，数学家雷科德在他的《智慧的激励》一书中，首先把“＝”作为等号，他说：“最相像的两件东西是两条平行线，所以这两条线应该用来表示相等。”他的书《智慧
的激励》也因此引起了人们极大的兴趣。
在数学中，等号“＝”既可表示两个数相等，也可以表示两个式子相等，但无论何种相
等，它们都遵循以下规则：
（１）若a=b，那么对于任何数c，有a±c=b±c；
（２）若a=b，那么b=a；
（３）若a=b，b=c，那么a=c；
（４）若a=b，那么对于任何数c，有ac=bc。
人们起初用“”和“”。表示大于和小于，英国人乌特勒首次在他的《数学入门》一书中使用了它们。另一英国数学家哈里奥特引入了现在的两个符号：＞、＜。他在自己的书中明确地写道：“a＞b表示a量大于b量，a＜b表示a量小于b量。”
不等号在数学中有着普遍应用，在使用它们时，应遵循如下原则（a、b为实数）
（１）若a＞b，则b＜a
（２）若a＞b，那么对于任何实数c，有a±c＞b±c；
（３）若a＞b，c为大于零的实数，那么ac＞bc；
（４）若a＞b，c为小于零的实数，那么ac＜bc；
（５）若a＞b，b＞c，那么a＞c。
加减乘除的来历
加减乘除（＋、－、×(?)、÷(∶））等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简单，
直到１７世纪中叶才全部形成。
法国数学家许凯在１４８４年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D 表示加法，用M表示减法。这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过,用“─”表示不足。到１５１４年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示减法。１５４４年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”
和“─”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用。
以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的。他于１６３１年出版的《数学之钥》
中引入这种记法。据说是由加法符号＋变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的。后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“?”表示乘号，这样，“?”
也得到了承认。
除法符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广。除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”。至此，四则运算符号齐备了，当时还远未达到被各国普遍采用的程度。
零的历史
数学史家把０称作“哥伦布鸡蛋”，这不仅是因为０的形状像鸡蛋，其中还含有深刻的哲理。凡事都是开创时困难，有人开了端，仿效是很容易的。０的出现就是一个典型的例子，在发明之前，谁都想不到，一旦有了它，人人都会用简单的方法来记数。
我们知道，零不仅表示一无所有，它还有以下的一些意义；在位值制记数法中，零表示“空位”，同时起到指示数码所在位置的作用，如３０４中的０表示十位上没有数；零本身还是一个数，可以同其他的数一起参与运算；零是标度的起点或分界，如每天的时间从０时
开始。
在古代巴比伦，楔形文字的零号已起到现今位值制中０号的作用，它一方面表示零位，另一方面也指明数码的位置。然而他们还没有把零看作一个数，也没有将它和“一无所有”
这一概念联系起来。
印度人对零的最大贡献是承认它是一个数，而不仅仅是空位或一无所有。婆罗摩笈多对零的运算有较完整的叙述：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零。……零除以零是空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的分数”。每一个学过除法的人都知道，零不可以作除数，因为如果a≠0而b=0，那就不可能存在一个Ｃ使得bc=a。这个道理尽人皆知，但在得到正确结论之前，却经历了漫长
的历史。
我国自古以来就用算筹来记数，早就用算筹来记数，用的是１０进位值制。巴比伦知道位值制，但用的是６０进制。印度到公元５９５年才在碑文上有明确的１０进位值制的记数法。位值制必须有表示零的办法。起初，中国使用空格来表示零，后来以○表示零，后来印
度的０就传入了中国。
在我们眼里，零的存在是那么自然、简洁，但就是这么一个简单的零，却也有这么一
段颇不简单的历史。
数学中的符号
我们知道，数学起源于结绳记数和土地测量。最初，并没有标准数学符号，符号是后来的实践中逐渐产生并进一步完善的。但是，数学符号一旦产生，就能简化数学研究工作，促进数学的发展。所以，学习数学，要从数学符号开始。阿拉伯数字１、２、３、…９、０就是最简单，常用的符号，也就是它们引起了数学上的一场革命。
数学家韦达第一个把符号引入数学，他用元音字母表示未知量，用辅音字母表示已知量（方程的正系数）。此前，所有的已知数都是用具体数字表达的，从而限制数学的应用范围。现在的符号体系是笛卡尔创立的。他提出，用英文字母中前面的字母a、b、c表示已知
数，最后的字母x、y、z表示未知数。
符号的使用推动了数学本身的发展。符号一经形成，便成为表述概念，说明方法和叙述定理必不可少的工具。建立较好的符号系统，便于总结运算法则，揭示数量关系利于推理。
一句话，符号是数学前进，发展，运用的工具。
数学符号一般有以下几种：
（１）数量符号：如 , , ,ｉ，２＋ｉ，ａ，ｘ，，自然对数底e，圆周率。
（２）运算符号：如加号（+），减号（-），乘号（×或?），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（），对数（log，lg，ln），比（∶），微分（d），
积分（∫）等。
（３）关系符号：如“=”是等号，“≈”或“ ”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是正比例符号，“∈”是属于符
号等。
（４）结合符号：如圆括号“（）”方括号“[]”，花括号“{}”括线“—”B （５）性质符号：如正号“+”，负号“-”，绝对值符号“‖"
（６）省略符号：如三角形（△），正弦（sin），X的函数（f(x)），极限（lim），因为（∵），所以（∴），总和（∑），连乘（∏），从N个元素中每次取出R个元素所有不同的组合数（C ），幂（aM），阶乘（！）等。
数学符号的应用，是学习数学、研究数学的重要途径，愿同学们在数学中学好符号，用好符
号。
为什么时间和角度的单位用六十进位制
时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？
我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，
1/4等于15个1/60……
数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示。时间和角度都用分、秒作小数单位。
这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。
这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。
"0"是我国最早创造的
我们知道阿拉伯数字１、２、３、４、５、６、７、８、９原是印度人发明的，１３世纪后期传入中国，人们误认为０也是印度人发明的。其实印度起先发明时没有“０”，他们把“２０４”，写成“２４”，中间空着，把２００４，写成“２４”，怎么区别中间有几个零呢？为了避免看不清，就用点“·”来表示，２０４写成“２·４”，那不和小数混淆了？
直到公元８７６年才把“０”确定下来。
我国却在１２４０年前就已创造了“０”，我国的零，当时是“○”，它是根据写字时缺字用“□”来表示缺字，“０”表示这个数没有，或这个数位上没有，用“○”表示，随着人们长期不断地记数，慢慢发展演变，最后确定为今天的“０”。因此以“０”作为零是我国
古代数学家的一项杰出贡献。
米的诞生
在公元1790年之前世界各国的长度单位几乎各不相同，给不同国家的人们之间相互交流带来了很大的麻烦。这时，法国的一位科学家他雷兰提出了制定一个世界各国通用单位的建议。
法国的学者取得世界各国的同意，把地球子午线上从北极到赤道的长度的一千万分之一
作为长度的单位，叫做1米。
当时的科学技术还很不发达。测量了整整七年，实际还只是仅仅测量了西班牙的巴赛罗纳和法国的敦刻尔克之间的距离。通过计算得到了最初的1米。
后来1960年的国际会议规定。一米为氪（K8）原子在真空中发射的橙色光波波长的
1650763.73倍。
圆周率
圆的周长与直径的比。圆周率是一个常数，通常用希腊字母π表示。如果设圆的直径为1，并把圆内接正六边形的周长（P6=3）看作是圆周长的近似值，那么圆周率的近似值就为3。这是我国古代最早所用的圆周率“径一周三（即取π≈3）”的来历，后人称为古率。把圆内接正六边形的边数加倍，可以得到圆内接正十二边形，再加倍，可以得到圆内接正二十四边形，……。这一些圆内接正多边形，当边数成倍增长时，它们的周长Pn也不断增大，越来越接近于圆的周长，因此，Pn与直径的比值也越来越接近于圆周率准确值。这种求圆周率的方法称为“割圆术”。三国时魏人刘徽用割圆术求得3.141024＜π＜3.1412704。南北朝的祖冲之进一步算得
比西方达到这一结果要早1100多年。圆周率π是一个无理数，即是一个无限不循环小数。
圆的历史
古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的
呢？
18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻。石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆
的孔。
到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。
古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物时，就把几段圆木垫在重
物的下面滚着走，这样就比扛着走省劲得多。
大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。
会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也。”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学
家欧几里得给团下定义要早100年。
奇妙的圆形
圆形，是一个看来简单，实际上是很奇妙的圆形。
古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的。一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。
以后到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍。
古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。
大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子--圆的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义："一中同长也"。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。
圆周率，也就是圆周与直径的比值，是一个非常奇特的数。
《周髀算经》上说"径一周三"，把圆周率看成3，这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。
魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注。他发现"径一周三"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。
祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7
称为约率，355/113称为密率。
在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这
个数值。
现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后一千万以上了。
天文与数学
有这么一张画，下面是一只小船，上面是三个太阳。这是什么意思呢？这表示，坐了三天船。太阳升落一次，就是一天，所以一天又叫一日。日，是人们认识时间的基础。向上，将日积累为月、年、世纪；向下，将日分为时、分、秒。为了记载日数，原始人曾经用刀在树上刻
记号，过一天刻上一道。
我国古代很早就发展了畜牧业和农业，因此很重视历法，天文学非常发达。而天文学只有借助于数学才能发展，因此，很早就开始了数学的研究。我国最早的一部数学著作《周髀算经》，是两千多年前成书的。它既是一部数学著作，也是一部天文学著作。它总结了古代
劳动人民天文学和数学的成就。
我国古代曾经用干支记日。十干就是：甲、乙、丙、丁、戍、已、庚、辛、壬、癸。十二支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。将十干和十二支依次循环组合，就得甲子、乙丑、丙寅、丁卯……直到任戌、癸亥等六十个数（现在称六十甲子）。一个数代表一天，从甲子到癸亥，一共六十天，再从甲子开始，周而复始。例如公元前632年4月4日，爆发了著名的“城濮大战”，在《左传》上记载的是：“夏月己已。”
干支不仅可以记时和日，也可以用来记月和年。月，是从月亮来的。月亮，每晚有变化。不但月出月落时间上有变化，月亮形状也有变化；圆了又缺，缺了又圆。这是古代人观察得到的。从新月在天上出现，一天天过去了，月亮圆了又缺了，不见了，到下次新月又在天上出现，古代人根据刻的日子计算得到，一个月29天半。（现在知道：一个朔望月有29日12小时44分3秒，或29.53日）为了使一个月的日子是整数，以后又规定大月30天，小
月29天。
《诗经》上说：“十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之丑。”根据我国天文学史家推算：公元前776年10月1日早上7-9点发生过日食，这天正是辛卯日。这里的“朔”字是我国第一次使用的，意思是整晚见不到月亮。
计年的方法比记月的多。如果开始计算的时候是收获季节，过了12个多月，地球绕太阳走了一圈，果子、谷物又成熟了，那就叫做一年。我国古代黄河流域的人和古代斯拉夫人都是这么计算的。埃及的尼罗河每年7月开始泛滥，古代埃及人就将两次泛滥之间的日子称为一年。美洲印第安人计算年以初雪为标志，澳洲人则根据雨季计算。我国黑龙江一带的居民，以吃大马哈鱼作为一年的标准。因为大马哈鱼定年定时由海里进入黑龙江。这些计算年的方法当然都是很原始，很不精确的。我们现在都知道，地球绕太阳一周，也就是一个太阳年，等于365天5小时48分46秒或365.242194天。如果根据月亮来算，一年12个月却只
有354天或355天，平均差了10天21小时。一年差10天多，如果过上两三年就不得了，这对游牧民族和农业民族定季节就大大不利。于是每过两三年就增加一个月，叫做闰月，有闰月的年叫闰年。闰年一年就有384或385天。
我国早在四千年前的夏朝就开始制定历法，所以叫做夏历。在三千年前，就有十三月的名称了。到两千多年前，人们知道了一年等于12又7/19阴历的月，就采用“19年7闰”的方法设置闰月。夏历既是根据月亮（太阳），也根据太阳，所以是阴阳历的一种，两千多年前秦始皇的时候（公元前246年）就测得了一年平均是365又1/4天。它比阴历优越，只
是平年和闰年，日数相差太大了。
现在世界通用的公历（阳历）也经过一个长期演变的过程。我们先看，公历每个月的日数是固定的：“七前单大，八后双大”。也就是说，一、三、五、七、八、十、腊月（十二月）是31天，四、六、九、十一月是30天，只有二月，平年28天，闰年29天。
二月平年为什么只有28天？原来，我们今天用的公历是从儒略历变来的。在公元前46年，罗马的统帅叫儒略·恺撒。据说他的生日在7月，为了表示他的伟大，于是他决定：将7月叫“儒略月”，连同所有单月都定为31天，双日定为30天，只有2月平年29天，闰年30天。因为2月是行刑的月份，所以减少一天。恺撒的继承人叫奥古斯都，他的生日在8月。伟大人物生日的那个月只有30天那怎么行？他决定将8月叫“奥古斯都月”，并且将8月、10月、12月都改为31天，9月、11月都改为30天。这一来不就多了一天吗？于是又从2月里拿出一天来。从此2月平年就只有28天，闰年只有29天了。
闰年为什么要多一天呢？前面我们说过，地球绕太阳一周要365天5小时48分46秒。为了方便，一年算365天。那么，多出的5小时多怎么办呢？人们想，每隔4年，就差不多可以凑上一天了，于是四年一闰，在闰年2月加一天，现在，公历年数，凡是能被4整除的，如1984、1988、1992、1996年都定为闰年的。可是，问题还没有完，因为四年实际上只多了23小时15分4秒，还差44分56秒。这个差数积累400年，又少了3天。也就是说，每隔400年要少设三个闰年才行。于是又规定，整百年的数必须能被400整除才算闰年，否则不算。例如1600、2000、2400才算闰年。1700、1800、1900年都不算闰年。这样，每400年差的三天就扣出来了。当然，还有一点点差距，但是那只要3000年以后再调整就行了。
“数学”这一名称的由来
古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在１９世纪变成了大堆文章，而在２０世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。
在现存的资料中，希罗多德（Ｈｅｒｏｄｏｔｕｓ，公元前４８４－－４２５年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成１２个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。
柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说：故事发生在古埃及的洛克拉丁（区域），在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯（Ｔｈｅｕｔｈ），对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和
天文学，还有棋类游戏等。
柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》（Ｍｅｔａ－ｐｈｙｓｉｃｓ）第１卷第１章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：１．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：２．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点．就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名
词的来源。
“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”，“可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷（Ｅ．Ｌｉｔｔｒｅ也是当时杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（１８７７年）中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元１０世纪的拜占庭希腊字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”—词。
“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注
意。
首先，亚里士多德提出，“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯（公元前６４０？－－５４６年）在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧
根尼·拉尔修（ＤｉｏｇｅｎｅｓＬａｅｒｔｉｕｓ）简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成份。赫拉克利特（公元前５００－－？年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”，“人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。
对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元２世纪的拉丁作家格利乌斯（Ｇｅｌｌｉｕｓ）和公元３世纪的希腊哲学家波菲利（Ｐｏｒｐｈｙｒｙ）以及公元４世纪的希腊哲学家扬布利科斯（Ｉａｍｂｌｉｃｈｕｓ）的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。
这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根（ＲｏｇｅｒＢａｃｏｎ，１２１４－－１２９２年）通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６－－１６５０年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而２０世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。
在１８世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（Ｍｏｎｔｕｃｌａ）说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，或在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的确证。然而１９世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而２０世纪的古典学者却又偏向第二种解释。
但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。
数的发展
计数方法的出现
一般说来，最古老的数学应当从人类把大小、形状和数的概念系统化方面所作的最初的也是最基本的努力算起。因此，有数的概念和懂得计数方法的原始人的出现可以看作是数学
的第一起点！
数的概念和计数方法还在有文字记载以前就发展起来了。但是，关于这些数学的发展方
式则多半来源于揣测。人类的在最原始的时代就有了数的意识，至少在为数不多的一些东西中增加几个或从中取出几个时，能够辨认其多寡。随着逐步进化，简单的计算成为了生产和生活中必不可少的活动。一个部落首领必须知道自己的部落有多少成员、有多少敌人；一个人需要知道他羊群里的羊是否少了。或许最早的计数方法是使用简单算筹以一一对应的原则来进行的。例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个指头。显然，古人也能够使用一些简单的方法计数，例如集攒小石子或小木棍；在土块或石头上刻道或在木头上刻槽；或在绳上打结，作为对应于为数不多的东西的数目的语言符合。以后，随着书写方式的改变，逐渐
形成了一族代表这些数目的书写符号。
在语言计数的较早阶段，即使是同样的数字，但如果实际物体不同，表示方法也大不一样。例如，对于两只羊和两个人所用的语音词是不同的。例如，在英语中有team of horse 表示共同拉车，拉犁的两匹马，yoke of oxen共扼的两头牛，brace of partridge一对鹧鸪，pair of shoes一双鞋。把2种共同性质加以抽象，并采用与任何具体事物都无关的某个语音来代表它，或许人类经过很长时间以后才实现的，虽然在今天看来，这是如此的简单。
计数方法的系统化
随着社会生产的发展，更为广泛的计数成为了生活和生产的必需。要完成这样复杂的计
数就必须将计数的方法系统化。
古人采取的方法是这样的：把数目排列成便于考虑的基本群；群的大小多半以所用的匹配方式而定。也就是说：选取某一数b作为计数的基（base）也叫记数根（radix）或进位制（scale）并定出数目1，2，3……b的名称。这时，大于b的数目用已选定名称的数目的
组合表示。
由于人的手指提供了一个方便的匹配工具，所以，人们大多选用10个数作为数基b，这是不奇怪的。例如，考虑我们现在用的数词，它们就是以10为基而形成的。1，2， (10)
这十个数，英语中均有基特殊的名称：one,two,…… ten。当我们数到十一时，我们说"eleven"11；语言学家告诉我们，它是从ein lifon导出的意思是剩下或比10多1。类似地，twelve（12）是从twe lif比10多2导出的；还有，thirteen13，即3和10；fourteen14，即4和10；一直到nineteen19，即9和10。然后有twenty20，即twe-tig，或两个10。
Twenty-one（两个10和1）等等。
有证据表明：2，3和4也曾被当作原始的数基。例如，澳洲东部昆士兰的土人就是这么计数的："1，2，2和1，两个2，多"一些非洲矮人以1，2，3，4，5和6就是这么计教的："a,oa,ua,oa-oa,oa-oa-a, 和oa-oa-oa。"阿根廷火地岛的某部落，头几个数的名称，就是以3为基的；与此相似，南美的一些部落用4为基。
可以设想：五进制即以5为基的数系，是最初用得很广泛的计数法。到现在，一些南美的部落还是用手计数-"1，2，3，4，手，手和1"等等。西伯利亚的尤卡吉尔人用的是混合基计数法："1，2，3，3和1，5，两个3，多1个，两个4，10去1，10。"德国农民日历，
一直到1800年还以5为数基。
也有证据表明，在有史以前12曾被用作数基，即采用十二进制，这主要与量度有关，使用这样的一个数基，可能是由于一年大约有12年朔望月；也可能是上于12能被许多整数整除。例如，1英尺是12英寸，古代的一英磅是12盎斯，1先令是12便士，1英寸是12英分，钟有12个小时，一年有12个月。Dozen（打），gross（箩）这些词在英语中还用作更高级的单位。（一打是12个，一箩是12打）。
二十进制即以20为基的数系，曾被广泛应用，它使用人想起人类的赤脚时代。这种计数法，曾经由美洲印第安人使用，并以其用于高度发达的玛雅（Maya）数系中而著称。法语中用quartevingt四个20代替huitante80，用quatre-vingt-dix四个20加10代替nonante90，从这里可以看出克尔特人以20为基数的痕迹。在盖尔人、丹麦人和威尔士人的语言中也能发现这种痕迹。格陵兰使用 "一个人"代表20，"两个人"代表40等等。英国人
也常用score20这个字。
古代巴比伦人用六十进位制，即以60为基的数系，直到现在，当以分、秒为单位计量
时间和角度时，六十进位制仍被广泛使用。
手指记数
在遥远的古代，除了口头上说的数以外，手指数（finger nrmber）在也曾被广泛应用。事实上，用手指和手的不同位置表示数，应该比使用数的符号或数的名称还早。例如，最早的表示1，2，3和4的书写符号是适当数目的竖的或横的笔划，它们坚起平伸的手指数目；
digit（即手指）这个词也可以用来表示数字（从1到9），这也能追溯到同一来源。
有一段时间，手指数曾被扩展到包括出现在商业交易中的最大的数，并且在中世纪就已为国际通用。发展到后来，1，2，......和10，20......90这些数用左手来表示，100，200 (900)
和1，000，……9，000，这些数用右手来表示。用这种方法，10，000以内的任何数都能用
两只手表示。
手指数的样式，在文艺复兴时期的算术书上有记载。例如，用左手，部分屈折的小指表示1，部分屈折的小指和无名指表示2，部分屈折的小指、无名指和中指表示3，屈折中指和无名指表示4，屈折的中指表示5，屈折的无名指表示6，完全屈折的小指表示7，完全屈折的小指和无名指表示8，完全屈折的小指、无名指和中批表示9。
虽然手指数起源于很古老的年代，在今天，在非洲的某些原始种族中，在阿拉伯人中，在伊朗人中仍被采用。在北美和南美，某此本地的印第安人和爱斯基摩人的部落中仍然采用
手指数。
记录工具的出现
数字的记录和长期保存离不开记录的工具。但是，记录工具的发明和改进是一个非常漫长的过程。我们现在常用的机器制造的纸张只有100多年的历史。以前的手工制作的纸是非常昂贵和难以得到的，即使是这种纸也是在十二世纪才传到欧洲，虽然聪明的中国古人早在
一千多年前，就已经掌握了这一门技术。
但是，古人为了满足自己记录的需要，也想办法创造了一些工具。一种早期类似纸的书写材料，称为纸草片（Papyrus），是古代埃及人发明的，而且，公元前650年左右，已经传入希腊。它是一种叫做纸草（papu）的芦苇做的。把芦苇的茎切成一条条细长的薄片，并排合成一张，一层层地往上放，完全用水浸湿，再将水挤压出来，然后放到太阳地里晒干。也许由于植物中天然胶质，几层粘到一起了。在纸草片干了以后，再用圆的硬东西用力把它们压平衡，这样就能书写了。用纸草片打草稿，就是一小片，也要花不少钱。
另一种早期的书写材料是羊皮纸，是用动物（通常是羊和羊羔）皮做的。自然，这是稀有和难得的。更昂贵的是一种用牛犊皮做的仿羊皮纸，称做犊皮纸。事实上，羊皮纸已经是非常昂贵的了。以致中世纪出现一种习惯：洗去老羊皮手稿上的墨迹，然后再用。这样的手稿，现在被称做重写羊皮纸。有这样的情况：在若干年后，重写羊皮文件上最初写的原稿又模糊地出现了。一些有趣的"修复"就是这样做成的。
大约两千年以前，罗马人书写用品是涂上薄薄一层蜡的小木板和一支硬笔。在罗马帝国之前和罗马帝国时代，常用沙盘进行简单的计算和画几何图形。要推测更早的记录工具，也并不困难。因为，毫无疑问，人们很早就用石头和粘土做书写记录了。
印度和阿拉伯数系
我们现在常用的数字符号系统，是印度-阿拉伯数系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因为它可能是印度人发明的，又由阿拉伯人传到西欧的。
目前，保存下来现在所用的数字符号的最早样品是印度的一些石柱上发现的，这些石柱是公元前250左右乌索库王建造的。至于其它在印度的早期样品，如果解释正确的话，则是从大约公元前100暝诳拷帜潜叩囊蛔缴系囊ざ辞缴峡滔碌募锹贾泻痛哟笤脊?00年在纳西克窑洞中刻下的一些碑文中发现。这些早期样本中既没有零，也没有采用位置记号。但是，考古学家推测，位置值（positional value）和零，必定是公元800年以前的某个时刻传到印度的，因为波斯数学家花拉子密在公元825年写的一本书中描述过这样一种完整的印
度数系。
这些新的数字符号，最初是在"何时"和"如何"引进欧洲的，即使到了现在也还没有弄清：但是考古学家认为，这些符号十之八九是由地中海沿岸的商人和旅行家们带过来的。在十世纪西班牙书稿中就发现有这些符号，它们可能是由阿拉伯人传到西班牙的。阿拉伯人在公元711年侵入了这个半岛，直到1492年还在那里。通过花拉子密的专著的十二世纪拉丁文译本以及后来欧洲人的有关著作，这一完整的数系得到广泛的传播。
在十世纪以后的四百年中，提倡这数系的珠算家与算法家展开了竞争，到公元1500年左右，我们现有的计算规则获得优势。在这以后的一百年中，珠算家几乎被人遗忘，到了十八世纪在西欧就见不到算盘的踪迹了。算盘作为一个奇妙的东西再次出现于欧洲，是法国几何学家J·V·蓬斯菜（Poncelet）在拿破仑计伐俄国的战争中当了俘掳，被释放后，把一
个算盘的样品带回了法国。
印度-阿拉伯数系中的数字符号曾多次变异，只是由于印刷业的发展，才开始稳定下来
的。英语中的zero（零）这个词可能是从阿拉伯文sifr的拉丁化形式zephirum演变过来的；而阿拉伯文 sifr又是从印度文中表示"无"和"空"的词sunya翻译过来。阿拉伯文sifr 在十三世纪由奈莫拉里乌斯（Nemorarius）引进到德国，写作cifra，由此我们得到现在的
字cipher（零）。
人身上的尺子
我们每个人身上都携带着几把尺子。假如你“一拃”的长度为8厘米，量一下你课桌的长为7拃，则可知课桌长为56厘米。如果你每步长65厘米，你上学时，数一数你走了多少步，就能算出从你家到学校有多远。身高也是一把尺子。如果你的身高是150厘米，那么你抱住一棵大树，两手正好合拢，这棵树的一周的长度大约是150厘米。因为每个人两臂平伸，两手指尖之间的长度和身高大约是一样的。要是你想量树的高，影子也可以帮助你的。你只要量一量树的影子和自己的影子长度就可以了。因为树的高度＝树影长×身高÷人影长。这是为什么？等你学会比例以后就明白了。你若去游玩，要想知道前面的山距你有多远，可以请声音帮你量一量。声音每秒能走331米，那么你对着山喊一声，再看几秒可听到回声，用331乘听到回声的时间，再除以2就能算出来了。学会用你身上这几把尺子，对你计算一些问题是很有好处的。同时，在你的日常生活中，它也会为你提供方便的。
为什么电子计算机要用二进制
由于人的双手有十个手指，人类发明了十进位制记数法。然而，十进位制和电子计算机却没有天然的联系，所以在计算机的理论和应用中难以畅通无阻。究竟为什么十进位制和计算机没有天然的联系？和计算机联系最自然的记数方法又是什么呢?
这要从计算机的工作原理说起。计算机的运行要靠电流，对于一个电路节点而言，电流通过的状态只有两个：通电和断电。计算机信息存储常用硬磁盘和软磁盘，对于磁盘上的每一个记录点而言，也只有两个状态：磁化和未磁化。近年来用光盘记录信息的做法也越来越普遍，光盘上海一个信息点的物理状态有两个：凹和凸，分别起着聚光和散光的作用。由此可见，计算机所使用的各种介质所能表现的都是两种状态，如果要记录十进位制的一位数，至少要有四个记录点（可有十六个信息状态），但此时又有六个信息状态闲置，这势必造成资源和资金的大量浪费。因此，十进位制不适合于作为计算机工作的数字进位制。那么该用什么样的进位制呢？人们从十进位制的发明中得到启示：既然每种介质都是具有两个状态的，最自然的进位制当然是二进位制。
二进位制所需要的记数的基本符号只要两个，即0和1。可以用1表示通电，0表示断电；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹点，0表示凸点。总之，二进位制的一个数位正好对应计算机介质的一个信息记录点。用计算机科学的语言，二进位制的一个数位称为一个比特（bit），8个比特称为一个字节（byte）。
二进位制在计算机内部使用是再自然不过的。但在人机交流上，二进位制有致命的弱点——数字的书写特别冗长。例如，十进位制的100000写成二进位制成为11000011010100000。为了解决这个问题，在计算机的理论和应用中还使用两种辅助的进位制——八进位制和十六进位制。二进位制的三个数位正好记为八进位制的一个数位，这样，数字长度就只有二进位制的三分之一，与十进位制记的数长度相差不多。例如，十进位制的100000写成八进位制就是303240。十六进位制的一个数位可以代表二进位制的四个数位，这样，一个字节正好是十六进位制的两个数位。十六进位制要求使用十六个不同的符号，除了0—9十个符号外，常用A、B、C、D、E、F六个符号分别代表（十进位制的）10、11、12、13、14、15。这样，十进位制的100000写成十六进位制就是186A0。
二进位制和八进位制、二进位制和十六进位制之间的换算都十分简便，而采用八进位制
和十六进位制又避免了数字冗长带来的不便，所以八进位制、十六进位制已成为人机交流中常用的记数法。
一、百年前的讲演
一个世纪前，德国数学家希尔伯特（1862—1943）在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。这是载入数学史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语中，对数学的意义、源泉、发展过程及研究方法等发表了许多精辟的见解。而整个讲演的主体，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。100年来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。100年过去了，这些问题近一半已经解决或基本解决，还有些问题虽取得了重大进展，但尚未最后解决，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等。
100年过去了，现在回过头来看，对希尔伯特提出的23个问题，有不少评论。很多人认为，这些问题对推动20世纪数学的发展起了很大的作用，当然也有评论曾指出其不足之处，例如，这23个问题中未能包括拓朴学、微分几何等在20世纪成为前沿学科领域中的数学问题，除数学物理外很少涉及应用数学，等等，当然更不会想到20世纪电脑的大发展及其对数学的重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特是19世纪和20世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一，另两位是庞加莱（1854—1912）及克莱因（1849—1925）。他们的数学思想及对数学的贡献，既反射出19 世纪数学的光辉，也照耀着20世纪数学前进的道路。
希尔伯特是在上一次世纪交替之际作讲演的，现在又一个新的世纪开始了，再来看看他的讲演，其中一些话仍然适用，例如在讲演一开始，他说：“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？”他还说：“历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去，而且把我们的思想引向那未知的将来。”
20世纪无疑是一个数学的伟大时代，21世纪的数学将会更加辉煌。“每个时代都有它自己的问题”，20世纪来临时，希尔伯特提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些问题对20 世纪数学的发展起了很大的推动作用，但20世纪数学的成就却远远超出他所提出的问题。那么21世纪的问题又是什么呢？希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出这些问题时，才38岁，但已经是当时举世公认的德高望重的领袖数学家之一。大家知道，20XX年国际数学家大会将在中国北京召开，这是国际数学家大会第一次在发展中国家召开，那么在这新旧世纪交替之际，会不会有像希尔伯特这样具有崇高威望的人在会上提出他认为的21世纪的数学问题或是以其他的形式展望21世纪的数学？这些年来，已有不少数学家提出自己认为的21世纪的数学问题，但往往是“仁者见仁，智者见智”。
二、百年前讲演的启示
对希尔伯特的23个问题，不在这里介绍了，因为它超越了中学数学的范围。但百年前，希尔伯特演讲中对数学的一些见解却是非常深刻的，百年过去了，重读他的演讲，依然得到很多启示。在这里我只想讲一讲对他演讲中一段话的粗浅认识。
从17世纪60年代微积分发明以来，数学得到了极大的发展，分支也愈来愈多。开始时一些大数学家对各个分支都懂，并且做出了很大的贡献。但后来数学的分支愈分愈细，全面懂得各个分支的数学家愈来愈少，到19世纪末，希尔伯特作讲演时，已经是这种情况。于是在讲演中，他说了这样一段话：“然而，我们不禁要问，随着数学知识的不断扩展，单个的研究者想要了解这些知识的所有部门岂不是变得不可能了吗？为了回答这个问题，我
想指出：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前进的道路。”100年过去了，数学发展得更为广阔与深入，分支愈来愈多，现在数学已有60个二级学科、400多个三级学科，所以希尔伯特的这段话现在显得更为重要。不仅如此，希尔伯特的这段话实际上讲的是数学发展的历史过程，十分深刻地揭示了数学发展是一个新陈代谢、吐故纳新的过程，是一些新的有力的工具和更简单的方法的发现，与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是“高级”的数学替代“低级”的数学的过程，而“数学科学发展的这种特点是根深蒂固的”。事实上，在数学的历史中，一些新的有力的工具、更简单的方法的发现，往往标志着一个或多个数学分支的产生，标志着一些老的分支的衰落甚至结束。
回顾一下我们从小开始学习数学的过程，就是在重复这个数学发展的过程。一些数学虽然后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了，即“低级”的被“高级”的所替代了，但在人们一生学习数学的过程中，却不能只学习“高级”的，而完全不学习“低级”的，完全省略掉学习“低级”的过程。这是因为人们随着年龄的不断增长，学习与他的年龄与智力相当的数学才是最佳选择。学习数学是一个循序渐进的过程，没有“低级” 的数学打好基础，很难理解与学习好“高级”的数学。
以下我们从希尔伯特讲演中这一段精辟的论述的角度来认识我们的中小学的数学课程。我只是从数学发展的历史的角度来讨论问题，为大家从数学教育的角度来讨论问题作参考。但我必须强调的是：从数学发展的历史的角度来考虑问题与从数学教育的角度来考虑问题虽有联系，但两者是不一样的。
三、算术与代数
人类有数的概念，与人类开始用火一样古老，大约在30万年前就有了，但是有文字记载的数到公元前3400年左右才出现，至于数的四则运算则更晚。在我国，《九章算术》是古代数学最重要的著作，是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的一部数学著作。在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程组、正负数、开方以及一些计算几何图形的面积与体积的方法等。在西方，也或迟或早地出现了这些内容，而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部内容。也就是说人类经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容，现在每个人在童年时代花几年就全部学会了。对于“算术”来讲，“真正的进展”是由于“更有力的工具和更简单的方法的发现”，这个工具与方法是“数字符号化”，从而产生了另一门数学“代数”，即现在中学中的“代数”课程的内容。在我国，约13世纪五六十年代的著作中，有“天元术”和“四元术”，也就是相当于现在用x,y,z,w来表述四个未知数。有了这些“元”，也就可以解一些代数方程与联立线性代数方程组了。西方彻底完成数字符号化是在16世纪。现在中学学习的“ 代数”的内容包括：一元二次方程的解，多元（一般为二元、三元，至多四元）联立方程组的解，等等。当然在“数字符号化”之前，一元二次方程的解、多元联立方程组的解已经出现，例如我国古代已经有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”，但这些都是用文字来表达的，直到“数字符号化”之后，才出现了现在中学代数内容的表达形式。
由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，的的确确是“数学中真正的进展”。“代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”，“算术”顾名思义，可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化”。人类从“算术”走向“代数”经历了1000多年。但在中学的课程中，却只花短短的几年，就可以全部学会这些内容。
回忆我在童年时代，在小学学习“算术”课程时，感到很难。例如求解“鸡兔同笼”题，当时老师讲的求解的方法，现在已完全记不得了，留下的印象是感到很难，而且纳闷的是：
鸡与兔为何要关在一个笼子里？既然数得清有多少个头及多少只脚，为何数不清有多少只鸡与多少只兔？等到初中时学习了“代数”课程，才恍然大悟，这不过是二元一次联立代数方程组，解方程组十分简单方便，这不仅可以用来解“鸡兔同笼”，即使“鸭狗同室”的问题一样可以解。因此，“代数”显然比“算术”来得“高级”，这的确是“更有力的工具和更简单的方法”，而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论，并把“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，也就是从“代数”的角度来理解“算术”，可以理解得更深刻，且可以把“算术”中一些复杂的、处理个别问题的方法抛到一边去。
在这里，我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”，是“ 更有力的工具与更简单的方法”，但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了，因为：（1）“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代，如四则运算等；（2）即使能被替代的内容，适当地学习一些，有利于对“代数”内容的认识与理解；（3）从教育学的角度考虑，这里有循序渐进的问题，有学生不同年龄段的接受能力的问题，等等。
作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组。在中学“代数”的教材中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的方法往往是消元法。但是，如果变元为四个或更多时，就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多年的努力，矩阵的想法产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且由此建立起一门新的学科——“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”，由于“更有力的工具和更简单的方法”即“矩阵”的发现，不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚，更为深刻，而且由于有了统一处理的方法，就可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。
中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算术》中已有解一般一元二次方程的方法，后来有很多的发展。直到19世纪，为了解决什么样的特殊的代数方程能用根式来求解这个问题，伽罗瓦（1811—1832）建立起“群”的概念。这就意味着现代代数理论的产生，这是又一次“数学中真正的进展”。有了“群”以及后来发展起来的现代代数理论，使人们可以更清楚、更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题。
数学历史的启示（下）
龚昇
四、几何与三角
人类在很早的时候，就有各种计算面积与体积的公式或经验，也得到了不少几何定理，例如著名的毕达哥拉斯定理等。但在古代，几何的代表作则是欧几里得的《原本》。现在中学里学习的“平面几何”与“立体几何”的基本内容，是2300年前《原本》已有的内容。从《原本》问世以来，几何领域一直是它的一统天下，这种现象持续了1000多年。“真正的进展”是由笛卡儿与费马建立起的“解析几何”，其基本思想是在平面上引进“坐标”，使得平面上的点与实数对（x,y）之间建立起一一对应的关系，于是几何问题就可以用代数形式表达，而几何问题的求解就归化为代数问题的求解了。笛卡儿甚至还提出过一个大胆的计划，即：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。
“解析几何”的产生可以理解为变量数学的开始，它为微积分的产生创造了条件。由于引进了坐标，几何问题归结为代数问题，于是可以用一些代数的工具与方法来处理，从而使几何问题得解，这种思想与方法，使整个数学面目为之一新。
既然“解析几何”是“数学中一步真正的进展”，“解析几何”比起“平面几何”与“ 立体几何”都来得高级，那么“平面几何”与“立体几何”是不是就不要学习了，直接学习“解析几何”就可以了呢？从教育学的观点，这显然是不对的。我们所说的“把陈旧的、复杂的东西抛到一边”，是指当“解析几何”产生之后，那种用原来的方法来创造与发明几何定理的时代已经过去了，虽然这种做法延续了1000多年，但这并不意味着可以将“平面几何”与“立体几何”“抛到一边”。在中学必须学习“平面几何”与“立体几何”至少有以下几点理由：（1）可以认识人
们生活的三维欧氏空间中一些最基本的几何关系与性质；（2）不学习“平面几何”与“立体几何”，就无法学习“解析几何”与“微积分”；（3）“平面几何”与“立体几何”是训练学生严格逻辑思维的最好的方法之一，这种训练比上一门“ 形式逻辑”课更为有效，它对学生终生有用。当然中学“平面几何”与“立体几何”应讲授多少内容是一个值得探讨的问题，完全取消是绝对错误的，但做过多的几何难题似乎也是不必要的。
古典几何的另一个“真正的进展”，则是“非欧几何”的产生，这是数学史上的划时代贡献。
如前所述，欧几里得的《原本》从诞生直到18世纪末，在几何领域，它是一统天下，几乎成为“科学圣经”。但在同时，人们多认为五条公设中的前四条简洁、明了，无可非议，而对第五公设，即“若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交”，则感到它不像一条公设，而更像一条定理，即可以从其他公设、公理及定理中推导出来。
2000多年来，不知有多少数学家致力于用其他的公设、公理及定理来证明第五公设，甚至有人为之付出了整个一生，但还是以失败告终。直到19世纪，由高斯、波尔约及罗巴切夫斯基创立了“非欧几何学”，才结束了这件公案。“非欧几何学”一反过去人们试图从其他公设、公理及定理来证明第五公设的做法，认为第五公设不可能从其他的公设、公理及定理中推导出来，而发展起第五公设不成立的新的几何学。高斯称之为“非欧几里得几何学”，简称“非欧几何学”。1854年黎曼在“非欧几何学”的思想基础上建立了更为广泛的几何学，即“黎曼几何学”，开创了几何学甚至整个数学的新纪元，而其发展更是一日千里。众所周知，爱因斯坦的相对论正是以“黎曼几何”作为其数学工具的。
经历了2000多年的思索与努力，“非欧几何”的产生的确是“数学中一步真正的进展” ，把已有的理论——欧几里得几何学，从更高、更深的角度去理解，而把那些陈旧的思想——试图用其他公设、公理及定理来证明第五公设的一切做法“抛到一边”。
在中学数学课程中，还有一门叫“三角”。这门课程，主要讨论六个三角函数的相互关系及计算。人类对三角学的研究可以追溯到公元1～2世纪。当时的天文学研究，已经为三角学奠定了基础，例如已经有了类似于正弦及正弦的表等。经过了几百年的努力，到9～10世纪，三角函数的研究已系统化，到了13世纪，球面三角也基本完成。因此，现在中学学习的“三角学”，其内容基本上在千年前就形成了。
人们从更高、更深的角度来认识“三角学”，是由于复数的引入。人们对复数的思考由来已久，例如对方程x2＋1=0的根的思考，但人们认真地将虚数=i引入数学则是16世纪的事了。之后欧拉建立了著名的欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ，使得三角学中的问题都可以化归为复数来讨论，于是三角学中一大批问题得以轻松地解决。有了复数与欧拉公式，使人们对三角学的已有理论的理解更为深刻，并可以把一些原始的、复杂的处理三角学的方法与工具“抛到一边”。
我还得重复一遍，尽管复数与欧拉公式比三角学来得“高级”，但并不意味着中学课程可以不学习三角学。事实上，三角学是一门实用的数学分支，在很多其他学科中都有用。
五、微积分
“微积分”实在是太重要了，不论你将来从事什么工作，理、工、医、农、文、商等等，都得学“微积分”。可以这样说，中学课程中学习的各门数学，从某种意义上讲正是为学习微积分作准备的，一切大学的数学课程也都是以微积分为基础的。
微积分是从四个方面的问题来的：（1）求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等；（2）求曲线的切线；（3）求运动物体的速度；（4）求一些问题的极大、极小值。
当然，这些问题在一些简单的情形下，可以不用微积分，但当情形略为复杂一些时，则非用微积分不可。而反过来，微积分的诞生，不仅能解决上述这些问题，而且其用处大大地
超出了这些问题。
微积分的一些原始的思想，可以追溯到很远。例如，公元3世纪诞生的刘徽的“割圆术”就孕育着一些朴素的微积分的想法。但是，微积分的诞生是在牛顿及莱布尼茨建立了“微积分的基本定理”，即指出微分与积分互为逆运算之后。计算积分不再要像以前那样想一些特殊的办法进行逐个处理，而可以统一处理了，从而使微积分不再成为几何学的一部分，而成为一门独立的学科。
微积分的建立不仅使得数学的面貌彻底改变，而且将微积分应用到其他学科，使整个自然科学也彻底地改变了面貌。
牛顿与莱布尼茨的微积分基本定理的建立，促使了微积分的产生，的确是“数学中一步真正的进展”，的确是“更有力的工具和更简单的方法的发现”。这不仅有助于我们对已有理论的理解，如使我们对前面提到的四个问题原有的理解，更为清楚与深刻，而且的确可以把以往“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，例如，对个别曲线用一些特殊的方法来计算其面积与切线的方法都可以抛弃了。
六、几点启示
（1）一门学科的产生往往有多方面的因素，我在这里只说了一个因素，而这个因素在我看来是主要因素之一。（2）一门学科对其他学科的影响也是多方面的，例如，中学的“ 代数”课程，从方程式的角度导致了“线性代数”及“抽象代数”的产生，但从排列组合的角度导致了组合数学的产生；又例如，“非欧几何”的产生，引发了“几何基础”的深入讨论等。
从上面的论述中，我们已经发现，导致“数学中一步真正的进展”的“更有力的工具和更简单的方法”往往是由于看来是十分简单明了的想法。如从算术走向代数，关键的一步是“数字符号化”，即将数字用a,b,c，…x,y,z来表示。但正是这简单的一步，引发了“数学中一步真正的进展”，而人们认识到“数字符号化”，却花了上千年的时间。同样，由“平面几何”“立体几何”走向“解析几何”，关键的一步是“引进坐标”，即将平面的点与数一一对应。现在看来这一步也是十分自然的，人们是乐于接受的，但正是这样看似简单的一步，引发了“数学中一步真正的进展”。对于其他的情形，也是一样，不在此一一重复了。
仔细想想，“数字符号化”比算术中的一道难题可能更易于理解，“数字符号化”之后，解算术难题则轻而易举。同样“引入坐标”，比“平面几何”中的一道难题的解可能更易于理解，“引入坐标”之后，解几何难题则比较容易了。当然，“代数”比“算术”来得“ 高级”，“解析几何”比“平面几何”来得“高级”，可“高级”的反而容易，“低级”的反而难，这就是“高”“低”与“难”“易”之间的辩证关系。而更令人深思的是：重要的是要有创新的思想，“数字符号化”“引入坐标”这些看似简单的想法，却是创新思想。有了这种创新思想，才会有“数学中一步真正的进展”，否则即使是解决“算术”难题的能人，是做“平面几何”难题的高手，如果无这种创新思想，那么难题做得再多，也不可能引发“数学中一步真正的进展”。当然，这种创新思想来之不易，往往要经过几百年乃至千年的积累才能形成。经过了长期的积累，走向成熟，就会有数学大师总结与提升前人的成果，进而提出这种创新的思想，这就是数学的历史。
当然，我这样说，并不是否定做一些算术或几何的难题。从培养学生学习数学的能力来看，让学生花太多的时间来做太多的难题当然不必要，但适当地让学生做一些数学难题还是必要的，对培养学生的创新思想是有好处的，因为创新思想不是一天能培养出来的，要日积月累，有一个从量变到质变的过程。看看历史上的那些大数学家，哪一位没有做过难题？从教学的角度来看，问题是要适量。至于中小学教师，为了提高教学质量，对一些难题进行研究、分析与探讨，那是理所当然的事。从因材施教、提高同学们学习数学的兴趣与能力的角度出发，来举办一些数学活动，如“数学竞赛”等有意义的活动更是必要的了。从数学发展的历史角度与从数学教育的角度来考虑问题终究是不一样的。
如果以上算作数学历史的一点启示，那么以下所说的也可以算作数学历史的另一点启示。
从上述的叙述中还可以看到，数学的历史也像战争史。“一将功成万骨枯”！想想从欧几里得的《原本》诞生之后，几千年来，不知有多少数学家前仆后继地试图用其他公设、公理及定理来证明第五公设。这些人都失败了，他们都默默无闻，数学史上没有记载他们的名字。但正是由于千千万万个无名的数学家的失败，才导致了高斯、波尔约、罗巴切夫斯基从另外的角度来处理这个问题。他们成功了，他们成了英雄，但他们的成功是在几千年来千千万万个数学家失败的基础上获得的，所以可以说是“一将功成万骨枯”！
同样自从二次、三次及四次一元代数方程式得到根式解后，几百年来，也不知有多少数学家前仆后继地试图找到五次及更高次一元代数方程式的根式解，但他们都失败了。这些人在数学史上默默无闻，谁也不会记起他们的名字，但他们的牺牲，导致了拉格朗日、阿贝尔与伽罗瓦从新的角度来考察这个问题。他们成功了，名垂数学史，但他们的成功也是在几百年来无数默默无闻的数学家失败的基础上获得的。这也可说是“一将功成万骨枯”！
这样的例子还可以举出很多。
这些数学的历史，给我们以深刻的启示：我们应该如何来选择数学问题，如何来思考与处理数学问题，才能尽量避免不必要的牺牲，获得成功。
百年前，希尔伯特在他那著名的讲演中，用以下这段话作为结束语：“数学的有机统一，是这门科学固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础，为了圆满实现这个崇高的目标，让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热诚的信徒吧！”我深信，21世纪一定会“给这门科学带来天才的大师”，而且其中肯定有许多来自我们中国！
新课堂应体现“六性”
一、生活性。新课程课堂教学注重从学生已有经验出发，通过创设丰富的学习情景，沟通学科知识与生活的联系，突出学科知识生活化，激发学生学习兴趣，使学生感受到学习
的知识就在身边的生活中，享受学习的乐趣。
二、主体性。新课程课堂教学，突出了学生的主体地位，在课堂中让学生主动参与，积极思考，允许学生反思与质疑，提出自己的想法和见解，使学生学会倾听，学会提问，学会
思考，学会分析问题与解决问题。
三、活动性。新课程课堂教学，改变学生的学习方式，倡导自主、合作、探究性学习。课堂教学要注意创设情景，组织学习活动，使学生在活动中发现与提出问题，在活动中解决问题，在活动中动手操作、大胆创新。引导师生互动、生生互动，突出学习过程的活动性。
四、开放性。新课程课堂教学，改变了过去封闭的教学模式，注意教学设计的开放性。通过开放性问题的设计，使学生动起来，课堂活起来，培养学生的发散思维能力和创新思维能力。当然，开放性教学对教师提出了更高的要求，重点是要提高教师的课堂应变能力，使
课堂活而有序。
五、多样性。新课程课堂教学，突出了课堂教学方法的灵活性，教学评价的多样性。要引导学生进行自我评价、学生互评、教师评价有机结合。教师要善于倾听学生的发言，捕捉
信息，及时反馈与评价，提高课堂教学效率。
六、发展性。新课程课堂教学，以学生的发展为本，教师要立足学生的发展及时发现课堂教学中的亮点，让学生闪烁思维的火花和智慧的光芒。同时要关注学生的发展状态，抓住有
利时机，因势利导，发展学生的思维。
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2
三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→SSS SAS 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2 ．对称型 如图 4，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1）
小学三年级课外趣味数学《两位数乘以11的速算法》教案 一、教学目标: 1. 让学生复习两位数乘以两位数的乘法运算法则. 2．在掌握两位数乘以两位数的基础上能口算两位数乘以11的结果． 二、教学重点: 两位数乘以两位数的运算法则． 二、教学难点: 对两位数乘以11的速算法口诀的理解。 三、板书设计： 四、教学过程 （一）复习巩固 13*12=156 14*20=280 17*15=255 12*11=132 87*11=957（乘以11的老师来快速回答，并且要口算） （二）导入新课 口述：
小朋友们，刚刚我们复习了两位数乘以两位数的乘法法则，你们回答的都不错，而最后两个两位数乘以11的算式的结果老师是很迅速的说出答案了的，同学们，你们知道老师为什么算的这么快吗？（不知道）那你们想要学习这种方法吗？（想） 好，今天，那我们就来学习一下两位数乘以11的速算法．（板书课题：两位数乘以11的速算法） （三）探索新知 1、算式检验 （1）让同学们给老师出一些两位数乘以11的算式，老师进行快速的回答，检验老师方法的速算效果，增加说服力。 2、新课教学 （1）在通过几道题的验证之后，同学们对速算法的信任度大大提高，这时候老师在黑板上写上12*11= 的式子，并在后面写上=132的结果，最后在式子的上方写上速算法的口诀：“两边一拉，中间相加。”同时指出怎么拉，怎么相加的原理（上方板书已作图示意）。传授完毕后，教师随意出题目让同学们做，察看掌握情况，如还有同学不够理解，可多讲几个题目“两边一拉，中间相加”的原理，直至同学们都能基本理解。 （2）提出又一问题，让同学发现不同。这时候，再出67*11= 79*11= 87*11= 的算式，让同学们回答。同学们如若按照第一点的口诀进行回答，那答案肯定是不正确的，老师指出同学们答案不正确，要求同学们验算，结果答案肯定不正确，心中便有了些许疑惑，老师再将同学们引入下一个口诀中。 （3）循序渐进。同学们，你们知道为什么老师教你们的方法算出来的答案是不正确的了吗？那是因为我们刚开始的两位数个位和十位相加之后并没有超过10，而老师后面出的题目里，所用的两位数它的个位和十位相加的数是超过10的，所以我们就要用下一个口诀：“两边一拉，中间相加，中若凑成十，往前进一位。”将口诀的原理在黑板上给同学们指出来（上面板书已经图示）。此时再进行对同学们掌握程度的考察，出几个类似的题目给同学们做。 3、小结 同学们，今天，我们学习了两位数乘以11的速算法，同学们再将我们的口诀念一遍给老师听听，同时还要记在心里哦。（“两边一拉，中间相加，中若凑成十，往前进一位。”） 同学们，今天你们就可以回家和自己的爸妈比一比计算两位数乘以11的算式的速度，看看你们能不能赢你们的爸妈好吗？（好） （四）巩固练习
小学趣味数学题（一） 1.小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。他在5分钟内可以剪好几只自己的指甲？ 2.小华带50元钱去商店买一个价值38元的小汽车，但售货员只找给他2元钱，这是为什么？ 3.小军说：“我昨天去钓鱼，钓了一条无尾鱼，两条无头的鱼，三条半截的鱼。你猜我一共钓了几条鱼？”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼？ 4.6匹马拉着一架大车跑了6里，每匹马跑了多少里？6匹马一共跑了多少里？ 5.一只绑在树干上的小狗，贪吃地上的一根骨头，但绳子不够长，差了5厘米。你能教小狗用什么办法抓着骨头呢？ 6.王某从甲地去乙地，1分钟后，李某从乙地去甲地。当王某和李某在途中相遇时，哪一位离甲地较远一些？ 7.时钟刚敲了13下，你现在应该怎么做？ 8.在广阔的草地上，有一头牛在吃草。这头牛一年才吃了草地上一半的草。问，它要把草地上的草全部吃光，需要几年？ 9.妈妈有7块糖，想平均分给三个孩子，但又不愿把余下的糖切开，妈妈怎么办好呢？ 10.公园的路旁有一排树，每棵树之间相隔3米，请问第一棵树和第六棵树之间相隔多少米？ 11.把8按下面方法分成两半，每半各是多少？算术法平均分是
____，从中间横着分是____，从中间竖着分是____. 12.一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有3只猫，请问房里共有几只猫？ 13.一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有4只猫，请问房里共有几只猫？ 14.小军、小红、小平3个人下棋，总共下了3盘。问他们各下了几盘棋？（每盘棋是两个人下的） 15.小明和小华每人有一包糖，但是不知道每包里有几块。只知道小明给了小华8块后，小华又给了小明14块，这时两人包里的糖的块数正好同样多。同学们，你说原来谁的糖多？多几块？ 16、五个连续自然数的和是３５０。求出这五个自然数各是多少？ 17、你今年（）周岁，2028年1月1日，你就（）周岁。 小学趣味数学题（二） 1．妹妹今年6岁，哥哥今年11岁，当哥哥16岁时，妹妹几岁？ 2．小明从学校步行到少年宫要25分钟，如果每人的步行速度相同，那么小明、小丽、小刚、小红4个人一起从学校步行到少年宫，需要多少分钟？ 3．一张长方形彩纸有四个角，沿直线剪去一个角后，还剩几个角？（画图表示） 4．晚上停电，小文在家点了8支蜡烛，先被风吹灭了1支蜡烛，后来又被风吹灭了2支。最后还剩多少支蜡烛？ 5．有16个小朋友在操场上玩捉迷藏游戏，已经捉住了9人，藏着的还有几人？
初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例题： 用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0， 移向得：x2+4x=－1， 配方得：x2+4x+4=－1+4， 即(x+2) 2=3； 因此选D。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 例题： 若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。
【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3）， 即x2+mx-3=（x-1）（x+3）， ∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3， ∴m=2； 因此选B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 例题： 已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t 1=-5，t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1． 因此选B． 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
小学三年级趣味数学题 一、填空题。（每空3分，共48分） 1、找规律填数。 （1）1，4，9，16，（），36…… （2）2，3，5，8，（），21 …… 2、根据图形排列的规律回答：（画图表示） （1）○●●△○●●△……第123个是（）。 （2）○◎◎●●●○◎◎●●●……第111个是（）。 3、小张和小王住在同一幢楼里，这幢楼相邻两层间的楼梯级数相同。小张住4楼，回家要走54级楼梯，小王住在8楼,小王回家要走( )级楼梯。 4. 一个钥匙开一把锁，现在有8把钥匙和8把锁被搞乱了，要把它们重新配对，最多试（）次。 5、一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍，每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，全部锯完需要（）分钟。 6. 张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他。它们三人中有一个说了真话，做好事的是（）。 7、△÷○＝18……21，△最小是（），○最大是（）。 8、△+○=9 ，△+△+○+○+○=25，△=（），○=（）。 9、运动场上有一条长45米的跑道，两端已插了二面彩旗，体育老师要求在这条跑道上每隔5米再插一面彩旗，还需要彩旗（）面。 10、甲、乙、丙三个班共有学生161人，甲比乙班多2人，乙班比丙班多6人，乙班有（）人。 11、在一个减法算式里，被减数、减数、差这三个数的和是120，差是减数的3倍。那么差是（）。 12、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个。一次最少摸出（）个球，才能保证至少有4个球颜色相同。 二、选择正确答案的序号填在括号里。（每题4分，共8分）
初中数学解题方法大全 数学解题方法 一、选择题： 对于选择题，关键是速度与正确率，所占的时间不能太长，否则会影响后面的解题。提高速度与正确率，方法至关重要。方法用得恰当，事半功倍，希望大家灵活运用。做选择题的主要方法有：直接法、特值法、代入法（或者叫验证法）、排除法、数形结合法、极限法、估值法等。 （一）直接法： 有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的．这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法．这种解法最常用，解答中也要注意结合选项特点灵活做题，注意题目的隐含条件，争取少算．这样既节约了时间，又提高了命中率。例：方程的解为（） A B C D 解：直接计算，同时除以300，再算的x=750。 （二）特值法： 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。特值法一般和排除法结合运用，达到少计算的目的，从而提高速度。 例：如图，在直角坐标系中，直线l对应的函数表达式是（） 解：看图得，斜率k>0,排除CD，再在AB中选，取特值x=0,则 y=-1,结果选A。 （三）代人法： 通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法．例3．（20XX年安徽）若对任意x∈R,不等式（A）<－1（B）||≤1（C）||<1（D）≥1 解： 化为化为，显然恒成立，由此排除答案A、 D
初中数学知识点归纳. 有理数的加法运算 同号两数来相加，绝对值加不变号。异号相加大减小，大数决定和符号。互为相反数求和，结果是零须记好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。有理数的减法运算 减正等于加负，减负等于加正。 有理数的乘法运算符号法则 同号得正异号负，一项为零积是零。合并同类项 说起合并同类项，法则千万不能忘。只求系数代数和，字母指数留原样。去、添括号法则 去括号或添括号，关键要看连接号。扩号前面是正号，去添括号不变号。括号前面是负号，去添括号都变号。解方程 已知未知闹分离，分离要靠移完成。移加变减减变加，移乘变除除变乘。平方差公式 两数和乘两数差，等于两数平方差。积化和差变两项，完全平方不是它。完全平方公式 二数和或差平方，展开式它共三项。首平方与末平方，首末二倍中间放。和的平方加联结，先减后加差平方。完全平方公式 首平方又末平方，二倍首末在中央。和的平方加再加，先减后加差平方。解一元一次方程 先去分母再括号，移项变号要记牢。同类各项去合并，系数化“1”还没好。求得未知须检验，回代值等才算了。解一元一次方程 先去分母再括号，移项合并同类项。系数化1还没好，准确无误不白忙。因式分解与乘法 和差化积是乘法，乘法本身是运算。积化和差是分解，因式分解非运算。因式分解 两式平方符号异，因式分解你别怕。两底和乘两底差，分解结果就是它。
两式平方符号同，底积2倍坐中央。 因式分解能与否，符号上面有文章。 同和异差先平方，还要加上正负号。 同正则正负就负，异则需添幂符号。 因式分解 一提二套三分组，十字相乘也上数。 四种方法都不行，拆项添项去重组。 重组无望试求根，换元或者算余数。 多种方法灵活选，连乘结果是基础。 同式相乘若出现，乘方表示要记住。【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解 一提二套三分组，叉乘求根也上数。 五种方法都不行，拆项添项去重组。 对症下药稳又准，连乘结果是基础。 二次三项式的因式分解 先想完全平方式，十字相乘是其次。 两种方法行不通，求根分解去尝试。 比和比例 两数相除也叫比，两比相等叫比例。 外项积等内项积，等积可化八比例。 分别交换内外项，统统都要叫更比。 同时交换内外项，便要称其为反比。 前后项和比后项，比值不变叫合比。 前后项差比后项，组成比例是分比。 两项和比两项差，比值相等合分比。 前项和比后项和，比值不变叫等比。 解比例 外项积等内项积，列出方程并解之。 求比值 由已知去求比值，多种途径可利用。 活用比例七性质，变量替换也走红。 消元也是好办法，殊途同归会变通。 正比例与反比例 商定变量成正比，积定变量成反比。 正比例与反比例 变化过程商一定，两个变量成正比。 变化过程积一定，两个变量成反比。 判断四数成比例 四数是否成比例，递增递减先排序。 两端积等中间积，四数一定成比例。 判断四式成比例 四式是否成比例，生或降幂先排序。 两端积等中间积，四式便可成比例。
小学趣味数学 1.在广阔的草地上，有一头牛在吃草。这头牛一年才吃了草地上一半的草。问，它要把草地上的草全部吃光，需要几年？ 2.妈妈有7块糖，想平均分给三个孩子，但又不愿把余下的糖切开，妈妈怎么办好呢？ 3.公园的路旁有一排树，每棵树之间相隔3米，请问第一棵树和第六棵树之间相隔多少米？ 4.把8按下面方法分成两半，每半各是多少？算术法平均分是____，从中间横着分是____，从中间竖着分是____. 5.一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有3只猫，请问房里共有几只猫？ 6.一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有4只猫，请问房里共有几只猫？ 7.小军、小红、小平3个人下棋，总共下了3盘。问他们各下了几盘棋？（每盘棋是两个人下的） 8.小明和小华每人有一包糖，但是不知道每包里有几块。只知道小明给了小华8块后，小华又给了小明14块，这时两人包里的糖的块数正好同样多。同学们，你说原来谁的糖多？多几块？ 9.小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。他在5分钟内可以剪好几只自己的指甲？ 10.小华带50元钱去商店买一个价值38元的小汽车，但售货员只找给他2元钱，这是为什么？ 11.小军说：“我昨天去钓鱼，钓了一条无尾鱼，两条无头的鱼，三条半截的鱼。你猜我一共钓了几条鱼？”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼？ 12.6匹马拉着一架大车跑了6里，每匹马跑了多少里？6匹马一共跑了多少里？ 13.一只绑在树干上的小狗，贪吃地上的一根骨头，但绳子不够长，差了5厘米。你能教小狗用什么办法抓着骨头呢？ 14.王某从甲地去乙地，1分钟后，李某从乙地去甲地。当王某和李某在途中相遇时，哪一位离甲地较远一些？ 15.时钟刚敲了13下，你现在应该怎么做？
中考数学大题解题技巧总结大全2019中考各地区时间不尽相同，部分地区已经结束，部分地区还在备考中，今天小编为大家整理了2019中考数学大题解题技巧的相关内容，以便考生做好考前复习。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法换元法 是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较
复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 5、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，
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其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如 1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a
（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n次方根 （1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a 叫a的平方根，a叫a的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a叫实数a的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个
经典趣味数学故事《速算奇人》 数学故事速算奇人 许多人有着惊人的心算能力，有的是通过某种速算法而取得的，有的则是天生的。 我们先说说第一种。话说有一天，物理学家爱因斯坦生病了，一位朋友去看他，为了给他解解闷，给他出了一道乘法题。朋友问：29742926的多少? 爱因斯坦很快地说出：8701924! 完全正确!朋友不禁惊讶：你是怎么算得这么快的呢? 经典趣味数学故事《速算奇人》：原来，爱因斯坦用的是一种速算法。他发现74+26=100，所以就先用2930，等于870，而7426=(50+24)(50-24)=1924，把这两个答数接起来，就得了8701924。 我们再说第二种，有些人天生就有着速算的天才。一百五十多年前，在英国发现了一个叫亨利的10岁男孩，他擅长心算，一位科学家给他出了一道题：365365365365365365乘以365365365365365365等于多少? 大家都认为这是一道很难的题，亨利一定算不上来，谁知亨利思索了一会儿，便报出了答案：1334444491850208566925016658299941583225。 几个大人手忙脚乱地用手算了半天，惊奇地发现：亨利报出的答案完全正确!
不要说是手算，有的时候，一些速算奇人的心算速度是如此之快，就是别人用计算工具，也赶不上。在1944年的时候，电子计算机的创始人冯诺依曼和另两位物理学家费米、范曼在一起加紧原子弹的研制，有时喜欢用计算尺的费米、喜欢用手摇计算机的范曼和喜欢用心算的冯诺依曼三个人同时 算一道题，结果总是冯诺依曼最先算完，而且算得准确。费米和范曼都称赞道：冯诺依曼就像是一台惊人的计算机啊!
小学三年级趣味数学题及答案 2、小华带50元钱去商店买一个价值38元的小汽车，但售货员只找给他2元钱，这是为什么？ 3、小军说：“我昨天去钓鱼，钓了一条无尾鱼，两条无头的鱼，三条半截的鱼。你猜我一共钓了几条鱼？”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼？ 4、6匹马拉着一架大车跑了6里，每匹马跑了多少里？6匹马一共跑了多少里？ 5、一只绑在树干上的小狗，贪嘴地上的一根骨头，但绳子不够长，差了5厘米。你能教小狗用什么办法抓着骨头呢？ 6、王某从甲地去乙地，1分钟后，李某从乙地去甲地。当王某和李某在途中相遇时，哪一位离甲地较远一些？ 7、时钟刚敲了13下，你现在应该怎么做？ 8、在广漠的草地上，有一头牛在吃草。这头牛一年才吃了草地上一半的草。问，它要把草地上的草全部吃光，需要几年？ 9、妈妈有7块糖，想平衡分给三个孩子，但又不愿把余下的糖切开，妈妈怎么办好呢？ 10、公园的路旁有一排树，每棵树之间相隔3米，请问第一棵树和第六棵树之间相隔多少米？ 11、把8按下面方法分成两半，每半各是多少？算术法平衡分是____，从中间横着分是____，从中间竖着分是____. 12、一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有3只猫，请问房里共有几只猫？13、一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有4只猫，请问房里共有几只猫？14、小军、小红、小平3个人下棋，总共下了3盘。问他们各下了几盘棋？（每盘棋是两个人下的） 15、小明和小华每人有一包糖，但是不知道每包里有几块。只知道小明给了小华8块后，小华又给了小明14块，这时两人包里的糖的块数凑巧同样多。同学们，你说原来谁的糖多？多几块？
2、因为他付给售货员40元，所以只找给他2元； 3、0条，因为他钓的鱼是不存在的； 4、6里，36里； 5、只要教小狗转过身子用后脚抓骨头，就行了。 6、他们相遇时，是在同一地方，所以两人离甲地同样远； 7、应该修理时钟； 8、它永远不会把草吃光，因为草会不断生长； 9、妈妈先吃一块，再分给每个孩子两块； 10、15米； 11、4，0，3。 12、4只； 13、5只； 14、2盘； 15、原来小华糖多；14-8=6块，因为多给了6块两人糖的块数凑巧同样多，所以原来小华比小明多12块。
第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋ b 2＝(a ＋b)2 －2ab ＝(a －b)2 ＋2ab ； a 2 ＋a b ＋b 2 ＝(a ＋b)2 －ab ＝(a －b)2 ＋3ab ； a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1[(a ＋b)2 ＋(b ＋c) 2＋(c ＋a) 2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c) 2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2 －2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α） ； x ＋ ＝(x ＋ ) －2＝(x － ) ＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。 2. 方程x ＋y －4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____。 A.
金华速算 金华全脑速算的运算原理是通过双手的活动来刺激大脑，让大脑对数字直接产生敏感的条件反射作用，所以能达到快速计算的目的。 （1）以手作为运算器并产生直观的运算过程。 （2）以大脑作为存储器将运算的过程快速产生反应并表示出。 例如：6752 + 1629 = ？ 例题 运算过程和方法：首位6+1是7，看后位（7+6）满10，进位进1，首位7+1写8，百位7减去6的补数4写3，（后位因5+2不满10，本位不进位），十位5+2是7，看后位（2+9）满10进1，本位7+1写8，个位2减去9的补数1写1，所以本题结果为8381。 金华全脑速算乘法运算部分原理 令A、B、C、D为待定数字，则任意两个因数的积都可以表示成： AB×CD=(AB+A×D/C)×C0+B×D = AB×C0 +A×D×C0/C+B×D = AB×C0 +A×D×10+B×D = AB×C0 +A0×D+B×D = AB×C0 +（A0+B）×D = AB×C0 +AB×D = AB×（C0 +D） = AB×CD 此方法比较适用于C能整除A×D的乘法，特别适用于两个因数的“首数”是整数倍，或者两个因数中有一个因数的“尾数”是“首数”的整数倍。 两个因数的积，只要两个因数的首数是整数倍关系，都可以运用此方法法进行运算，
即A =nC时，AB×CD=(AB+n D)×C0+B×D 例如： 23×13=29×10+3×3=299 33×12=39×10+3×2=396 魏德武速算 魏氏速算它可以不借助任何计算工具在很短时间内就能使学习者，用一种思维，一种方法快速准确地掌握任意数加、减、乘、除的速算方法。从而达到快速提高学习者口算和心算的速算能力。 1，加法速算：计算任意位数的加法速算，方法很简单学习者只要熟记一种加法速算通用口诀——“本位相加（针对进位数）减加补，前位相加多加一”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法，比如：（1），67+48=（6+5）×10+（7-2）=115，（2）758+496=(7+5)×100+（5-0）×10+8-4=1254即可。 2，减法速算：计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀——“本位相减（针对借位数）加减补，前位相减多减一”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法，比如：（1），67-48=（6-5）×10+（7+2）=19，（2），758-496=（7-5）×100+（5+1）×10+8-6=262即可。 3，乘法速算：魏氏乘法速算通用公式：ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。 速算嬗数|=（a-c）×d+（b+d-10）×c,， 速算嬗数‖=（a+b-10）×c+（d-c）×a， 速算嬗数Ⅲ=a×d-…b?（补数）×c 。更是独秀一枝，无以伦比。 （1），用第一种速算嬗数=（a-c）×d+（b+d-10）×c，适用于首同尾任意的二位数乘法速算，比如：26×28, 47×48，87×84-----等等，其嬗数一目了然分别等于“8”，“20 ”和“8”即可。 （2），用第二种速算嬗数=（a+b-10）×c+（d-c）×a适用于一因数的二位数之和接近等于“10”,另一因数的二位数之差接近等于“0”的任意二位数乘法速算，比如：28×67, 47×98, 73×88----等等，其嬗数也同样可以一目了然分别等于“2”，“5 ”和“0”即可。 (3), 用第三种速算嬗数=a×d-…b?（补数）×c 适用于任意二位数的乘法速算。 魏德武小时候速算探究的故事
趣味数学题库 姐俩看电影 小芳、小花姐妹二人从家里出发到电影院看电影，小芳每小时走５公里，小花每小时走３公里，她们同时出发１小时后，姐姐又回家拿东西再去追妹妹，妹妹仍以原速前进，最后二人同时到达电影院。求从家里到电影院之间的距离？ 小马虎数鸡 春节里，养鸡专业户小马虎站在院子里，数了一遍鸡的总数，决定留下１／２外，把１／４慰问解放军，１／３送给养老院。他把鸡送走后，听到房内有鸡叫，才知道少数了１０只鸡。于是把房内房外的鸡重数一遍，没有错，不多不少，正是留下１／２的数。小马虎奇怪了。问题出在哪里呢？你知道小马虎在院里数的鸡是多少只吗？ 来了多少客人 一天，小林正在家里洗碗，小强看见了问道：“怎么洗那么多的碗？”“家里来了客人了。”“来了多少人？”小林说：“我没有数，只知道他们每人用一个饭碗，，二人合用一个汤碗，三人合用一个菜碗，四人合用一个大酒碗，一共用了１５个碗。”你知道来了多少客人吗？ 称珠子 有２４３颗外形一模一样的珠子，其中有一颗稍重一点。用一架没有砝码的天平，至少称几次才能找出这颗珠子来？ 分梨 箱子里放着一箱梨，第一个人拿了梨总数的一半又多半只，第二个人拿了剩下梨的一半又多半只，第三个人拿了第二次剩下的一半又多半只，第四个人3拿了第三次剩下的一半又多半只，第五个人拿了第四次剩下的一半又多半只。这时箱子里的梨正好拿完，而且每人手里的梨都没有半只的，请问箱子里原来有多少只梨？ 如何分组 暑假里，班里要作社会调查，要分成１５个小组，班里有赵、钱、孙、李、周各６位同学，要使每个小组的姓都不同，该如何分呢？ 巧算星期 今年的十月一日是星期一，明年的十月一日是星期几？请写出简便算法来？ 谁跑得快 小伟与小林百米赛跑，结果当小伟跑到终点时，小林只跑了９５米。小林要求再跑一次，这次小伟的起跑线比小林退后５米，如果他们都用原来的速度跑，那么同时到达终点吗？ 火车过桥 南京长江大桥的铁路桥共长６７７２米，一列货车长４２８米，每秒行驶２０米，请问全车通过大桥要多少时间？ 开锁问题 用外观一模一样的钥匙试开１０把锁，最多试多少次，就可以分辨出哪把钥匙配哪把锁的? 这个三位数是几 有一个三位数，在四百到五百之间，个位数比百位数大３，十位数比个位数小５，请问这个三位数是多少？ 算年龄 小明的爸爸今年５０岁，小明今年２２岁，请问再过多少年以后小明爸爸的年龄是小明年龄的２倍？ 大楼有几层 王老师最近搬进了教师宿舍大楼。一天，王老师站在阳台上，往下看，下面有３个阳台，住上看，上面有５个阳台。你说王老师住在几楼？教师宿舍大楼共有几层呢？
初中数学中常见的几种平面图形知识点归纳平行四边形周长 可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b) 底×1X高 知识拓展：平行四边形+直角+一组邻边相等=正方形。 关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。 正方形定理公式 正方形的特征： ①正方形的四边相等； ②正方形的四个角都是直角； ③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 正方形的判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形。 希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。 同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。 平行四边形
平行四边形的性质： ①平行四边形的对边相等； ②平行四边形的对角相等； ③平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的判定： ①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形； ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。 下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。 直角三角形的`性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； ④直角三角形中30度 角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形的判定： ①有两个角互余的三角形是直角三角形；